上海初二八年级(上)数学知识点详细总结
《数学》(八年级上册)知识点总结
第一章 实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类?
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数
无理数 无限不循环小数 负无理数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: （1)开方开不尽的数，如32,7等；
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数，如3
π
+8等； （3）有特定结构的数,如０．1010０1000１…等； （４)某些三角函数值，如sin ６０o
等 二、平方根、算数平方根和立方根
１、算术平方根：一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即x 2
=a,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:记作“a ”，读作根号ａ。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
２、平方根:一般地,如果一个数ｘ的平方等于a,即ｘ2
＝a,那么这个数x 就叫做a 的平方根(或二次方根）。
表示方法:正数a 的平方根记做“a ±
”,读作“正、负根号ａ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 开平方：求一个数ａ的平方根的运算，叫做开平方。 0≥a 注意:a 的双重非负性:
a ≥0
３、立方根
一般地，如果一个数x 的立方等于ａ,即x 3
=a 那么这个数x 就叫做ａ 的立方根（或三次方根）。
表示方法:记作3a
性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意:33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、二次根式计算
１、含有二次根号“”;被开方数a 必须是非负数。
2、性质:
(1))0()(2
≥=a a a
)0(≥a a
(2）==a a 2
)0(<-a a
(3）)0,0(≥≥?=
b a b a ab ()0,0(≥≥=?b a ab b a )
（4)
)0,0(>≥=b a b
a b a ()0,0(>≥=
b a b
a
b
a ) ３、化简二次根式:把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例：2332182=?=。
(字母因式由根号内移到根号外时，必须考虑字母因式隐含的符号） 4、最简二次根式:化简后的二次根式需同时符合以下两个条件:⑴被开方数中各因式的指数都为1;⑵被开方数不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。
将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：
⑴如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的自述平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化；
⑵如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数,然后把能开方的因式或因数开出来，从而将式子化简。
化二次根式为最简二次根式的步骤: ⑴把被开方数分解质因数,化为积的形式； ⑵把根号内能开方的的因数移到根号外;
⑶化去根号内的分母,若被开方数的因数中有带分数要化成假分数,小数化成分数。 5、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同,那么这几个二次根式是同类二次根式。例:18、22、
22
1
。(判断是不是同类二次根式:首先，要看它们是不是最简二次根式；其次,看这些最简二次根式的被开方数是否相同) 6、二次根式的加法、减法:⑴化简，化成最简二次根式;⑵合并同类二次根(即将被开方
数相同的二次根式的系数进行合并)
７、二次根式的乘法、除法:⑴先完成根号内乘除，再化简二次根式；⑵小数化分数，带分数化假分数；⑶字母需考虑取值范围(不要忽视隐含条件）。
8、分母有理化：把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号，这种计算
叫做分母有理化。
第二章 一元二次方程
一、定义:只含有一个未知数,且未知数最高次数是二次的整式方程。 二、一般式:)0(02
≠=++a c bX aX 三、一元二次方程的解法:
1、开平方法:一般来说,形如d X =
2、)0(02
≠=+a c aX 的一元二次方程可以用开平方法。(三种情况:有两个不相等的实数根,等于０,没有实数根)
2、因式分解法:提取公因式、公式法（平方差、完全平方公式）、十字相乘法、分组分解法。
3、配方法:⑴移常数项;⑵化二次项系数为１;⑶配方,在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;⑷用开平方法求解；⑸结论。
4、公式法:⑴先把方程化为一般形式；⑵写出方程各项的系数ａ、b 、c 的值（要注意它们的符号);⑶计算ac b 42-;⑷当042
≥-ac b 时，将a 、ｂ、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根;⑸当ac b 42
-＜0时，方程没有实数根,就不必解了。
(开平方法、因式分解法一般适用于特殊形式的方程,而配方法、公式法是使用最普遍的方法,适用任意方程，其中:公式法计算较繁琐。） 四、一元二次议程根的判别式
1、定义：ac b 42
-叫做一元二次方程)0(02
≠=++a c bX aX 的根的判别式，通常用符号
“△”来表示，即△=ac b 42
-。
2、一元二次方程)0(02
≠=++a c bX aX 的根的情况与△的关系： ⑴△=??-042
ac b 方程有两个不相等的实数根。 ⑵△=?=-042ac b 方程有两个相等的实数根。 ⑶△=??-042
ac b 方程没有实数根。 3、由方程的情况求字母系数的值或取值范围 ⑴如果说方程有实数根，那么042
≥-ac b ；
⑵注意:因为是一元二次方程，不要遗漏隐含条件0≠a 。 五、一元二次议程的应用
1、二次三项式的概念:形如（a 、b 、c 都不为0）的多项式称为二次三项式。
2、二次三项式的因式分解:
⑴首先考虑能否提取公因式;⑵能否运用十字相乘法;⑶最后考虑用公式法。 3、列一元二次方程解应用题的一般步骤: ⑴审题⑵设元⑶列方程⑷解方程⑸检验⑹写答案 4、根据题意列方程时，必须同时满足以下四个条件:
⑴方程两边意义相同；⑵方程两边单位一致;⑶方程两边数值相等;⑷方程全面地反映了题中所有数量之间的关系。 5、列一元二次方程解题的类型:
⑴几何类问题（利用几何定理、面积公式等作解题依据，列出一元两次方程,解题）; ⑵增长(降低)率问题:如设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后为a(１+x),第二次增长后为a(1+x)2
；
⑶利润（销售)问题：常用等量关系有:利润=售价-进价（成本)、总利润=每件的利润×总件数、利润率=
00100?进价（或成本）
利润
、售价=标价×打折数等；
注意:解应用题时一定不要忘记检验所求的根是否符合实际问题的要求。 第三章 一次函数
一、函数:
一般地,在某一变化过程中有两个变量ｘ与y,如果给定一个ｘ值,相应地就确定了一个ｙ值,那么我们称ｙ是x 的函数,其中ｘ是自变量,y 是因变量。 二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数),分式（分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。 （1）.用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
（2)用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为０的一切实数。
（３）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。
(4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（５)对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。 三、函数的三种表示法及其优缺点
(1)关系式（解析)法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析）法。
(2）列表法
把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
（３）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、函数图像
函数图象的定义：一般的，对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 用描点法画函数的图象的一般步骤 ：
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。） 注意：列表时自变量由小到大,相差一样,有时需对称。
2、描点:(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。
3、连线：(按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。 五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,若两个变量ｘ,y 间的关系可以表示成b kx y +=(ｋ,b 为常数，ｋ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数(ｘ为自变量，ｙ为因变量)。
特别地,当一次函数b kx y +=中的b=0时(即kx y =)（k 为常数，k ≠0），称y 是ｘ的正比例函数，是一次函数的特例。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数b kx y +=的图像是经过点（０,b ）的直线;正比例函数kx y =的图像是经过
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数kx y =有下列性质:
(1)当k ＞0时，图像经过第一、三象限，y 随ｘ的增大而增大; (2）当k<０时,图像经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小。 5、一次函数的性质
一般地，一次函数b kx y +=有下列性质: (１）当k>0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k<0时，y 随x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式kx y =(k ≠0）中的常数k 。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。解这类问题的一般方法是待定系数法。
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法。
(1) 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x 为何值时函数y= ａx+b 的值为０。 （2) 求ax+ｂ=0(a ， ｂ是常数,a≠0)的解,从“形”的角度看，求直线y= ａｘ+b 与 x 轴交点的横坐标。
(3） 一次函数与一元一次不等式: 解不等式a ｘ＋b ＞0(a ，b 是常数,ａ≠０） 。从“数”的角度看，x 为何值时函数y ＝ ax+b 的值大于0。
（4)解不等式ax+b>0(a,b 是常数，a≠0）。 从“形”的角度看，求直线y= ax+b 在 x 轴上方的部分（射线)所对应的的横坐标的取值范围。
7、一次函数与一元一次方程的关系:
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0(k 、b 为常数，k ≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b(ｋ、b 为常数,k ≠0）.当函数值为0时，?即k ｘ+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为k ｘ+b=0(k 、b 为常数,ｋ≠0)的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为０时,求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线ｙ=kx ＋b 确定它与x 轴交点的横坐标值. 7、反比例函数
定义：一般地，形如x
k y =（k 为常数，o k ≠)的函数称为反比例函数。x k
y =
还可以写成kx y =1-
反比例函数解析式的特征:
⑴等号左边是函数y ,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k (也叫做比
例系数k ）,分母中含有自变量x ，且指数为１. ⑵比例系数0≠k
⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。
反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法
① 列表(应以Ｏ为中心,沿Ｏ的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点(有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线）
⑵反比例函数的图像是双曲线,x
k
y =(k 为常数,0≠k )中自变量0≠x ,函数值
0≠y ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标
轴,但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =
（0≠k )中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x
k
y = (0≠k )上任意引x 轴y 轴的垂线,所得矩形面积为k 。 k 的取值 图像所在象限
函数的增减性
o k > 一、三象限 在每个象限内,y 值随x 的增大而减小 o k <
二、四象限
在每个象限内，y 值随x 的增大而增大
的坐标即可求出k ) “反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,
但是反比例函数x
k
y =中的两个变量必成反比例关系。
第四章 几何证明
一、几何证明中常用的证明方法:
1、证明两直线平行——利用平行线的性质和判定,利用平行线的判断定理及其推论来证明，这是证明两直线平行最基本的方法，关键是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系。
2、证明两线段相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定 (1）如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等,有时可能缺少直接条件,要证明两次全等； （2)有时两线段分别在两个三角形中，但这两个三角形不全等,那么可添辅助线构造全等三角形来证。常添的辅助线有：平行线、垂线、中线、连结线段等。
(３）如果两线段是一个三角形的两边,可证它们所对的角相等、等角对等边; (4）证明两条线段都等于第三条线段,即以第三条线段为媒介。
３、证明两角相等——利用三角形全等的性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定。 4、证明两直线互相垂直——利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质。
*5、证一线段等于另一线段的2倍或一半——利用加倍法或拆分法常常要作辅助线。 添辅助线：由于证明的需要，可以在原来的图上添画一些线,即添加辅助线来完成一些几何证明,辅助线通常画成虚线。 三角形证明题中常见在辅助线做法:利用三角形的主要线段构造全等三角形 。 二、全等三角形
1、定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质
（1)：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）:全等三角形的周长相等、面积相等。
（3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定
边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”）
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“ＳAS”)
4（1）：已知两边----找第三边(SSS )
找夹角（SAS )(2):已知一边一角---已知一边和它的邻角
找是否有直角(HL )
已知一边和它的对角
找这边的另一个邻角(ASA )
找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角(AAS )找一角(AAS )
已知角是直角，找一边(HL )
(3):已知两角---找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS )
1、勾股定理的定义
直角三角形两直角边a ，ｂ的平方和等于斜边ｃ的平方,即2
2
2
c b a =+ ２、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,ｂ,c 有关系2
2
2
c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 ３、勾股数:满足2
2
2
c b a =+的三个正整数,称为勾股数。
几何主要定义：
(1)角
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。
(2)相交线与平行线
同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等;
对顶角的性质：对顶角相等
垂线的性质:
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短;
线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线;
平行线的定义:在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；
平行线的判定：
①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补,两直线平行；
平行线的特征：
①两直线平行,同位角相等;
②两直线平行，内错角相等；
③两直线平行,同旁内角互补；
平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
(3）三角形
三角形的三边关系定理及推论:三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于；
三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和;
三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内
角;
角形的三条角平分线交于一点(内心）;
三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心)；
三角形中位线定理:三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半;
全等三角形的判定：
①边角边公理（SAS)
②角边角公理(ASA）
③角角边定理（ＡAS）
④边边边公理(SSS)
⑤斜边、直角边公理(HL)
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等;
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一）
等腰三角形的判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形;
直角三角形的性质:
①直角三角形的两个锐角互为余角；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理)；
④直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半;
直角三角形的判定:
①有两个角互余的三角形是直角三角形;
②如果三角形的三边长a、ｂ、ｃ有下面关系,那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。
公式：
1、长方形的周长=(长+宽）×２
?C=（a+b)×2
2、正方形的周长=边长×４
Ｃ＝４a
3、长方形的面积=长×宽
Ｓ＝ab
4、正方形的面积＝边长×边长
S=a.a＝a2
5、三角形的面积＝底×高÷２
S=ａh÷2
6、平行四边形的面积＝底×高
Ｓ=ah
7、梯形的面积=(上底+下底）×高÷2
?S=（a+ｂ）×h÷2
8、圆的周长=圆周率×直径＝圆周率×半径×2
ｃ=πd =２πr
9、圆的面积=圆周率×半径×半径
S＝πr2
10、菱形面积=对角线乘积的一半
S＝（a×b）÷2
11、弧长计算公式：Ｌ=n兀R／1８０
12、扇形面积公式：S扇形＝n兀Ｒ2／36０＝LR/２