多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。

简记为（X1,X2,…,X n）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题：1．（X,Y）视为平面上的随机点。

研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；marginal3．X与Y的相互关系；4．（X,Y）函数的分布。

§二维随机变量的分布一．离散型随机变量1．联合分布律定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,…——称式为(X,Y)的联合分布律。

(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：性质：(1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) ji ij p ,=12．边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,…分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1= p{Y=y i }j=1,2, (30)S =1我们称p i.和分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。

二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j∑(Y=y j )}=j∑P{X=x i ,Y=y j }=j∑p ij 同理可得=i∑p ij例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在1到X中取一值。

试求（X,Y）的联合分布率及边缘分布率。

解：{}{}{}, ,3,2,131 1/,ijiiiXPiXjYPjYiXP≤=⨯====== =二．联合分布函数与边缘分布函数1．定义设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y令F(x,y)=P{X￡x,Y￡y} 则称 F(x,y)为（X,Y）的联合分布函数。

2．F(x,y)的性质：性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x1<x2,对任意的实数y，则有 F(x1,y)￡F(x2,y)；若y1<y2,对任意的实数x，则有F(x,y1)￡F(x,y2)。

性质2 对于任意的实数x,y,均有0￡F(x,y)￡1, F(x,y)=0,Lim→x-∞F(x,y)=0, Lim→y-∞F(x,y)=1。

Lim,→yx+∞性质3 对于x和y,F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有Lim x x +→0F(x,y)=F(x 0,y), Lim y y +→0F(x,y)=F(x,y 0)。

性质4 若x 1<x 2, y 1<y 2, 则 F(x 2,,y 2)-F(x 2,y 1) -F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1)30（X,Y ）落于下图阴影部分的矩形区域内的概率为：F(x 2,,y 2)-F(x 2,y 1)-F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1) =P{x 1<X ￡x 2,y 1<Y ￡y 2}例 2 P71,照书上讲。

3．边缘分布(X,Y)的分量X，Y的分布函数分别为F X(x)和F Y(y)，称它们为X，Y 的边缘分布函数。

它们与F(x,y)的关系如下：F X(x)=P{X￡x}=P{X ￡x,-∞<Y<+∞}=F(x,+∞)，F Y(y)=P{Y￡y}=P{-∞<X<+∞,Y ￡y}=F(+∞,y)。

例2：(第一版)设⎩⎨⎧≥≥+--=----其它00,01),(~),(222222y x e e e y x F Y X y x y x ,求：(1) (X,Y)的边缘分布函数；(2)P(1≤x ≤2,-1≤y ≤3)。

(3)P(X>2,Y>3)=1-P(X ≤2,Y ≤3)三．连续性随机变量 1．联合概率密度定义 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y 均有 F(x,y)=-∞⎰x⎰∞-y dvdu v u f ),( （则称(X,Y)为连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，简称为概率密度。

2．f(x,y)有如下性质：性质1 f(x,y)30性质2⎰∞∞-⎰∞∞-dxdy y x f ),(=1性质3 若f(x,y)的连续点(x,y)处，有()),(),(),("2y x f dvduv u f xy y x F xyx y==⎰⎰∞-∞-∂∂∂性质 4 若随机点(X,Y)落于平面上相当任意的区域D 内记为(X,Y)∈D,则P{(X,Y)∈D}=f x y dxdy D(,)⎰⎰（）注：在f(x,y)非0域与D 公共部分积分有非0值。

P71例2例3：（第一版书上例） 设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={)(0y x e+-0,0≥≥y x 其他求(1)(X,Y) 的联合分布函数F(x,y); (2) P{X>1}(3)P{(X,Y)∈ D}，其中D={(x,y):x+y ￡1}; (4)P{X 23Y}解：注意),(y x f 的非零域为H（1）⎰⎰∞-∞-=x ydxdy y x f y x F ),(),(，当0,0>>y x 时，⎰⎰--=xyyxdy e dx e y x F 0),()1)(1(yx e e --=-其他0),(=y x F∴⎩⎨⎧>--=--其他0,0)1)(1(),(yx e e y x F yx（2）P{X>1}=1-P{X ≤1}=1-Fx(1)=1- F(1,+∞) =1-e (3) P{(X,Y)∈D}=⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰--2G dxdy y x e =⎰⎰---1010x dy y e dx x e =⎰----10))1(1(dx x e x e =⎰---10)1(dx e x e =121--e(4) P{X 23Y}=⎰⎰≥yx dxdy y x f 2),(= ⎰⎰--3G yx dxdy e=⎰⎰∞+--02x yxdy e dx e=⎰∞+--0dx e x⎰∞+--02dx exx=22212210412121[1⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰x e eππ]注22212212121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎪⎭⎫ ⎝⎛x eπ是))22(,21(2-N 的概率密度，即22212212121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎪⎭⎫ ⎝⎛x e π=2211⎪⎭⎫⎝⎛+-x eπ(1)(1)(0σ-Φ-=≤-=>x x x P x x P可知(1222101)0(Φ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-=>x P ∴P{X 23Y}=1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-22141πe .3．边缘概率密度设二维连续型随机变量(X,Y) 联合分布函数、联合概率密度分别为F(x,y),f(x,y),分量X,Y 的边缘分布函数分别为F X (x)、F Y (y)。

利用边缘分布函数与联合分布函数的关系及式，可得 F X (x)=F(x,+￥)=[]⎰⎰∞-+∞∞-xdu dy y u f ),( F Y (y)=F(+￥,y)=[]⎰⎰∞-+∞∞-ydv dx v x f ),(记：f X (x)=f x y dy (,)-∞+∞⎰ 为X 的边缘概率密度函数；f Y (y)=f x y dx (,)-∞+∞⎰为Y 的边缘概率密度函数。

例2： P74例3： P75 即下面的例5（第一版）,若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=()(ex y x ⎢⎢⎢⎣⎡+---⎪⎭⎫ ⎝⎛----σμσμσμρπρρσσ2211212211212121221其中1212μμσσρ，，，，均为常数，且120011σσρ>>-<<,,,则称(X,Y)服从参数为1212μμσσρ，，，，的二维正态分布,通常记为 (X,Y)服从于N ()112222μσμσρ,,,,。

求：(X,Y)的边缘概率密度 f X (x) ,f Y (y)。

解：⎰+∞∞-=dyy x f x f x ),()(令u y =-22σμ：μσd dy 2=且),(y x f 中e 的指数部分改写为：212121122121221122222221121212)(21)1(21)()1()()1(21)(2)()1(21σμσμρρσμρσμρρσμσμσμρσμρ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⋅-----x x u x x u y y x x⎰∞+∞--------=∴21112(21)()1(21221121)(σμσμρρρσπσx x u x ex f⎰∞+∞--------=)1(2)(22)(12211212112121ρσμρσμρπσπx u x ee⎰∞+∞------)1(2)(22211121ρσμρρπx u e是())1,(221ρσμρ--x N 的积分函数，∴ 积分=1。

21212)(121)(σμσπ--=∴x x ex f 即知：X 服从于),(211σμN ，同理：Y 服从于),(222σμN 结果表明：（1）二维正态分布),,,(222211ρσμσμN ，其边缘分布都是一维正态分布),(211σμN 和),(222σμN 。

而反之不然。

（2）二维.边缘分布是由联合分布唯一确定。

（见第一版习题）例4： （第一版 书上例） 设(X,Y)在圆域D={(x,y): x 2+y 2￡ r 2}(r > 0)上服从均匀分布，其联合概率密度为 f(x,y)={12πr其他222x y r+≤求(1)P{82r<X 2+Y 2￡42r};(2)(X,Y)的边缘概率密度函数f X (x) ,f Y (y)。

§ 条件分布由条件概率引出条件概率分布的概念。

定义 1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若0}{>=j y Y P ，则称jpij pj y Y P j y Y i x X P j y Y i x X P •=======}{},{}/{例1， P77，一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1),射击到击中目标两次为止。