多维随机变量及其分布测试题答案1 1

第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）

1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

222

13,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧

+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1

《

____ _

(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．

3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是1

3αβ+=;

当=α 29 ，=β 1

9 时X 与Y 相互独立．

4．设二维随机变量的密度函数2,01,02

(,)3

0,xy

x x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__

65

72

____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为2

3,02

(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他

，设A=

（X>b ）与B=（Y>b ）相互独立，且3

()4

P A B ⋃=

,则

6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于1

4

”的概率为_ _

31

ln 444

- . 7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34

(0,0),(0)(0)77

P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,

则(max{,}0)P X Y ≥=_

5

7

. 8.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为

则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .

9．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为

6,01,

(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨

⎩

其它. 则{1}P x y +≤= 1/4 . 二、单项选择题（每题4分）

1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.

A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x F

B .⎪⎩

⎪⎨

⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ⎰⎰=

∞-∞---y x t

s dsdt e

y x F ),( D .⎪⎩

⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x e

y x F y x

2．设平面区域D 由曲线1

y x

=

及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．

A ．12

B ．1

3

C ．14

D ．12

-

3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．

A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布

B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布

C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布

D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布

4．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．

A ．1

B ．

12 C ． 23 D ．3

4

5.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为

则下列式子正确的是（ C ）．

A ．;X Y =

B ．{}0;P X Y ==

C ．{}12;P X Y ==

D ．{} 1.P X Y ==

6.(1999年数学三)设随机变量1

01(1,2)1

114

24i X i -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎣⎦

:,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ A ）．

A ．0；

B ．1

4； C ．12

； D ．1.

8.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则

A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；

B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；

C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；

D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．

三、计算题（第一题20分，第二题24分）

1．已知2(),(),(1,2,3),a b

P X k P Y k k X Y k k

===-==与相互独立.

(1)确定a ,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布律；

解：(1)由正则性()1k

P X k ==∑有，6

12311

a a a a +

+=⇒=

()1k

P Y k =-=∑有，36

14949b b b b ++=⇒= (2)(X,Y)的联合分布律为

2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0

(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他

(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)求(01,02)P X Y <≤<≤.

解：（1）∵0

(34)0

1x y ke dx dy ∞

∞-+⎰=⎰

∴4000

11433()()430

||112y

y x x e dx k e e dy k k e

∞

-∞∞

∞---=--⎰⋅=

=⎰

∴k=12

（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200

y x y x

u v F x y e dudv e

e ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0y

x

e

e

x y --=-->>