2020_2021学年新教材高中数学3.2.1.1函数的单调性课件新人教A版必修第一册
(2)函数f(x)= 3 在(-∞，0)∪(0，+∞)上是减函数. ( )
x
(3)函数f(x)在某一区间D上要么是单调递增要么是单调递减. ( )
2.函数y=f(x)的图象如图所示，其减区间是 ( )
A.[-4，4]
B.[-4，-3]∪[1，4]
C.[-3，1]
D.[-4，-3]，[1，4]
【解析】选D.由图象知函数在[-4，-3]以及[1，4]上单调递减，则对应的减区
间为[-4，-3]，[1，4].
3.(教材二次开发：例题改编)若函数f(x)=(2k-1)x+1是减函数，则实数k的取
值范围是_______. 【解析】由题意知，2k-1<0，解得k<1 .
2
答案：(, 1 )
2
关键能力·合作学习
类型一 利用图象求函数的单调区间(数学抽象、直观想象) 【题组训练】 1.(2020·龙岩高一检测)图中是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，则下列 关于函数f(x)的说法错误的是 ( ) A.函数在区间[-5，-3]上单调递增 B.函数在区间[1，4]上单调递增 C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减 D.函数在区间[-5，5]上没有单调性
f (x)
(2)在公共定义域内，两增函数的和仍为增函数，增函数减去一个减函数所得
的函数为增函数.
(3)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
(4)当c>0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；
当c<0时，函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性.
2.函数y=x+ a (a≠0)的单调性
【题组训练】
1.(2020·沈阳高一检测)f(x)=x|x|，若f(2m+1)+f(1-m)>0，则m的取值范围
是 ()
A.(-∞，-1)
B.(-∞，-2)
C.(-1，+∞)
D.(-2，+∞)
【解析】选D.因为f(x)=x|x|=
x2，x 0，
x
2，x
0，
所以f(x)在R上是增函数，且f(-x)=-f(x)，
1, x 0,
12 1, x
0,
由函数的图象知：函数的单调递增区间为
(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为[0，1].
类型二 利用定义证明函数的单调性(数学抽象、逻辑推理)
【典例】证明函数f(x)= 1 在区间(2，+∞)上单调递减.
x2 4
四步
内容
理解 题意
条件：函数f(x)= 1 ，x∈(2，+∞)
利用定义法证明函数单调性的关键是作差之后的变形，且变形的
结果是几个因式乘积的形式.
【解题策略】利用定义证明函数单调性的步骤
【题组训练】
(2020·哈尔滨高一检测)求证：函数f(x)=- 1 -1在区间(-∞，0)上单调递增.
x
【证明】∀x1，x2∈(-∞，0)，且x1<x2<0，
因为f(x1)-f(x2)=
x
值范围是
()
A.k≥1
B.k≤1
C.k>1
D.k<1
【解析】选D.k-1>0时，
由y= k 1可知，在区间(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减，不合题意；
x
当k-1<0时，由y=k 1可知，在区间(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故k<1.
x
4.若f(x)是减函数，且f(3x-2)<f(3)，则x的取值范围是_______.
2
【解题策略】图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象. (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间.
【补偿训练】
画出函数y=|x|(x-2)的图象，并指出函数的单调区间.
【解析】y=|x|(x-2)= 函数的图象如图所示.
x
2
x
2x x 12 2 2x x
x12
x12 4
x
2 2
4
x2 x1 x2 x1 .②
x12 4
x
2 2
4
因为2<x1<x2，所以x2-x1>0，x12 4, x22 4, 所所以以函f(数x1)f-(fx()x=2)x>210，4 即在f((2x，1)+>∞f()x上2).单调递减. 注意书写的规范性：
①x1，x2取值任意且分大小；②变形是解题关键.
【思考】
函数y=f(x)在定义域内的每一个区间D1，D2，…上都单调递减，那么函数在定 义域上是减函数吗？你能举例说明吗？ 提示：不是.如函数y= 1在(-∞，0)，(0，+∞)上都单调递减，但在定义域上
x
不具有单调性.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数f(x)=x2，因为-1<2，且f(-1)<f(2)，则函数是增函数. ( )
角度2 分段函数的单调性
a 1 x 1, x 1,
【典例】(2020·宜春高一检测)已知函数f(x)= 是增函数，则实数a的取值范围是_______.
1 2
ax
2
ax 1, x
1
【思路导引】分别考查x≥1，x<1，分界点三个方面的因素求范围.
【解题策略】 1.解抽象函数不等式问题的方法 利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ” 脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，要注意函数的定义域. 2.分段函数的单调性 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数， 则分界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则分界点左侧值大于等于 右侧值.
x
x
为(-∞，0)和(0，+∞).
【拓展训练】
(2020·杭州高一检测)函数y=2x+ 4 的单调递增区间为_______.
x
【解析】y=2(x 2，) 由对勾函数的图象可知，
x
单调递增区间为(-∞，- )和2 ( ，+2∞).
答案：(-∞，- )和2 ( ，+2 ∞)
类型三 函数单调性的简单应用(数学抽象、逻辑推理)
【思考】函数单调性的定义中，能否将“∀”改为“∃”？ 提示：不能，一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性.
2.单调函数与函数的单调性 (1)单调函数：当函数在它的定义域上单调递增(减)时，就称它是增(减)函 数； (2)单调性与单调区间：如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么 就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)_单__调__性__，区间D叫做y=f(x)的_单__调__ _区__间__.
角度1 利用单调性解不等式
【典例】(2020·佛山高一检测)函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(2)=
-1，则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是 ( )
A.(3，+∞) B.(-∞，3)
C.[2，3)
D.[0，3)
【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围.
【变式探究】 本例的条件若改为“单调递增”，试求x的取值范围. 【解析】因为f(2)=-1， 所以由f(2x-4)>-1，得f(2x-4)>f(2)， 又f(x)在[0，+∞)上单调递增， 所以2x-4>2，解得x>3.
x
(1)若a>0，函数y=x+ a 的图象如图1所示，
x
则函数y=x+ a 的单调增区间是(-∞，- a ]和[ a ，+∞)，单调减区间是
x
(- a ，0)和(0， a ).
(2)若a<0，其图象如图2所示，
函数y=x+ a 在(-∞，0)和(0，+∞)上均单调递增，即y=x+ a 的单调增区间
f( x )=f(x)-f(y).
y
(1)证明函数f(x)是增函数.
(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f( 1 )<2.
3
课堂检测·素养达标
1.函数y=|x|-1的单调递减区间为
()
A.(0，+∞) B.(-∞，0)
C.(-∞，-1) D.(-1，+∞)
【解析】选B.当x≥0时，y=|x|-1=x-1，此时函数为增函数，
【解析】函数的定义域为R.由条件可知，3x-2>3， 解得x> 5 .
3
答案：(5 , )
都有_f_(_x_1)_>_f_(_x_2_)_
f(x)在区间D上单调_递__增__
f(x)在区间D上单调_递__减__
(2)本质：函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律，定量地刻画了函 数在区间上图象的变化趋势，是函数诸多性质中最核心、最本质的性质. (3)应用：证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等.
2.(2020·海淀高一检测)下列函数中，在区间(0，1)上单调递增的是( )
A.y=|x|-2
B.y=|x-3|
C.y= 1
x
D.y=-x2
3.(2020·周口高一检测)函数y=|x|(1-x)在区间A上单调递减，那么区间A
是 ()
A.(-∞，0) C.[0，+∞)
B.[0, 1 ]
2
D.(-∞，0)，(1 , )
2
2
即m的取值范围为m≤0或m≥4.
答案：m≤0或m≥4
【典例备选】抽象函数的单调性(数学抽象、逻辑推理) 【典例】(2020·抚顺高一检测)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)是增函数. (2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2. 【思路导引】(1)按照单调性的定义，构造f(x2)-f(x1)，再判断符号. (2)将2化为f(x0)的形式，再利用单调性解不等式.
x
(3)函数f(x)在某一区间D上要么是单调递增要么是单调递减. ( )
2.函数y=f(x)的图象如图所示，其减区间是 ( )
A.[-4，4]
B.[-4，-3]∪[1，4]
C.[-3，1]
D.[-4，-3]，[1，4]
【解析】选D.由图象知函数在[-4，-3]以及[1，4]上单调递减，则对应的减区
间为[-4，-3]，[1，4].
3.(教材二次开发：例题改编)若函数f(x)=(2k-1)x+1是减函数，则实数k的取
值范围是_______. 【解析】由题意知，2k-1<0，解得k<1 .
2
答案：(, 1 )
2
关键能力·合作学习
类型一 利用图象求函数的单调区间(数学抽象、直观想象) 【题组训练】 1.(2020·龙岩高一检测)图中是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，则下列 关于函数f(x)的说法错误的是 ( ) A.函数在区间[-5，-3]上单调递增 B.函数在区间[1，4]上单调递增 C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减 D.函数在区间[-5，5]上没有单调性
f (x)
(2)在公共定义域内，两增函数的和仍为增函数，增函数减去一个减函数所得
的函数为增函数.
(3)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
(4)当c>0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；
当c<0时，函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性.
2.函数y=x+ a (a≠0)的单调性
【题组训练】
1.(2020·沈阳高一检测)f(x)=x|x|，若f(2m+1)+f(1-m)>0，则m的取值范围
是 ()
A.(-∞，-1)
B.(-∞，-2)
C.(-1，+∞)
D.(-2，+∞)
【解析】选D.因为f(x)=x|x|=
x2，x 0，
x
2，x
0，
所以f(x)在R上是增函数，且f(-x)=-f(x)，
1, x 0,
12 1, x
0,
由函数的图象知：函数的单调递增区间为
(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为[0，1].
类型二 利用定义证明函数的单调性(数学抽象、逻辑推理)
【典例】证明函数f(x)= 1 在区间(2，+∞)上单调递减.
x2 4
四步
内容
理解 题意
条件：函数f(x)= 1 ，x∈(2，+∞)
利用定义法证明函数单调性的关键是作差之后的变形，且变形的
结果是几个因式乘积的形式.
【解题策略】利用定义证明函数单调性的步骤
【题组训练】
(2020·哈尔滨高一检测)求证：函数f(x)=- 1 -1在区间(-∞，0)上单调递增.
x
【证明】∀x1，x2∈(-∞，0)，且x1<x2<0，
因为f(x1)-f(x2)=
x
值范围是
()
A.k≥1
B.k≤1
C.k>1
D.k<1
【解析】选D.k-1>0时，
由y= k 1可知，在区间(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减，不合题意；
x
当k-1<0时，由y=k 1可知，在区间(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故k<1.
x
4.若f(x)是减函数，且f(3x-2)<f(3)，则x的取值范围是_______.
2
【解题策略】图象法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图象. (2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间.
【补偿训练】
画出函数y=|x|(x-2)的图象，并指出函数的单调区间.
【解析】y=|x|(x-2)= 函数的图象如图所示.
x
2
x
2x x 12 2 2x x
x12
x12 4
x
2 2
4
x2 x1 x2 x1 .②
x12 4
x
2 2
4
因为2<x1<x2，所以x2-x1>0，x12 4, x22 4, 所所以以函f(数x1)f-(fx()x=2)x>210，4 即在f((2x，1)+>∞f()x上2).单调递减. 注意书写的规范性：
①x1，x2取值任意且分大小；②变形是解题关键.
【思考】
函数y=f(x)在定义域内的每一个区间D1，D2，…上都单调递减，那么函数在定 义域上是减函数吗？你能举例说明吗？ 提示：不是.如函数y= 1在(-∞，0)，(0，+∞)上都单调递减，但在定义域上
x
不具有单调性.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数f(x)=x2，因为-1<2，且f(-1)<f(2)，则函数是增函数. ( )
角度2 分段函数的单调性
a 1 x 1, x 1,
【典例】(2020·宜春高一检测)已知函数f(x)= 是增函数，则实数a的取值范围是_______.
1 2
ax
2
ax 1, x
1
【思路导引】分别考查x≥1，x<1，分界点三个方面的因素求范围.
【解题策略】 1.解抽象函数不等式问题的方法 利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ” 脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，要注意函数的定义域. 2.分段函数的单调性 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数， 则分界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则分界点左侧值大于等于 右侧值.
x
x
为(-∞，0)和(0，+∞).
【拓展训练】
(2020·杭州高一检测)函数y=2x+ 4 的单调递增区间为_______.
x
【解析】y=2(x 2，) 由对勾函数的图象可知，
x
单调递增区间为(-∞，- )和2 ( ，+2∞).
答案：(-∞，- )和2 ( ，+2 ∞)
类型三 函数单调性的简单应用(数学抽象、逻辑推理)
【思考】函数单调性的定义中，能否将“∀”改为“∃”？ 提示：不能，一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性.
2.单调函数与函数的单调性 (1)单调函数：当函数在它的定义域上单调递增(减)时，就称它是增(减)函 数； (2)单调性与单调区间：如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么 就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)_单__调__性__，区间D叫做y=f(x)的_单__调__ _区__间__.
角度1 利用单调性解不等式
【典例】(2020·佛山高一检测)函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(2)=
-1，则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是 ( )
A.(3，+∞) B.(-∞，3)
C.[2，3)
D.[0，3)
【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围.
【变式探究】 本例的条件若改为“单调递增”，试求x的取值范围. 【解析】因为f(2)=-1， 所以由f(2x-4)>-1，得f(2x-4)>f(2)， 又f(x)在[0，+∞)上单调递增， 所以2x-4>2，解得x>3.
x
(1)若a>0，函数y=x+ a 的图象如图1所示，
x
则函数y=x+ a 的单调增区间是(-∞，- a ]和[ a ，+∞)，单调减区间是
x
(- a ，0)和(0， a ).
(2)若a<0，其图象如图2所示，
函数y=x+ a 在(-∞，0)和(0，+∞)上均单调递增，即y=x+ a 的单调增区间
f( x )=f(x)-f(y).
y
(1)证明函数f(x)是增函数.
(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f( 1 )<2.
3
课堂检测·素养达标
1.函数y=|x|-1的单调递减区间为
()
A.(0，+∞) B.(-∞，0)
C.(-∞，-1) D.(-1，+∞)
【解析】选B.当x≥0时，y=|x|-1=x-1，此时函数为增函数，
【解析】函数的定义域为R.由条件可知，3x-2>3， 解得x> 5 .
3
答案：(5 , )
都有_f_(_x_1)_>_f_(_x_2_)_
f(x)在区间D上单调_递__增__
f(x)在区间D上单调_递__减__
(2)本质：函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律，定量地刻画了函 数在区间上图象的变化趋势，是函数诸多性质中最核心、最本质的性质. (3)应用：证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等.
2.(2020·海淀高一检测)下列函数中，在区间(0，1)上单调递增的是( )
A.y=|x|-2
B.y=|x-3|
C.y= 1
x
D.y=-x2
3.(2020·周口高一检测)函数y=|x|(1-x)在区间A上单调递减，那么区间A
是 ()
A.(-∞，0) C.[0，+∞)
B.[0, 1 ]
2
D.(-∞，0)，(1 , )
2
2
即m的取值范围为m≤0或m≥4.
答案：m≤0或m≥4
【典例备选】抽象函数的单调性(数学抽象、逻辑推理) 【典例】(2020·抚顺高一检测)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)是增函数. (2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2. 【思路导引】(1)按照单调性的定义，构造f(x2)-f(x1)，再判断符号. (2)将2化为f(x0)的形式，再利用单调性解不等式.
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人教A版高中数学必修一第一章：函数的单调性课件
例3 、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。
扩展作业：
已知函数f(x)在定义域(-1，1)上是 增函数，且f(m+1)-f(-m)＞0，求 实数m的取值范围。
m ( 1 ,0) 2
三、例题讲解 [例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的 图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每 一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数.
y3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的 常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以 包括端点，也可以不包括端点。
着x的增大而 ________ ．
思考2：函数
的单调区间是什么？
取数:任取 ，且 ；
例3 、若函数f(x)=x +2(a-1)x+2在区间 利用定义确定或证明函数 在给定的
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
2
(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。 4.
思考2：函数
的单调区间是什么？
单调性.
练习：课本P32第4题
练习：
证明函数f (x) x 1在（1，+∞）
上为增函数。
x
作业布置： 课本P39 A组第1、2、3题 课本P44，A组第9题。
补充例题：
作差: ； 例1、讨论函数 f(x)x22ax3
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
在(-2,2)内的单调性 思考2：函数
的单调区间是什么？
3.1.1 函数的概念 课件(1)-人教A版高中数学必修第一册(共35张PPT)
思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进 了350km，这个说法正确吗？
不正确。
对应关系应为S=350t，其中，t A1 {t | 0 t 0.5}, s B1 {s | 0 s 175}
问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果 公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为 该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作 天数d的函数吗？
ab ab
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞）
x≥a
x >a
x≤b
x<b
[a，+∞） （a，+∞） （ -∞ ，b] （-∞，b）
注意： 1.区间（a,b）,必须有b>a 2.区间只能表示数集 3.区间不能表示单元素集 4.区间不能表示不连续的数集 5.区间的左端点必须小于右端点； 6.区间都可以用数轴表示； 7.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
第三章
人教2019A版必修 第一册
函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
1.初中学习的函数的定义是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与 它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自 变量，y叫因变量.
2.回顾初中学过哪些函数？
（1）一次函数 y ax b,(a 0)
（2）正比例函数
y k , (k 0) x
（3）反比例函数 y kx, (k 0)
（4）二次函数 y ax2 bx c,(a 0)
问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内， 列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示 为 S=350t。
不正确。
对应关系应为S=350t，其中，t A1 {t | 0 t 0.5}, s B1 {s | 0 s 175}
问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果 公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为 该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作 天数d的函数吗？
ab ab
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞）
x≥a
x >a
x≤b
x<b
[a，+∞） （a，+∞） （ -∞ ，b] （-∞，b）
注意： 1.区间（a,b）,必须有b>a 2.区间只能表示数集 3.区间不能表示单元素集 4.区间不能表示不连续的数集 5.区间的左端点必须小于右端点； 6.区间都可以用数轴表示； 7.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
第三章
人教2019A版必修 第一册
函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
1.初中学习的函数的定义是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x和y， 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与 它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自 变量，y叫因变量.
2.回顾初中学过哪些函数？
（1）一次函数 y ax b,(a 0)
（2）正比例函数
y k , (k 0) x
（3）反比例函数 y kx, (k 0)
（4）二次函数 y ax2 bx c,(a 0)
问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内， 列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示 为 S=350t。
人教A版必修1高一数学18导数与函数的单调性【课件】
2.［人B选必三P95练习B第1题变式］对于上可导的任意函数,若满足 ,则必有( )
C
A. B. C. D.
【解析】由，得或①函数在上单调递减， ;在上单调递增，，所以.②若函数 为常数函数，则.综合①②得 .故选C.
3.［人B选必三P114复习题C组第2题变式］已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有 ，则下列表述正确的是( )
求解含参函数的单调性的技巧对于含参数的函数的单调性问题，一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.如果一阶导数的正负不好判断，那么需要对一阶导函数进行求导，判断二阶导数的正负.分类讨论主要是：①讨论 是否有根；②讨论 的根是否在定义域内；③讨论根的大小关系.
注意 （1）讨论含参数的函数的单调性时优先考虑导数是否恒大于0或恒小于0，再考虑可能大于0或小于0的情况；（2）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如 , （ 在 时取到）， 在 上是增函数.
变式4 在区间上单调已知函数，若函数在上单调递减，则实数 的取值范围为__________.
【解析】 解法一 因为在上单调递减，所以在上恒成立.所以 即 解得,即实数的取值范围为 .解法二 由题意知在上恒成立，所以在 上恒成立.记,当时，,（由对勾函数的单调性可得）所以,即实数 的取值范围为 .
【解析】 由变式4知在上单调递减时，的取值范围是.若在 上单调递增，则在上恒成立，又在上的值域为,所以实数 的取值范围是,所以函数在上单调时，实数的取值范围是,故 在上不单调时，实数的取值范围是 （补集思想的应用）
变式7 递增和递减区间同时存在如果函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增，则实数 的取值范围是( )
2.确定单调区间端点值的两个依据：（1）导函数等于0的点；（2）函数不连续的点.
C
A. B. C. D.
【解析】由，得或①函数在上单调递减， ;在上单调递增，，所以.②若函数 为常数函数，则.综合①②得 .故选C.
3.［人B选必三P114复习题C组第2题变式］已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有 ，则下列表述正确的是( )
求解含参函数的单调性的技巧对于含参数的函数的单调性问题，一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.如果一阶导数的正负不好判断，那么需要对一阶导函数进行求导，判断二阶导数的正负.分类讨论主要是：①讨论 是否有根；②讨论 的根是否在定义域内；③讨论根的大小关系.
注意 （1）讨论含参数的函数的单调性时优先考虑导数是否恒大于0或恒小于0，再考虑可能大于0或小于0的情况；（2）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如 , （ 在 时取到）， 在 上是增函数.
变式4 在区间上单调已知函数，若函数在上单调递减，则实数 的取值范围为__________.
【解析】 解法一 因为在上单调递减，所以在上恒成立.所以 即 解得,即实数的取值范围为 .解法二 由题意知在上恒成立，所以在 上恒成立.记,当时，,（由对勾函数的单调性可得）所以,即实数 的取值范围为 .
【解析】 由变式4知在上单调递减时，的取值范围是.若在 上单调递增，则在上恒成立，又在上的值域为,所以实数 的取值范围是,所以函数在上单调时，实数的取值范围是,故 在上不单调时，实数的取值范围是 （补集思想的应用）
变式7 递增和递减区间同时存在如果函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增，则实数 的取值范围是( )
2.确定单调区间端点值的两个依据：（1）导函数等于0的点；（2）函数不连续的点.
数学：3.3《函数的单调性与导数》课件(新人教版A选修1-1)
上面是否可得下面一般性的结论:
1.回顾一下函数单调性的定义，利用导数的几何 意义，研究单调性的定义与其导数正负的关 系？ 在某个区间（a,b）内， ①如果f’(x)>0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递增. ②如果f’(x)<0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调 递减.
1.如果在某个区间内恒有f’(x)＝0，那么函数f(x) 有什么特性？
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x )min
练习2 若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
已知函数f (x)= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0,
解：f (x)=2ax - x3在（ 0， 1]上是增函数， f '(x)=2a - 3x 0在（ 0， 1]上恒成立， 3 2 即：a x 在（0， 1]上恒成立， 2 3 2 3 而g( x ) x 在（0， 1]上的最大值为 ， 2 2 3 a 。 3 2 [ , )
练习: 已知 x 1 ，求证： x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性,
根据函数的单调性比较函数值大小
单调性的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或 单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的 单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
解: (3) 因为
, 所以
因此, 函数
在
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
3.会利用单调性求参数取值范围．(重点)
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最值课件 新人教A版必修1
(1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多 少？
第三十四页，共48页。
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后 将结果应用于现实，做出解释或预测． 也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对 此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个 实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至 少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值 定义 函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值 几何 函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的 意义 纵坐标 说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的 定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，， 解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值 的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上 是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上 是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
第三十四页，共48页。
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后 将结果应用于现实，做出解释或预测． 也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对 此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个 实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至 少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值 定义 函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值 几何 函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的 意义 纵坐标 说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的 定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，， 解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值 的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上 是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上 是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
函数的概念【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
S=350t
这个是函数吗？ 一元一次函数
思考：有人说“根据对应关系S=350t，这趟列车加速
到350km/h后，运行1小时就前进了350km”.你认为这 个说法正确吗？
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h 后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行 进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位： h）的关系可以表示为
是
3
7
(Байду номын сангаас)
Af B
3函.1数.1的函概数念的【概新念教（材1） 】-人【教新A教 版材 高】 中人 数 学教必A版修（第2一01册9 ）课高件中 数学必 修第一 册课件
问题4:国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个 地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中是我 国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的 生活质量越来越高
A4 2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015 B4 r 0 r 1
对应关系(解析式)是一样的，你认为 他们是同一个函数吗？为什么？
你可以用同样的方法来分析、总结 一下问题3、问题4吗？
3.1.1函数的概念（1）-【新教材】人 教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件
问题3.图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index, 简称AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻h的空气质量指数 (AQI)的I值？你认为这里的I是t的函数吗？
上述两个问题中的函数有哪些共同特征？由此你能概括 出函数概念的本质特征吗？
上述问题的共同特征有： ①都包含两个非空数集A和B; ②都有一个对应关系； ③对于集合A中的任意一个元素x， 在B中都有唯一确定的y 与之对应
这个是函数吗？ 一元一次函数
思考：有人说“根据对应关系S=350t，这趟列车加速
到350km/h后，运行1小时就前进了350km”.你认为这 个说法正确吗？
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h 后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行 进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位： h）的关系可以表示为
是
3
7
(Байду номын сангаас)
Af B
3函.1数.1的函概数念的【概新念教（材1） 】-人【教新A教 版材 高】 中人 数 学教必A版修（第2一01册9 ）课高件中 数学必 修第一 册课件
问题4:国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个 地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中是我 国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的 生活质量越来越高
A4 2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015 B4 r 0 r 1
对应关系(解析式)是一样的，你认为 他们是同一个函数吗？为什么？
你可以用同样的方法来分析、总结 一下问题3、问题4吗？
3.1.1函数的概念（1）-【新教材】人 教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件
问题3.图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index, 简称AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻h的空气质量指数 (AQI)的I值？你认为这里的I是t的函数吗？
上述两个问题中的函数有哪些共同特征？由此你能概括 出函数概念的本质特征吗？
上述问题的共同特征有： ①都包含两个非空数集A和B; ②都有一个对应关系； ③对于集合A中的任意一个元素x， 在B中都有唯一确定的y 与之对应
函数的单调性与最大(小)值课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
量值x1,x2,设x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2
=2(x1-x2)
∵x1<x2 ∴x1 -x2<0 ∴2(x1-x2)<0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1) < f(x2)
∴函数f(x)=2x+1在其定义域上是增函数.
取值
作差变形
定号
下结论
探究三
那么，我们称M为函数y = f ( x)的最大值
图1
1
2
3
x
f ( x) = x 2
y
通过观察图2，可以发现二次函数 f ( x) =
的图像上有一个最低点（0，0）即
x2
x R, 都有f ( x) f (0)
5
当一个函数f(x)的图像有最低点时，我们就
说函数f(x)有最小值。
4
3
2
1
-3
A．f(x)＝x
2
C．f(x)＝|x|
答案：B
(
1
B．f(x)＝
x
D．f(x)＝2x＋1
)
2
5．函数 f(x)＝ ，x∈[2,4]，则 f(x)的最大值为______；最小值为
x
________．
答案：1
1
2
题型一 利用图象确定函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是
增函数还是减函数:
∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
1
故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.
f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2
=2(x1-x2)
∵x1<x2 ∴x1 -x2<0 ∴2(x1-x2)<0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1) < f(x2)
∴函数f(x)=2x+1在其定义域上是增函数.
取值
作差变形
定号
下结论
探究三
那么，我们称M为函数y = f ( x)的最大值
图1
1
2
3
x
f ( x) = x 2
y
通过观察图2，可以发现二次函数 f ( x) =
的图像上有一个最低点（0，0）即
x2
x R, 都有f ( x) f (0)
5
当一个函数f(x)的图像有最低点时，我们就
说函数f(x)有最小值。
4
3
2
1
-3
A．f(x)＝x
2
C．f(x)＝|x|
答案：B
(
1
B．f(x)＝
x
D．f(x)＝2x＋1
)
2
5．函数 f(x)＝ ，x∈[2,4]，则 f(x)的最大值为______；最小值为
x
________．
答案：1
1
2
题型一 利用图象确定函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是
增函数还是减函数:
∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
1
故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.
《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减， 在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增， 在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大 （减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问 你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
★资源名称： 【数学探究】函数值的变化情况 ★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情 况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教 学效率． 注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用
新教材人教a版选择性必修第二册531第1课时函数的单调性与导数课件
备课素材
例1 函数y=f(x)是定义在R上的可 导函数,则“y=f(x)在R上单调递 增”是“f'(x)>0”的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若函数y=f(x)在R上单调递增,则 f'(x)≥0在R上恒成立,且f'(x)在R的任意子 区间内都不恒等于0,此时推不出f'(x)>0. 根据导数与函数单调性的关系,由f'(x)>0 显然能推出函数y=f(x)在R上单调递增. 所以“函数y=f(x)在R上单调递增”是 “f'(x)>0”的必要不充分条件.
1.定义在区间(a,b)内的函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系如下 表所示:
f'(x)的正负 f'(x)>0 f'(x)<0
f(x)的单调性 单调递 增 单调递 减
课前预习
2.对于可导函数y=f(x)来说,“f'(x)>0”是“f(x)在某个区间上为增函数”的 充分不必要 条件,“f'(x)<0”是“f(x)在某个区间上为减函数”的充分不必要条
备课素材
备课素材
课堂评价
C
课堂评价
2.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是 ( B )
A.y=sin x
B.y=xex
C.y=x3-x
D.y=ln x-x
[解析]在B中,y'=(xex)'=ex+xex=ex(x+1)>0在(0,+∞)上恒成立,∴y=xex在(0,+∞)
上单调递增.对于A,C,D,都存在x>0,使y'<0.故选B.