高考数学二轮复习 函数与导数 课时考点1 函数的性质及应用

课时考点1 函数的性质及应用

高考考纲透析：

（1）了解映射的概念，理解函数的概念。(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质.掌握指数函数的概念、图像和性质。(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质。(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

高考风向标：

映射与函数的概念、函数单调性、奇偶性、周期性、函数的值域与最值、反函数、函数图象、指数函数、对数函数、二次函数、函数的综合应用。尤其是函数的单调性、奇偶性、周期性、反函数复现率较高。

高考试题选：

1. 若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则

)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-

+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）5

12+x 2. 若函数)1,0)(1(log )(≠>+=a a x x f a 的定义域和值域都是[0，1]，则a=

（ ）

(A)

3

1

(B)

2

(C)

2

2 (D)2

3. 函数]1,0[)1(log )(2

在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）

A ．

41 B ．2

1 C ．

2 D ．4 4. 设

)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0'+

'x g x f x g x f

且,0)

3(=-g 则不等式0)()(

（ ）

A ．),3()0,3(+∞⋃-

B ．)3,0()0,3(⋃-

C ．),3()3,(+∞⋃--∞

D ．)3,0()3,(⋃--∞

5. 已知函数223)(x ax x f -

=的最大值不大于6

1，又当.8

1

)(,]21,41[

≥∈x f x 时 （1）求a 的值； （2）设.1

1

.),(,21011+<∈=<

<

++n a N n a f a a n n n 证明 6. )(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间（0，6）内解的个数的

最小值是

（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

热点题型1 对数函数与二次函数复合而成的复合函数的性质

例1：是否存在实数a ，使函数)(log )(2

x ax x f a -=在区间]4,2[上是增函数？如果存在，说明a 可取哪些值；如果不存在，请说明理由。

解题分析：解答此题要把握三点：一是对数的底数a 对单调性的影响，二是二次函数

x ax x g -=2)(的开口方向与对称轴对单调性的影响，三是真数x ax x g -=2)(在给定区

间上要大于0。然后利用复合函数的单调性等知识加以解决。

变式一：已知集合⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

≥⋅=24log )4(log |2

4

2x x x A ，求函数)(441

2A x y x x ∈+=+的值域。 解题分析：解答此题要把握三点：一是有关两对数积的方程或不等式的常用处理方法（化同

底，真数积商化为对数的和差展开，化为关于对数的方程或不等式。）；二是换元后注意新变量的范围；三是二次函数求值域－配方。

热点题型2 抽象函数的性质及应用

例2：设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－，]上的根的个数，并证明你的结论.

解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和, 从而知函数)(x f y =不是奇函数,

由)14()4()

14()()

4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨

⎧+=-+=-

)10()(+=⇒x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T

又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;

(II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-

)10()(+=⇒x f x f

(II) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,]上有402个 解,在[-.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-,]上有802个解.

变式二：已知定义在R 上的函数)(x f 为奇函数，且在),(+∞-∞上是增函数，对任意实数

R ∈θ，问是否存在这样的实数m ，使得)0()cos 24()32(cos f m m f f >-+-θθ对一切的θ都成立？证明你的结论。

解题分析：解答此题要把握三点：一是0)0(=f ，原式转化为m m 4cos 232cos ->-θθ恒成立；二是θ,m 分离，2

cos 2

2cos 44cos 232cos -+

-+=-->

θθθθm 恒成立；三是不等式求最值时，注意一正、二定、三相等。

热点题型3 函数阅读题

例3：对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函数