中考数学新定义型专题

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1．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等．

（1）设A ＝3x x －2－x

x ＋2

，B ＝x 2－4x ，求A 与B 的积；

（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题．

2. 设关于x 的一次函数11b x a y +=与22b x a y +=，则称函数)()(2211b x a n b x a m y +++=（其

中1=+n

m ）为此两个函数的生成函数．

（1）当x=1时，求函数

1+=x y 与x y 2=的生成函数的值；

（2）若函数

11b x a y +=与22b x a y +=的图象的交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图

象上，并说明理由．

3．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．

（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）： ①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ ） ② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ ）

（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 ．（写

出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 ． （3）写出两个多边形．．．，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件： ①是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②既是轴对称图形，又是中心对称图形．

4．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l ，点P 为四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一点，PD=PB ，PA≠PC，则点P

为四边形ABCD 的准等距点．

(1)如图2，画出菱形ABCD 的一个准等距点．

(2)如图3，作出四边形ABCD 的一个准等距点(尺规作图，)．

(3)如图4，在四边形ABCD 中，P 是AC 上的点，PA≠PC，延长BP 交CD 于点E ，延长DP 交BC 于点F ，且∠CDF=∠CBE，CE=CF ．求证：点P 是四边形AB CD 的准等距点．

(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．

5．按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p(100－x)，请说明：当p ＝

12

时，这种变换满足上

述两个要求；

（2）若按关系式y=a(x －h)2

＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

6.对于任意两个二次函数:y 1=a 1x 2

+b 1x+c 1,y 2=a 2x 2

+b 2x+c 2,(a 1a 2≠0),当|a 1|=|a 2| 时，我们称这两

个二次函数的图象为全等抛物线．现有△ABM,A(- l,O)，B(1,0)．记过三点的二次函数抛物线为“C □□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母) (1)若已知M(0,1)，N(0-l)△ABM ≌△ABN(0-l)．请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；

(2)在图10-2中，以A 、B 、M 三点为顶点，画出平行四边形．

①若已知 M(0, л)，求抛物线ABM C 的解析式，并直接．．写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．．．

． ②若已知M(m,n),当m,n 满足什么条件时，存在抛物线ABM C ?根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线，若存在，请列出所有满足条件的抛物线“C □□□”；若不存在，请说明理由，

7、阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”．如图8①所示，矩形ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”．显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．

（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； （2）如图8②，若△ABC 为直角三角形，且90C ∠=

，在图8②中画出△ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；

（3）若△ABC 是锐角三角形，且BC AC AB >>，在图8③中画出△ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形．

①

② ③

图8