相似三角形之基本模型
相似三角形之基本模型（导学案）
知识过关
1. 请证明以下结论：
①如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，求证：△ADE ∽△ABC ． ②如图2，在△ABC 中，∠B =∠AED ，求证：△AED ∽△ABC ． ③如图3，在△ABC 中，∠B =∠ACD ，求证：△ACD ∽△ABC ．
④如图4，直线AB ，CD 相交于点O ，连接AC ，BD ，且AC ∥BD ，求证：△AOC ∽△BOD ． ⑤如图5，直线AB ，CD 相交于点O ，连接AC ，BD ，∠B =∠C ，求证：△AOC ∽△DOB ． ⑥如图6，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，求证：△ADB ∽△CDA ，△ADB ∽△CAB ．
图1 图2 图3
图4 图5 图6
2. 比较下题两种不同的证明方法，并填空．
如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE
的延长线交AC 于点F ．
求证：∠AEF =∠EAF ．
方法1：（倍长中线） 如图，延长AD 到G 使DG =AD ，连接BG ．
∵D 是BC 边的中点
∴BD =CD
∵AD =GD ，∠1=∠2
∴△ADC ≌△GDB （SAS ）
∴AC =BG ，∠3=∠G
∵AC =BE ∴BE =BG ∴∠G =∠4
又∵∠3=∠G ，∠4=∠5 ∴∠3=∠5
即∠AEF =∠EAF 方法2：（作平行线）
如图，过点B 做BG ∥AC ，交AD 延长线于点G ．
C B B
C
D E A
D
A E
D
A
A B D D E
C B
A A
B O D B A C
C A
O
D
B O
C D
A
B
A
D B
C F E D
C
A
21F E D C B A G 35
4
AD 是Rt △ABC
斜边上的高 ∵D 是BC 边的中点
∴BD =CD
∵BG ∥AC
∴∠3=∠G
∵∠1=∠2 ∴△ADC ≌△GDB （AAS ）
∴AC =BG ∵AC =BE
∴BE =BG
∴∠G =∠4
又∵∠3=∠G ，∠4=∠5 ∴∠3=∠5
即∠AEF =∠EAF
相同点：倍长中线和作平行线都是构造了三角形全等．
不同点：倍长中线的方法是利用SAS 证明，实质是构造了一组对应边相等；作平行线的方法是利用_____证明，实质是构造了一组_____相等．
1. 六种相似基本模型：
DE ∥BC ∠B =∠AED ∠B =∠ACD
A 型
2. 射影定理： 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________；由_____________，得______________，即_______________．
3. 借助相似整合信息的通常思路：
利用相似时，往往可以将_______________等信息组合搭配在一起进行研究，并能实现三类信息之间的转化，进而达到整合信息、解决问题的目的．
为了借助相似实现_______________等条件的综合应用，往往会通过___________或作_________的方式来构造相似模型．
C
B
B
C
D E A
D
A
E D A
A
D B C
O
D
B
A
C
C
A
O D B
X 型 母子型 ∠B =∠C
AC ∥BD C B D A
2
1F E
D C B A G 35
4
构造相似模型是我们整合多个比例信息时常用的一种手段． 4. 影子上墙：
______________、______________、______________是影子上墙时的三种常见处理方式，它们的实质是构造三角形相似．
? 精讲精练
1. 如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE =∠B ，AE =6，ED =3，AF =8，则AC =_________，CD
BC
=_________．
第1题图 第2题图 2. 如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ，其中AF =6，
DF =3，CF =2，则AE =_________． 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，BD =2，AD =8，则CD =_________，AC =_________，
BC =________．
第3题图 第4题图
4. 如图，M 为线段AB 上一点，AE 与BD 交于点C ，∠DME =∠A =∠B =α，且DM 交AC 于点F ，
ME 交BD 于点G ．请写出图中的相似三角形_________________________________
________________________________________.（至少两对）
5. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，
连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BF A =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有
_____________（填写序号）．
6. 如图，P 为□ABCD 的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线、AB 的延长线分别
交于点E ，F ，G ，H ．
F
E D C
B A
B
C D
E F A D C
A B
C
D
E F G
M
O F
E D
C
B A
求证：PE PG PF PH ?=?．
7. 如图1所示，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D ．AD ，BC 交于点E ，过E 作EF ⊥BD 于点
F ，则可以得到111
AB CD EF
+=
．若将图1中的垂直改为斜交，如图2所示，AB ∥CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ，试问：111
AB CD EF
+=
还成立吗？请说明理由．
8. 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上．求证：
111
AB CD EF
+=
．
H
P
G F
E
D C
B
A
F E D C
B A
图1
F E
D
C
A 图2
H G F E D C
B A
9. 如图，直线l 1∥l 2，若AF :FB =2:3，BC :CD =2:1，则
CE :AE =_________．
10. 如图，在△ABC 中，AE =CE ，BC =CD ．求证：ED =3EF ．
11. 如图，直线l 与△ABC 三边所在直线分别交于点E ，F ，D ，且BF :AF =2:3，EF :FD =5:4，求AD :CD
的值．
B
C D
E
A
F
B C D
E
A F
B
C D E
A F
F E
D
C
B
A
l
F
E
D
C
B
A
l
B
C D
E
A F
B
C D
E
A F
B C D
E
A F
F
E
D
C
B
A
l
F
E
D
C
B
A
l
A
l G
F E
D
C
B
A l 1
l 2
12. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8
米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），这部分影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为________．
第12题图 第13题图
13. 小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD =8米，BC =20米，CD 与
地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ） A ．9米 B ．28米
C
．(7+米
D
．(14+米
14. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE
留在坡面上．若铁塔底座宽CD =12 m ，塔影长DE =18 m ，小明和小华的身高都是
1.6 m ，同一时刻小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m 和1 m ，则塔高AB 为（ ）
A ．24 m
B ．22 m
C ．20 m
D ．18 m
F
E
D
C
B
A
l
A
B C D
【参考答案】知识过关
2.AAS，对应角
2.△ABD∽△CBA，AB BD
BC AB
=，2
AB BC BD
=?；
△ACD∽△BCA，AC CD
BC AC
=，2
AC BC CD
=?；
△ADB∽△CDA，AD BD
CD AD
=，2
AD BD CD
=?；
3.边、角、比例．边、角、比例，补全图形，平行线
4.推墙法、砍树法、抬高地面法
?精讲精练
1.12，3 4
2.10 3
3.4，
4.△AMF∽△BGM；△DMG∽△DBM；△EMF∽△EAM
5.①②③
6.证明略
7.成立，证明略
8.证明略
9.1:2
10.证明略
11.
7 18
12.4.2米
13.D
14.A
相似基本模型（随堂测试）
? 要点回顾
为了借助相似实现边、角、比例等条件的综合应用，往往会通过___________或作___________的方式来构造相似模型．构造相似模型是我们整合多个比例信息时常用的一种手段．
? 典型题测试
1. 如图，在△ABC 中，D 为AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ．若BG :GA =3:1，
BC =10，则AE =______．
2. 如图，在△ABC 中，延长BC 至点D ，使CD =BC ，取AB 的中点F ，连接FD 交AC 于点E ，求
的值．
【参考答案】 ? 要点回顾
补全图形，平行线 ? 典型题测试 1. 5
G
F
E D
B
C
A
AE
AC
A E D
C
B
F
2.
23
相似基本模型（习题）
? 要点回顾
结合图形填写下列相似模型的特征：
________ _______ _______
_______ _______ _______
? 例题示范
例1：如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗
杆AB 在地面上的影长BC 为9.6 m ，在墙面上的影长CD 为2 m ．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1 m 的标杆的影长为1.2 m ．请帮助小明求出旗杆的高度．
解：如图，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，则四边形BCDE 为矩形．
由题意，BC =9.6，CD =2，
∴BC =DE =9.6，CD =BE =2 由题意， 1
1.2
AE ED = ∴AE =8
∴AB =AE +EB =8+2=10
∴旗杆的高度为10 m ．
例2：如图，在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD ，BE 交于点F ．求证：1
2
DF AF =． 证明：如图，过点D 作DG ∥AC ，交BF 于点G ． ∴△BDG ∽△BCE ∴
1
2
BD DG BC CE == C
B C
B B
C
D E A
D
A
E
D
A
A
D B C
O D
B A
C C
A O
D B
F G
E
A
又∵AE =EC
∴
1
2DG AE = ∵DG ∥AC ∴△AEF ∽△DGF ∴12
DF DG AF AE == ? 巩固练习
1. 如图，梯形ABCD 的中位线EF 分别交对角线BD ，AC 于点M ，N ，AD =1，BC =3，则EF =__________，
MN =__________．
第1题图 第2题图
2. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD :CD =3:2，则AC :AB =（ ）
A ．
32 B ．2
3
C
D
3. 如图，E 是□ABCD 的边CD 上一点，连接AC ，BE 交于点F ．
若DE :EC =1:2，则BF :EF =________．
4. 如图，在锐角三角形ABC 中，高CD ，BE 相交于点H ，则图中与△CEH 相似（除△CEH 自身外）
的三角形有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第4题图 第5题图
5. 如图，D 是AB 的中点，AF ∥CE ，若CG :GA =3:1，BC =8，
则AF =________．
6. 如图，小明在A 时刻测得某树的影长为2 m ，B 时刻又测得该树的影长为8 m ，若两次日照的光
线互相垂直，则树的高度为________．
C
B
N
M
F E D A D A
A
B
D C
E
F
D
B
A
E H
A 时
B 时
A
B D
C
E F
G
7. 如图，在△ABC 中作内接菱形CDEF ，设菱形的边长为a ．
求证：111
AC BC a
+=．
8. 如图，在△ABC 中，AF :FB =2:3，延长BC 至点D ，使得BC =2CD ，求
AE
EC
的值．
9. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 上的点，若AF ⊥BE ，垂足为F ．求
证：∠BFD =∠C ．
F
E
C
D
B
A
A
B
E
F
E
F
C
D
A
10. 如图，一同学在某时刻测得1 m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6 m ，同一时刻测量旗杆的影子
长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2 m ，留在墙上的影子高为1 m ，则旗杆的高度是_________．
第10题图 第11题图
11. 如图，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，
量得CD =4 m ，BC =10 m ，CD 与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m ，则电线杆的高度为_________．
12. 如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB ，B 是CD 的中点，且CD 是水平的．在阳光的照射下，塔
影DE 留在坡面上，已知铁塔底座宽CD =14 m ，塔影长DE =36 m ，小明和小华的身高都是1.6 m ，小明站在点E 处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE 方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4 m ，2 m ，那么塔高AB=_________．
第12题图 第13题图
13. 某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.4 m ，
同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 m ，一级台阶高为0.3 m ，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4 m ，则树高为_________．
? 思考小结
1. 相似基本模型除了图形本身往往有公共角、对顶角相等之外，还需要满足一些其他特征，这些特
征能够帮助我们快速识别模型．
①平行线，往往配合对顶角相等（X 型）、有公共角（A 型）②一组角对应相等，往往配合对顶角相等（X 型）、有公共角（A 型）
③多直角结构，往往利用互余关系得到角相等后，配合有公共角（母子型）
2. 影子上墙问题的常见处理方法：推墙法、砍树法、抬高地面法，这三种方法的实质都是构造三角
形相似，在构造的时候，我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角．
【参考答案】 ? 要点回顾
DE ∥BC ，B AED ∠=∠，B ACD ∠=∠
AC ∥BD ，B C ∠=∠，AD 是Rt ABC △斜边上的高
? 巩固练习
1. 2，1
2. D
3. 3:2
4. C
5. 4
6.
4 m
7. 证明略 8. 2 9. 证明略 10. 8 m
11. (7+m 12. 20 m 13. 11.8 m