初中数学知识点精讲精析 全等三角形知识讲解

.11·1 全等三角形

要点精讲

1. 全等形和全等三角形

能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.“全等”用符号“”来表示，读作“全等于”.

注：

（1）全等三角形①形状、大小相同；②能够完全重合.

（2）记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

2. 全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）全等三角形的对应角相等.

注：寻找对应边、对应角的方法、规律

（1）有公共边的，公共边一定是对应边；

（2）有公共角的，公共角一定是对应角；

（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等.

3．全等变形

只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.全等变换包括以下三种：

（1）平移变换： 把图形沿某条直线平行移动；

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折；

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置.

注：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 在全等三角形中，我们把互相重合的边或角，叫做对应边或对应角. 重合的顶点叫做对应点. 全等用符号“≌”表示，“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是全等.

典型例题

例1. 如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，指出其他的对应边和对应角.

180

分析：先将△ABE 和△ACD 从复杂的图形中分离出来，找对应边（角）只能从这两个三角形中找，因为∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，所以另外一个角是对应角，它们所夹的边是对应边，对应角对的边是对应边.

解析：对应角有：∠BAE 和∠CAD ；对应边有：AB 和AC ，AE 和AD ，BE 和CD. 评析：做题时，按对应顶点的顺序写出“△ABE ≌△ACD ”，按字母的对应位置写出对应边：AB 与AC ，AE 与AD ，BE 与CD ；类似的，可写出它们的对应角，能有效地防止出错.

例2.如图所示，已知AB ＝CD ，BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF ，求证：AB ∥CD ，AE ∥CF.

分析：要证明两直线平行，常用方法是用平行线的判定定理，要使AB ∥CD ，只要∠ABE ＝∠CDF ，而这两个角是△ABE 和△CDF 的一对对应角，至于AE 与CF 的平行，只需∠AED ＝∠CFB ，这两个角不在△ABE 和△CDF 中，但却是∠AEB 与∠CFD 的邻补角. 证明：△ABE ≌△CDF ，AB ＝CD ，BE ＝DF

∴∠ABE ＝∠CDF

∠AEB ＝∠CFD （全等三角形的对应角相等）

∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）

而∠AED ＝180°－∠AEB

∠CFB ＝180°－∠CFD

∴∠AED ＝∠CFB （等角的补角相等）

则AE ∥CF

评析：全等三角形对应边相等，可应用于边的相互转化. 对应角相等可以用于角度转化.

A

B C

D E 1

2