第二章(5)连续系统的微分算子方程
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与系统期末考试复习资料
第一章绪论1、选择题、f （5-2t ）是如下运算的结果 CA 、 f （-2t ）右移5B 、 f （-2t ）左移5C 、 f （-2t ）右移25 D 、 f （-2t ）左移25、f （t 0-a t ）是如下运算的结果 C 。
A 、f （-a t ）右移t 0；B 、f （-a t ）左移t 0 ；C 、f （-a t ）右移a t 0；D 、f （-a t ）左移at0 、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)()()(t u t e t r = 则该系统为 B 。
A 、线性时不变系统；B 、线性时变系统；C 、非线性时不变系统；D 、非线性时变系统 、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)()(2t e t r = 则该系统为 C 。
A 、线性时不变系统B 、线性时变系统C 、非线性时不变系统D 、非线性时变系统 、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)1()(t e t r -= 则该系统为 B 。
A 、线性时不变系统B 、线性时变系统C 、非线性时不变系统D 、非线性时变系统、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)2()(t e t r = 则该系统为 B A 、线性时不变系统 B 、线性时变系统 C 、非线性时不变系统 D 、非线性时变系统 .信号)34cos(3)(π+=t t x 的周期为 C 。
A 、π2 B 、π C 、2π D 、π2、信号)30cos()10cos(2)(t t t f -=的周期为： B 。
A 、15π B 、5π C 、π D 、10π、dt t t )2(2cos 33+⎰-δπ等于 B 。
、 若)(t x 是己录制声音的磁带,则下列表述错误的是： BA. )(t x -表示将此磁带倒转播放产生的信号B. )2(t x 表示将此磁带放音速度降低一半播放C. )(0t t x -表示将此磁带延迟0t 时间播放D. )(2t x 表示将磁带的音量放大一倍播放 .=⋅)]([cos t u t dtdA A ．)()(sin t t u t δ+⋅- B. t sin - C. )(t δ D.t cos．信号t t t x o 2cos 4)304cos(3)(++=的周期为 B 。
Z2.29 微分算子的性质
例： Py(t) Pf (t) , 不等于 y(t) f (t) (P 1)(P 2)y(t) (P 2)(P 3) f (t) , 不等于 (P 1) y(t) (P 3) f (t)
2
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
2.5 连续系统的微分算子描述
(1) P的正幂多项式可以因式分解；
例：
(P2 3P 2) y(t) (2P2 P) f (t)
可表示为： (P 1)(P 2)y(t) P(2P 1) f (t)
(2) 设A(P)、B(P)为P的正幂多项式； 则：A(P)B(P) B(P)A(P)
(3) 微分算子方程两边的公因子不能随意消去；
2.5 连续系统的微分算子描述
知识点Z2.29
第二章 连续系统的时域分析
微分算子的性质
主要内容：
微分算子的主要性质
基本要求：了解微分算子的主要 Nhomakorabea质1
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
2.5 连续系统的微分算子描述
第二章 连续系统的时域分析
Z2.29 微分算子的性质
P
3
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
第二章 连续系统的时域分析
(4) A(P)、B(P)、D(P)为P的正幂多项式：
有
D(P)
A(P)
D(P)
B(P)
f
(t)
A(P) B(P)
f
(t)
但
例：
A(P) D(P) f (t) A(P) f (t)
B(P) D(P)
《信号与系统》30道思考参考答案
13、试说明傅里叶变换、拉普拉斯变换和 Z 变换在信号分析中的作用、各自的 局限性及他们之间的联系。
答：傅里叶变换将系统的激励和响应关系从时域变换到频域来研究，从解微分方 程转化为解代数方程；拉普拉斯变换则将信号从时域变换到了复频域，同样也是 从解微分方程转化为解代数方程；z 变换是将时域离散时间序列变换成为 z 域的 连续函数，将离散问题转化成了连续问题。
对信号能够完成某种变换或运算功能的集合体称为系统。系统在哲学上有着 更为广泛的涵义：一般是指由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有某 种特定功能的整体。
系统分析与信号分析密不可分，对信号进行传输和加工处理，必须借助于系 统；离开了信号，系统将失去意义，分析系统就是分析某一个特定的信号，分析 信号与信号的相互作用，信号分析是系统分析的基础。所以信号与系统之间的关 系是相辅相成的，离开了信号谈论系统是毫无意义的，系统只能依靠信号的作用 才能显示出特性及用途，信号离开了系统，也就不能发挥其应有的作用。
方法是根据题意列出微分方程，然后求解微分方程。步骤是：（1）求解通解： 由方程左边部分得到的特征方程所得到的特征频率解得的系统的自然响应（或自 由响应）；（2）求特解：由激励得到系统的受迫响应；（3）代入初始条件，确定 通解和特解中的待定系数。
卷积法：将响应分成两个部分：（1）零输入响应：系统在没有输入激励的情
Step4：乘积，把变换后的两信号相乘； 例如： x(τ )h(t −τ )
Step5：积分，根据位移不同导致的信号乘积的不同结果，在非零区间进行积分
∫ 运算； 即 t2 x(τ )h(t −τ )dτ 。 t1
第2章_时域分析
1 1 2t 3 3 i(t ) e c1 cos t c2 sin t 2 2 2
e
1 t 2
3 3 3 3 c1 sin t c2 cos t 2 2 2 2
24
第二章 连续时间系统的时域分析
零状态响应求解
12
第二章 连续时间系统的时域分析
• 性质4 微分和积分的运算次序不能任意颠倒， 两种运算也不一定能抵消。
13
第二章 连续时间系统的时域分析
(三）转移算子 H ( p)
n阶线性微分方程为： d nr d n1r dr d me d m1e de an1 n1 a1 a0 r bm m bm1 m1 b1 b0 e n dt dt dt dt dt dt
– 受迫响应（强迫响应）
• 有输入激励时系统的响应。 • 对应于特解（只含外加激励频率项） 。
• 形式由微分方程的自由项或外加激励信号决定。
7
零输入响应与零状态响应
第二章 连续时间系统的时域分析
• 一个连续系统的完全响应，可以根据引起响应的不同原因， 将它分解为零输入响应和零状态响应两部分。
– 零输入响应
p n r an1 p n1r a1 pr a0 r bm p m e bm1 p m1e b1 pe b0 e
( p n an1 p n1 a1 p a0 )r (bm p m bm1 p m1 b1 p b0 )e 即
14
第二章 连续时间系统的时域分析
令
D( p) p n an1 p n1 a1 p a0
N ( p) bm p m bm1 p m1 b1 p b0
信号与系统讲义-2
f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
,
d
02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
_第二章连续系统的时域分析习题解答
第二章 连续系统的时域分析习题解答2-1图题2・1所示各电路中，激励为于亿)，响应为⑴和u 0(t)o 试列写各响应关于(“)(* + O.OO2" + £)"o(f)="詁=> (3p 4- 625)«0(/) = 375/(t);% =2xlO*o =>(3” + 625血=7.5x105；=>(/?2+p + l>0 =(/? + !)/; (/r+p + l)/0 =/.2・2求图题2」各电路中响应怙⑴和必⑴对激励/⑴的传输算子H(p)°鯉(、\H 375 .耳 5 J )⑴ _7.5x]0-” 解：(a)丹“心)一 口)一 3〃+ 625'"(")—/(/)一 3〃+ 625 '(b)- = 2P + i ; H (”)=鶴一 ------------------------------------ j (0 p + p + \ /(/) p +〃 + l给定如下传输算子H(p),试写岀它们对应的微分方程。
2-3(2)%)=锯;⑵第+ 2等+ 3广(4)兽+ 3器+2尸黑+ 3% —dr dr d r dr2-4已知连续系统的输入输岀算子方程及0-初始条件为：3"席篇：3)/(。
y (°H ，y'(oxi ；(2)w )=〃(；¥：；［8)m )，y (Q )= o, y'(0.) = i, y"(oj = o ；辺心洙為妙何皿…㈣".P 1 +P⑴心治 辺船；解：⑴器+7;辺 2需+3y = ^ + 3f;(b)如(/)=分1/F + p + 1试求系统的零输入响应y x (t)(t 0)o解：(1)/^ =-1, /A =-3, y(r) = ^e-z + A 2e-3f ,(2) p[ = 0,卩2.3 = 一2 ± j2, y(f) = A 】+ A 2e"2z cos(2r + A 3), Q = A { + A 2COS A^ 1 = -2A 2(COS A 3 +sin A 3)=> < 0 = 4A>2cos£A = 0 A 2 = 0.5 => y(/) = O.5e~2/ sin 2f, f MO ・心—90。
第2章信号与系统的时域分析
f 1 ( )
2012-8-10
f 2 ( t ) dt f 2 ( )
f 1 ( t ) dt 0
30
性质4 卷积时移连续信号与系统的时域分析 第2章
2012-8-10
31
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：
若f1(t)*f2(t)=y(t)， 则
n 1
( n 1 )!
2
( t ), ,
t
2
( t ), t ( t ), ( t ), ( t ),
n
2
d (t ) d (t ) d (t ) , , , , 2 n 2012-8-10 dt dt dt
3
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
,
f 1 ( t t1 ) f 2 ( t t 2 ) y ( t t1 t 2 )
式中，t1和t2为实常数。
(2.2-21)
2012-8-10
32
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
例 2.2 – 2 计算常数K与信号f(t)的卷积积分。 解 直接按卷积定义， 可得
K f (t ) f (t ) K
性质3 卷积的微分和积分
证
2012-8-10
27
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
(2) 应用式(2.2 - 8)及卷积运算的结合律， 可得
2012-8-10
28
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
(3) 因为
2012-8-10
29
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
同理，可将f2(t)表示为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
性质3 微分算子方程等号两边p的公因式不能随 便消去。例如，由下面方程
py(t ) pf (t )
不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t) 与f(t)之间可以相差一个常数c。 正确的结果应写为
y (t ) f (t ) c
也不能由方程 ( p a) y(t ) ( p a) f (t ) 通过直接消去方程两边的公因式 (p+a) 得到 y(t)=f(t) ， 因为y(t)与f(t)之间可以相差ce-at，其正确的关系是
( p 2 p 2)u1(t ) 2( p 1) f (t )
2
所以u1(t)对f(t)的传输算子为
2( p 1) H ( p) 2 p 2p 2
' 1
它表示输出与输入的关系是
u (t ) 2u (t ) 2u1(t ) 2 f ' (t ) 2 f (t )
解 画出算子模型电路如图(b)所示。列出网孔电 流方程如下：
1 1 1 p p i1 (t ) p i2 (t ) f (t ) 1 1 i1 (t ) 2 p 1 i2 (t ) 0 p p
1 1 ( p p 1) i1 (t ) i2 (t ) f (t ) p p
示。写出左端加法器的输出
x" (t ) x ' (t ) 3x (t ) f (t ) x" (t ) 5 x ' (t ) 3x (t ) f (t )
右端加法器的输出
y(t ) 2 x' (t ) 4 x(t )
求得系统的微分方程为
y" (t ) 5 y' (t ) 3 y(t ) 2 f ' (t ) 4 f (t )
如： ( p 2)( p 3) y (t ) ( p 2 5 p 6) y (t )
( p 4) f (t ) ( p 2)( p 2) f (t )
2
性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式， 则
A( p) B( p) f (t ) B( p) A( p) f (t )
y(t ) f (t ) ce
at
性质4
二 LTI系统的微分算子方程
对于LTI n阶连续系统，其输入输出方程是线性、 常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)， 则可表示为
它代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统 对输入的传输作用，故称H(p)为响应y(t) 对激励f(t)的 传输算子或系统的传输算子。
1 F 2
f (t) 2
＋ u 1 (t) － 2H f (t) 2
2 p
＋ u 1 (t) － 2p
(a )
(b )
解 画出算子模型电路如图 (b) 所示。由节点电压
法列出u1(t)的方程为
p 1 1 2 2 2 2p u1 (t ) f (t )
2.6 连续系统的微分算子方程
一 、 微分算子和积分算子
d p dt 1 t ()d p
式中，p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算
子。这样，可以应用微分或积分算子简化表示微分
和积分运算。例如：
对于微分方程：
可表示为：
性质1
以p的正幂多项式出现的运算式，在形式
上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。例
2
1 1 2 i1 (t ) (2 p p 1) i2 (t ) 0 p p
该方程组对新设变量而言是一个微分方程组， 可以用
代数方法求解，得
(2 p3 3 p2 4 p 2)i2 (t ) f (t )
" 1
例 3 如图(a)所示电路，电路输入为f(t)，输出为 i2(t)，试建立该电路的输入输出算子方程。
i 1 (t ) 1 ＋ f (t) －
1H
2H
i 2 (t ) 1 ＋ f (t ) －
i 1 (t )
பைடு நூலகம்
p
2p
i2 (t)
1F
1
i 1 (t )
1 p
i 2 (t )
1
(a )
(b )
写出系统的算子方程
( p 5 p 3) y(t ) (4 2 p) f (t )
2
于是，得到系统的传输算子为
4 2p H ( p) 2 p 5p 3
三 电路系统算子方程的建立
电路元件的算子模型表
例2 电路如图(a)所示，试写出u1(t)对f(t)的传输算子。
2
2
f (t)
H(p)
y(t)
用H(p)表示的系统输入输出模型
例 1 设某连续系统的系统框图如图所示，求其传输算子。
－2 x″(t) x′ (t ) x(t ) 4
f (t)
＋
∫
－5
∫
＋
y(t)
－3
解 选图中右端积分器的输出为中间变量x(t)，则
其输入为x′(t)，左端积分器的输入为 x″(t)， 如图所