三角函数及解三角形(二)
2 • xg3
2
得x2+3x-4=0.
解得x=1或-4(舍),
所以AC=1.
随堂小结
解三角形的常见题型及求解方法:
(1)已知两角A,B与一边a,由A+B+C=π及 a ＝ b ＝ c ，
可先求出角C及b,再求出c.
sin A sin B sin C
(2)已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccos A,先求出a,再求
由余弦定理可得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝4k22×＋27kk·2－79kk2＝147，
∴sin B＝
1－cos2B＝3
21 14 .
又 2k＋3k＋ 7k＝10＋2 7，∴k＝2，即 a＝4，c＝2 7，
∴S△ABC＝12acsin B＝12·4·2 7·31421＝6 3，
si9·全国Ⅱ，理，15)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b＝6，
a＝2c，B＝π3，则△ABC 的面积为________.
解析 方法一 因为 a＝2c，b＝6，B＝π3，
所以由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，得 62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos π3，
开拓创新 求真务实 勤奋敬业
三角函数及解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形(小题)
1
PART ONE
热点一 三角恒等变换 热点二 解三角形
知识梳理
热点一 三角恒等变换
1.三角求值“三大类型”:
“给角求值”“给值求值”“给值求角”.
2.三角恒等变换“四大策略”:
(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝
因为 α∈0，π2，所以 cos α＝ 1－sin2α， 所以 2sin α 1－sin2α＝1－sin2α，解得 sin α＝ 55，故选 B.
热点二 解三角形
知识梳理 1.正弦定理: a b c 2 R （R为△ABC外接圆半径）
sin A sin B sin C
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR，
得 c＝2 3，所以 a＝4 3， 所以△ABC 的面积 S＝12acsin B＝12×4 3×2 3×sin π3＝6 3.
方法二 因为 a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos π3，得 c＝2 3，
所以 a＝4 3，所以 a2＝b2＋c2，所以 A＝π2， 所以△ABC 的面积 S＝12×2 3×6＝6 3.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝b2＋2cb2c－a2. 3.三角形的面积公式：S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A.
例2:(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别a,b,c.已知
出角B,C.
(3)已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.
(4)已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦定理 a ＝ b
sin A 可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B),可求出角C,再由
a
sin ＝
Bc
可求出c,而通过 a ＝ b
sin A sin C 求角B时,可能有一解或两解或无解
跟踪训练3：ABC的周长为 10 2 7 ,且满足sinA:sinB：sinC
= 2 : 3 : 7 ,则 ABC的面积为（ ）
A.6 3
B.4 7
C.8 7
D.12
解析 由正弦定理及 sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶ 7，
可得 a∶b∶c＝2∶3∶ 7，于是可设 a＝2k，b＝3k，c＝ 7k(k>0)，
跟踪训练1（2019·全国Ⅱ理)已知α∈ 0, ， 2sin 2α
2 =cos 2α+1,则sin α=( )
A.15
B.
5 5
C.
3 3
D.2 5 5
解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，
即2sin αcos α＝1－sin2α.
sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= 2 ,则C=( )
A ．
B ．
C ．
D．
12
6
4
3
跟踪训练2：在△ABC中,若AB= 13 ,BC=3,∠C=120°,则AC=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A. 设AC=x,由余弦定理,
得cos C= x2 9－13 －1，
tan 45°等.
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋
cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.
(4)弦、切互化.
例1.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sin (2x 3 )-3cos x的
2 最小值为________.
高中数学理科专题讲解高考大题专项(二)《三角函数与解三角形》教学课件
典例剖析
典例剖析
解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定理的变形如 将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注意角的范围的限制.
典例剖析
解:(1)在△ABD中,∵∠DAC=75°,∠CAB=45°,∴∠DAB=120°.又∠DBA=30°,∴∠ADB=30°,∴△ABD为等腰三角形,∴AB=AD=50 m.由余弦定理可得BD2=502+502-2×50×50cos 120°=3×502,∴BD=50 m.△ABC中,∠CAB=45°,∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+75°=105°,∴∠ACB=30°,
典例剖析
2.三角恒等变换和解三角形的结合,一般有两种类型:一是先利用三角函数的平方关系、和角公式等求符合正弦定理、余弦定理中的边与角,再利用正弦定理、余弦定理求值;二是先利用正弦定理、余弦定理确定三角形的边与角,再代入到三角恒等变换中求值.具体解题步骤如下:第一步,利用正(余)弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,查看关键点、易错点.3.解三角形的问题总体思路就是转化思想和消元,要注重正弦定理、余弦定理多种表达形式及公式的灵活应用.
典例剖析
典例剖析
典例剖析
1.在历年的高考试题中,三角中的解答题一般考查简单三角函数式的恒等变形、解三角形,有时也考查正弦定理、余弦定理的实际应用.特别是涉及解三角形的问题,经常出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合.把握住高考命题规律,有针对性的训练是提高成绩的有效措施.
高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二 三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二 走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三 走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一 同角三角函数的基本关系式——师生共研 例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 －5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 －3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二 诱导公式及其应用——多维探究 角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝ －1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝ －1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ －74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角， 所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 因为α为钝角， 所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1
三角函数与解三角形测试卷(二)
三角函数与解三角形测试卷（二）一、单选题1．在△ABC 中，60A ∠=︒，6a =，4b =，则满足条件的△ABC （ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．cos y x =B ．sin y x =C ．cos 2xy =D ．tan y x =3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45和60，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为（ ）A ．54mB ．47mC ．50mD ．44m5．已知函数()13π2sin (0,)6f x x m x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++=（ ） A ．4πB ．2πC ．4π3D ．7π36．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．63B ．33C ．±2D ．±227．tan10tan 503tan10tan 50++的值为（ ） A ．33B ．3C ．1D ．3-8．已知()1sin 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-9．已知函数()()sin 20,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移6π个单位后得到sin 2y x =的图象 C ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为3D ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数10．在ABC 中，A ，B ，C 分别为ABC 三边a ，b ，c 所对的角，若cos 32B B =，且cos cos 2sin sin 3sin B C A Bb c C+=，则a c +的最大值是（ ） A ．1 B 3C ．2 D ．2311．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222022a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B +的值为（ ）A ．0B ．1C ．2021D ．202212．已知M 是ABC 内的一点，且2AB AC ⋅=，4BAC π∠=，12MBC ABC S S =△△，则11MABMACS S +△△的最小值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1二、填空题13．已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝________.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足22230b c ac --=，sin()2sin A B A +=，则cos C ___________．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin a A b B c b C =++，若角A 的内角平分线AD 的长为2，则△ABC 面积的最小值为______．16．已知函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且函数()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，则实数ω的取值范围是_______. 三、解答题17．设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3c =，且()cos 2A B C ++=.(1)求角C 的大小；(2)若向量()sin ,1m A =-与()2,sin n B =互相垂直，求a 、b 的值.18．从①)sin sin sin c C a A b B -=-；② sin 22A A =补充到下面横线处，并解答：在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，AB =(1)求角A ；(2)若ABC 外接圆的圆心为O ，11cos 14AOB ∠=，求BC 的长. 注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.19．在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．20．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan tan b A b B += (1)求角B ；(2)D 是AC 边上的点，若1CD =，3AD BD ==，求sin A 的值． 21．如图，在平面四边形ABCD 中，3,2,4B BC ABC π∠==的面积 2.ABCS =(1)求AC 的长；(2)从条件①､条件②､条件③这三个条件中任选两个作为已知，判断DCA BCA ∠=∠是否可能成立，并说明理由. 条件①：4D π∠=；条件②：4=AD ；条件③：6CD =.22．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC )32b c a-的取值范围．参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据正弦定理进行判断即可. 【详解】由正弦定理可知：4sin 1sin sin sin a bB A B B==⇒=， 显然不存在这样的角B ， 故选：A 2．B 【解析】 【分析】利用最小正周期为π排除选项AC ；利用在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减排除选项D ；选项B 以π为最小正周期，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，判断正确.【详解】选项A ：cos y x =最小正周期为2π.判断错误；选项B ：sin y x =最小正周期为π，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.判断正确；选项C ：cos 2xy =最小正周期为4π.判断错误；选项D ：tan y x =在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 判断错误.故选：B 3．B 【解析】 【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可. 【详解】因为2sin ()2x f x x =+，定义域为R所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B. 4．A 【解析】 【分析】根据题意求得AM =AMC 中由正弦定理求出CM ，即可在直角CDM 中求出CD .【详解】由题可得在直角ABM 中，45AMB ∠=︒，36AB =，所以AM = 在AMC 中，180604575AMC ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒， 所以180756045ACM ∠=︒-︒-︒=︒，所以由正弦定理可得sin 45sin 60AM CM=︒︒，所以CM ==则在直角CDM 中，sin6054CD CM =⋅︒=，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故选：A. 5．A 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性，结合函数零点的定义进行求解即可. 【详解】令()2sin 02sin f x x m m x =-=⇒=，当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数有三个零点，因此函数,2sin y m y x ==的图象有三个不同的交点， 因为13ππ12sin2sin 21662==⨯=，所以[0,1]m ∈， 显然有123π13π0π<2π26x x x ≤<<≤≤≤，而12,x x 关于直线π2x =对称，23,x x 关于直线3π2x =对称， 所以21231232π3π224π22x x x x x x x ++=+++=⨯+⨯=， 故选：A 6．D 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式展开，之后再用辅助角公式可得sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数的关系求解即可. 【详解】sin sin()13πθθ++=，则1sin sin 12θθθ+=，即3sin 12θθ+=，1cos 2θθ+=sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 6πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以tan 6πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭故选：D 7．B 【解析】 【分析】由()tan 60tan 10503=+=，利用两角和差正切公式可整理得到结果. 【详解】()tan10tan 50tan 60tan 105031tan10tan 50+=+==-，tan10tan 5033tan10tan 50∴+=-，tan10tan 503tan10tan 503∴++=. 故选：B. 8．B 【解析】 【分析】首先根据正弦两角和差公式得到2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，再利用同角三角函数的商数关系求解即可. 【详解】 由题知：()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩，解得2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-. 故选：B 9．D 【解析】 【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后再逐个分析判断 【详解】因为()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，因为()f x 的图象过点2,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以由五点作图法可知43362πππω⋅+=，得1ω=， 所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，对于A ，因为2sin sin 13362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3x π=-为()f x 的图象的一条对称轴，所以A 错误，对于B ，()f x 的图象向右平移6π个单位后，得sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以B错误，对于C ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-，所以C 错误， 对于D ，sin 2sin 2cos 26662f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()cos 26g x f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()cos(2)cos 2()g x x x g x -=-==，所以()cos 26g x f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，所以D 正确， 故选：D 10．D 【解析】 【分析】根据已知条件求得,B b ，再利用正弦定理将角化边，将问题转化为求6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值问题求解即可. 【详解】cos 2B B =得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又7666B πππ<+<，所以3B π=. 在ABC 中，由正弦定理得：cos cos cos cos sin cos sin cos sin 2sin sin sin sin 3sin B C c B b C C B B C A A Bb c bc b C b C C+++====所以32sin b B=()2sin sin 2sin 2sin sin 36b a c A C A A A B ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故当62A ππ+=，即3A π=时，a c +取得最大值故选：D 11．C 【解析】 【分析】将给定三角式切化弦，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理及已知计算作答. 【详解】在ABC 中，由余弦定理得：22222cos 2021ab C a b c c =-=+，所以sin sin 22tan tan 2sin sin cos cos cos sin sin sin tan (tan tan )sin (sin cos cos sin )()cos cos cos A BA B A B C A B C A B C A B C A B A B C A B⋅⋅==+++ 222sin sin cos 2sin sin cos 2cos 2021sin sin()sin A B C A B C ab CC A B C c ====+.故选：C 12．A 【解析】 【分析】利用向量数量积公式及三角形面积公式可得ABC 的面积，结合已知可得12MAB MACS S+=，再根据基本不等式即可求解. 【详解】∵2AB AC ⋅=，4BAC π∠=，∴cos 222AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=⋅∠=⇒⋅= ∴1sin 4512ABCSAB AC =⋅︒=， 因为ABCMBCMABMACS SSS=++，12MBC ABC S S =△△， 所以1122MAB MACABCSSS +==， 所以()22221122442MAC MAC MAB MABMABMACMABMAC MAB MAC MAB MACS S S S S SS S S S S S ⎛⎫++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 448=+=，当且仅当22MAC MABMAB MACS S S S =，即14MACMABS S==时取等. 故选：A. 13．0 【解析】 【分析】利用诱导公式化简每一个式子，再把已知代入即得解. 【详解】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°， 所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝13.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0.故答案为：0 14【解析】 【分析】利用正弦定理角化边及其余弦定理即可求解. 【详解】∵sin()2sin A B A +=，∴sin 2sin C A =, 由正弦定理得2c a =，∵ 22230b c ac --=，∴22222b c c ac -=+，由余弦定理得：2222cos b c a ac B -=-，∴2224cos a ac B c ac -=+， ∴ 222228cos 42a a B a a -=+， ∴228cos 4a B a -=，解得1cos 2B =-，又∵0πB <<，∴2π3B =, 将2c a =代入22230b c ac --=得b =, 由正弦定理可得sin sin b c B C =，即22πsin sin 3c C =，解得sin 7C =， 又∵π02C <<，∴cos C ===. 15．【解析】 【分析】利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理即可求出角A ，由三角形面积相等，结合基本不等式求面积的最小值. 【详解】本题考查解三角形的应用，考查逻辑推理的核心素养． 因为()sin sin sin a A b B c b C =++，所以222a b c bc =++． 由余弦定理易得1cos 2A =-，又0A π<<所以23A π=．因为AD 平分角A ，所以∠BAD ＝∠CAD ＝60°． 由ABCABDACDSSS=+，得111sin120sin 60sin 60222bc c AD b AD ︒=⋅︒+⋅︒，即()2bc b c =+≥16bc ≥，当且仅当b ＝c 时，等号成立，所以△ABC 面积的最小值为故答案为： 16．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】第一步，函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增结合()2sin f x xω=（0>ω）在ππ22ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增得到3ππππ,4322ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，得出203ω<≤ . 第二步，()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，可得12π2π452π2π4ωω⎧⨯≤⎪⎪⎨⎪⨯>⎪⎩，解出实数ω的取值范围.第三步，求出交集即可. 【详解】由题及ππ22x ω-≤≤得()2sin f x x ω=（0>ω）在ππ,22ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 又函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，3ππππ,4322ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，得203ω<≤ . ()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，可得12π2π452π2π4ωω⎧⨯≤⎪⎪⎨⎪⨯>⎪⎩，所以，1544ω≤<，所以，1243ω≤≤. 故答案为：1243⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.17．(1)3C π=(2)a =b = 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）由平面向量垂直的坐标表示以及正弦定理可得出2b a =，再利用余弦定理可求得a 、b 的值. (1)()cos cos 2sin 26A B C C C C π⎛⎫++=+=+= ⎪⎝⎭，所以，sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0C π<<，则7666C πππ<+<，62C ππ∴+=，解得3C π=. (2)解：由已知2sin sin 0m n A B ⋅=-=，则2b a =，由余弦定理可得22222292cos 3c a b ab C a b ab a ==+-=+-=，因此，a =b =18．(1)π6A =(2)BC =【解析】 【分析】（1）选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角恒等变换即可.（2）利用圆的角度关系和正弦定理即可求解. (1)解：选择条件①：因为)sin sin sin c C a A b B -=-，由正弦定理，可得)22c a bb -=-，即222b c a +-=，所以222cos 2b c A bc a +===-. 因为()0,πA ∈，所以π6A =.选择条件②：因为sin 22A A =所以π2sin 23A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 23A ⎛⎫+=⎪⎝⎭因为()0,πA ∈所以ππ7π2,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以π2π233A +=，π6A =.(2)由题意，O 是ABC 外接圆的圆心，所以2AOB C ∠=，所以211cos cos 212sin 14AOB C C ∠==-=故此sin C =. 在ABC 中，由正弦定理，sin sin AB BC C A=12BC=，解得BC =19．(1)3A π=(2)134【解析】 【分析】（1）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简可得sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此可求得A ； （2）利用面积桥可求得AB ，利用余弦定理求得BC 后可得CD ，由勾股定理可得结果.(1)21sin cos sin cos cos sin sin cos sin 6662A A A A A A A Aπππ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311113sin 2cos 2sin 24442644A x A π⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭；()0,A π∈，112,666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，262A ππ∴-=，解得：3A π=.(2)D 是BC 中点，1228632ABCADCSSAC DE DE ∴==⨯⋅==又1sin 23632ABCSAB AC A AB =⋅==3AB =； 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos 9642449BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-=， 7BC ∴=，则72CD =，224927134164CE CD DE ∴=-=-. 20．(1)3B π=(2)21sin A = 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角、切化弦，结合三角恒等变换公式可化简已知等式求得cos B ，由此可得B ；（2）设ABD BAD θ∠=∠=；在ABC 和BDC 分别利用正弦定理和余弦定理可构造关于sin θ的方程，解方程可求得结果.(1)由3tan tan c b A b B +=sin sin 3cos cos A B c A B +=由正弦定理得：()sin sin sin sin cos cos sin 3sin cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B CA B A B A B +++===()()sin sin sin A B C C π+=-=，又()0,C π∈，sin 0C ∴≠，sin cos 3cos cos B A A B ∴=；tan A 有意义，cos 0A ∴≠，sin 3cos B B ∴=，即tan 3B =，又()0,B π∈，3B π∴=.(2)AD BD =，ABD BAD ∴∠=∠， 设ABD BAD θ∠=∠=，则2BDC θ∠=，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin BC AC ABCθ=∠，即4sin 83sin 3BC θθπ==； 在BDC 中，由余弦定理得：2222cos 2106cos 2BC BD CD BD CD θθ=+-⋅=-；()2264sin 106cos 210612sin 3θθθ∴=-=--，解得：23sin 7θ=， 即23sin 7A =，又()0,A π∈，21sin A ∴=21．(1)25(2)答案见解析 【解析】 【分析】（1）由面积公式先求出AB 的长，进而根据余弦定理求出AC 的长.（2）由题设，可以随意选择两个条件，去判断DCA ∠与BCA ∠是否可能相等.但是优先选择哪两个条件思维逻辑最清晰､解题过程最简洁是同学们应该思考的.由第一问可知，ABC 是唯一确定的三角形，sin ,cos BCA BCA ∠∠都是可求的，而要判断DCA ∠与BCA ∠是否可能相等，可转化为判断它们的某一个三角函数值是否相等，因此首选条件②和条件③，此时ADC 中的三条边长都知道，容易计算余弦值.如果看到条件①4D π∠=，正好满足D B π∠+∠=，能够想到四点共圆，那么圆周角相等则对应的弦长相等，因此选条件①和条件②也非常简单.最麻烦的是选择条件①和条件③，因为此时ADC 中知道的条件是边边角，ADC 不一定唯一确定，需要讨论. (1) 因为3,2,24ABCB BC S π∠===，所以在ABC 中，由1sin 2ABCSAB BC B =⋅⋅，得2sin ABC S AB BC B ===⋅由余弦定理2222cos AC ABBC AB BC B =-+⋅， 得2842220AC ⎛=+-⋅⋅= ⎝⎭，所以AC =(2)选择条件②：4=AD 和条件③：6CD =，在ADC 中由余弦定理可得222cos 2CD CA AD DCA CD CA ∠+-==⋅，在ABC 中由余弦定理可得222cos 2CB CA AB BCA CB CA ∠+-=⋅，因为cos cos DCA BCA ∠∠≠， 所以DCA BCA ∠∠≠； 选择条件①：4D π∠=和条件②：4=AD ，在ADC 中，由正弦定理可得sin sin AC ADD DCA∠=， 在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AC ABB BCA=∠， 所以，若DCABCA ∠=∠，则AD AB =， 与4,AD AB == 所以DCA BCA ∠∠≠； 选择条件①：4D π∠=和条件③：6CD =，在ABC 中由余弦定理可得222cos 2CB CA AB BCA CB CA ∠+-=⋅. 在ADC 中，由余弦定理2222cos AC ADDC AD DC D =+-⋅， 可得2160AD -+=，所以AD =AD =当AD=ADC中，由余弦定理可得222cos2CD CA ADDCACD CA∠+-==⋅因为cos cosDCA BCA∠∠=，且(),0,DCA BCA∠∠π∈，所以DCA BCA∠=∠.当AD=ADC中，由余弦定理可得222cos2CD CA ADDCACD CA∠+-=⋅，因为cos cosDCA BCA∠∠≠，所以DCA BCA∠∠≠.所以选择条件①和条件③时，当AD=DCA BCA∠=∠成立；当AD= DCA BCA∠∠≠.22．(1)3Aπ=；(2)11,22⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）角换边，在利用余弦定理求解；（2）边换角，将待求表达式表示成关于B的三角函数，利用锐角三角形条件求出B的范围，最后再求表达式的范围即可.(1)因为()()sin sin2sin sin sina A c C Bb C B=-++，所以由正弦定理得()()22a c cb bc b=-++，整理得222b c a bc+-=，由余弦定理得2221cos22b c aAbc+-==．因为0Aπ<<，所以3Aπ=．(2)由正弦定理得)sin sin2sin sin sin sin sin2sin33b c B CB C B B Ba Aππ--⎛⎫⎛⎫==-=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为ABC为锐角三角形，所以0,220,32BBπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得62B ππ<<，所以636B πππ-<-<，所以11sin 232B π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，故)2b c a-的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
三角函数和解三角形知识点汇总
三角函数和解三角形知识点汇总知识点一三角函数（一）、角的概念的推广1．定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2．分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角．按终边位置不同分为象限角和轴线角．3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.（二）、弧度制的定义和公式1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式（三）、任意角的三角函数（四）、同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. 2．商数关系：sin αcos α＝tan α.（五）、三角函数的诱导公式知识点二 三角函数的图像与性质（一）、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).2．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).（二）、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )知识点三函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及应用（一）、“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：1．定点：如下表所示.2．作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.3．扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象.（二）、函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞) 表示一个振动量时，几个相关的概念如下表：（三）、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径知识点四 三角恒等变换（一）、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.（二）、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）、有关公式的逆用、变形等 1．tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2．cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2. 3．1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.（四）、函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .知识点五 解三角形（一）、正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则（二）、S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.（三）、实际问题中的常用角1．仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．如B点的方位角为α(如图2)．3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.。
2022版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第2讲三角恒等变换1
第四章 三角函数、解三角形第二讲 三角恒等变换练好题·考点自测1。
下列说法错误的是( ）A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的 B 。
存在实数α,β,使等式sin （α+β)=sin α+sin β成立 C 。
公式tan （α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tan α+tan β=tan （α+β）(1—tan αtan β）,且对任意角α,β都成立 D.存在实数α，使tan 2α=2tan α2。
[2020全国卷Ⅲ,9，5分］已知2tan θ-tan(θ+π4)=7，则tan θ=( ）A.-2 B 。
—1 C.1 D 。
23。
［2021大同市调研测试］已知tan α2=3，则sinα1-cosα=( )A 。
3B .13C .-3D 。
−134.[2019全国卷Ⅱ，11,5分][文]已知α∈(0，π2），2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= （ )A.15B .√55C 。
√33D.2√555。
［2020全国卷Ⅱ，13,5分][文］若sin x =−23，则cos 2x = 。
6.tan 67。
5°-tan 22。
5°= 。
7。
［2019江苏，13，5分]已知tanαtan (α+π4)=−23,则sin(2α+π4)的值是 .拓展变式1.［2020全国卷Ⅲ，5，5分］[文］已知sin θ+sin （θ+π3）=1，则sin （θ+π6)=（ )A .12B .√33C .23D .√222.1+cos20°2sin20°-sin 10°（1tan5°—tan 5°）= .3.已知α∈(0,π)，化简:(1+sinα+cosα)·(cos α2-sin α2)√2+2cosα= 。
4。
[2021陕西省部分学校摸底检测]数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m =√5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则m√4-m 22cos 227°-1= （ )A 。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形-第二节 同角三角函数基本关系及诱导公式
故选C.
≠ .
（2）已知方程sin2 + 2sin cos − 2sin − 4cos = 0,则cos 2 − sin cos =
() B
4 3
3 4
A.− B. C.− D.
5 5
5 5
[解析]因为方程 + − − = ,
角
2π + ∈
π+
−
关于原点对称
______________
π
−
2
关于轴对称
_____________
π
+
2
图示
与角终边的关系
相同
______
角
π −
续表
角
2π + ∈
π+
图示
与角终边的关系
关于轴对称
关于直线 = 对称
−
三、诱导公式
组数
一
二
三
= ,即 = ,即 = .
因为 ∈ , ,所以 = , =
.故 − = −
C
=−
.故选C.
1
5
2或
（2）已知sin − cos = ,则tan =_____.
sin2 +cos2
=
2tan2 + 3tan − 1
=
2
tan + 1
=
sin +cos
［对点训练2］（1）已知
sin −cos
《解直角三角形》教学PPT课件【青岛版九年级数学上册】 (2)
1．锐角三角函数的意义，Rt△ABC 中，设∠C＝90°，∠α 为 Rt△ABC 的一个锐角，则：
∠α的对边 ∠α的正弦 sinα＝____斜__边______；
∠α的邻边 ∠α 的余弦 cosα＝_____斜__边_____；
∠α的对边 ∠α的正切 tanα＝__∠__α_的__邻__边___．
锐角三角函数和解直角三角形
1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA， cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值．
2．
3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些 简单的实际问题．
(_3_)_边s_in_与A__＝角__的c_o_s关_B_系＝__：ac_，__c_o_s_A_＝__s_i_n_B_＝__bc_，__t_a_n_A_＝__ab_，___ta_n_B_＝ ___ba____．
5．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经 常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定 要根据题意明白其中的含义才能正确解题．
2．解直角三角形的类型和解法
命题点1：求锐角三角函数值 (2015·山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B， C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )D
A．2
25 B. 5
5 C. 5
1 D.2
命题点2：解直角三角形的实际应用 1．如图，某地建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在 同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热 气球从C地出发，垂直上升100 m到A处，在A处观察B地的俯角为 30°，则B，C两地之间的距离为( A )
3．同角三角函数之间的关系：
sin2α＋cos2α＝____1；
专题：三角函数及解三角形 第二课时 三角函数的图象与解析式(课件)高三数学二轮复习
（D）y=2sin（2x– ）
3
题型突破
题型一 三角函数的图象变换问题
2.(2022·浙江高考)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数 y 2sin3x
5
图象上所有的点 ( D )
A.向左平移 个单位长度
5
B.向右平移 个单位长度
5
C.向左平移 个单位长度
15
D.向右平移 个单位长度
( C)
A． 10π 9
B． 7π 6
C． 4π 3
D． 3π 2
题型突破
题型二 三角函数的图象及应用
7. 如 图 所 示 的 曲 线 为 函 数 f x Acosx A 0, 0, 的 部 分 图 象 , 将
2
y f x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再将所得曲线向右平移
2
8
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求 gx =
2sin 2x
达标检测
1.为了得到函数 y 2sin 2x 的图象，可以将函数y＝2sin
3
2x的图象(
C)
A．向右平移π 个单位长度 6
B．向右平移π 个单位长度 3
C．向左平移π 个单位长度 6
D．向左平移π 个单位长度 3
达标检测
15Leabharlann 题型突破题型一 三角函数的图象变换问题
3. （2021年全国乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1 2
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
3
y＝sin（x−
）的图像，则f（x）＝（
4
B
）
A．sin（
2
−
7）
第4章第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 高考数学一轮复习
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组， 通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章 三角函数、解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
内容索引
学习目标 核心体系 活动方案 备用题
内容索引
学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函 数的诱导公式进行求值、化简、证明．
内容索引
诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
内容索引
内容索引
活动一 基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】 因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12， 所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D