(完整版)历年全国卷高考数学真题汇编学生版
全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 （2019全国2卷文）8．若x1=4，x2=4是函数f(x)=sinx(>0)两个相邻的极值点，则= A．2 B．32 C．1 D．12
（2019全国2卷文）11．已知a∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．15 B．55 C．33 D．255 （2019全国2卷文）15.ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________. （2019全国1卷文）15．函数3π()sin(2)3cos2fxxx的最小值为___________． （2019全国1卷文）7．tan255°=（ ） A．－2－3 B．－2+3 C．2－3 D．2+3
（2019全国1卷文）11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知CcBbAasin4sinsin ，41cosA，则bc=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3 （2019全国3卷理）18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsin2ACabA． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且1c，求△ABC面积的取值范围．
（2019全国2卷理）15．ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc.若π6,2,3bacB，则ABC△的面积为_________．
（2019全国2卷理）9．下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是 A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│ （2019全国2卷理）10．已知α∈(0，2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A．15 B．55 C．33 D．255 （2019全国1卷理）17.VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC．
（1）求A； （2）若22abc，求sinC．
（2019全国1卷理）11.关于函数()sin|||sin |fxxx有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（2,）单调递增 ③f(x)在[,]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③
（2018全国3卷文）11.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若ABC
的面积
为2224abc，则C( )
A．2 B．3 C．4 D．6 （2018全国3卷文）6.函数2tan1tanxfxx的最小正周期为( )
A．4 B．2 C． D．2 （2018全国3卷文）4.若1sin3，则cos2( ) A．89 B．79 C．79 D．89 （2018全国2卷理）15. 已知，，则__________． （2018全国2卷理）10. 若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. （2018全国2卷理）6. 在中，，，，则 A. B. C. D. （2018全国I卷理）17．（12分）
在平面四边形ABCD中，90ADCo，45Ao，2AB，5BD. （1）求cosADB； （2）若22DC，求BC
（2018全国I卷理）16．已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是_____________． （2018全国I卷文）16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为 ． （2018全国I卷文）11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（ ）
A． B． C． D．1 （2018全国I卷文）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（ ） A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3 B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4 C.f（x）的最小正周期为2π，最大值为3 D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
1（2017全国I卷9题）已知曲线1:cosCyx，22π:sin23Cyx，则下面结论正确的
是（） A．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单
位长度，得到曲线2C
B．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个
单位长度，得到曲线2C
C．把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单
位长度，得到曲线2C
D．把1C上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个
单位长度，得到曲线2C
2 （2017全国I卷17题）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC△
的面积为23sinaA． （1）求sinsinBC； （2）若6coscos1BC，3a，求ABC△的周长．
3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分） ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc ,已知2sin()8sin2BAC．
(1)求cosB (2)若6ac , ABC面积为2,求.b
4 （2017全国卷3理）17．（12分） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin3cos0AA，27a，2b．
（1）求c； （2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD△的面积．
5 （2017全国卷文1）14 已知π(0)2a，,tan α=2，则πcos()4=__________。
6.（2017全国卷2 文） 3.函数π()sin(2)3fxx的最小正周期为 A.4π B.2π C. π D.π2 7（2017全国卷2文）13.函数()2cossinfxxx的最大值为 ________。 8（2017全国卷2文）16.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,若2coscoscosbcBaCcA,则B
9（2017全国卷3文） 4．已知4sincos3，则sin2=（ ）
A．79 B．29 C． 29 D．79 10 （2017全国卷3文）6．函数f(x)=15sin(x+3)+cos(x−6)的最大值为（ ） A．65 B．1 C．35 D．15 7．函数y=1+x+2sinxx的部分图像大致为（ ）
A B D． C D 【答案】D
1、（2016全国I卷12题）已知函数ππ()sin()(0),24fxx+x，为()fx的
零点，π4x为()yfx图像的对称轴，且()fx在π5π()1836，单调，则的最大值为 （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 2、（2016全国I卷17题）（本小题满分12分） ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos(coscos).CaB+bAc （I）求C； （II）若7,cABC△的面积为332，求ABC△的周长．
3、（2015全国I卷2题）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A）32 （B）32 （C）12 （D）12
4、（2015全国I卷8题） 函数()fx=cos()x的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为 (A)（错误!未找到引用源。）,k错误!未找到引用源。 (b)（错误!未找到引用源。）,k错误!未找到引用源。 (C)（错误!未找到引用源。）,k错误!未找到引用源。 (D)（错误!未找到引用源。）,k错误!未找到引用源。
5、（2015全国I卷16题）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是
6. （2014全国I卷8题）设(0,)2，(0,)2，且1sintancos，则 A.32 B.22 C.32 D.22
7、（2014全国I卷16题）已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，a=2，且 (2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为 .
8、（2013全国I卷15题）设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______ 9、（2013全国I卷17题）（本小题满分12分） 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
(1)若PB=12，求PA； (2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
10、（2016全国II卷7题）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图
象的对称轴为 （A）ππ26kxkZ （B）ππ26k
xkZ
（C）ππ212Zkxk （D）ππ212Zkxk
11、（2016全国II卷9题）若π3cos45，则sin2= （A）725 （B）15 （C）15 （D）725
12、（2016全国II卷13题）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4cos5A，
5cos13C，1a，则b
．
13、（2015全国II卷17题）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。
(Ⅰ)求CBsinsin;
(Ⅱ) 若AD=1，DC=22求BD和AC的长.
14、（2014全国II卷4题）钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 1
15、（2014全国II卷14题）函数sin22sincosfxxx的最大值为_________.
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(数列)汇编【2023年真题】1. （2023·新课标I 卷 第7题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列：乙：{}n sn为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2. （2023·新课标II 卷 第8题） 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S = ( ) A. 120B. 85C. 85-D. 120-3. （2023·新课标I 卷 第20题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且 1.d >令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和.(1)若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式; (2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求.d4. （2023·新课标II 卷 第18题）已知为等差数列，，记n S ，n T 分别为数列，的前n 项和，432S =，316.T =(1)求的通项公式；(2)证明：当5n >时，n S .n T >【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第17题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)证明：121112.na a a +++< 6.（2022·新高考II 卷 第17题）已知{}n a 为等差数列，{}nb 为公比为2的等比数列，且223344.a b a b b a -=-=-(1)证明：11;a b =(2)求集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素个数.【2021年真题】7.（2021·新高考II 卷 第12题）（多选）设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ，则( ) A.()()2n n ωω=B. ()()231n n ωω+=+C. ()()8543n n ωω+=+D. ()21nn ω-=8.（2021·新高考I 卷 第16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____________________；如果对折*()n n N ∈次，那么12n S S S ++= __________2dm . 9.（2021·新高考I 卷 第17题）已知数列{}n a 满足11a =，，记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； 求{}n a 的前20项和.(1)(2)10.（2021·新高考II 卷 第17题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244.a a S =(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求使n n S a >成立的n 的最小值．【2020年真题】11.（2020·新高考I 卷 第14题、II 卷 第15题）将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{n a }，则{}n a 的前n 项和为__________.12.（2020·新高考I 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8.a a a +==(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100.S13.（2020·新高考II 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38.a =(1)求{}n a 的通项公式；(2)求1223a a a a -+…11(1).n n n a a -++-参考答案1. （2023·新课标I 卷 第7题） 解：方法1:为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1(1)2n n n S na d -=+，111222n S n d d a d n a n -=+=+-，112n n S S dn n +-=+， 故{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件，， 反之，{}n Sn为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t 即1(1)n nna S t n n +-=+，故1(1)n n S na t n n +=-⋅+故1(1)(1)n n S n a t n n -=--⋅-，2n …两式相减有：11(1)22n n n n n a na n a tn a a t ++=---⇒-=，对1n =也成立，故{}n a 为等差数列， 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选.C 方法2:因为甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为.d 即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，故{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，乙：{}n S n为等差数列.即11n n S S D n n +-=+，1(1).n SS n D n =+-即1(1).n S nS n n D =+-当2n …时，11(1)(1)(2).n S n S n n D -=-+-- 上两式相减得：112(1)n n n a S S S n D -=-=+-， 所以12(1).n a a n D =+-当1n =时，上式成立．又1112(2(1))2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数.所以{}n a 为等差数列． 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选C . 2. （2023·新课标II 卷 第8题）解：2S ，42S S -，64S S -，86S S -成等比数列，242224264264262(1)55(21)521S S q S q S S S q S S q S S S⎧-=⎧+=-⎪-==+⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎩从而计算可得24681,5,21,85S S S S =-=-=-=- 故选.C3. （2023·新课标I 卷 第20题）解：因为21333a a a =+，故3132d a a d ==+，即1a d =，故n a nd =，所以21n n n n b nd d++==，(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d +=，又3321S T +=，即34362122d d ⨯⨯+=，即22730d d -+=，故3d =或1(2d =舍)， 故{}n a 的通项公式为：3.n a n =(2)方法一：(基本量法)若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+，即11123123422a d a a d⨯⨯⨯⨯=+++，即2211320a a d d -+=，所以1a d =或12;a d =当1a d =时，n a nd =，1n n b d +=，故(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d+=，又999999S T -=， 即99100991029922d d ⋅⋅-=，即250510d d --=，所以5150d =或1(d =-舍); 当12a d =时，(1)n a n d =+，n n b d=，故(3)2n n n d S +=，(1)2n n n T d +=，又999999S T -=，即99102991009922d d ⋅⋅-=，即251500d d --=，所以50(51d =-舍)或1(d =舍); 综上：51.50d = 方法二：因为{}n a 为等差数列且公差为d ，所以可得1n a dn a d =+-，则211(1)n n n n nb dn a d dn a d++⋅==+-+- 解法一：因为{}n b 为等差数列，根据等差数列通项公式可知n b 与n 的关系满足一次函数，所以上式中的分母“1dn a d +-”需满足10a d -=或者11da d=-，即1a d =或者12;a d = 解法二：由211(1)n n n n nb dn a d dn a d ++⋅==+-+-可得，112b a =，216b a d =+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以满足1322b b b +=，即111212622a a d a d+=⋅++，两边同乘111()(2)a a d a d ++化简得2211320a a d d -+=，解得1a d =或者12;a d =因为{}n a ，{}n b 均为等差数列，所以995099S a =，995099T b =，则999999S T -=等价于50501a b -=， ①当1a d =时，n a dn =，1(1)n b n d =+，则505051501a b d d-=-=，得 250510(5051)(1)0d d d d --=⇒-+=，解得5150d =或者1d =-，因为1d >，所以51;50d =②当12a d =时，(1)n a d n =+，1n b n d =，则505050511a b d d-=-=，化简得 251500(5150)(1)0d d d d --=⇒+-=，解得5051d =-或者1d =，因为1d >，所以均不取; 综上所述，51.50d =4. （2023·新课标II 卷 第18题） 解：(1)设数列的公差为d ，由题意知：，即，解得52(1)2 3.n a n n ∴=+-=+(2)由(1)知23n a n =+，，212121n n b b n -+=+，当n 为偶数时，当n 为奇数时，22113735(1)(1)4(1)652222n n n T T b n n n n n ++=-=+++-+-=+-， ∴当n 为偶数且5n >时，即6n …时，22371(4)(1)022222n n n nT S n n n n n n -=+-+=-=->， 当n 为奇数且5n >时，即7n …时， 22351315(4)5(2)(5)0.22222n n T S n n n n n n n n -=+--+=--=+-> ∴当5n >时，n S .n T >5.（2022·新高考I 卷 第17题）解：1112(1)(1)33n n S S n n a a +=+-=，则23n n n S a +=①，1133n n n S a +++∴=②; 由②-①得：111322;33n n n n n a n n n a a a a n ++++++=-⇒=∴当2n …且*n N ∈时，13211221n n n n n a a a a aa a a a a ---=⋅⋅ 1543(1)(1)1232122n n n n n n n a n n +++=⋅⋅⋅=⇒=-- ， 又11a =也符合上式，因此*(1)();2n n n a n N +=∈ 1211(2)2((1)1n a n n n n ==-++， 1211111111112(2(12122311n a a a n n n ∴+++=-+-++-=-<++ ， 即原不等式成立.6.（2022·新高考II 卷 第17题） 解：(1)设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b -=-，知1111224a d b a d b +-=+-，故12d b = 由2244a b b a -=-，知111128(3)a d b b a d +-=-+，故11124(3);a d b d a d +-=-+故1112a d b d a +-=-，整理得11a b =，得证.(2)由(1)知1122d b a ==，由1k m b a a =+知：11112(1)k b a m d a -⋅=+-⋅+即111112(1)2k b b m b b -⋅=+-⋅+，即122k m -=，因为1500m 剟，故1221000k -剟，解得210k 剟， 故集合1{|,1500}k m k b a a m =+剟中元素的个数为9个. 7.（2021·新高考II 卷 第12题）（多选）解：对于A 选项，010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，， 则12101122222kk k k n a a a a +-=⋅+⋅++⋅+⋅ ，，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，，而0120212=⋅+⋅，则，即，B 选项错误；对于C 选项，34302340101852225121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 32k k a ++⋅，所以，，23201230101432223121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 22k k a ++⋅，所以，，因此，，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n --=+++ ，故，D 选项正确.故选.ACD8.（2021·新高考I 卷 第16题）解：对折3次时，可以得到2.512dm dm ⨯，56dm dm ⨯，103dm dm ⨯，20 1.5dm dm ⨯四种规格的图形. 对折4次时，可以得到2.56dm dm ⨯，1.2512dm dm ⨯，53dm dm ⨯，10 1.5dm dm ⨯，200.75dm dm ⨯五种规格的图形.对折3次时面积之和23120S dm =，对折4次时面积之和2475S dm =，即12402120S ==⨯，2180360S ==⨯，3120430S ==⨯，475515S ==⨯，……得折叠次数每增加1，图形的规格数增加1，且()*12401,2nn S n n N ⎛⎫=+⨯∈ ⎪⎝⎭，121111240[234(1)]2482n n S S S n ∴++=⨯⨯+⨯+⨯++⋅+记231242n n n T +=+++ ，则112312482n n n T ++=+++ ， 11111111(224822n n n n n n T T T ++-==++++-113113322222n n n n n ++++=--=-， 得332n nn T +=-，123240(3)2n n n S S S +∴++=⨯-， 故答案为5；3240(3).2n n +⨯-9.（2021·新高考I 卷 第17题）解：⑴12b a =，且21+1=2a a =，则1=2b ， 24b a =，且4321215a a a =+=++=，则25b =；1222121213n n n n n b a a a b +++==+=++=+，可得13n n b b +-=，故{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列； 故()21331n b n n =+-⨯=-.数列{}n a 的前20项中偶数项的和为2418201210109=102+3=1552a a a ab b b ⨯++++=+++⨯⨯ ， 又由题中条件有211a a =+，431a a =+， ，20191a a =+， 故可得n a 的前20项的和10.（2021·新高考II 卷 第17题）解：(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则3335,0a a a =∴=， 设等差数列的公差为d ，从而有22433()()a a a d a d d =-+=-，412343333(2)()()2S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，从而22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：*3(3)26().n a a n d n n N =+-=-∈(2)由数列的通项公式可得1264a =-=-，则2(1)(4)252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-， 则不等式n n S a >即2526n n n ->-，整理可得(1)(6)0n n -->， 解得1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.(2)11.（2020·新高考I 卷 第14题、II 卷 第15题）解：数列 的首项是1，公差为2的等差数列； 数列 的首项是1，公差为3的等差数列； 公共项构成首项为1 ，公差为6的等差数列; 故 的前n 项和S n 为： .故答案为232.n n -12.（2020·新高考I 卷 第18题）解：(1)设等比数列的公比为q ，且1q >，2420a a += ，38a =，，解得舍)或，∴数列{}n a 的通项公式为2;n n a =(2)由(1)知12a =，24a =，38a =，416a =，532a =，664a =，7128a =，则当1m =时，10b =，当2m =时，21b =， 以此类推，31b =，45672b b b b ====，815...3b b ===，1631...4b b ===， 3263...5b b ===，64100...6b b ===， 10012100...S b b b ∴=+++0122438416532637480.=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=13.（2020·新高考II 卷 第18题）解：(1)设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩， {21}n -{32}n -{}n a1q > ，122a q =⎧∴⎨=⎩， 1222.n n n a -∴=⋅=1223(2)a a a a -+…11(1)n n n a a -++- 35792222=-+-+…121(1)2n n -++-⋅，322322[1(2)]82(1).1(2)55n n n +--==----。
集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第2题
6．(2021年新高考Ⅰ卷·第1题)设集合 ， ，则 ()
A． B． C． D．
【答案】B
解析:由题设有 ，故选B．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第1题
7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第1题)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()
【解析】 或 ， ，
故 ，故选A．
【点评】本题主要考查一元二次不等式，一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题．
本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第1题
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第1题
11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第2题)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=()
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： ．
A．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
解析：由题意可得： ，则 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)已知集合 ， ，则 中元素的个数为()
十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题16 选修4-5不等式选讲(学生版)
专题16 选修4-5不等式选讲【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知()11f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.9．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤.12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2016高考新课标Ⅰ，理24）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )=|x +1|−|2x −3|.（Ⅰ）画出y =f (x )的图象；（Ⅰ）求不等式|f (x )|>1的解集．14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））选修4-5：不等式选讲已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ； （Ⅰ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标））已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））选修4-5不等式选讲设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >>；（Ⅰ>是a b c d -<-的充要条件．18．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若且 （I ）求的最小值； （II ）是否存在，使得？并说明理由.19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．20．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g （x ）＝x ＋3．（1）当a ＝－2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；（2）设a ＞－1，且当xⅠ1,22a ⎛⎫-⎪⎝⎭时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．21．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅰ）2221a b c b c a++≥.22．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））已知函数()f x =2x a x ++-. (Ⅰ)当3a =-时，求不等式()f x ≥3的解集；(Ⅰ) 若()f x ≤4x -的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.（命题意图）本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.。
函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
专题02函数
一、选择题
1．(2022年全国乙卷理科·第12题)已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 ()
A． B． C． D．
2．(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数 的定义域为R，且 ，则 ()
A． B． C．0D．1
A． B． C． D．
12．(2021年高考全国甲卷理科·第4题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为()( )
A．1．5B．1．2C．0．8D．0．6
27．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题)函数 的图象大致为()
A． B． C． D．
24．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题)函数 在 的图象大致为()
25．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题)函数 的图象大致为()
26．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题)已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 ()
A． B．0C．2D．50
13．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)若 ，则()
A． B． C． D．
14．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则()
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ） A ．{}1,3,4 B ．{}2,3,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}0,1,2,3,4,93．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}0,1,2 C ．{}2- D ．{}25．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ） A ．{1,2}- B ．{1,2} C ．{1,4} D ．{1,4}- 6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ） A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1,2}8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ） A ．{}02x x ≤< B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,911．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ） A ．{}1,4,9 B ．{}3,4,9 C ．{}1,2,3 D ．{}2,3,52．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a c C ．{},b d D ．{},,,a b c d考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-= ”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2yxx y +=-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n S n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x ∀∈R ，20x ≥参考答案考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-【答案】B【详细分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【答案详解】因为A B ⊆，则有：若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.故选：B.2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详细分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【答案详解】当0a =时，集合{}1,0M =，{}1,0,1N =-，可得M N ⊆，满足充分性，若M N ⊆，则0a =或1a =-，不满足必要性，所以“0a =”是“M N ⊆”的充分不必要条件，故选：A.考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ）A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,9【答案】C 【详细分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【答案详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：C3．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 【答案】A【详细分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【答案详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣， 根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C 【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--， 所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．5．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}- 【答案】B【详细分析】方法一：求出集合B 后可求A B ⋂.【答案详解】[方法一]：直接法因为{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B = ，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法=1x -代入集合{}11B x x =-≤，可得21≤，不满足，排除A 、D ；4x =代入集合{}11B x x =-≤，可得31≤，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ）A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B = ．故选：A.8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详细分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【答案详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T ?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【详细分析】详细分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【答案详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【详细分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【答案详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=， 故选：B.11．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【详细分析】根据交集定义运算即可 【答案详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.【名师点评】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 【答案】B【详细分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【答案详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <【答案】C【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案.【答案详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}【答案】D【详细分析】利用并集的定义可得正确的选项.【答案详解】{}1,2,4,6A B = ，故选：D.3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤【答案】B【详细分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【答案详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤ .故选：B.4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【详细分析】根据集合并集概念求解.【答案详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选：C【名师点评】本题考查集合并集，考查基本详细分析求解能力，属基础题.考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,5【答案】D【详细分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【答案详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =， 则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D 2．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U【答案】A【详细分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【答案详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ） A ．()U M N ð B ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð【答案】A【详细分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【答案详解】由题意可得{}|2M N x x =< ，则(){}|2U M N x x =≥ ð，选项A 正确； {}|1U M x x =≥ð，则{}|1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}|11M N x x =-<< ，则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥，选项C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥，则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥，选项D 错误；故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ） A ．2M ∈ B ．3M ∈ C ．4M ∉ D ．5M ∉【答案】A【详细分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【答案详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--【答案】D【详细分析】利用补集的定义可得正确的选项．【答案详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =-- ð，故选：D ．6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【详细分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【答案详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð， 故选：B.7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a cC ．{},b dD ．{},,,a b c d【答案】C【详细分析】利用补集概念求解即可. 【答案详解】{},U M b d =ð. 故选：C考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件 【答案】C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【答案详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C.3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ， 若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ， 例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】解法一：由2xyy x +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x yy x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可. 【答案详解】解法一： 因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-， 所以112x y y yy x y y -+=+=--=--， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=. 所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-， 所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x +=-”的充要条件. 故选：C5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【答案详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠， 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【详细分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【答案详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立； 由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【答案详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+， 因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+， 即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立， 于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【详细分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【答案详解】因为22sin cos 1x x +=可得： 当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【详细分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【答案详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >， 但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ．【名师点评】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题 D ．p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【答案详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题， 综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B.2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x > D ．x ∀∈R ，20x ≥【答案】D【详细分析】本题可通过43>、12<、45<、cos 1≤x 、20x ≥得出结果. 【答案详解】A 项：因为43>，所以10>且34>是假命题，A 错误； B 项：根据12<、45<易知B 错误； C 项：由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误； D 项：2x 恒大于等于0，D 正确， 故选：D.。
2020高考数学全国真题及答案汇编
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 I
本试卷 5 页, 23 题 (含选考题). 全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定 位置. 2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效. 4. 选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答 题区域内, 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交.
4
√ D： 5 + 1
2
题3图 4. 已知 A 为抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 上一点, 点 A 到 C 的焦点的距离为 12, 到 y 轴的距离为 9, 则 p =( ).
A： 2
B： 3
C： 6
D： 9
2020 年高考数学全国 I 卷理科真题
2
5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x (单位: ◦C) 的关系, 在 20 个不同的温度条 件下进行种子发芽实验, 由实验数据 xi, yi (i = 1, 2, · · · , 20) 得到下面的散点图:
目录
2020 年高考数学全国 I 卷理科真题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 2020 年高考数学全国 I 卷理科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 2020 年高考数学全国 I 卷文科真题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 2020 年高考数学全国 I 卷文科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20 2020 年高考数学全国 II 卷理科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28 2020 年高考数学全国 II 卷理科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 32 2020 年高考数学全国 II 卷文科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 40 2020 年高考数学全国 II 卷文科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 44 2020 年高考数学全国 III 卷理科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51 2020 年高考数学全国 III 卷理科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 55 2020 年高考数学全国 III 卷文科真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 63 2020 年高考数学全国 III 卷文科真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 67 2020 年新高考数学 I 卷真题· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 74 2020 年新高考数学 I 卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 79 2020 年新高考数学 II 卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 87 2020 年新高考数学 II 卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 92 2020 年高考数学北京卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 100 2020 年高考数学北京卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 104 2020 年高考数学天津卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 112 2020 年高考数学天津卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 116 2020 年高考数学上海卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 124 2020 年高考数学上海卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 127 2020 年高考数学浙江卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 135 2020 年高考数学浙江卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 139 2020 年高考数学江苏卷真题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 146 2020 年高考数学江苏卷真题解析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 151
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编【2023年真题】1. （2023·新高考II 卷 第6题） 已知函数()ln x f x ae x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为（ ） A. 2eB. eC. 1e -D. 2e -2.（2023·新课标I 卷 第11题）（多选） 已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则（ ） A. (0)0f = B. (1)0f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点3.（2023·新课标II 卷 第11题）（多选）若函数2()ln (0)b cf x a x a x x=++≠既有极大值也有极小值，则( ) A. 0bc >B. 0ab >C. 280b ac +>D. 0ac < 4. （2023·新课标I 卷 第19题） 已知函数(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，3()2ln a+.2f x >5.（2023·新高考II 卷 第22题）(1)证明：当01x <<时，2x x sinx x -<<；(2)已知函数2()(1)f x cosax ln x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.【2022年真题】6.（2022·新高考I 卷 第7题）设0.10.1a e =，19b =，ln 0.9c =-，则( ) A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a c b <<7.（2022·新高考I 卷 第10题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则( )A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线8.（2022·新高考I 卷 第15题）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是__________. 9.（2022·新高考II 卷 第15题）曲线ln ||y x =经过坐标原点的两条切线方程分别为__________，__________.10.（2022·新高考I 卷 第22题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值.(1)求a ；(2)证明：存在y b =直线，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.11.（2022·新高考II 卷 第22题）已知函数().ax x f x xe e =-(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性;(2)当0x >时，()1f x <-，求实数a 的取值范围; (3)设*n N ∈ln(1).n ++>+【2021年真题】12.（2021·新高考I 卷 第7题）若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<13.（2021·新高考I 卷 第15题）函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为__________. 14.（2021·新高考II 卷 第16题）已知函数，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.15.（2021·新高考I 卷 第22题）已知函数()(1ln ).f x x x =-(1)讨论()f x 的单调性.(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112.e a b<+< 16.（2021·新高考II 卷 第22题）已知函数2()(1).x f x x e ax b =--+(1)讨论()f x 的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点.①21,222e a b a <>…； ②10,2.2a b a <<…【2020年真题】17.（2020·新高考I 卷 第21题、II 卷 第22题）已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+(1)当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若()1f x …，求a 的取值范围.参考答案1. （2023·新高考II 卷 第6题） 解：由题意，1()0xf x ae x'=-…对(1,2)x ∀∈恒成立， 1x a xe ∴…，由于1()xg x xe =在(1,2)单调递减，1()(1)g x g e∴<=，1.a e ∴…故答案选：.C2.（2023·新课标I 卷 第11题）（多选）解：选项A ，令0x y ==，则(0)0(0)0(0)f f f =⨯+⨯，则(0)0f =，故A 正确; 选项B ，令1x y ==，则(1)1(1)1(1)f f f =⨯+⨯，则(1)0f =，故B 正确; 选项C ，令1x y ==-，则22(1)(1)(1)(1)(1)f f f =-⨯-+-⨯-，则(1)0f -=， 再令1y =-，则22()(1)()(1)f x f x x f -=-+-，即()()f x f x -=，故C 正确; 选项D ，不妨设()0f x =为常函数，且满足原题22()()()f xy y f x x f y =+， 而常函数没有极值点，故D 错误. 故选：.ABC3.（2023·新课标II 卷 第11题）（多选） 解：因为2()ln (0)b cf x a x a x x=++≠，所以定义域为(0,)+∞， 得232()ax bx c f x x'--=，由题意知220ax bx c --=有两个不相等的正解12,.x x 则，易得0.bc <故选.BCD4. （2023·新课标I 卷 第19题） 解：(1)()1x f x ae '=-，当0a =时()10f x '=-<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减， 当0a <时0x ae <，()0f x '<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，当0a >时，令()0f x '=，=-ln x a ，(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减. (ln ,)x a ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增， 故当0a …时()f x 在(,)-∞+∞单调递减，当0a >时， () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减，在区间(ln ,)a -+∞单调递增.(2)由(1)知当0a >时， () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减，在区间(ln ,)a -+∞单调递增.故，令，221()a g a a -'=，令()0g a '=，因为0a >，故2a =，() g a 在区间(0,2单调递减，在区间(,)2+∞单调递增，，即 >?0,()?>?0a g a 时恒成立， 即min 3()2ln 2f x a >+，即当0a >时，3()2ln a+.2f x > 5.（2023·新高考II 卷 第22题）(1)证明：构造函数2()g x sinx x x =-+，则()12g x cosx x '=-+， 令()()h x g x ='， 则()20h x sinx '=-+>，所以()h x 在(0,1)上单调递增，则()(0)0g x g '>'=，所以()g x 在(0,1)上单调递增，所以()(0)0g x g >=，即2x x sinx -<；构造函数()G x x sinx =-，则()10G x cosx '=->，所以()G x 在(0,1)上单调递增，则()(0)0G x G >=，即sinx x <， 综上，当01x <<时，2x x sinx x -<<；(2)解：由210x ->，得函数()f x 的定义域为(1,1).-又()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以只需考虑区间(0,1).22()1xf x asinax x'=-+-， 令()()F x f x ='，则222222()(1)x F x a cosax x +'=-+-， 其中，①若，记a <<时，易知存在0δ>，使得(0,)x δ∈时，，()f x ∴'在(0,)δ上递增，()(0)0f x f ∴'>'=，()f x ∴在(0,)δ上递增，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.②若，记a <或a >存在0δ'>，使得(,)x δδ∈-''时，，()f x ∴'在(,)δδ-''上递减，注意到(0)0f '=，∴当0x δ-'<<时，当0x δ<<'时，，满足0x =是()f x 的极大值点，符合题意.③若，即a =时，由()f x 为偶函数，只需考虑a =.此时22())1xf x x '=+-，(0,1)x ∈时， 2221()22(1)011x f x x x x x'>-+=->--，()f x ∴在(0,1)上递增， 这与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.综上：a 的取值范围为(,).-∞⋃+∞ 6.（2022·新高考I 卷 第7题）解：0.10.1a e =，0.110.1b =-，ln(10.1)c =--，①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+-， 令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则1()1011x f x x x-'=-=<--， 故()f x 在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即ln ln 0a b -<，所以a b <； ②0.10.1ln(10.1)a c e -=+-， 令()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则1(1)(1)1()11x xxx x e g x xe e x x+--'=+-=--， 令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->， 所以()k x 在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k x k >=，即()0g x '>，所以()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0g g >=，即0a c ->，所以.a c > 故.c a b <<7.（2022·新高考I 卷 第10题）（多选）解：32()1()31f x x x f x x =-+⇒'=-，令()0f x '=得：3x =±，()03f x x '>⇒<-或3x >；()033f x x '<⇒-<<，所以()f x 在(,3-∞-上单调递增，在(,)33-上单调递减，在(,)3+∞上单调递增，所以()f x 有两个极值点(3x =为极大值点，3x =为极小值点)，故A 正确;又((1103939f -=---+=+>，(1103939f =-+=->， 所以()f x 仅有1个零点(如图所示)，故B 错;又3()1()()2f x x x f x f x -=-++⇒-+=，所以()f x 关于(0,1)对称，故C 正确;对于D 选项，设切点00(,)P x y ，在P 处的切线为320000(1)(31)()y x x x x x --+=--， 即2300(31)21y x x x =--+，若2y x =是其切线，则2030312210x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，方程组无解，所以D 错. 8.（2022·新高考I 卷 第15题）解：(1)x y x a e '=++，设切点为00(,)x y ， 故0000(1)x y x a e x =++， 即0000()(1).x x x a e x a e x +=++ 由题意可得，方程(1)x a x x a +=++在(,0)(0,)-∞⋃+∞上有两个不相等的实数根.化简得，20x ax a +-=，240a a =+> ，解得4a <-或0a >，显然此时0不是根，故满足题意. 9.（2022·新高考II 卷 第15题）解：当0x >时，点111(,ln )(0)x x x >上的切线为1111ln ().y x x x x -=- 若该切线经过原点，则1ln 10x -=，解得x e =， 此的切线方程为.x y e=当0x <时，点222(,ln())(0)x x x -<上的切线为()()2221ln y x x x x --=-若该切线经过原点，则2ln()10x --=，解得x e =-， 此时切线方程为.x y e=-10.（2022·新高考I 卷 第22题） 解：(1)由题知()x f x e a '=-，1()g x a x'=-， ①当0a …时，()0f x '>，，()0g x '<，则两函数均无最小值，不符题意; ②当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；()g x 在1(0,a单调递减，在1(,)a +∞单调递增；故min ()(ln )ln f x f a a a a ==-，min 11()()1ln g x g a a==-，所以1ln 1ln a a a a -=-，即1ln 01a a a --=+， 令1()ln 1a p a a a -=-+，则222121()0(1)(1)a p a a a a a +'=-=>++， 则()p a 在(0,)+∞单调递增，又(1)0p =，所以 1.a =(2)由(1)知，()x f x e x =-，()ln g x x x =-，且()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且min min ()() 1.f x g x ==①1b <时，此时min min ()()1f x g x b ==>，显然y b =与两条曲线()y f x =和()y g x = 共有0个交点，不符合题意；②1b =时，此时min min ()()1f x g x b ===，故y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1； ③1b >时，首先，证明y b =与曲线()y f x =有2个交点， 即证明()()F x f x b =-有2个零点，()()1x F x f x e '='=-， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 又因为()0b F b e --=>，(0)10F b =-<，()20b F b e b =->，(令()2b t b e b =-，则()20b t b e '=->，()(1)20)t b t e >=->所以()()F x f x b =-在(,0)-∞上存在且只存在1个零点，设为1x ，在(0,)+∞上存在且只存在1个零点，设为2.x其次，证明y b =与曲线和()y g x =有2个交点， 即证明()()G x g x b =-有2个零点，1()()1G x g x x'='=-， 所以()(0,1)G x 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又因为()0b b G e e --=>，(0)10G b =-<，(2)ln 20G b b b =->，(令()ln 2b b b μ=-，则1()10b bμ'=->，()(1)1ln 20)b μμ>=-> 所以()()G x g x b =-在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为3x ，在(1,)+∞上存在且只存在1个零点，设为4.x再次，证明存在b ，使得23:x x =因为23()()0F x G x ==，所以2233ln x b e x x x =-=-， 若23x x =，则2222ln x e x x x -=-，即2222ln 0x e x x -+=， 所以只需证明2ln 0x e x x -+=在(0,1)上有解即可， 即()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上有零点，因为313312()30e e e eϕ=--<，(1)20e ϕ=->，所以()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上存在零点，取一零点为0x ，令230x x x ==即可， 此时取00x b ex =-则此时存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点， 最后证明1402x x x +=，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列， 因为120304()()()0()()()F x F x F x G x G x G x ====== 所以100()()(ln )F x G x F x ==，又因为()F x 在(,0)-∞上单调递减，10x <，001x <<即0ln 0x <，所以10ln x x =， 同理，因为004()()()xF xG e G x ==，又因为()G x 在(1,)+∞上单调递增，00x >即01x e >，11x >，所以04xx e =，又因为0002ln 0xe x x -+=，所以01400ln 2x x x ex x +=+=，即直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.11.（2022·新高考II 卷 第22题）解：(1)1()(1)()x x x x a f x xe e x e f x xe =⇒=-=-⇒'= 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减; 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.(2)令()()11(0)()(0)0ax x g x f x xe e x g x g =+=-+⇒=厔对0x ∀…恒成立 又()(0)0ax ax x g x e axe e g ''=+-⇒=令()()()()(2)ax ax ax x ax ax x h x g x h x ae a e axe e a e axe e ='⇒'=++-=+-，则(0)21h a '=- ①若(0)210h a '=->，即12a >，00()(0)()(0)limlim 00x x g x g g x h x x ++'→→'-''==>- 所以00,x ∃>使得当时，有()0()0()g x g x g x x'>⇒'>⇒单调递增0()(0)0g x g ⇒>=，矛盾 ②若(0)210h a '=-…，即12a …时，1111ln(1)ln(1)2222()0()x x x x ax ax x ax ax xxx g x e axe e ee eeee g x +++'++=+-=---=⇒剟在[0,)+∞上单调递减，()(0)0g x g =…，符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是1.2a …(3)求导易得12ln(1)t t tt->>令112ln ln(1tn =⇒->⇒>+111231ln(ln()ln(ln(1)12n nk kn k nnn k n==+++⇒>⇒>=⋅=+∑()ln1n++⋅⋅⋅>+，证毕.12.（2021·新高考I卷第7题）解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，易知xxe bex a-=-，整理得：000x x xe b x e ae--+=有两解，令()x x xg x e b xe ae=--+，()()xg x a x e'=-，易知()g x最大值为().g a即，解得bae>，又因为当x趋近正无穷时()0g x<，当x趋近负无穷时，()g x趋近0b-<，则0.b>综上，a0b e<<故选.D13.（2021·新高考I卷第15题）解：已知函数，易知函数定义域为(0,)+∞，①：当1(0,]2x∈时，，所以2()2f xx'=--，在1(0,]2x∈单调递减，②当1(,)2x∈+∞时，，所以22(1)()2xf xx x-'=-=，所以()f x在1(,1]2x∈单调递减，在(1,)x∈+∞单调递增，又因为12ln 2<，所以最小值为1. 故答案为1.14.（2021·新高考II 卷 第16题） 解：由题意，，则，所以点和点，12,xxAM BN k e k e =-=，所以12121,0xx e e x x -⋅=-+=，所以，所以，同理，所以故答案为：15.（2021·新高考I 卷 第22题）(1)解：的定义域为，，由解得1x >， 由解得01x <<， 在上单调递增，在上单调递减；(2)证明：由ln ln b a a b a b -=-可得ln ln 11a b a b b a-=-， 整理得：11lnln 11a b a a b b -=-，即，不妨设1211,x x a b==，且120x x <<，即，即证明122x x e <+<， 由在上单调递增，在上单调递减，且，可得1201x x <<<，()f x ()f x先证明122x x +>， 令，02x <<，，在上单调递增，又1201x x <<< ，，，即，由(1)可知在上单调递减，212x x ∴>-，即122x x +>；下面再证明12x x e +<， 不妨设21,x tx = 则1t >，由可得，化简1ln ln 11t tx t =-- ， 要证12x x e +<，即证，即证，即证，即证， 设，1t >，，令，1t >， ，， 在上单调递减， ，，在上单调递减，()fx，即，12x x e ∴+<，故112.e a b<+< 16.（2021·新高考II 卷 第22题） 解：(1)由函数的解析式可得：， 当0a …时，若，则单调递减，若，则单调递增； 当102a <<时，若，则单调递增，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当12a =时，在R 上单调递增； 当12a >时，若，则单调递增，若，则单调递减， 若，则单调递增；(2)若选择条件①：由于2122e a <…，故212a e <…，则，又((1)0f e=<，由(1)可知函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于212a e <…，故，(0,)x ∈+∞(0,)x ∈+∞结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，()f x 有一个零点. 若选择条件②： 由于102a <<，故021a <<，则，当0b …时，24,42e a ><，，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当0b <时，构造函数，则，当时，单调递减， 当时，单调递增，注意到，故恒成立，从而有：1x e x +…，此时：，当x >，取01x =+，则，即：，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于102a <<，021a <<，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，()f x 有一个零点.17.（2020·新高考I 卷 第21题、II 卷 第22题）(0,)x ∈+∞解：(1)当a e =，()ln 1x f x e x =-+，1(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x'=-='=-=+，所以切线方程为：1(1)(1)y e e x --=--， 即(1)2y e x =-+，所以切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21-e， 所以三角形的面积1222.211S e e =⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+，要使()1f x …，只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+…，即ln 1ln -1ln a x e a x +-+…，即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+…， 令()x g x e x =+，，()g x 单调递增，故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-…， 因为()g x 为增函数， 只需证ln 1ln a x x +-…，即ln ln 1a x x +-…， 设()ln 1h x x x =+-，11()1xh x x x-'=-=， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)0h x h ==，所以ln 0a …，1a …， 即a 的取值范围为[1,).+∞。
2015-2024高考真题 数学 分项汇编 含答案解析(全国通用)13 立体几何角和距离(20页)
专题13 立体几何的空间角与距离小题综合考点01 异面直线所成角及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知正方体1111ABCD A B C D−，则（）A．直线1BC 与1DA所成的角为90︒B．直线1BC与1CA所成的角为90︒C．直线1BC与平面11BB DD所成的角为45︒D．直线1BC与平面ABCD所成的角为45︒2．（2021·全国乙卷）在正方体1111ABCD A B C D−中，P为11B D的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π63．（2018·全国）在正方体1111ABCD A B C D−中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A B C D4．（2017·全国）已知直三棱柱111C CAB−A B中，C120∠AB=，2AB=，1C CC1B==，则异面直线1AB与1CB 所成角的余弦值为（）A B C D 5．（2016·全国）平面α过正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABB A n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A B C D ．136．（2015·浙江）如图，三棱锥A BCD −中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．考点02 线面角及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷）已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．32．（2023·全国乙卷）已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B 5C D ．253．（2022·浙江）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA −=，E ，F 分别是棱11,BC AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ） A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤4．（2022·全国甲卷）在长方体1111ABCD A B C D −中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（ ）A ．2AB AD = B ．AB 与平面11ABCD 所成的角为30︒ C ．1AC CB =D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒5．（2022·全国新Ⅰ卷）已知正方体1111ABCD A B C D −，则（ ） A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C ．直线1BC 与平面11BBD D 所成的角为45︒ D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒6．（2018·浙江）已知四棱锥S ABCD −的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C −−的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤7．（2018·全国）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．8．（2018·全国）在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．9．（2018·全国）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A B C D考点03 二面角及其应用1．（2023·北京）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A ．102m B ．112m C ．117mD ．125m2．（2023·全国乙卷）已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B C D ．253．（2023·全国新Ⅱ卷）（多选）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O −−为45°，则（ ）．A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为C ．AC =D ．PAC △4．（2022·浙江）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA −=，E ，F 分别是棱11,BC AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ） A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤5．（2019·浙江）设三棱锥V ABC −的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B −−的平面角为γ，则（ ） A ．,βγαγ<< B ．,βαβγ<< C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<6．（2018·浙江）已知四棱锥S ABCD −的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C −−的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤7．（2017·浙江）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D–PR–Q ，D–PQ–R ，D–QR–P 的平面角为α,β,γ，则（ ）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α8．（2015·浙江）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD ∆¢，所成二面角A CD B '−−的平面角为α，则（ ）A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥考点04 点面距及其应用1．（2019·全国）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC么P 到平面ABC 的距离为 ．专题13 立体几何的空间角与空间距离及其综合应用小题综合考点01 异面直线所成角及其应用1．（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知正方体1111ABCDAB CD −，则（ ） A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C ．直线1BC 与平面11BBD D 所成的角为45︒ D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒ 【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A 正确； 连接1AC ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥， 因为1B C ⊥1BC ，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确； 连接11AC ，设1111ACB D O =，连接BO ，因为1BB ⊥平面1111DC B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥，因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ，所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角， 设正方体棱长为1，则1C O =1BC =1111sin 2C O C BO BC ∠==，所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30，故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠=，故D 正确. 故选：ABD2．（2021·全国乙卷）在正方体1111ABCD A B C D −中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】D【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ，所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥， 设正方体棱长为2，则111112BC PC D B ===1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D3．（2018·全国）在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 ABCD【答案】C【分析】利用正方体1111ABCD A B C D −中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE∆中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE ，则tan BE EAB AB ∠===故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.4．（2017·全国）已知直三棱柱111C C AB −A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为 ABCD【答案】C【详解】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D −，则所求角为1111,2,BC D BC BD C D AB ∠=====易得22211C D BD BC =+，因此111cos BC BC D C D ∠===C ．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 5．（2016·全国）平面α过正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABBA n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为A B 2CD ．13【答案】A【详解】试题分析：如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为//α平面11CB D ，所以//',//'m m n n ，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ，过1D 作11D E B C ∥，连接11,CE B D ，则CE 为'm ，同理11B F 为'n ，而111,BD CE B FA B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，即为60︒，故,m n ，选A. 【点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.6．（2015·浙江）如图，三棱锥A BCD −中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ． 【答案】78【详解】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.考点02 线面角及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷）已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =AM =进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥−P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V −=，进而可求正三棱锥−P ABC 的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD D =111116693,2322ABCA B C SS =⨯⨯==⨯⨯=111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h −==，解得h =11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AA DN AD AM MN x =--=，可得1DD =结合等腰梯形11BCC B 可得22211622BB DD −⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即()221616433x x +=++，解得3x =， 所以1A A 与平面ABC 所成角的正切值为11tan 1A MA ADAM?=； 解法二：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥−P ABC ， 则1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，因为11113PA A B PA AB ==，则111127P A B C P ABC V V −−=，可知1112652273ABC A B C P ABC V V −−==，则18P ABC V −=， 设正三棱锥−P ABC 的高为d，则11661832P ABC V d −=⨯⨯⨯=，解得d =取底面ABC 的中心为O ，则PO ⊥底面ABC，且AO = 所以PA 与平面ABC 所成角的正切值tan 1POPAO AO∠==. 故选：B.2．（2023·全国乙卷）已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B5CD ．25【答案】C【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接,CE DE ，因为ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE AB ⊥， 又ABD △是等边三角形，则DE AB ⊥，从而CED ∠为二面角C AB D −−的平面角，即150CED ∠=，显然,,CE DE E CE DE ⋂=⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ， 因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ⋂平面ABC CE =， 直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2AB =，则1,CE DE =CDE 中，由余弦定理得：CD == 由正弦定理得sin sin DE CD DCE CED =∠∠，即sin1503sinDCE ∠==显然DCE ∠是锐角，cosDCE ∠==所以直线CD 与平面ABC 故选：C3．（2022·浙江）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA −=，E ，F 分别是棱11,BC AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤【答案】A【分析】先用几何法表示出αβγ，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F 作FP AC ⊥于P ，过P 作PM BC ⊥于M ，连接PE ，则EFP α=∠，FEP β=∠，FMP γ=∠， tan 1PE PE FP AB α==≤，tan 1FP AB PE PE β==≥，tan tan FP FPPM PEγβ=≥=， 所以αβγ≤≤， 故选：A ．4．（2022·全国甲卷）在长方体1111ABCD A B C D −中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30︒，则（ ）A ．2AB AD = B ．AB 与平面11ABCD 所成的角为30︒ C ．1AC CB = D ．1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒【答案】D【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出． 【详解】如图所示：不妨设1,,AB a AD b AA c ===，依题以及长方体的结构特征可知，1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠，1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠，所以11sin 30c b B D B D==，即b c =，12B D c ==a =． 对于A ，AB a =，ADb =，AB =，A 错误；对于B ，过B 作1BE AB ⊥于E ，易知BE ⊥平面11AB C D ，所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠，因为tan c BAE a ∠==30BAE ∠≠，B 错误； 对于C，AC ==，1CB ==，1AC CB ≠，C 错误； 对于D ，1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠，11sin 2CD a DB C B D c ∠===，而1090DB C <∠<，所以145DB C ∠=．D 正确．故选：D ．5．（2022·全国新Ⅰ卷）已知正方体1111ABCD A B C D −，则（ ） A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B ．直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C ．直线1BC 与平面11BBD D 所成的角为45︒ D ．直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒ 【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角， 因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A 正确；连接1AC ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥， 因为1B C ⊥1BC ，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确；连接11AC ，设1111AC B D O =，连接BO ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥， 因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ， 所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角， 设正方体棱长为1，则1C O =1BC 1111sin 2C O C BO BC ∠==， 所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30，故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠=，故D 正确. 故选：ABD6．（2018·浙江）已知四棱锥S ABCD −的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C −−的平面角为3θ，则 A ．123θθθ≤≤ B ．321θθθ≤≤ C ．132θθθ≤≤ D ．231θθθ≤≤【答案】D【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ， 因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.7．（2018·全国）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．【答案】【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.【详解】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB所成角的正弦值为8，因为SAB △的面积为,l所以212l l ⨯==因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为πcos 42l =，因此圆锥的侧面积为2ππ2rl l ==． 【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．8．（2018·全国）在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．【答案】C【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D −，利用题中条件，得到130AC B ∠=，根据2AB =，求得1BC =，可以确定1CC =. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D −中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=，因为2AB =，所以1BC =，从而求得1CC =所以该长方体的体积为22V =⨯⨯ C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.9．（2018·全国）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D 【答案】A【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体1111ABCD A B C D −中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，所以其面积为26S =，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.考点03 二面角及其应用1．（2023·北京）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为（ ）A ．102mB ．112mC ．117mD ．125m【答案】C【分析】先根据线面角的定义求得tan tan EMO EGO ∠=∠，从而依次求EO ，EG ，EB ，EF ，再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图，过E 做EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接,OG OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以tan tan EMO EGO ∠=∠.因为EO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以EO BC ⊥， 因为EG BC ⊥，,EO EG ⊂平面EOG ，EO EG E ⋂=， 所以BC ⊥平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，. 同理：OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形， 所以由10BC =得5OM =，所以EO 5OG =，所以在直角三角形EOG 中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB ，又因为55255515EF AB =−−=−−=， 所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=. 故选：C2．（2023·全国乙卷）已知ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD △为等边三角形，若二面角C AB D −−为150︒，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A ．15B 5C D ．25【答案】C【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接,CE DE ，因为ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE AB ⊥， 又ABD △是等边三角形，则DE AB ⊥，从而CED ∠为二面角C AB D −−的平面角，即150CED ∠=，显然,,CE DE E CE DE ⋂=⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ， 因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ⋂平面ABC CE =， 直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2AB =，则1,CE DE =CDE 中，由余弦定理得：CD ==由正弦定理得sin sin DE CD DCE CED =∠∠，即sin1503sin DCE ∠==显然DCE ∠是锐角，cosDCE ∠==所以直线CD 与平面ABC 故选：C3．（2023·全国新Ⅱ卷）（多选）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O −−为45°，则（ ）．A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为C．AC =D ．PAC △【答案】AC【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A 、B 选项的正确性，利用二面角的知识判断C 、D 选项的正确性.【详解】依题意，120APB ∠=︒，2PA =，所以1,OP OA OB ==A 选项，圆锥的体积为21π1π3⨯⨯⨯=，A 选项正确；B 选项，圆锥的侧面积为π2=，B 选项错误；C 选项，设D 是AC 的中点，连接,OD PD ，则,AC OD AC PD ⊥⊥，所以PDO ∠是二面角P AC O −−的平面角， 则45PDO ∠=︒，所以1OP OD ==，故AD CD ==AC =C 选项正确；D 选项，PD ==122PACS =⨯=，D 选项错误. 故选：AC.4．（2022·浙江）如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA −=，E ，F 分别是棱11,BC AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ）A ．αβγ≤≤B ．βαγ≤≤C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤【答案】A【分析】先用几何法表示出αβγ，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F 作FP AC ⊥于P ，过P 作PM BC ⊥于M ，连接PE ，则EFP α=∠，FEP β=∠，FMP γ=∠， tan 1PE PE FP AB α==≤，tan 1FP AB PE PE β==≥，tan tan FP FPPM PEγβ=≥=， 所以αβγ≤≤， 故选：A ．5．（2019·浙江）设三棱锥V ABC −的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B −−的平面角为γ，则 A ．,βγαγ<< B ．,βαβγ<< C ．,βαγα<< D ．,αβγβ<<【答案】B【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C −−的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC −为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin 33α=⇒α=β=γ=，故选B.【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 6．（2018·浙江）已知四棱锥S ABCD −的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C −−的平面角为3θ，则 A ．123θθθ≤≤ B ．321θθθ≤≤ C ．132θθθ≤≤ D ．231θθθ≤≤【答案】D【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ， 因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.7．（2017·浙江）如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D–PR–Q ，D–PQ–R ，D–QR–P 的平面角为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【详解】设O 为三角形ABC 中心，则正四面体D –ABC 的顶点在底面ABC 的投影为O ，过O 分别作PR 、PQ 、RQ 的垂线，垂足分别为E 、F 、G ，连结DE 、DF 、DG ，则有=,=,=,DEO DFO DGO αβγ∠∠=∠所以tan =,tan =,tan =OD OD ODOE OF OGαβγ 只需比较OE 、OF 、OG 的大小：在底面三角形ABC 中，建立如图示的坐标系，不妨设2AB =,则()()(1,0,1,0,,A B C −()120,0,,,33P Q R ⎛⎛− ⎝⎭⎝⎭所以直线RP 的方程为2y x =，直线PQ 的方程为y =，直线RQ 的方程为39y x =+,由点到直线的距离公式，可求出：1,,21393OE OF OG ===所以OE OG OF >>,所以tan tan tan αγβ<<，有α,β,γ均为锐角，所以α<γ<β. 故选：B【点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．8．（2015·浙江）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD ∆¢，所成二面角A CD B '−−的平面角为α，则A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥【答案】B【详解】设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=， 在A DB ∆'中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB +−+−−∠===⨯'⨯''⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP ∠'就是二面角A CD B '−−的平面角，∴A NP α∠'=， 在Rt A ND ∆'中，cos cos DN A D A DC θ=∠=''，，同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==， 显然BP ⊥面A NP '，故BP A P ⊥'，在Rt A BP ∆'中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ=−==−'−'，在A NP ∆'中，222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α'''∠'+−==⨯2222sin sin (4cos )2sin sin t θθθθθ+−−=⨯ 222222222222cos 2cos 1cos cos 2sin 2sin sin sin sin t t A DB θθθθθθθθ+−−==+=∠+'，∵210sin θ>，22cos 0sin θθ≥，∴cos cos A DB α≥∠'（当2πθ=时取等号）， ∵，[0,]A DB π∠∈'，而cos y x =在[0,]π上为递减函数，∴A DB α≤∠'，故选B.考点：立体几何中的动态问题考点04 点面距及其应用1．（2019·全国）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC么P 到平面ABC 的距离为 ．【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P 在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．【详解】作,PD PE 分别垂直于,AC BC ，PO ⊥平面ABC ，连CO ，已知,CD PD CD PO ⊥⊥，=PD OD P ，CD \^平面PDO ，OD ⊂平面PDO ，CD OD ∴⊥PD PE =∵2PC =．sin sin PCE PCD ∴∠=∠=，60PCB PCA ︒∴∠=∠=，PO CO ∴⊥，CO 为ACB ∠平分线，451,OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===2PC =，PO ∴==【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(概率统计)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(概率统计)汇编【2023年真题】1.（2023·新课标II 卷 第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有 A. 4515400200C C ⋅种B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种2. （2023·新课标I 卷 第9题）（多选）一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则( ) A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差3.（2023·新课标II 卷 第12题）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1;α-发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1.β-考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码;三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D. 当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率4. （2023·新课标I 卷 第21题）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率. (2)求第i 次投篮的人是甲的概率.(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且111(1)1(0)P X P X q ==-==，1i =，2， ，n ，则11().nni i i i E X q ===∑∑记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ，求().E Y5.（2023·新课标II 卷 第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为().q c 假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()().f c p c q c =+当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.【2022年真题】6.（2022·新高考I 卷 第5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A.16B.13C.12D.237.（2022·新高考II 卷 第13题）随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若(2 2.5)0.36P x <=…，则( 2.5)P X >=__________.8.（2022·新高考I 卷 第20题）一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好 病例组 40 60 对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为.R()i 证明：(|)(|.;(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =()ii 利用该调查数据，给出(|)P A B ，(|)P A B 的估计值，并利用()i 的结果给出R 的估计值.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k …0.050 0.010 0.001 k 3.8416.63510.8289.（2022·新高考II 卷 第19题）在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001).【2021年真题】10.（2021·新高考I 卷 第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球、甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立11.（2021·新高考II 卷 第6题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是( )A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等12.（2021·新高考I 卷 第9题）（多选）有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中(1,2,,)i i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同13.（2021·新高考II 卷 第9题）（多选）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是( ) A. 样本12,,,n x x x 的标准差 B. 样本12,,,n x x x 的中位数 C. 样本12,,,n x x x 的极差D. 样本12,,,n x x x 的平均数14.（2021·新高考I 卷 第18题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。
2024年全国高考数学真题分类( 不等式与不等关系)汇编(附答案)
2024年全国高考数学真题分类（不等式与不等关系）汇编一、单选题1．（2024ꞏ全国1卷）已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024ꞏ全国1卷）已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞3．（2024ꞏ全国2卷）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题4．（2024ꞏ全国2卷）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．15．（2024ꞏ全国甲卷文）若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ） A ．5B ．12C ．2-D ．72-6．（2024ꞏ北京）已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（ ） A ．{}43x x -<< B ．{}11x x -<≤ C ．{}0,1,2D ．{}14x x -<<7．（2024ꞏ北京）记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（ ） A ．12n n <B ．12n n >C ．若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D ．若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8．（2024ꞏ北京）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）A ．12122log 22y y x x ++> B ．12122log 22y y x x ++< C ．12212log 2y y x x +>+ D ．12212log 2y y x x +<+ 9．（2024ꞏ天津）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题10．（2024ꞏ上海）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．三、解答题11．（2024ꞏ全国甲卷文）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．12．（2024ꞏ全国甲卷理）已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-． (1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．B【详细分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【答案解析】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==， 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．B【详细分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案解析】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-. 故选：B. 3．B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【答案解析】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题， 对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B. 4．C【详细分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号详细分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质详细分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值. 【答案解析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-； 若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >； 当[)1,x b ∞∈-+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥； 可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b ++， 此时()0f x <，不合题意； 综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∞∈-+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12. 故选：C.【名师点评】关键点名师点评：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性详细分析判断. 5．D【详细分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【答案解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭， 则min 375122z =-⨯=-. 故选：D. 6．A【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【答案解析】由题意得()4,3M N ⋃=-，故选：A. 7．C【详细分析】根据题意详细分析可得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性详细分析判断.【答案解析】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，解得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩， 若1S >，则112.1 2.2S S -->，可得112.1 2.2e e S S -->，即12n n >； 若1S =，则1102.1 2.2S S --==，可得121n n ==； 若1S <，则112.1 2.2S S --<，可得112.1 2.2e e S S --<，即12n n <； 结合选项可知C 正确，ABD 错误； 故选：C. 8．A【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可.【答案解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误； 对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误， 故选：A.9．B【详细分析】利用指数函数和对数函数的单调性详细分析判断即可. 【答案解析】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<， 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<， 因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<， 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <， 所以b a c >>， 故选：B10．{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.11．(1)见答案解析 (2)见答案解析【详细分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【答案解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'-=-= 当0a ≤时，1()0ax f x x-'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可. 11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-， 显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=， 即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证12．(1)极小值为0，无极大值. (2)12a ≤-【详细分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.【答案解析】（1）当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+'=++-=+-+++， 因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数， 故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=， 故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.（2）()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++， 设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+， 当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<， 故()s x 在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍； 综上，12a ≤-.【名师点评】思路名师点评：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.。