双曲线辅导教案(高考数学一轮复习)
高三数学大一轮复习 双曲线教案 理
芯衣州星海市涌泉学校§双曲线2021高考会这样考1.考察双曲线的定义、标准方程和几何性质；2.考察直线与双曲线的位置关系，考察数形结合思想的应用．复习备考要这样做1.纯熟掌握双曲线的定义和标准方程，理解双曲线的根本量对图形、性质的影响；2.理解数形结合思想，掌握解决直线与双曲线问题的通法．1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的间隔之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，那么点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的间隔叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或者者x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或者者y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±x y＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a<|F1F2|，这里要注意两点：(1)间隔之差的绝对值．(2)2a<|F1F2|.这两点与椭圆的定义有本质的不同．2．渐近线与离心率－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝＝＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的本质都表示双曲线张口的大小．1．(2021·)双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有一样的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，那么a＝________，b＝________.答案12解析与双曲线－＝1有一一共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.由题意知c＝，那么4λ＋16λ＝5⇒λ＝，那么a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2. 2．(2021·)在平面直角坐标系xOy中，假设双曲线－＝1的离心率为，那么m的值是________．答案2解析∵c2＝m＋m2＋4，∴e2＝＝＝5，∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.3．(2021·)双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，假设PF1⊥PF2，那么|PF1|＋|PF2|的值是________．答案2解析设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝－1，x＋2＝＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝2.4．假设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的间隔等于实轴长，那么该双曲线的离心率为()A. B．5 C. D．2答案A解析焦点(c,0)到渐近线y＝x的间隔为＝b，那么由题意知b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝＝.5．(2021·课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，那么C的实轴长为()A. B．2 C．4 D．8答案C解析设C：－＝1.∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.题型一求双曲线的标准方程例1(1)(2021·)双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有一样的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，那么双曲线的方程为________．(2)与双曲线x2－2y2＝2有公一一共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为__________．思维启迪：设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c.答案(1)－＝1(2)－＝1解析(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，离心率为e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有一样的焦点，因此a2＋b2＝7.又双曲线的离心率e＝＝，所以＝，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为－＝1.(2)设与双曲线－y2＝1有公一一共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为－＝1.探究进步求双曲线的标准方程的根本方法是待定系数法．详细过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．假设双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公一一共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．求适宜以下条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)．解(1)设双曲线的标准方程为－＝1或者者－＝1(a>0，b>0)．由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或者者－＝1.(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为－＝1.题型二双曲线的几何性质例2中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有一一共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)假设P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．思维启迪：(1)分别设出椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)．(2)由条件分别求出a、b、m、n的值．(3)利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求出cos∠F1PF2.解(1)由：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线半实、虚轴长分别为m、n，那么，解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，那么|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.探究进步在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.(1)(2021·大纲全国)F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，那么cos∠F1PF2＝()A. B. C. D.(2)(2021·)椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公一一共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，假设C1恰好将线段AB三等分，那么()A．a2＝B．a2＝13C．b2＝D．b2＝2答案(1)C(2)C解析(1)由x2－y2＝2知，a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4，∴a＝，c＝2.又∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.又∵|F1F2|＝2c＝4，∴由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.(2)由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝×2＝a，解得a2＝，b2＝.题型三直线与双曲线的位置关系例3过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积．思维启迪：写出直线方程，然后与双曲线方程联立组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|；求O到直线的间隔，代入面积公式得△AOB的面积．(1)解由双曲线的方程得a＝，b＝，∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．直线AB的方程为y＝(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.(2)解直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.∴原点O到直线AB的间隔为d＝＝.∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.探究进步双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或者者双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或者者y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，那么|AB|＝|x1－x2|.椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)假设直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．解(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，那么a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故C2的方程为－y2＝1.(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得，∴k2≠且k2<1.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝，x1x2＝.∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，∴>2，即>0，解得<k2<3.②由①②得<k2<1，故k的取值范围为∪.无视“判别式〞致误典例：(12分)双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB 的中点？易错分析由于“判别式〞是判断直线与圆锥曲线是否有公一一共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．标准解答解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，假设直线l的斜率不存在，显然不符合题意．[2分]设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.[3分]由得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①[6分]∴x0＝＝.由题意，得＝1，解得k＝2.[8分]当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[11分]∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．[12分]温馨提醒(1)此题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很明晰，但结论却不一定正确．错误原因是无视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)此题属探究性问题．假设存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.方法与技巧1．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公一一共渐近线的双曲线的方程可设为－＝t(t≠0)．2．双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程．失误与防范1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.2．双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0,1)．3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.4．假设利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．A组专项根底训练(时间是是：35分钟，满分是是：57分)一、选择题(每一小题5分，一一共20分)1．(2021·)双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，那么C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案A解析∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝，故应选A.2．(2021·)双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，那么该双曲线的离心率等于()A. B. C. D.答案C解析由双曲线中a，b，c的关系c2＝a2＋b2，得32＝a2＋5，∴a2＝4.∴e＝＝.3．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，假设曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的间隔的差的绝对值等于8，那么曲线C2的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案A解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，那么||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为－＝1.4．(2021·课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，那么C的离心率为()A. B.C．2 D．3答案B解析设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或者者x＝－c，代入－＝1得y2＝b2(－1)＝，∴y＝±，故|AB|＝，依题意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝.二、填空题(每一小题5分，一一共15分)5．中心在原点的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，那么双曲线C的标准方程为______________________．答案－＝1或者者－＝1解析∵双曲线C的离心率为2，∴2＝，∴＝，∴可设双曲线C的标准方程为－＝1或者者－＝1，把P(2，)代入得，a2＝3或者者a2＝，∴所求双曲线C的标准方程为－＝1或者者－＝1.6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，那么m＝___________.答案－解析由题意知a2＝1，b2＝－，那么a＝1，b＝.∴＝2，解得m＝－.7．以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，那么双曲线C的离心率为________．答案解析如图，∠B1F1B2＝60°，那么c＝b，即c2＝3b2，由c2＝3(c2－a2)，得＝，那么e＝.三、解答题(一一共22分)8．(10分)椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有一样焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因此双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的间隔为r＝3.∴＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为－＝1.9．(12分)双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)假设点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵过点P(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明方法一由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0.方法二∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.(3)解△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝×4×＝6.B组专项才能提升(时间是是：25分钟，满分是是：43分)1．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假设直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. B.C. D.答案D解析设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如下列图，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－，∴·(－)＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝或者者e＝(舍去)，应选D.2．点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，假设△ABE是钝角三角形，那么该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋) D．(2，＋∞)答案D解析根据双曲线的对称性，假设△ABE是钝角三角形，那么只要0<∠BAE<即可．直线AB：x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，那么|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|>|EF|就能使∠BAE<，故>a＋c，即b2>a2＋ac，即c2－ac－2a2>0，即e2－e－2>0，得e>2或者者e<－1，又e>1，故e>2.应选D. 3．假设点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，那么·的取值范围为()A．[3－2，＋∞)B．[3＋2，＋∞)C. D.答案B解析由a2＋1＝4，得a＝，那么双曲线方程为－y2＝1.设点P(x0，y0)，那么－y＝1，即y＝－1.·＝x0(x0＋2)＋y＝x＋2x0＋－1＝2－，∵x0≥，故·的取值范围是[3＋2，＋∞)，应选B.4．(2021·)设P为直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，那么双曲线的离心率e＝________.答案解析∵直线y＝x与双曲线－＝1相交，由消去y得x＝，又PF1垂直于x轴，∴＝c，即e＝＝.5．设点F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，点P是双曲线上一点，假设3|PF1|＝4|PF2|，那么△PF1F2的面积为________．答案3解析据题意，|PF1|＝|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝.所以sin∠F1PF2＝＝，所以S△PF1F2＝×6×8×＝3.6．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，那么此双曲线的离心率e的最大值为________．答案解析由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝－e2.要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，即e的最大值为.三、解答题7．(13分)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)务实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由．解(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是－2<k<－.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么由①式得②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．那么由FA⊥FB得：(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0.解得k＝－或者者k＝∉(－2，－)(舍去)，可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．。
双曲线教案高三
双曲线教案高三教案标题：双曲线教案（高三）教案目标：1. 介绍双曲线的基本概念和性质；2. 帮助学生理解双曲线的方程和图像；3. 培养学生解决与双曲线相关的数学问题的能力；4. 引导学生应用双曲线知识解决实际问题。
教学重点：1. 双曲线的基本定义和性质；2. 双曲线的标准方程和图像；3. 双曲线的焦点、准线和渐近线；4. 双曲线的参数方程和极坐标方程；5. 双曲线的应用。
教学难点：1. 理解双曲线的图像和性质；2. 掌握双曲线的参数方程和极坐标方程；3. 运用双曲线知识解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、相关教辅资料；2. 学生准备：教材、作业本、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入双曲线的概念，让学生回顾并复习椭圆和抛物线的知识，为引入双曲线做铺垫；2. 提问学生对双曲线的认识和了解程度，激发学生的学习兴趣。
二、知识讲解（25分钟）1. 介绍双曲线的定义和基本性质，包括焦点、准线和渐近线等；2. 讲解双曲线的标准方程和图像，引导学生理解双曲线的形状和特点；3. 解释双曲线的参数方程和极坐标方程，帮助学生掌握不同表示方式下的双曲线图像。
三、示例分析（15分钟）1. 给出一些具体的双曲线方程，引导学生通过计算和绘图来分析双曲线的特点；2. 解答学生在分析过程中遇到的问题，引导学生思考和发现解决问题的方法。
四、练习与讨论（20分钟）1. 分发练习题，让学生个别或小组合作完成；2. 引导学生讨论解题思路和方法，鼓励学生相互交流和合作，提高解题效率和质量；3. 对学生的解题过程和结果进行点评和总结，纠正错误和不足。
五、拓展应用（10分钟）1. 给出一些与双曲线相关的实际问题，引导学生运用所学知识解决问题；2. 帮助学生将数学知识与实际问题相结合，培养学生的应用能力和创新思维。
六、课堂总结（5分钟）1. 对本堂课的重点内容进行总结和回顾；2. 强调学生需要进一步巩固和拓展所学知识的重要性；3. 鼓励学生积极参与课后练习和自主学习，提高学习效果。
一轮复习教案：第10章 第2讲 双曲线及其性质
则双曲线的顶点为(1,0)，(－1,0)，焦点为(2,0)，(－2,0)．
则双曲线的标准方程为：x2－y2＝1. 3
其渐近线为 y＝± 3x.
解题法
[考法综述] 高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运用为主，双曲线独有的渐近
线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考查，难度较大．
命题法 双曲线的几何性质
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
2 等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2 ＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率 e＝ 2⇔两条渐近线 y＝±x 相互垂直． 3 点 P(x0，y0)和双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的关系 (1)P 在双曲线内(含焦点部分)⇔ax202－by202>1； (2)P 在双曲线上⇔ax202－by202＝1； (3)P 在双曲线外(不含焦点部分)⇔ax202－by202<1.
注意点 双曲线的离心率与曲线开口大小的关系 离心率 e 的取值范围：e>1，当 e 越接近于 1 时，双曲线开口越小；e 越接近于＋∞时，双 曲线开口越大.
入门测
1．思维辨析
(1)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0.(
16 12
mn
3 －1＝1， n>0)，则 m n
m＋n＝4，
解得 m＝n＝2，故选 C.
3．双曲线 x2 －y2＝1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 6，则点 P 的坐标是________． 16 9
答案 (8，±3 3)
高三数学一轮复习-第2讲-双曲线教案
第二讲双曲线一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性 比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力 的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作 用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助 考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养 良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点 F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数 2a2a | F 1F 2 |的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．特征式： MF 1 MF 2 2a 2a |F 1F 2|． Ｐ注：①若2a | F 1F 2 |，则点的轨迹是以 F 1、F 2为端点的两条射线；Ｆ１Ｆ２②若2a | F 1F 2 |，则这样的点不存在； ③若 MF 1MF 22a2a|F 1F 2 |，则点的轨迹仅是双曲线的一支．（2）第二定义：平面内动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距离的 比是常数e1，，那么这个点的轨迹叫做双曲线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．ＰＦ特征式：MF e e 1， Fl ． d M l注：若 F l 时，表示过 F 与l 相交的两条直线（不含点 F ）．（二）双曲线的方程（1）双曲线的标准式方程： x m2yn 2① ② 1 a 0， b 0；（焦点在 x 轴的平行线上，中心在m ，n的双曲线方a2b2程）程）y n2xm 21 a 0， b 0．（焦点在 y 轴的平行线上，中心在m ，n的双曲线方a2 b2（2）双曲线的参数方程：x asec x 2 by 2 1 a 0， b0；2 2①y btanax m 2y n21a0，b 0． ②x m asec y n btana2 b2（3）双曲线的向量式方程： OM OF 1 OM OF 2a 2a |OF OF 2 |．2 1（三）性质：对于双曲线 x a 22 by 21a0，b而言， 2（1）范围及特征关系： xa ；a ．bc2 2 2（2）对称性：图象既关于 y 轴对称，又关于 x 轴对称，也关于原点对称．原点叫双曲线的对称中 心，简称中心． x 轴、 y 轴叫双曲线的对称轴．（3）顶点：双曲线和实轴的交点叫做双曲线的顶点． A (a ，0)，A 2(a ，0)；加两焦点F 1(c ，0)，F 2(c ，0)与 B 1(0，b)，B 20，b 共有六个特殊点． A 1A 2叫双曲线的实轴， B 1B 2叫双曲线的虚轴，长分别为2a 、2b ．a 、b 分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长．（4）离心率：双曲线焦距与实轴长之比e c e 1(b)2e1．aa注：双曲线形状与e 的关系：e 1，b0，双曲线的开阔程度越小；e，b，双曲aa线的开阔程度越大．（5）双曲线的准线方程：对于 xa22 by 2 2 1，左准线l ：xa 2；右准线l ：x a 2； 12ccy 2 2bx 2 2 1，下准线l 1：ya2；上准线l 2：y a 2对于．c ac（6）焦准距：焦点到准线的距离 p ca2c 2 2a 2 b（焦参数）．c c c（7）通径：经过焦点且垂直于实轴的弦称之为通径，长度为 2ba2．（8）渐近线：双曲线的渐近线方程是 yb x （令 2 by 2 0即可）．x 2 2a a（9）焦半径公式：焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式： MF 1a ex 0（左焦半径）； MF 2 a ex 0（右焦半径）；焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式： MF 1a ey 0（下焦半径）； MF 2 a ey 0（上焦半径）；（规律：左加右减，上减下加．）Ｐ（10）焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形Ｆ１Ｆ２sin 称焦点三角形； Sb2 cot ； e ．（如何证明？） 2 2sin 2（四）等轴双曲线（1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． （2）性质：①渐近线方程为： y x ；②渐近线互相垂直；③离心率 e 2． （3）方程： x y(0)，当0时交点在 x 轴，当0时焦点在 y 轴上．2 2（五）共轭双曲线 （1）定义：如果双曲线 C 1的实轴是双曲线C 2的虚轴，双曲线的虚轴 C 2是双曲线C 1的实轴，这 两个双曲线称为互为共轭双曲线．（2）求法： x a 22by 2 1x 2by 21；222a（3）性质：若共轭双曲线C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2，则：①1 2 e1 2 1；②e 1 e 22 2；③e 1e 22；④ 1 1 2．e e 21e 12（六）双曲线系方程（焦点在 x 轴的上，中心在原点）（1）共焦点的双曲线系： x ；22y 2 2 10 kck k c注：若k c2，则表示共焦点的椭圆系．（2）共渐进线的双曲线系： x a 2 2 by 20． 2注：若 x a 22 by 2，则表示离心率相同的椭圆系． 2三、精典例析（一）活用定义 例1：定点 A9，2，F 2是双曲线C ：xy 1的焦点，Ｐ是双曲线Ｃ的右支上的动点．2 29 16D HP（1）求 PA PF 2的最小值； A（2）求 PA3 PF 2的最小值． 5Ｆ1Ｆ2 解析：（1）双曲线C ：xy1的离心率为 e5，229 163PA PF 2 PA PF 1 2a PA PF 1 6FA 1 610 26； ，取等号时， P3 5（2） PA3 PF 2 PAPDAH36 5 ，2． 5 21引申： PAPF AP d P 准线 d A准线也适用于椭圆、抛物线． e例2：（1）方程 x 12y12x y 2表示什么曲线？（2）方程x 12y 1 2x y2表示什么曲线？x 1 2y1 2 解析：（1）设 Px ，y，则原方程等价于： 2，x y2 2 即： P x ，y 到定点 A 1，1的距离与它到定直线l ：x y 2 0的距离之比为32，故原方程表示以定点 A 1，1为焦点，以定直线l ：x y 20为准线的双曲线．（2）∵ A1，1l ：xy 2 0，∴原方程表示过定点 A 1，1，与定直线l ：x y 2 0相交的直线 x 1与 y1．例3：一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ． （1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340m/ s ，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型根据本题设和结论，注意到在A 处听到爆炸声的时间比B 处晚2s,这里声速取同一个值解析：（1）由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此 爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上．∵爆炸点离A 处比离B 处更远，∴爆炸点应在靠近B 处的一支上．（2）建立直角坐标系 xoy （如图），设爆炸点P 的坐标为 P(x ，y)，则：yPA PB 340 2 680，即 a340，P ∵ AB800，∴ c400，b 2 c 2 a244400，OxBAx2y 2 故所求双曲线的方程为：1x0．115600 44400 点评：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C ，利用B 、C(或A 、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这 是双曲线的一个重要应用，强化学生“应用数学”的意识．思考：如果A 、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段ＡＢ 的中垂线上）x 2 y2例4：方程k 表示什么曲线？25k k9解析：（1）当k 0时，表示焦点在 y 轴上的双曲线；（2）当k 0时，表示两条相交直线 y 3 x ； 5（3）当0 k 9时，表示焦点在 x 轴上的双曲线； （4）当9k25时，表示椭圆型曲线，①若9k 17时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；②若k 17时，表示圆 x ③若17k25时，表示焦点在 y 轴上的椭圆；（5）当k 25时，表示焦点在 y 轴上的双曲线．y 2 2136； （二）活用性质例5：（1）（05湖南卷）已知双曲线 x a 22 by 21 a 0， b 0的右焦点为F ，右准线与一条渐近23a2线交于点A ，△OAF的面积为 （O 为原点），则两条渐近线的夹角为．2（2）（05福建卷）已知F 1、F 2是双曲线 2by 1(a0,b 0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正x 2 2a2三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是．解析：（1）∵右焦点为 F c ，0，右准线 xa ，渐近线 ybx ，2caa 2ab ，c ，S 1 cab c 1 ab ，∴ A c 2 2∵△OAF的面积为 a2，∴ 3ab e2，2 故两条渐近线的夹角为．3（2）运用正三角形的特性知：边MF 1的中点坐标是c ，3 c ，则：2 223 c 2 2c 2∵ 14a 4 8a 2 b2c 4e 4 8e 210，a 2 c a2 2∴e24 2 3e 31．例6：双曲线的渐进线方程为 y 3 x ，求双曲线的离心率． 4解析：设 x24y 2 0，169 （1）当0时，a （2）当0时，a 2 2 16， b 9，c2 25，∴ e5 ； 4 9， b 16，c2 25，∴ e 5；3 故双曲线的离心率是 e 5 或 e 5．4 35的焦点，且sin B A 1 C cos ，求点C 的轨迹方程．2 2 2 例7：ABC 中， A 、B 是 x2 5y 2解析：∵ x 2 5y25x y221，∴ A 2，0、B 2，0，AB 4．5∵sin B A 1cos C 2sin B Acos B A C B A ，2 cos cos2 2 2 2 2 2∴sin B sin A 1sinC AC BC 1 AB 2，2 2故点C 的轨迹方程是 x2y1 x1．23（三）焦半径公式及焦点三角形例8：已知双曲线的左右两焦点分别为 F 1、F 2，点M 是双曲线上不重合于顶点的一点，点P 为MF 1F 2的内心，证明：点P 在 x 轴上的射影是双曲线的顶点．解析：（1）若点M 在双曲线右支上，过P 作PN 垂直 F 1F 2 于点N ，设右顶点为Ａ，则：NF 1 MF 1F 1F 2 MF 22c 2a ca ， Ｍ 2 2ＰNF 2 MF 2F 1F 2 MF 1 2a 2c ca ，Ｆ1 ＡＦ222∵ F 1 Ac a ，AF 2 a c ，∴右顶点Ａ与点N 重合．故点P 在 x 轴上的射影就是双曲线的右顶点．（2）若点M 在双曲线左支上，同理可证，点P 在 x 轴上的射影是双曲线的左顶点．例9：已知双曲线的左右两焦点分别为 F 1、F 2 ，点M 是双曲线右支上不重合于顶点的一点，设MF 1F 2，MF 2F 1 ，若 sin1cos 1．sin1cos3（1）求双曲线的离心率；（2）如果动点M 的坐标为x, y，且 4x2 2 5xy 4y2有最小值15时，求双曲线的方程． tansin 1cos sin 1cos 讲解：（1）如果对三角公式较为熟悉，不难发现：2． tan 2所以，要求双曲线的离心率，只需考虑如何用a 、b 、c 、e 来表达 tan tan2 即可．2法1：设双曲线的实轴长为2a ，焦距为 2c ，点P 为MF 1F 2的内心，过P 作PN 垂直 F 1F 2 于点N ，则：tan 2PN ，tanPN，NF 1 NF 2Ｍ 2 P又 NF 1MF 1F 1F 2 MF 22c 2a ca ，N2 2Ｆ2OＦ2NF 2 MF 2F 1F 2 MF 1 2a 2c ca ，22tan∴ sin 1cos 12＝ NF 2 c a e 1， NF 1 c a e 13 sin1costan 2∴ e 2．法2：直接利用正、余弦定理也可得出结论．tan2 1 sinsin sin cos cos sin tan2 2 2 2 2 2 2esin sin cos cos2．sinsin tan22 2 2 2 221 tan2（2）∵ e 2b 23a 2，∴M 的坐标x, y适合方程3x 2 y 23a ，2∵ 4x2 5xy4y223x 2 y 2 xy 2 5y 22 5xy15．（等号当且仅当 x5 y 5 42时取得）．3a223x 2y22x5y3x2214∴ a25,b 15，双曲线的方程为： x 2y 1．25 15（四）焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦．例10：过双曲线 xy1的左焦点Ｆ1作倾斜角为的弦ＡＢ，求 AB 及F 2AB 的周长．22 36解析：设 A x 1，y 1，Bx 2，y 2，则：Ｂ3y x 2A8x 2 4x 13 0， 2 x 2y 13Ｆ1ＯＦ2显然，0，且 x 1 x 2 1，x 1x 213 8 ， 2 法1： AB 1k2x 1 x 2 3． 法2： ABBF 1 AF 112x 2 12x 1 12x 2 12x 1 2 2x 1 x 23．F 2AB 的周长为：3AF 2BF 2 312x 1 12x 2 312x 112x 232x 2x 133 3．引申：设两交点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则： （1）当双曲线焦点在 x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： ①过左焦点与左支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1x 2)；a②过左焦点与左、右两支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1 x 2)；a③过右焦点与右支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1BF 1 2a e(x 1x 2)；a④过左焦点与左、右两支交于两点时，此时， kb ， AB AF 1 BF 1 2a e(x 1x 2)．a（2）当双曲线焦点在 y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关． （五）中点弦 例11：双曲线C ：x2y21上是否存在被点 B 1，1平分的弦？2解析：显然，点 B 1，1在双曲线外，若存在被点 B1，1平分的弦MN ，则弦的斜率必存在．设 Mx 1，y 1，Nx 2，y 2，则：2x 1 2 y 122 2y 1 y 22x 1 x 2 k2，故l ：y 1 2 x 1；x 1x 2 y 1y 22x 22 y22y 12x 1 2x24x3 0，8 0，2 x 2 y 12故双曲线C ：x2y2 1上不存在被点 B1，1平分的弦．2引申：（1）若点 B 在双曲线内，则以点 B 为中点的弦必存在；（2）若点 B 在双曲线外，则以点 B 为中点的弦可能存在，也可能不存在． （六）直线与双曲线相交问题例12：(05重庆卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为2，0，右顶点为，3 0．（1）求双曲线C 的方程； （2）若直线l ：y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA OB2 (O 为原点)，求k 的取值范围．解析：（1）设双曲线方程为 x a 22 by 2 1a 0， b0，则： 2∵ a3， c 2，a 2 b 2 2 2 ，∴ b 21，故双曲线C 的方程为 x2y21．3y kx 2 （2）设 A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，则：(13k )x2 26 2kx 9 0，x 2y 123 ∵直线l ： y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，∴13k20 k(6 2k) 36(13k )36(1k )2 2 2 2 1且k 21，3 6 2k 2，x A x B 9且 x A x B 13k 13k2∵OA OB2，∴ x A x By A y B 2，∵ x A x By A y Bx A x B(kx A2)(kx B2) (k 2 1)x A x B2k(x A x B )21) 9 22k 1632kk 22 33kk213k27 1(k 2∴ 3k3k27 2 3k 1 3k29 0 1k 23，2 2 1 31 k21，∴3故k 的取值范围为(1，3)( 3，1)． 33Ｌ1 例13：（05北京卷）如图，直线l 1：ykxk与直线 l 2：y kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半W 2W 1Ｏ部分记为W 1，右半部分记为W 2．Ｌ2 （I ）分别用不等式组表示W 1和W 2； （II ）若区域W 中的动点 Px ，y到l 1、l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；（III ）设不过原点O 的直线l 与（II ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3、 M 4两点．求证：△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．解析：（I ）W 1 x ，y kx y kx ，x 0，W 2 x ，y kx ykx ，x 0； （II ）∵直线l 1：kx y 0，直线l 2：kx y 0，∴ | kxy || kx y |d | k2 x 2 y 12 | d2，22k21 k12k ∵ P x ，y W ，∴k 2x 2 y 20，k 2 x 2 y 12d 2 k 2 x 2 y 22(k 2 1)d20．∴ k 2∴动点P 的轨迹C 的方程为k2xy 2 (k2 1)d2 0；（III ）分为以下两种情形分别加以证明；①当直线l 与 x 轴垂直时，可设直线l 的方程为l ：xa a 0，由于直线l 、曲线C 关于 x 轴 对称，且l 1与l 2关于 x 轴对称，于是M 1M 2、M 3M 4的中点坐标都为a ，0，所以△OM 1M 2、△OM 3M 4的重心坐2标都为a ，0，即它们的重心重合；3②当直线l 1与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为l ：ymxnn，则：k2 x 2 y (k 1)d2 2 2(ky mx nm )x 2mnx n k d d0，2 2 2 2 2 2 2 ∵直线l 与曲线C 有两个不同交点，∴k 2 m 2 且(2mn) 2 4(k 2 m 2 )(n 2 k 2 d 2 d 2 ) 0，2mn 设 M 1x 1，y 1，M 2 x 2，y 2 ，则： x 1 x 2设 M 3x 3，y 3，M 4 x 4，y 4 ，则：， y 1 y 2 m(x 1 x 2)2n ， k 2 m 2 y kx n y kx y mx n n x 4 y mx n x 3； k m k m 2mn ∴ x 3x 4 x 1 x 2， k 2 m 2 ∴ y 3 y 4 m x 3 x 42n m x 1 x 22n y 1 y 2，故△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．四、课后反思 ．。
高三数学第一轮复习教案—双曲线新课标A
城东蜊市阳光实验学校双曲线【知识要点】 1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F1、F2的间隔的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的间隔叫做焦距.第二定义：平面内到定点F 的间隔和到定直线的间隔的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的间隔为d ，e 为大于1的常数. 2.双曲线的标准方程与几何性质3.焦半径公式M(x0,y0)为22a x -22by =1右支上的点，那么|MF1|=ex0+a ，|MF2|=ex0-a.(1)当M(x,y)为22ax -22by =1左支上的点时,|MF1|=-(a+ex),|MF2|=ex-a.(2)当M(x,y)为22a y -22bx =1上支上的点时，|MF1|=ey0+a ，|MF2|=ey0-a.【根底训练】1.〔2021年春季〕双曲线42x －92y =1的渐近线方程是()A.y=±23xB.y=±32xC.y=±49xD.y=±94x2.过点〔2，－2〕且与双曲线22x －y2=1有公一一共渐近线的双曲线方程是()A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =1 3.假设双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的间隔是8，那么P 到它的右准线间隔是〔〕A.10B.7732C.27D.5324.圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，那么圆心到双曲线中心的间隔是____________.5.求与圆A ：〔x+5〕2+y2=49和圆B ：〔x －5〕2+y2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________. 【典型例题】题型一:求双曲线的标准方程例1、根据以下条件，求双曲线的标准方程：〔1〕与双曲线92x －162y =1有一一共同的渐近线，且过点〔－3，23〕；〔2〕与双曲线162x －42y =1有公一一共焦点，且过点〔32，2〕.〔3〕实轴长为16，离心率为45=e 〔4〕经过两点P )7,26()72,3(---Q题型二:双曲线的定义及应用例2、〔2021年全国，19〕设点P 到点M 〔－1，0〕、N 〔1，0〕间隔之差为2m ，到x 轴、y 轴间隔之比为2，求m 的取值范围.例3、如以下列图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A 〔x1，y1〕，B 〔x2，6〕，C 〔x3，y3〕，它们与点F 〔0，5〕的间隔成等差数列.〔1〕求y1+y3的值；〔2〕证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.变式：、(2,1),A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当||||2PA PF +取最小值时，P 的坐标是，||||2PA PF +最小值是． 题型三:双曲线的性质及应用例4、双曲线22a x －22by =1的离心率e>1+2，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF1|是P 到l 的间隔d 与|PF2|的等比中项变式：过双曲线22a x －22by =1.的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线的左右两支于A 、B 两点，求双曲线离心率的取值范围。
第三高考数学一轮复习 双曲线的性质教案
城东蜊市阳光实验学校第三中学2021届高考数学一轮复习双曲线的性质3教案 教学目的：进一步掌握双曲线的第一定义及性质；掌握双曲线的第二定义灵敏的运用有关知识解题，掌握双曲线的焦半径的推导方法教学重点：双曲线的第二定义教学难点：两个定义的灵敏应用教学过程：双曲线的所有根本特征量：其中|OA|=_____；|AB|=______；OB 所在的直线即为双曲线的_________，F2在OB 上的射影为G ，那么G x =______|OG|=____；|F2G|=________2、等轴双曲线定义为_________________________，等轴双曲线的离心率为_______3、双曲线的第二定义：_________________________________________________4、假设P 〔x0，y0〕为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上任意一点，F1，F2为双曲线 的两个焦点，那么|PF1|=_________；|PF2|=_________二、课前预习题：1、点12(4,0)(4,0),F F -和一曲线上的动点P 到F1，F2的间隔之差为6，那么该曲线方 程为______________2、设双曲线221(0,0)x y a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，假设△PQF 是直角三角形，那么双曲线的离心率为___________3、双曲线221169x y -=左支上的点P 到右焦点的间隔为9，那么点P 的坐标为__________ 4、双曲线的方程是221168x y -=，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F1的间隔为10，点N 是PF1的中点，求ON 的大小〔O 为坐标原点〕。
三、例题讲解： 例1：双曲线2216436x y -=的焦点为F1，F2，点P 在双曲线上，且01290F PF ∠=，求12F PF 的面积 推广：双曲线22221x y a b-=的焦点为F1，F2，点P 在双曲线上，且12F PF α∠=，求12F PF 的面积 例3：以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的一一共轭双曲线〔1〕求证：①双曲线与它的一一共轭双曲线有一一共同的渐近线；②双曲线与它的一一共轭双曲线的四个焦点在同一圆上；〔2〕假设这对一一共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，求12e e +的最小值例4：椭圆具有性质：假设M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线,PM PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k k 时，那么PM PN k k 与之积是与点P 位置无关的定值，试对双曲线C '：()222210,0x y a b a b-=>>写出具有类似特性的性质，并加以证明 四、课堂小结五、课堂练习：数学〔理〕即时反响作业编号：030双曲线的几何性质31、双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的间隔为15，那么m =____________ 2、设ABC ∆是等腰三角形，0120ABC ∠=，那么以,A B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为___________3、假设双曲线221x y -=的两个焦点到一条准线的间隔之比为3:2，那么双曲线的离心率是___4、圆22:6480C x y x y +--+=，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，那么适宜上述条件的双曲线的标准方程为__________5、点P 是双曲线C1：22221(0,0)x y a b a b-=>>和圆C2：2222x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠其中F1，F2是双曲线的两个焦点，那么双曲线的离心率为_____6、双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，其渐近线方程为34y x =±，那么其离心率为___________ 7、双曲线2216436x y -=的焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，且12F PF ∠=090，求12F PF 的面积 8、设双曲线22221(0)x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，原点到直线l的间隔为4，求双曲线的离心率 9、双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点．P 为双曲线C 右支上一点，且位于x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点。
高三数学一轮复习精品教案3：双曲线教学设计
第6课时 双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．『梳理自测』一、双曲线的概念(教材改编)已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．『答案』x 29－y 27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．42C ．3 3D ．432．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414B .324 C .32 D .434．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________． 『答案』1.D 2.A 3.C 4.－14◆此题主要考查了以下内容： 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 图形性质范围 x≥a 或x≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴；坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞) 其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0) 『指点迷津』1．一条规律根据方程中x 2与y 2的系数的正负来确定实轴与虚轴的位置，即焦点在实轴上． 2．两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2、b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2、b 2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．3．三个关注点——双曲线几何性质的关注点 双曲线的几何性质从以下三点关注： (1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．考向一 双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．『审题视点』 (1)利用双曲线定义|PF 2|－|QF 2|＝2a 及三角形周长的计算求解． (2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程． 『典例精讲』 (1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7. 又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1. 『答案』 (1)B (2)x 24－y 23＝1『类题通法』 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．『解析』(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y 24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15『审题视点』 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 『典例精讲』 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a×4a×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .『答案』 (1)C (2)B『类题通法』 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．『解析』如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM ⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a 2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a＝1＋b 2a2＝ 2.『答案』2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．『审题视点』 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 『典例精讲』 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a 2a 2－1，①x 1x 2＝2a 2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③由①③，解得⎩⎨⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②，得517×1217×⎝⎛⎭⎫2a 2a 2－12＝2a 2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝⎛⎭⎫a ＝－1713舍去. 『答案』1713『类题通法』 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________．『解析』由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．『答案』(－∞，－1)∪(1，＋∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24x C ．y ＝±x D ．y ＝±22x 或y ＝±24x 『正解』 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 『答案』 D『易错点』 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．『警示』 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255D .455『解析』选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255.2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1B .x 24－y 25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y 25＝1 『解析』选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m ＞12 B ．m≥1C ．m ＞1D ．m ＞2『解析』选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y 2m＝1的离心率e ＝1＋m ， 又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等『解析』选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ .故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。
高考数学一轮复习学案 第50讲 双曲线（解析版）
第50讲 双曲线（解析版）考点内容解读要求 常考题型 1．双曲线的定义掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。
Ⅰ选择题，填空题，大题 2．双曲线的性质 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程．能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题．Ⅱ选择题，填空题，大题一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质1． 范围22221x x a ax a x a 即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x ≤-a 或x ≥a ． 2．对称性对于双曲线标准方程12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
3．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
4．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
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(1)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线
平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 2
20＝1 B.x 220－y 2
5＝1 C.3x 225－3y 2
100＝1
D.3x 2100－3y 2
25＝1
(2)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 2
32＝1 B.x 2132－y 2
52＝1 C.x 232－y 2
42＝1
D.x 2132－y 2
122＝1
题型二 双曲线的几何性质
例2 (1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.6
2
(2)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等 思维升华 (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或。