2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (41)
2020高考数学模拟试题
（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：共12题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机
抽取一个数，则它小于8的概率是
A ．
710 B ．35 C ．12 D ．2
5
2．在平行四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-=，则该四边形的面积为
A ．5
B ．52
C ．5
D ．10
3．设实数y x ,
满足??
?≤-≤-≤+≤-1
11
1y x y x ，则y x 2+的最大值和最小值分别为 A ．1，1- B ．2，2- C ．1，2- D ．2，1-
4．设{}n a 是公比不为－1的等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为
,,X Y Z ，
则下列等式中恒成立的是 A ．2X Z Y +=
B ．()()Y Y X Z Z X -=-
C ．2Y XZ =
D ．()()Y Y X X Z X -=-
5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点与抛物线2
2(0)y px p =>的焦点的距
离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为
A ．
B ．C
D
6．若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>，则
A ．P Q ?
B ．Q P ?
C ．R C P Q ?
D ．R Q C P ? 7．设i 是虚数单位，复数
ai
i
1+2
-为纯虚数，则实数a 为 A ．2 B ．-2 C ．1
-2
D ．12
8．已知函数f (x )＝
x
ax x 2
1
2++，若4))0((=f f ，则log 6a =
A ．1
2
B ．2
C ．1
D ．6
9．命题p ：数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，命题q ：数列{}n a 是常数列，则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
10．函数
()()
2
x b
f x x c -+=
+的图象如图所示，则下列结论成立的是
A ．0c
B ．0>b ，0>c
C ．0>b ，0 D ．0 11．已知函数()f x =22,0 ln(1),0 x x x x x ?-+≤?+>?，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是 A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[－2,1] D ．[－2,0] 12．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，30ABC ∠=o ，APC ?的面积为2，则三棱锥 P ABC -的外接球体积的最小值为 A ． 83π B ．163π C ．323 π D ． 643π 二、填空题：共4题，每题5分，满分共20分，把答案填在答题卷的横线上． 13．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为_________________． 14．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若11 2 a = ，23S a =，则7S = . 15．函数x x y cos 4sin 3-=在θ=x 处取得最大值，则=θsin ． 16．已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任 意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ= . 三、解答题：第17~21题为必做题，每题满分各为12分，第22~23题为选做题，只能选 做一题，满分10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分) 设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4 3 cos =B a 3sin =A b ． （1）求边长a 的值； （2）若ABC ?的面积10=S ，求ABC ?的周长L ． 18．(本小题满分12分) 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点， .222 1＝＝ ＝＝AB CB AC AA （1）证明：1BC //平面1 ACD ； （2）求二面角1D A C E --的余弦值． 19．(本小题满分12分) 已知函数()ln f x x a x =-(R ∈a ). （1）当a >0时，求f (x )的单调区间； （2）讨论函数f (x )的零点个数. A 1 20．(本小题满分12分) 已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为4，且过点)2,2(P ． （1）求椭圆C 的方程； （2）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点 (0,22)A ， 连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由． 21．(本小题满分12分) 心理学研究表明，人极易受情绪的影响．某选手参加7局4胜制的乒乓球比赛． （1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为3 1；但实际上，如果前一局获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到2 1 ；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为 4 1 . 求该选手在前3局获胜局数X 的分布列及数学期望； （2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin A 、sin B 、sin C ，记A 、B 、C 为锐角ABC ?的内角，求证： sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ++---+< 选做题：请考生在下面两题中任选一题作答． 22．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程 已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x y β ββ =??=?为参数 上，且对应参数值分别为α与 α2（02απ<<），点M 为PQ 的中点． （1）求点M 的轨迹的参数方程（用α作参数）； （2）将点M 到坐标原点)0,0(O 的距离d 表示为α的函数，并判断点M 的轨迹是否过坐标 原点)0,0(O . 23．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a ++->． （1）证明：()f x ≥2； （2）若()35f <，求实数a 的取值范围． 理科数学答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 13．43 y x =-；14．14；15． 5 3 ；16． 1 2 ． 1．{|1} P x x =<∴{|1} R C P x x =≥，又∵{|1} Q x x =>，∴ R Q C P ?，故选D．2．设 1 2 ai bi i + = - () b R ∈，则1(2)2 ai bi i b bi +=-=+，所以1 b=，2 a= 3．∵1 )0(= f，∴()4 2 1 1 )1( )0(= + + = = a f f f，解得6 = a. 于是，1 log 6 = a 4．显然只能是非零常数列才是等比数列，故必要性不成立．故选A． 5．∵ 2) ( )( c x b x x f + + - =的图象与y轴交于M，且点M的纵坐标为正，∴ 2 b y c =>，故0 b>，又函数图象间断的横坐标为正，∴0 c ->，故0 c<． 6．由题意得1 (3)n n a- =-，易知前10 为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以 63 105 P==． 7．因为0 2 2 )4 ( 1= ? + - ? = ?，所以⊥， 所以平行四边形ABCD2 12 2+ 8．如图先画出不等式 ? ? ? ≤ - ≤ - ≤ + ≤ - 1 1 1 1 y x y x 表示的平面区域，易知当0 x=，1 y=时，2 x y +取得最大值2，当0,1 x y ==-时，2 x y +取得最小值－2． 9．取等比数列1,2,4，令1 n=，得1 X=，3 Y=，7 Z=，代入验算，只有D满足。10．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的渐近线为 b y x a =±，由双曲线的一条渐近线与抛物 线的准线的交点坐标为（－2，－1）得2 2 p -=-，即4 p=， 又∵ 42p a +=，∴2a =，将（－2，－1）代入b y x a =得1b =， ∴225c a b = +=，即225c = 11．∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ?-≤?+>?，∴由|()f x |≥ax 得，2 2x x x ax ≤??-≥? 且0 ln(1)x x ax >?? +≥?，由202x x x ax ≤??-≥?可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除A ，B ， 当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ， 故选D ． 12．如图所示，设AC x =，由APC ?的面积为2，得4PA x =， 因为30ABC ∠=o ，ABC ?外接圆的半径r x =， 因为PA ⊥平面ABC ，且4 PA x = ，所以O 到平面ABC 的距离为12 2d PA x =?=，设球O 的半径为R ， 则2222 4 222R r d x x = +=+ ≥?=，当且仅当2x =时等号成立， 所以三棱锥P ABC -的外接球的体积的最小值为 3432234 ππ?=，故选C. 13．∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：43y x =-。 14．设公差为d ,则1122a d a d +=+,把112a = 代入得12d =，∴n S =1 (1)4 n n +，故714S = 15. )sin(5)cos 54 sin 53(5cos 4sin 3?-=-=-=x x x x x y ，其中5 4 sin , 5 3 cos = =?? 依题意可得5)sin(5=-?θ，即1)sin(=-?θ，Z k k ∈+=-,22 ππ ?θ 所以5 3 cos )22sin(sin = =++ =?ππ ?θk 16．设(),M x y ，则2222 1,1x y y x +==-， 22 2 2 2 2 2 2 22222251 ||()21122||(2)44154254b b MB x b y x bx b x b bx b MA x y x x x x x λ++-+-++-+-=====-++++++-++， 1 ∵λ为常数，∴2 5102b b ++=，解得12b =-或2b =-（舍去），∴2124 b λ=-=． 解得12λ= 或1 2λ=-（舍去）． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721-题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．(本小题满分12分) 解：（1）在ABC ?中，由3sin 4 3 cos == A b B a ， 得 43 sin cos =A b B a ，且0cos >B …………1分 即43sin sin cos sin =A B B A ，即B B cos 3 4sin = …………3分 代入1cos sin 22=+B B ，得1cos cos 9 16 22=+B B 解得53cos =B ，54 sin =B …………5分 所以535 3 =?=?a a …………6分 （2）由（1）及10sin 2 1 ==B ac S 得5=c …………8分 由余弦定理得205 3 55225252=???-+=b 所以52=b …………10分 所以ABC ?的周长5210+=L …………12分 18．(本小题满分12分) 证明：（1）连结1AC ，交1AC 于点O ，连结DO ，则O 为1AC 的中点， …………1分 因为D 为AB 的中点，所以1//DO BC ， …………2分 又因为DO ?平面1A CD ，1BC ? 平面1A CD ，所以1BC //平面1A CD ；………4分 （2）由1AA AC CB AB === 2=，可得：2=AB ，即222AB BC AC =+ 所以AC BC ⊥， …………5分 又因为111ABC A B C -直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线CA 、CB 、1 CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图， …………6分 则(0,0,0)C 、)2,0,2(1A 、)0,22,22( D 、)2 2,2,0(E ， )2,0,2(1=CA ，)0,22,22( =，)2 2,2,0(=， …………8分 设平面1A CD 的法向量为(,,)n x y z =r ，则0n CD ?=r u u u r 且10n CA ?=r u u u r ，可解得y x z =-=， 令1x =，得平面1A CD 的一个法向量为(1,1,1)n =--r ， …………9分 同理可得平面1ACE 的一个法向量为(2,1,2)m =-u r ， …………10分 则cos ,n m <>= r u r …………11分 所以二面角1D AC E --的余弦值为3 3 ． …………12分 19．(本小题满分12分) 解：（1）()ln f x x a x =-Q ，(0,)x ∈+∞， ………………1分 故'()1a x a f x x x -=-=， ………………2分 0>a Θ (0,)x a ∴∈时，'()0f x <，故()f x 单调递减， ………………3分 (,)x a ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 单调递增， ………………4分 所以，0>a 时，()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a +∞.… 5分 （2）由（1）知， 当0>a 时，)(x f 在a x =处取最小值()ln (1ln )f a a a a a a =-=-， ……6分 当e a <<0时，0)ln 1(>-a a ，)(x f 在其定义域内无零点； ……7分 当e a =时，0)ln 1(=-a a ，)(x f 在其定义域内恰有一个零点； ……8分 当e a >时，最小值0)ln 1()(<-=a a a f ，因为01)1(>=f ，且)(x f 在),0(a 单调递减，故函数)(x f 在),0(a 上有一个零点， 因为e a >，a a e a >>2，0ln )(2 >-=-=a e e a e e f a a a a ，又()f x 在(,)a +∞上单调递增，故函数)(x f 在),(+∞a 上有一个零点，故)(x f 在其定义域内有两个零点； ……………9分 当0=a 时，x x f =)(在定义域),0(+∞内无零点； ………………10分 当0时，)(x f 在其定义域内有两个零点； ………………12分 20．(本小题满分12分) 解：（1）因为焦距为4，所224a b -=，又因为椭圆C 过点)2,2(P ， 所以12422=+b a ，故28a =，2 4b =，从而椭圆C 的方程为22184x y += ……4分 （2）由题意，E 点坐标为0(,0)x ，设(,0)D D x ，则(0,AE x =-u u u r ， (0,AD x =-u u u u u r ，再由AD AE ⊥知，0AE AD ?=u u u r u u u r ，即080D x x +=． ……5分 由于000x y ≠，故08D x x =- ．因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点0 8 (,0)G x ． 故直线QG 的斜率000 2000 8 8 QG y x y k x x x = = -- ． …………6分 又因()00,Q x y 在椭圆C 上，所以220028x y +=． ① 从而0 2QG n x k y = ，故直线QG 的方程为00082x y x y x ??=-- ??? ② …………8分 将②代入椭圆C 方程，得： ()2 2 2200021664160n x y x x x y +-+-= ③ …………10分 再将①代入③，化简得：22 0020x x x x -+= 解得00,x x y y ==，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点． ……………12分 21．(本小题满分12分) 解：（1）依题意，可知X 可取：0,1,2,3， …………1分 2 1 19(0)(1)(1)34 24 P X ∴==-?-= 1111111118 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)32434234424P X == ?-?-+-??-+-?-?= 1111111115 (2)(1)(1)(1)32232434224 P X ==??-+?-?+-??= 1112 (3)(2)32224 P X P X ====??= …………5分 9852 ()0123124242424 E X ∴=? +?+?+?=。 ………………8分 （2）方法一：ABC ?Q 是锐角三角形，0sin 1A ∴<<，0sin 1B <<，0sin 1C <<， 则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为： (1)sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin P X A B C A B A C B C A B C ≥=++---+ ………………11分 由概率的定义可知：(1)1P X ≥<，故有： sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ++---+<。 ………………12分 方法二： sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ++---+- (sin 1)(sin 1)(sin 1)A B C =--- ………………10分 ABC ?Q 是锐角三角形，0sin 1A ∴<<，0sin 1B <<，0sin 1C <<，故 sin 10A -<，sin 10B -<，sin 10C -<，(sin 1)(sin 1)(sin 1)0A B C ∴---<， sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ∴++---+< ………………12分 22．(本小题满分10分) 解：（1）由题意有()()2cos ,2sin ,2cos 2,2sin 2,P Q αααα …………2分 因此，()cos cos 2,sin sin 2M αααα++ …………4分 M 的轨迹的参数方程为cos cos 2, sin sin 2,x y αααα=+?? =+? （02απ<<） …………5分 （2）M 点到坐标原点的距离：d = = …………6分 = …………7分 =（02απ<<） …………9分 当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点． …………10分 23．(本小题满分10分) 解（1）由0a >，有()f x 111 ()2x x a x x a a a a a =+ +-≥+--=+≥．………4分 所以()f x ≥2. ………5分 （2）1 (3)33f a a =+ +-. 当时a ＞3时，(3)f =1a a + ，由(3)f ＜5得3＜a ． …………7分 当0＜a ≤3时，(3)f =16a a -+ ，由(3)f ＜5＜a ≤3． …………9分 综上，a ）． …………10分