01 有限元分析的基本原理
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随着计算机技术的飞速发展，基于有限元 方法原理的软件大量出现，并在实际工程 中发挥了愈来愈重要的作用
1966 NASTRAN MARC 1970 ANSYS SAP 1975 ADINA 1979 ABAQUS 1984 ALGOR MacNeal-Schwendler Corp., USA MARC Anal. Corp., USA Swanson Anal. Syst., USA NISEE, UC Berkeley, USA ADINA R&D, Inc., USA Hibbit, Karlsson & Sorensen, Inc., USA Algor Inc., USA
离散系统是可解的，但是求解复杂的离散系统， 要依靠计算机技术
• 第二类问题的研究对象称为连续系统
可以建立描述连续系统的基本方程和边界条件， 通常只能得到少数简单边界条件问题的解析解。 对于大多数实际的工程问题，需要用近似算法 来求解
有限单元法的形成
为了解决这些困难，工程师和数学家开始寻 找一种近似的求解方法，在这个过程中，他 们从两个不同的路线得到了相同的结果，即 有限单元法
• 杆单元的标准形式
单元节点内力为
它将与单元的节点外力相平衡，方程可以写成
一维阶梯杆结构问题的求解
有限元分析的基本流程
• 例 1D三连杆结构的有限元分析过程
采用杆单元的方法，求解图示结构的所有力学 参量。相关的材料参量和尺寸如下
有限元分析的基本流程
求解思路：基于单元的分析方法 • 首先将原整体结构按几何形状的变化性质 划分节点并进行编号 • 然后将其分解为一个个小的构件(即单元)， 基于节点位移，建立每一个单元的节点平 衡关系(叫做单元刚度方程) • 下一步就是将各个单元进行组合和集成， 以得到该结构的整体平衡方程(也叫做整体 刚度方程)
一维阶梯杆结构问题的求解
• 一维问题是最简单的分析对象，以一阶梯杆结 构为例，详细给出各种方法求解的过程，直观 地引入有限元分析基本思路 • 图示阶梯杆结构，已知相应的弹性模量和结构 尺寸，用材料力学方法求解该问题
一维阶梯杆结构问题的求解
一维阶梯杆结构问题的求解
• 基于节点位移的求解方法
一维阶梯杆结构问题的求解
教学计划及评分办法
• 课堂讲授引导为主，课下自学为辅 • 8周讲授 + 4周上机 有限元基本原理、杆系问题、平面问题、 轴对称问题、空间问题、等参数单元等 ANSYS前处理、加载求解、后处理 • 评分标准 65%期末考试 + 20%期末大作业 + 15% 平时作业及考勤
有限元分析的基本原理
有限单元法的形成
• Thomas J. R. Hughes, The Finite Element Method:
Dover Publications, 2000
Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis,
• K. J. Bathe, Finite Element Procedures, Cambridge, MA: Klaus-Jürgen Bathe, 2006
有限元分析的目的
• 固体力学领域：针对具有任意复杂几何形 状变形体，完整获取在复杂外力作用下它 内部的准确力学信息，即求取该变形体的 三类力学信息(位移、应变、应力) • 在准确进行力学分析的基础上，设计师就 可以对所设计对象进行强度、刚度等方面 的评判，以便对不合理的设计参数进行修 改，以得到较优化的设计方案，再次进行 方案修改后的有限元分析，以进行最后的 力学评判和校核
• 两类典型的工程问题
第一类问题可以归结为有限个已知单元体的组 合。例如材料力学中的连续梁、建筑结构中的 桁架和框架结构。 第二类问题是针对连续介质，通常可以建立它 们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边 界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电 磁场问题等。
有限单元法的形成
• 第一类问题的研究对象称为离散系统
有限元法的基本原理
• 有限元方法基于“离散逼近”的基本策略， 可以采用较多数量的简单函数的组合来 “近似”代替非常复杂的原函数 • 两种典型的函数逼近思想
经典瑞利-里兹思想：基于全域的展开(如采用 傅立叶级数展开) 有限元方法的思想：基于子域的分段函数组合 (如采用分段线性函数的连接)
有限元分析的目的和作用
有限元法的基本原理
• 基于分段的函数描述的优点
1. 可以降低原函数复杂性，方便描述求解 2. 可以人工选取简单的分段函数形式 3. 可以将原始微分求解变为线性代数方程
• 基于分段的函数描述的缺点
1. 所采用简单函数的描述能力和效率较低 2. 由于简单函数的描述能力较低，必然将使用 数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的 工作量
主要教材及参考书目
• 曾攀，有限元基础教程，高等教育出版社，2009 • 李人宪，有限元法基础，国防工业出版社，2012 • 王焕定，有限单元法基础及Matlab编程，高等教育 出版社，2012 • 王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003 • 朱伯芳，有限单元法原理与应用，中国水利水电出 版社，2009 • 王新敏， ANSYS工程结构数值分析，人民交通出 版社，2007 • 龚曙光， ANSYS参数化编程与命令手册，机械工 业出版社，2009
有限单元法的历史
• 1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的 “试函数”来求解复杂的微分方程，1909年 Ritz将其发展成为完善的数值近似方法 • 1943年，Courant发表了第一篇使用三角形区 域多项式函数来求解扭转问题的论文
• 1956年，波音公司的Turner，Clough， Martin和Topp在分析飞机结构时系统研究了 离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式
有限元法的基本思想
• 有限单元法(finite element method)是求解 数学物理问题(复杂微分方程)的一种数值计 算近似方法。它发源于固体力学，以后迅 速扩展到流体力学、传热学、电磁学、声 学等其它物理领域。 • 有限元法的基本思想可以归结为：将连续 系统分割成有限个分区或单元，对每个单 元提出一个近似解，再将所有单元按标准 方法组合成一个与原有系统近似的系统。
有限单元法的历史
我国学者也在有限元领域做出了重要贡献
• 胡海昌于1954提出了广义变分原理 • 钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分 原理之间关系 • 钱令希在20世纪五十年代就研究了力学分析的 余能原理 • 冯康在20世纪六十年代就独立地、并先于西方 奠定了有限元分析收敛性的理论基础
通用有限元软件概述
有限元分析的基本流程
有限元分析的基本流程
(5) 求支反力
方程组的最后一行方程，可求出支反力
(6) 求各个单元的其它力学量(应变、应力)
有限元分析的基本流程
对象离散→单元描述→整体组装→问题求解
基本流程的示意图
有限元分析的特点
• 有限元分析最大特点就是标准化和规范化
这种特点使得大规模的分析和计算成为可能， 当采用了现代化计算机以及所编制的软件作为 实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析就 变为了现实
• Jacob Fish, Ted Belytschko, A First Course in Finite Elements, Wiley, 2007 • S. S. Quek , G.R. Liu, Finite Element Method: A Practical Course, Butterworth-Heinemann, 2003
有限元原理与结构通用 有限元软件应用
福州大学 土木工程学院 陈力波 2014年2月
课程目标
• 学习什么是有限元方法，了解有限元方法 的基本思想和流程 • 学习有限元分析原理，结合弹性力学问题 来介绍有限元分析的基本方法，包括单元 分析、整体分析、载荷与约束处理、等参 单元的概念等 • 了解有限元软件发展水平，初步学会应用 通用有限元软件解决具体工程问题
有限单元法的历史
• 1955年德国的Argyris出版了第一本关于结构 分析中的能量原理和矩阵方法的书
• 1960 年Clough在处理平面弹性问题，第一次 提出并使用“有限单元法”(finite element method)的名称 • 1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本 有关有限元分析的专著 • 1970 年以后，有限元方法开始应用于处理非 线性和大变形问题，1972年Oden出版了第一 本关于处理非线性连续体的专著
• R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, R.J. Witt,
Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley, 4 edition, 2001
• O.C. Zienkiewicz , R.L .Taylor , J.Z. Zhu, The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann; 7 edition, 2013
有限元分析的基本流程
• 接下来按实际情况对方程中一些节点位移 和节点力给定相应的值(叫做处理边界条件)， 就可以求解出所有的节点位移和支反力 • 最后在得到所有的节点位移后，就可计算 每一个单元的其它力学参量(如应变、应力)
有限元分析的基本流程
有限元分析的基本流程
(2) 计算各单元的单元刚度方程 单元①的刚度方程
• 实现标准化和规范化的载体就是单元
因此有限元方法的主要任务就是研究单元，对 常用的各种单元(包括1D、2D、3D问题单元)， 构造出相应的单元刚度矩阵
• 基于节点位移的求解方法 平衡关系
矩阵形式
一维阶梯杆结构问题的求解
• 基于位移求解的通用形式 平衡关系
分解
一维阶梯杆结构问题的求解
• 基于位移求解的通用形式 左端的第1项实质为
左端的第2项实质为
一维阶梯杆结构问题的求解
•பைடு நூலகம்材料力学求解
求解的基本力学变量是力(或应力) 静定问题，可直接求出 静不定问题，则需要变形协调方程(一定技巧)
• 采用位移作为求解的基本变量
原来的基于节点的平衡关系，变为通过每一个 杆件的平衡关系来进行叠加 单元：基于节点位移写出该“构件”的内力表 达关系， “构件”在几何形状上、节点描述 上都有一定普遍性和标准性
一维阶梯杆结构问题的求解
• 杆单元的标准形式
单元节点位移 单元节点外力
一维阶梯杆结构问题的求解
单元②的刚度方程
单元③的刚度方程
有限元分析的基本流程
(3) 组装各单元刚度方程
由于整体结构是由各个单元按一定连接关系组 合而成的，因此需要按照节点的对应位置将以 上方程进行组装，以形成一个整体刚度方程 实际上组装过程，就是将各个单元方程按照节 点编号的位置进行集成
有限元分析的基本流程
节点1、2、3、4上合成节点力如下，实际上 在单元组装后只需要合成后的节点力 代入结构的材料参数和几何尺寸参数
1966 NASTRAN MARC 1970 ANSYS SAP 1975 ADINA 1979 ABAQUS 1984 ALGOR MacNeal-Schwendler Corp., USA MARC Anal. Corp., USA Swanson Anal. Syst., USA NISEE, UC Berkeley, USA ADINA R&D, Inc., USA Hibbit, Karlsson & Sorensen, Inc., USA Algor Inc., USA
离散系统是可解的，但是求解复杂的离散系统， 要依靠计算机技术
• 第二类问题的研究对象称为连续系统
可以建立描述连续系统的基本方程和边界条件， 通常只能得到少数简单边界条件问题的解析解。 对于大多数实际的工程问题，需要用近似算法 来求解
有限单元法的形成
为了解决这些困难，工程师和数学家开始寻 找一种近似的求解方法，在这个过程中，他 们从两个不同的路线得到了相同的结果，即 有限单元法
• 杆单元的标准形式
单元节点内力为
它将与单元的节点外力相平衡，方程可以写成
一维阶梯杆结构问题的求解
有限元分析的基本流程
• 例 1D三连杆结构的有限元分析过程
采用杆单元的方法，求解图示结构的所有力学 参量。相关的材料参量和尺寸如下
有限元分析的基本流程
求解思路：基于单元的分析方法 • 首先将原整体结构按几何形状的变化性质 划分节点并进行编号 • 然后将其分解为一个个小的构件(即单元)， 基于节点位移，建立每一个单元的节点平 衡关系(叫做单元刚度方程) • 下一步就是将各个单元进行组合和集成， 以得到该结构的整体平衡方程(也叫做整体 刚度方程)
一维阶梯杆结构问题的求解
• 一维问题是最简单的分析对象，以一阶梯杆结 构为例，详细给出各种方法求解的过程，直观 地引入有限元分析基本思路 • 图示阶梯杆结构，已知相应的弹性模量和结构 尺寸，用材料力学方法求解该问题
一维阶梯杆结构问题的求解
一维阶梯杆结构问题的求解
• 基于节点位移的求解方法
一维阶梯杆结构问题的求解
教学计划及评分办法
• 课堂讲授引导为主，课下自学为辅 • 8周讲授 + 4周上机 有限元基本原理、杆系问题、平面问题、 轴对称问题、空间问题、等参数单元等 ANSYS前处理、加载求解、后处理 • 评分标准 65%期末考试 + 20%期末大作业 + 15% 平时作业及考勤
有限元分析的基本原理
有限单元法的形成
• Thomas J. R. Hughes, The Finite Element Method:
Dover Publications, 2000
Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis,
• K. J. Bathe, Finite Element Procedures, Cambridge, MA: Klaus-Jürgen Bathe, 2006
有限元分析的目的
• 固体力学领域：针对具有任意复杂几何形 状变形体，完整获取在复杂外力作用下它 内部的准确力学信息，即求取该变形体的 三类力学信息(位移、应变、应力) • 在准确进行力学分析的基础上，设计师就 可以对所设计对象进行强度、刚度等方面 的评判，以便对不合理的设计参数进行修 改，以得到较优化的设计方案，再次进行 方案修改后的有限元分析，以进行最后的 力学评判和校核
• 两类典型的工程问题
第一类问题可以归结为有限个已知单元体的组 合。例如材料力学中的连续梁、建筑结构中的 桁架和框架结构。 第二类问题是针对连续介质，通常可以建立它 们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边 界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电 磁场问题等。
有限单元法的形成
• 第一类问题的研究对象称为离散系统
有限元法的基本原理
• 有限元方法基于“离散逼近”的基本策略， 可以采用较多数量的简单函数的组合来 “近似”代替非常复杂的原函数 • 两种典型的函数逼近思想
经典瑞利-里兹思想：基于全域的展开(如采用 傅立叶级数展开) 有限元方法的思想：基于子域的分段函数组合 (如采用分段线性函数的连接)
有限元分析的目的和作用
有限元法的基本原理
• 基于分段的函数描述的优点
1. 可以降低原函数复杂性，方便描述求解 2. 可以人工选取简单的分段函数形式 3. 可以将原始微分求解变为线性代数方程
• 基于分段的函数描述的缺点
1. 所采用简单函数的描述能力和效率较低 2. 由于简单函数的描述能力较低，必然将使用 数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的 工作量
主要教材及参考书目
• 曾攀，有限元基础教程，高等教育出版社，2009 • 李人宪，有限元法基础，国防工业出版社，2012 • 王焕定，有限单元法基础及Matlab编程，高等教育 出版社，2012 • 王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003 • 朱伯芳，有限单元法原理与应用，中国水利水电出 版社，2009 • 王新敏， ANSYS工程结构数值分析，人民交通出 版社，2007 • 龚曙光， ANSYS参数化编程与命令手册，机械工 业出版社，2009
有限单元法的历史
• 1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的 “试函数”来求解复杂的微分方程，1909年 Ritz将其发展成为完善的数值近似方法 • 1943年，Courant发表了第一篇使用三角形区 域多项式函数来求解扭转问题的论文
• 1956年，波音公司的Turner，Clough， Martin和Topp在分析飞机结构时系统研究了 离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式
有限元法的基本思想
• 有限单元法(finite element method)是求解 数学物理问题(复杂微分方程)的一种数值计 算近似方法。它发源于固体力学，以后迅 速扩展到流体力学、传热学、电磁学、声 学等其它物理领域。 • 有限元法的基本思想可以归结为：将连续 系统分割成有限个分区或单元，对每个单 元提出一个近似解，再将所有单元按标准 方法组合成一个与原有系统近似的系统。
有限单元法的历史
我国学者也在有限元领域做出了重要贡献
• 胡海昌于1954提出了广义变分原理 • 钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分 原理之间关系 • 钱令希在20世纪五十年代就研究了力学分析的 余能原理 • 冯康在20世纪六十年代就独立地、并先于西方 奠定了有限元分析收敛性的理论基础
通用有限元软件概述
有限元分析的基本流程
有限元分析的基本流程
(5) 求支反力
方程组的最后一行方程，可求出支反力
(6) 求各个单元的其它力学量(应变、应力)
有限元分析的基本流程
对象离散→单元描述→整体组装→问题求解
基本流程的示意图
有限元分析的特点
• 有限元分析最大特点就是标准化和规范化
这种特点使得大规模的分析和计算成为可能， 当采用了现代化计算机以及所编制的软件作为 实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析就 变为了现实
• Jacob Fish, Ted Belytschko, A First Course in Finite Elements, Wiley, 2007 • S. S. Quek , G.R. Liu, Finite Element Method: A Practical Course, Butterworth-Heinemann, 2003
有限元原理与结构通用 有限元软件应用
福州大学 土木工程学院 陈力波 2014年2月
课程目标
• 学习什么是有限元方法，了解有限元方法 的基本思想和流程 • 学习有限元分析原理，结合弹性力学问题 来介绍有限元分析的基本方法，包括单元 分析、整体分析、载荷与约束处理、等参 单元的概念等 • 了解有限元软件发展水平，初步学会应用 通用有限元软件解决具体工程问题
有限单元法的历史
• 1955年德国的Argyris出版了第一本关于结构 分析中的能量原理和矩阵方法的书
• 1960 年Clough在处理平面弹性问题，第一次 提出并使用“有限单元法”(finite element method)的名称 • 1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本 有关有限元分析的专著 • 1970 年以后，有限元方法开始应用于处理非 线性和大变形问题，1972年Oden出版了第一 本关于处理非线性连续体的专著
• R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, R.J. Witt,
Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley, 4 edition, 2001
• O.C. Zienkiewicz , R.L .Taylor , J.Z. Zhu, The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann; 7 edition, 2013
有限元分析的基本流程
• 接下来按实际情况对方程中一些节点位移 和节点力给定相应的值(叫做处理边界条件)， 就可以求解出所有的节点位移和支反力 • 最后在得到所有的节点位移后，就可计算 每一个单元的其它力学参量(如应变、应力)
有限元分析的基本流程
有限元分析的基本流程
(2) 计算各单元的单元刚度方程 单元①的刚度方程
• 实现标准化和规范化的载体就是单元
因此有限元方法的主要任务就是研究单元，对 常用的各种单元(包括1D、2D、3D问题单元)， 构造出相应的单元刚度矩阵
• 基于节点位移的求解方法 平衡关系
矩阵形式
一维阶梯杆结构问题的求解
• 基于位移求解的通用形式 平衡关系
分解
一维阶梯杆结构问题的求解
• 基于位移求解的通用形式 左端的第1项实质为
左端的第2项实质为
一维阶梯杆结构问题的求解
•பைடு நூலகம்材料力学求解
求解的基本力学变量是力(或应力) 静定问题，可直接求出 静不定问题，则需要变形协调方程(一定技巧)
• 采用位移作为求解的基本变量
原来的基于节点的平衡关系，变为通过每一个 杆件的平衡关系来进行叠加 单元：基于节点位移写出该“构件”的内力表 达关系， “构件”在几何形状上、节点描述 上都有一定普遍性和标准性
一维阶梯杆结构问题的求解
• 杆单元的标准形式
单元节点位移 单元节点外力
一维阶梯杆结构问题的求解
单元②的刚度方程
单元③的刚度方程
有限元分析的基本流程
(3) 组装各单元刚度方程
由于整体结构是由各个单元按一定连接关系组 合而成的，因此需要按照节点的对应位置将以 上方程进行组装，以形成一个整体刚度方程 实际上组装过程，就是将各个单元方程按照节 点编号的位置进行集成
有限元分析的基本流程
节点1、2、3、4上合成节点力如下，实际上 在单元组装后只需要合成后的节点力 代入结构的材料参数和几何尺寸参数