高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课
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过直线
y x
z1 2z
0
0
与平面的交点，且与已知直
线垂直 .
十二、判断下列两直线
x1 L1 : 1
y 1
z 1, 2
L2
:
x 1
y 1 3
z 2,是否在同一平面上，在同 4
一
平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距
离.
练习题解答 请记录
一、1、D； 2、C； 3、C； 4、A； 5、B；
a {1,3,1} ;b 2,1,3，求其面积 .
五、已 知 a , b , 为 两 非 零 不 共 线 向 量 ， 求 证 ：
(a b) (a b) 2(a b) .
六、一动点与点 M ( 1 , 0 , 0 )的距离是它到平面x 4 的
距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线
z 10 的交点是（ ）. 7
（A）( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 ,1 ,4 )；
（B）( 1 , 2 , 3 ) ；
（C）( 2 , 3 , 4 )；
（D）( 2 ,1 ,4 ) .
9、已知球面经过( 0 ,3 , 1 ) 且与xoy 面交成圆周
x2
y2
16，则此球面的方程是（
）.
例2
求过直线
:
x x
5 z
y 4
z0 0,
且与平面
x
4
y
8z 12 0 组成 角的平面方程. 4
解 过已知直线的平面束方程为
x 5 )z 4 0,
其法向量
n
{1
,5,1
}.
又已知平面的法向量
n
（C） x 2
y2
高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
高数第四版第七章(人民大学出版社)
高数第四版第七章（人民大学出版社）第七章空间解析几何与向量代数习题7-1★★1．填空题：（1）要使（2）要使★2．设ua?b?a?b设立，向量a,b应当满足用户a?ba?b?a?b成立，向量a,b应满足a//b，且同向ab2c,va3bc，试用a,b,c则表示向量2u?3v知识点：向量的线性运算求解：2u?3v?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c★3．设p,q两点的向径分别为r1,r2，点r在线段pq上，且prrq?m，证明点r的向径为nr?nr1?mr2m?n知识点：向量的线性运算证明：在?opq中，根据三角形法则oq?op?pq，又pr?mmpq?(r2?r1)，m?nm?n∴or?op?pr?r1?nr?mr2m(r2?r1)?1m?nm?n★★4．未知菱形abcd的对角线ac?a,bd?b，试用向量a,b表示ab,bc,cd,da。
知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则，ab?bc?ac?a,ad?ab?bd?b，又abcd为菱形，ad?bc（民主自由向量），a?b????????????b?a?cd??dc??ab?∴2ab?ac?bd?a?b?ab?22?a?b??? a?b∴ad?bc?，da??22∴★★5．把?abc的bc边五等分，设分点依次为d1,d2,d3,d4，再把各分点与点a相连接，先行以ab?c,bc?a表示向量d1a,d2a,d3a和d4a。
知识点：向量的线性运算解：见图7-1-5，acbad1d2图7-1-5cd3d411bc?d1a??ad1??(c?a)55234同理：d2a??((c?a),d3a??(c?a),d4a??(c?a)555根据三角形法则，ab?bd1?ad1,bd1?习题7-2★1在空间直角坐标系则中，表示以下各点在哪个卦减半？a(2,?2,3)；b(3,3,?5)；c(3,?2,?4)；d(?4,?3,2)请问：a(2,?2,3)在第四卦减半，b(3,3,?5)在第五卦减半，c(3,?2,?4)在第八卦减半， d(?4,?3,2)在第三卦限★2．在座标面上和坐标轴上的点的座标各存有什么特征？并表示以下各点的边线：a(2,3,0);b(0,3,2);c(2,0,0);d(0,?2,0)知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点a在xoy坐标面上；b在yoz坐标面上；c在x轴上；d在y轴上。
同济第五版高数下第七章课件
向量代数与空间解析几何
一 基本要求
1.理解空间直角坐标系 理解空间直角坐标系. 理解空间直角坐标系 2.理解向量的概念及其表示 掌握单位向量、 理解向量的概念及其表示; 理解向量的概念及其表示 掌握单位向量、 方向余弦、 方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表 达式进行向量运算的方法． 达式进行向量运算的方法． 3.掌握向量的运算 线性运算、内积、外积）. 掌握向量的运算(线性运算 内积、外积） 掌握向量的运算 线性运算、 4.了解两个向量垂直、平行的条件． 了解两个向量垂直、平行的条件． 了解两个向量垂直
分别求适合下列条件的直线方程： 例5 分别求适合下列条件的直线方程： （1）通过点 ）通过点(1,0,-3)且与平面 3 x − 4 y + z − 10 = 0 且与平面 垂直； 垂直； (2)通过点 通过点(1,0, -2)且与平面 3 x + 4 y − z + 6 = 0 通过点 且与平面 平行,又与直线 x − 3 = y + 2 = z 垂直； 垂直； 平行 又与直线
(
)
(
P0
)
l
例2 解
r uuu 已知向量OA
的模为8,且已知它与 轴和 的模为 且已知它与x轴和 且已知它与
π
r uuu ,求 OA 的坐标表达式． 的坐标表达式． 求 3
y轴正向的夹角均为 轴正向的夹角均为
r uuu 设与 OA 同向的单位向量为
1 其中 cos α = cos β = cos = 3 2 又 cos γ = ± 1 − cos α − cos β = ±
• 一般式 • 截距式
Ax + By + Cz + D = 0
(完整版)高等数学第七章向量
第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 空间直角坐标系§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法一、判断题。
1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。
（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。
（ ） 3． 任二向量b a ,=.则a =b 同向。
( ) 4． 若二向量b a ,+,则b a ,同向。
（ ）5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b，则b a ,反向。
（ ）6． 若ca b a +=+,则c b =( ) 7． 向量ba ,满足=，则ba ,同向。
（ ） 二、填空题。
1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。
4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。
6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。
三、选择题。
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //OA 且21a ，OC =b ，则AB = （A ）21b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有（A+（B+-（C+<-（D+>-三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。
四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。
六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
高等数学向量代数与空间解析几何习题课课件
4
将 代入平面束方, 程 得 3 x y z 1 0 .
所求投影直线方程为 3xx2yyzz100.
例 过点 B(1,2,3)作一直线，使和 z 轴相交，且
和直线
xy3z2 4 3 2
垂直，求其方程
[分析]
求直线方程，或者求出直线所在的平面 得交面式方程，或者求出直线上一点及 方向向量得点向式方程，或者求出直线 上的两点得两点式方程
垂直: n1n20
A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0
平行: n1n20
A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式: cosθ n1n2 n1 n2
线与线的关系
直线 L1： xm 1x1y n1y1z p1z1, s1(m 1,n 1,p 1) 直线 L2： xm 2 x2y n2y2z p2 z2, s2 (m 2,n 2,p 2)
解 设 n 0 x i y j z k , 由题设条件得
n0 1 n 0c n 0 a b
x2 y2 z2 1
2
x
2
y
z
0
2
y
z
0
解得 n 0(2i1 j2k ). 333
例
已知
A B a,A C b, AD B
2
证明①
②
当 B a ,b 的 的 AD 面 夹 |a b 2 || b 积 ||a 2 角 B b |的 A 为 D 面 何
解一 用交面式
直线 L 过点 B 且与 L 垂直 故直线L在过 B 且与 L 垂直的平面 1内
z
L
L B
o
y
x
n 1 4 ,3 , 2
1 : 4 ( x 1 ) 3 ( y 2 ) 2 ( z 3 ) 0
7空间解析几何与向量代数习题与答案
空间解析几何与向量代数第七章 A 一、)?6(a?6,7,1、平行于向量的单位向量为______________.)0,,)和2M(3M(4,2,1MM.设已知两点的模，方向余弦和方向角，计算向量2、2121pn?4m?3j?5i??4ka?7nim?3?5j?8k,?2i?4j?k,p轴设3、在，求向量x .上的投影，及在y轴上的分向量二、；?b?b?2b及aab2()(?2a)?3及a k?2k,b??2j?iia?3?j(1)的、(3)ab1、设，求 .夹角的余弦1,2),M(3,3,?1),M(3,1,3),(M1MM,MM同时垂直的单位向量.，求与2、知31232211??b?z轴?与a??),4?(2,1?a?(3,5,2),b满足设.3、_________时，，问三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.222?2x?4y??y2?zz?x0表示______________曲面2、方程.2x?y2 __将xOy坐标面上的轴旋转一周，生成的曲面方程为绕x、31)___________________._____________，曲面名称为22xy2x??生成的曲面方程坐标面上的2)将xOyx轴旋转一周，绕___________________._____________，曲面名称为2236??9y4x轴旋转一周，生成的曲面方轴及yxOy坐标面上的绕x3)将_____________________._____________程为，曲面名称为2xy?在空间解析几何中）在平面解析几何中图形。
表示____________ 42x?y图形.表示______________ ）画出下列方程所表示的曲面 5222)(x?y4z? (1)222)??4(xyz (2)四、22?yx1???图形，在空间解1在平面解析几何中表示____________、指出方程组94??3y??图形.析几何中表示______________2229?zx??y1?x?z.面上的投影方程的交线在2、求球面与平面xOy22222?ax(a?0xy?)yxa0?z???的公共部分在、求上半球与圆柱体3xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.33、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1?3zyx???、求过点1(1,2,3)且平行于直线.的直线方程521 2??3zy1?zx?2且与两平面2、求过点(0,2,4)平行的直线方程,.0?7??x?2y4z? .垂直的平面方程(2,0,-3)3、求过点且与直线?0z?5x3?y2?1??x?4y?3z??的平面方程且通过直线. 4、求过点(3,1,-2)152 x?y?3z?0?x?y?z?1?0的夹角5、求直线.与平面?0??zyx??6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x?2y?z?7?x?1y?3z??;与直线1)直线?7??2xy?z?112??? x?2y?2z?3??和平面2)x+y+z=3.直线43?1x?y?z?1?0?到直线、求点7(3,-1,2)的距离.?04????2xyz?5B c,a,b a?c?c?a?b?c?0b?b?a.1、已知（:为非零矢量），试证)ba,},求?(,a?b?{11,13a?b?, .2、a)tb(a?tb|a?|b?t b.取何值时，向量模和为两非零向量，问已知3、最小？并证明此时n)86,(a?3,xan?n? 4、求单位向量，使轴，其中.且?0?y?5z2x?z的平面方程轴，且与平面.的夹角为5、求过3)5()1,2M?3,,?1,(M40?3y?6x2?z7?.的平面，、求过点6，且垂直于2160?1??2y?zx?zxyl??.：、求过直线，且与直线平行的平面7?202?y?z?2x?21?1? 1?y??1?x?y?z：L.垂直相交的直线方程求在平面、上，:且与直线8?1?z??),2M(1,43M(,1,8)kg100，计算重力所做的功的物体从空间点9、设质量为，移动到点21m（长度单位为.）22?02xy?z??xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲在10、求曲线?3z??线？OA?i?3k,OB?j?3k?OAB的面积，求、已知1170??z2x?4y?1??z4x?y.12、.求直线在平面上的投影直线方程?0??9y?2z3x??C?????????,c?0,??a,b,c?a?b?0,不全为零有相同起点,且，1、设向量，其中cb,a,终点共线证明:.?212y?x?)2,?1M(1,??L.且与直线，求过点角的直线方程：相交成2、0112?3z3y?x?1??0)3x?4y?z??10,(?10,4相交的直线方且平行于平面、过又与直线3211程.2z?yzxy1x?LL????.4、求两直线：：与直线的最短距离210?3?160?1xoy}1,1,g?{1，，母线平行于向量5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1） .求此柱面方程a?xb?a?lim?)b(?2,a,b.非零，a,b，求6、设向量x30?x x?2y??L:绕y轴旋转一周所围成曲面方程7、求直线. ?1)1y?(?z??2?第七章空间解析几何与向量代数答案习题 A 8?667??,?, 1一、、??111111?????12132?????????,cos,coscos????,,MM ,2、=2,21222334a在x轴上的投影为7j3、，在y轴上的分量为1331)???2)?(?a?b?31?(?1)?2?(二、11）、kijk?7?5i?j3a?b??1?212?1k2j?14(??18a?2b?2a?b)?10i?62(?a)?3b??(a?b)，（2）3ba?^??cos(a,b)（3）ba?212}2?,2,{?2,4,?1},MM?{0MM 2、3122kijk44j???MM?24?1?6iMa?M3221220?4??4a6},,???{a172172217即为所求单位向量。
高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课
A12
B12
C
2 1
A22
B
2 2
C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面 的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos
2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3
3
1 3
易得
1
4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。 此时向量为
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vv v
ar
uuuuuur uuuuuuur M1M2 M2M3
i 2
j 4
k rrr
1 6i 4 j 4k
0 2 2
uuuuuur uuuuuur
与 M1M2 ,
M2 M3
同时垂直的单位向量为：
r
a
1
av
(3, 2, 2) 17
平行四边形面积
uuuuuur uuuuuur S M1M2 M2M3
|
(ax ,ay ,az )
a
2 x
a
2 y
az2
5．向量的投影：Pr
r ja b
|
r b
|
cos(av,bv)
二、向量的运算
1．线性运算
（1）
ar
r b
(ax
bx
,
ay
by
,
az
bz
)
（2）ar (ax , ay , az )
2．数量积
（1）定义：av
v b
av
v b
cos(av, bv)
（2）坐标表示：ar
uuuuuur uuuuuur
uMuu1uMuur2, uMuu2uMuur3 同时垂直的单位向量，并且求以 M1M2, M2M3 为两邻边的平行四边形面积。 分析：应用向量积构造与两个向量都垂直的向量；
利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。
uuuuuur
uuuuuur
解：M1M2 (2,4, 1), M2M3 (0, 2, 2)
av 2
ar ar
，并利用条件
r p
r q
r p
r q
0，便可求出
p q r ；或可不妨置
r S
pr qr
rr
于坐标系中
计算向量的模。
解法1： pv qv rv 2 ( pr qr rr)( pr qr rr)
r p
r p
r p
r q
r p
r r
r q
r p
r q
r q
r q
解：
0
(ar
r b
cr)
(ar
r b
cr)
r a
r a
r b
r b
r c
r c
r 2(a
r b
r b
r c
r c
r a)
3
2(ar
r b
r b
cr
cr
ar
)
于是
ar
r b
r b
cr
cr
ar
3
2
【例4】已知向量 pr, qr, rr 两两互相垂直，且 p 1, q 2, r 3,
求 p q r。
rrr 分析：由于向量 p, q, r 没给出坐标，只给出了模，注意
L2
r s1
r s2
m1m2
n1n2
p1 p2
0
☆ L sr // nr A B C
mn p
二、空间曲面
1．一般方程： F( x, y, z) 0
2．旋转面：曲线
f ( y, z) 0
x
0
绕z
轴旋转所得旋转曲面
方程为 f ( x2 y2 , z) 0 ;绕 y轴旋转所成的旋转曲面
解：依题意有
r x
r
3,
r x
r
5,
r x
r
4
即
x x
1 2
x2 x3
3 5
x1 x3 4
解得 则
x1 1, x2 2, x3 3 ，
xr (1,2,3)
x 14
与 xr 同向的单位向量为
r x0
xr xv
(
1, 14
2, 14
3) 14
【例6】已知 M1 (1,1,2), M 2 (3,3,1) 和 M 3 (3,1,3) 。求与
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
由已知条件 及 cos 2 cos 2 cos 2 1
得 3 cos2 1
所以 cos cos cos 1
3
即
u
轴上的正向单位向量为
r u0
(
1 , 1 , 1 )，
r n2
( A2 ,
B2 , C2
),
☆
1 // 2
rr n1 // n2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
☆
rr L1 // L2 s1 // s2
m1 m2
n1 n2
p1 p2
☆ L // sr nr Am Bn Cp 0
☆
1
2
r n1
r n2
A1 A2
B1 B2
C1C2
0
☆
L1
n
2 2
p
2 2
（2）两平面相交（夹角）
设 1 与 2 平面的法向量分别为nr1 ( A1, B1,C1 )与nr2 ( A2 , B2 ,C2 )
则
cos
A1 A2 B1 B2 C1C 2
A12
B12
C
2 1
A22
B22
C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 sr (m, n, p) , 平面 的法向量为
第七章 空间解析几何与 向量代数习题课
Ⅰ 向量代数
一、向量的基本概念
r 1．向量的坐标: a (ax , ay , az )
设起点 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 和终点 M2( x2 , y2 , z2 ) ,则
uuuuuur M1M2 ( x2 x1, y2 y1, z2 z1)
（1）
F ( x, G( x,
y, y,
z) z)
0 0
在
xoy
面上的投影曲线：zH(
x, 0
y)
0
（2）
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 0
在
yoz
面上的投影曲线：
R( y, z) x0
0
（3）
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 0
在 xoz 面上的投影曲线：Ty(x0, z) 0
nr ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
设直线
L1与L2
的方向向量分别为
r s1
(m1 , n1 ,
p1 )，sr2
(m2 , n2 ,
p2 )
平面
1与
2
的法向量分别为
r n1
(
A1 ,
B1 , C1 ),
r r
r r
r p
r r
r q
r r
r r
pv 2 qv 2 rv 2 0 12 22 32 14
所以 p q r 14
解法2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设
pr
r i,
qr
r 2j,
rr
r 3k
则
r S
pr qr rr
rrr i 2 j 3k
于是
pv
qv
rv
r S
12 22 32
14
【例5】已知向量 xr ( x1, x2 , x3 )与三向量r (1,1, 0),
r
(0,1,1),
r
(1,
0,1)
的数量积分别为3,5,4，
试求向量 xr 及与其同向的单位向量。
分析：利用 xr 与每个 r, r,r 的数量积，可得出关于
x1 , x2 , x3的联立方程组，解之便得结果。
【例1】求平行于 x 轴且经过两点 (4,0,2),(5,1,7) 的平面方程。
ar
r i
3
r j
r 3k
模为 a 19,
方向余弦为 1 , 3 , 3 。 19 19 19
【例3】已知
ar,
r b,
cr
都是单位向量，且满足 ar
r b
cr
r 0
，
求
ar
r b
r b
cr
cr
ar
.
分析：向量
ar,
r b,
cr
的坐标没给出，也没给出之间的夹角，
无法利用数量积定义，只能考虑数量积运算规律。
其中 nr ( A, B,C) 为平面的法向量，M0( x0 , y0 , z0 ) 为平面的 一定点。 （2）一般方程：Ax By Cz D 0
（3）截距式方程：x y z 1 ，其中 a, b, c 分别为平面在
a bc
三坐标轴 x, y, z 上的截距。
2．点到平面的距离： d Ax0 By0 Cz0 D
62 (4)2 (4)2 2 17
【例7】 在 xOy 坐标平面上求向量 pr ，它垂直于向量 qr (5, 3, 4), 并与向量 qr 有相等的模。
分析： 先设出向量 pr ，再用两个条件确定其系数。
解：由已知条件,可设 pr (a, b, 0), q 52 (3)2 42 5 2
r b
axbx
ayby
azbz
（3）运算律：①
交换律：
ar
r b
r b
ar
②
分配律：(ar
r b)
cr
ar
cr
r b
cr
③
结合律：(
ar)