《高等数学(微积分学)》笔记

高等数学（微积分学）主讲：王飞燕教授、柳重堪教授、蔡高厅教授宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

（华罗庚，1910—1985）数学处于人类智能的中心领域。

（冯﹒诺依曼，1903—1957）数学是调节理论和实践、思想和经验之间差异的工具。

它架起了一座连通双方的桥梁，并在不断地加固它。

事实上，全部现代文明中有关理性认识和征服自然的部分都有赖于数学。

（希尔伯特，1863—1943）前言《高等数学》主要包括：一元和多元函数、极限与连续、导数与微分学、导数应用、不定积分、定积分、无穷级数（包括傅里叶级数）、微分方程、矢量代数、空间解析几何。

教学目标：掌握高等数学基本知识、基本理论，基本计算方法，提高数学素养；培养学生抽象思维和逻辑推理能力，辩证的思想方法；培养学生的空间想象能力；培养学生分析问题和解决问题的能力；为学生进一步学习数学打下一定的基础，为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。

第一章函数一、实数：1、数的扩展：自然数集（N）、整数集（Z，自然数+零+负整数）、有理数集（Q，整数+分数）、实数集（R，有理数+无理数）、复数（实数+虚数）……在高等数学研究中的数基本上都是实数，若用到虚数都会特别的说明。

2、数的几何表示——数轴：数轴的特点：有正负方向、有零点、有刻度。

它的作用是：数轴上的点与实数是一一对应的关系。

3、区间：某一实数集A与数轴上的某一区间对应。

﹛x:a＜x＜b﹜=﹙a ,b﹚——开区间，﹛x:a≤x≤b﹜=[a，b]——闭区间。

4、邻域：假设有两个数，a、δ（δ>0），则称实数集﹛x|a-δ<x<a+δ﹜为点a的δ邻域，记为N（a，δ），a被称为N（a，δ）的中心，δ>0被称为N（a，δ）的半径。

去心邻域：把N（a，δ）的中心点a去掉，称为a的去心邻域，记为N（a，δ）=﹛x|0<|x-a|<δ﹜=N（a，δ）﹨﹛a﹜。

5、绝对值：二、函数：1、常量&变量：常量：在某一过程中，取固定值的量，g、π等。

变量：在某一过程当中，可以取不同数值的量，R、t、s等。

2、函数：有两个变量，且这两个变量之间有依赖关系，当一个变量在某个区间取定一个数值时，另一个变量取相应的值，如下，其中x称为这个函数的自变量，y称为这个函数的因变量；x的取值范围称为定义域，y 的取值范围称为值域。

y=f（x）【注】：（1）f表示了一种自变量和因变量的对应规则；（2）f表示函数，f（x）表示函数值，y=f（x）称作y是x的函数；（3）函数符号可以用f、g、h……；（4）函数具有单值性，即一个x只有一个唯一的y与其对应；（5）函数的定义域非常重要；，注意有时需要考虑它的物理意义；（6）y=f（x），含有n个自变量的函数，称为n元函数。

3、函数的表示方法：（1）解析法（即公式法）：如y=x3-1。

优点：可以精确的来研究函数；缺点：不直观。

（2）图形法：在直角坐标系中，把满足y=f（x）的点（x，y）的轨迹，即为该函数的图形。

优点：直观；缺点：不精确。

（3）列表法：优点：便于查找函数值；缺点：不完整。

4、函数的属性：（1）有界性：y=f（x）有界如果存在M>0，使得|f（x）|≤M，其中在定义域内的x都成立，则该函数具有有界性。

如正弦函数|sin x|≤1；相反，为无界函数。

（2）奇偶性（对称性）：若f（x）=f（-x），则称f（x）为偶函数，如y=x2，几何特点是以y 轴对称。

若f（x）=-f（x），则称f（x）为奇函数，如y=x3，几何特点是以原点为中心对称。

如：f（x）=（a x +a-x）/2为偶函数，g（x）=（a x-a-x）/2为奇函数。

（3）周期性（循环性）：如果y=f（x），x∈D，若存在T>0，使得对任意x∈D有x+T∈D 且f（x +T）=f（x），则该函数具有周期性。

【注】：有些函数存在最小正周期。

（4）单调性：如果对于任意的两点x1<x2且∈x1、x2（a，b），均有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间（a，b）内是单调上升函数（单调增加）。

如果对于任意的两点x1<x2且∈x1、x2（a，b），均有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间（a，b）内是单调递减函数（单调减小）。

注：说函数的单调性一定要注明区间。

三、初等函数：1、基本初等函数：基本初等函数是指下面这些函数：（1）常值函数：y=c（2）幂函数：y=xα（α可以取任意实数）（3）指数函数：y=a x（其中a>0且a≠1），如y=e x（其中e=2.718……）（4）对数函数：y=log a x，如y=log e x（5）三角函数：主要有y=sinx，y=cosx，y=tgx（6）反三角函数：y=arcsinx，yarccosx，y=arctgx2、函数的运算：基本运算：加、减、乘、除；特殊运算：符合运算。

如y=lgsinx，则y=lgu，u=sinx。

3、初等函数：初等函数是指由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除，符合而成的函数。

4、建立函数关系举例：注意：第一，根据问题分清变量和常量；第二，在变量里面分清自变量和因变量；第三，存在多余变量，要消掉多余变量。

四、小结：1、注意区间、邻域的概念和表达；2、函数：概念、定义域、值域、表达、建立函数关系等。

第二章极限与连续一、数列的极限：1、数列和数列极限：数列是指一列有次序的数，按一定次序排列就构成数列，如X1、X2、X3……X n。

极限研究的是数列的变化趋势。

数列极限是指对于一个数列，当n趋于无限大时，这个数列无限地接近于某一个常数，就称这个数列是有极限的，而这个常数就称为这个数列的极限。

2、无限接近：“无限接近”：|X n -C|之间的距离。

【定义】设X n 、a ，如果对任ε>0，总存在N 使得当n>N 开始，均有|X n -a|<ε，则称数列X n 的极限是a ，记成lim n→+∞Xn =a 。

即：a-ε<X n <a+ε（数列极限的几何意义） 3、数列极限的性质： 1、唯一性（极限的唯一的）：2、增加或者删去有限项，不影响数列极限的存在和极限值；3、有极限的数列，它一定是有界的，即|X n |<M ； 有极限一定是有界的，有界的不一定存在极限。

4、极限的运算法则：假设：存在两个存在极限的数列lim n→+∞X n 、lim n→+∞Y n ，那么： lim n→∞（Xn ±Yn ）=lim n→+∞X n ±lim n→+∞Y n lim n→∞（Xn ×Yn ）=lim n→+∞X n ×lim n→+∞Y n lim n→+∞Xn Yn=lim n →+∞Xn lim n →+∞Yn（lim n→+∞Y n ≠0 ）【注】求极限只能用极限的运算法则和极限的性质。

一般地，lim n→+∞（a +aq +⋯aq n-1）=lim n→+∞a−aq n 1−q=a1−q（其中|q|<1）。

二、函数的极限：1、当x →±∞时函数的极限：【定义】如果某个函数f （x ）在（a ，＋∞）有定义，如果任意给定（∀）ε>0，总存在（∃）X>0，使得当x>X时，总有|f（x）-A|<ε，则称A是f（x）当x趋于正无穷时的极限，记为lim x→+∞f x=A。

【定义】假设f（x）在（−∞，a）有定义，且给定（∀）ε>0，总存在（∃）X>0，使得当x<-X时，总有|f（x）-A|<ε，则称A是f（x）当x趋于负无穷时的极限，记为lim x→—∞f x=A。

如果lim x→+∞f x=A，且lim x→—∞f x=A，则lim x→∞f x=A。

2、当x→x o时函数的极限：【定义】假设f（x）在x0的某邻域有定义（不包括x0），且当x 无限接近于x0时，f（x）无限接近于A，则称A是f（x）当x趋近于x0时的极限，记为lim x→x0f x=A。

如lim x→0sinxx = 1，lim x→01x的极限不存在，lim x→0sin1x的极限不存在。

【注】对某个函数f（x），当x从左边趋于x0时的极限为A，则称A为函数的左极限；当x从右边趋于x0时的极限为B，则称B为函数的右极限。

如果lim x→x0f x=A↔ f（x0-0）=f（x0+0）=A.3、运算法则：lim[f（x）±g（x）]=lim f（x）±lim g（x）lim[f x×g（x）]=lim f（x） × lim g（x）lim f（x）g（x） =lim f（x）lim g（x）（lim g（x）≠0）【推论】lim n→a（c n a n+c n−1a n−1+⋯+c0）=c n a n+ c n−1a n−1+⋯+c0【注意】x趋于0和无穷的求极限的方法不同。

三、两个极限存在的定理及应用：1、夹逼定理：假设在x0的邻域内，存在g（x）≤f（x）≤h（x），且lim x→x0g（x）=lim x→x（x）=A，则lim x→xf（x）=A。

根据夹逼定理，可以推出如下结论：（1）lim x→0sinx=0，lim x→0cosx=1；（2）lim x→x0sinx=sin x0，lim x→xcosx=cos x0；（3）lim x→0sinxx= 1；2、单调数列存在定理：a1≤a2≤a3……，则该数列为单调上升数列；a1≥a2≥a3……，则该数列为单调下降数列。

单调、有界数列一定存在极限。

考察：a n=（1+1n）n，特点：第一，a n<a n+1；第二，a n<3；第三，lim n→+∞（1+1n ）n=e≈2.718……，lim n→−∞（1+1n ）n=e，所以lim x→∞（1+1x）x=e。

幂指函数：（1+1x ）x=a xlog a（1+1x）是初等函数。

即：lim u→0（1+u）1u=e。

四、无穷小量与无穷大量：1、无穷小量：如果一个量有极限，而且它的极限等于0，它就是无穷小量，即极限为0的量就是无穷小量。

f（x）=A，则f（x）-A是无穷小量（当x 一般地，若lim x→x→x0），反之亦然。

无穷小量的性质：（1）有限个无穷小量之和，仍然是无穷小量；（2）有限个无穷小量之积，是无穷小量；（3）常量与无穷小量相乘仍然是无穷小量；（4）有界量与无穷小量相乘，仍然是无穷小量。

无穷小量的比较：两个无穷小量相除，若结果也是无穷小量，则称分子是分母的高阶无穷小量，记为f（x）=0（g（x））(注：小0仅仅表示高阶，而不是真正的等号)；若结果是一个常数，则称分子和分母是同阶无穷小量（等价无穷小量），记为f（x）∽g（x）。