沪教版(上海) 八年级数学上册 第19章 几何证明 期末复习 易错点专项训练 (含解析)
第19章几何证明期末复习易错点专项训练一．选择题（共11小题）
1．下列各命题中，假命题是
A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等
C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等
D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等
2．下列命题是真命题的是
A．两个锐角的和还是锐角
B．全等三角形的对应边相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
3．下列语句中，不是命题的是
A．如果，那么、互为相反数
B．同旁内角互补
C．作等腰三角形底边上的高
D．在同一平面内，若，，则
4．下列命题是真命题的是
A．相等的两个角是对顶角
B．好好学习，天天向上
C．周长和面积相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
5．下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是
A．含有角的两个直角三角形
B．腰相等的两个等腰三角形
C．边长相等的两个等边三角形
D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形
6．下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是A．1，1，B．1，C．1，，2D．
7．在下列以线段、、的长为边，能构成直角三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
8．已知内一点，如果点到两边、的距离相等，那么点A．在边的高上B．在边的中线上
C．在的平分线上D．在边的垂直平分线上
9．如图字母所代表的正方形的面积是
A．12B．13C．144D．194
10．如图，在中，点在边上，垂直平分边，垂足为点，若，且，则的度数是
A．B．C．D．
11．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的度数为
A．B．C．D．
二．填空题（共15小题）
12．如果点的坐标为，点的坐标为，则．
13．如图，在中，，，垂直平分交于，若，则．
14．在中，，，，以的边为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在的斜边上，则这个等腰三角形的腰长为．15．如图，在中，，平分，，，那么
的长是．
16．如图，中，平分，，，且的面积为2，则
的面积为．
17．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形的面积是．
18．如图，在中，已知点是边、垂直平分线的交点，点是、
角平分线的交点，若，则度．
19．如图，中，，，交于点，，则．
20．如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么度．
21．把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点，，在同一直线上．若，则．
22．如图，三角形三边的长分别为，，，其中、都是正整数．以、、为边分别向外画正方形，面积分别为、、，那么、、之间的数量关系为．
23．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果，那么．
24．如图，将一根长为的吸管，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为，则的取值范围是．
25．如图所示，一根长为的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为，高为，则吸管露出在杯外面的最短长度为．
26．如图，一棵大树在离地面、两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是．
三．解答题（共4小题）
27．已知中，，于点，平分，交于点，于点，说明．
28．已知：如图，中，，，，平分交于．求的长．
29．如图，在中，，是斜边上的中线，过点作于点，交于点，且．
（1）求的度数：
（2）求证：．
30．已知：如下图，和中，，为的中点，连接、．若，在上取一点，使得，连接交于．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
参考答案
一．选择题（共11小题）
1．下列各命题中，假命题是
A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等
C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等
D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等
解：、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；
、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；
故选：．
2．下列命题是真命题的是
A．两个锐角的和还是锐角
B．全等三角形的对应边相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
解：、两个锐角的和还是锐角，是假命题，例如；
、全等三角形的对应边相等，是真命题；
、同旁内角合并，两直线平行，本选项说法是假命题；
、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项说法是假命题；
故选：．
3．下列语句中，不是命题的是
A．如果，那么、互为相反数
B．同旁内角互补
C．作等腰三角形底边上的高
D．在同一平面内，若，，则
解：如果，那么、互为相反数；同旁内角互补；在同一平面内，若，，则，它们都是命题，
而作等腰三角形底边上的高为描述性的语言，它不是命题．
故选：．
4．下列命题是真命题的是
A．相等的两个角是对顶角
B．好好学习，天天向上
C．周长和面积相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
解：、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
、好好学习，天天向上，不是命题；
、周长和面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
、两点之间线段最短，是真命题；
故选：．
5．下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是
A．含有角的两个直角三角形
B．腰相等的两个等腰三角形
C．边长相等的两个等边三角形
D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形
解：、含有角的两个直角三角形，没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
、腰相等的两个等腰三角形，没有指明角相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
、边长相等的两个等边三角形，利用可得一定全等，选项符合题意；
、一个钝角对应相等的两个等腰三角形，没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
故选：．
6．下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是
A．1，1，B．1，C．1，，2D．
解：、，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
、，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
、，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
、，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．故选：．
7．在下列以线段、、的长为边，能构成直角三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
解：、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
、，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选：．
8．已知内一点，如果点到两边、的距离相等，那么点A．在边的高上B．在边的中线上
C．在的平分线上D．在边的垂直平分线上
解：，，，
在的角平分线上，
故选：．
9．如图字母所代表的正方形的面积是
A．12B．13C．144D．194
解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方，一直角边的平方，
根据勾股定理知，另一直角边平方，即字母所代表的正方形的面积是144．故选：．
10．如图，在中，点在边上，垂直平分边，垂足为点，若，且，则的度数是
A．B．C．D．
解：连接，
垂直平分边，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
11．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的度数为
A．B．C．D．
解：的垂直平分线交于点，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共15小题）
12．如果点的坐标为，点的坐标为，则5．
解：由两点间的距离公式可得．
故答案为：5．
13．如图，在中，，，垂直平分交于，若，则．
解：垂直平分，
，
，
，
，
．
故答案为．
14．在中，，，，以的边为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在的斜边上，则这个等腰三角形的腰长为或2．解：如图，
在中，，，，
，，
当时，作，
，，
，
等腰三角形的腰长为2，
当时，等腰三角形的腰长为，
故答案为或2．
15．如图，在中，，平分，，，那么
的长是．
解：作于，
由勾股定理得，，
在和中，
，
，，
，
在中，，即，
解得，，
故答案为：．
16．如图，中，平分，，，且的面积为2，则的面积为3．
解：过作于，于，
，
，解得，
平分，
，
，
，
故答案为3．
17．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形的面积是10．
解：根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，，于是，
即．
故答案是：10．
18．如图，在中，已知点是边、垂直平分线的交点，点是、
角平分线的交点，若，则36度．
解：如图，连接．
点是，的垂直平分线的交点，
，
，，
，
点是、角平分线的交点，
，
，
，
，
故答案为36．
19．如图，中，，，交于点，，则12．
解：中，，，
，
交于点，
，，
，
．
故答案为：12．
20．如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么120度．
解：是斜边的中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为120．
21．把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点，，在同一直线上．若，则．
解：如图，过点作于，
在中，，
，，
两个同样大小的含角的三角尺，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
故答案为：．
22．如图，三角形三边的长分别为，，，其中、都是正整数．以、、为边分别向外画正方形，面积分别为、、，那么、、之间的数量关系为．
解：，，，
，
是直角三角形，
设的三边分别为、、，
，，，
是直角三角形，
，即．
故答案为：．
23．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果，那么．
解：在中，，，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
故答案为：．
24．如图，将一根长为的吸管，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为，则的取值范围是．
解：如图，当筷子、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，最短，
此时，故；
当筷子竖直插入水杯时，最大，此时．
故答案为：．
25．如图所示，一根长为的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为，高为，则吸管露出在杯外面的最短长度为2．
解：设在杯里部分长为，
则有：，
解得：，
所以露在外面最短的长度为，
故吸管露出杯口外的最短长度是，
故答案为：2．
26．如图，一棵大树在离地面、两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是．
解：如图，作于点，
由题意得：，，
，
，
由勾股定理得：，
大树的高度为，
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
27．已知中，，于点，平分，交于点，于点，说明．