定积分和微积分基本定理知识梳理
定积分和微积分基本定理 【考纲要求】 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。 2.正确计算定积分，利用定积分求面积。
【知识网络】
【考点梳理】 要点一、定积分的概念 定积分的定义：如果函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点011iinaxxxxxb将
区间[,]ab等分成n个小区间，在每个小区间1[,]iixx上任取一点(1,2,,)iin，作和式
11()()nnniiiibaIfxfn，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()fx在
区间[,]ab上的定积分.记作()bafxdx，即()bafxdx＝1lim()ninibafn，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]ab叫做积分区间，函数()fx叫做被积函数，x叫做积分变量，()fxdx叫做被积式. 要点诠释： （1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零； （2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 要点二、定积分的性质
（1）()()bbaakfxdxkfxdx（k为常数），
（2）1212()()()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx， （3）()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx（其中bca）， （4）利用函数的奇偶性求积分： 若函数()yfx在区间,bb上是奇函数，则()0bbfxdx；
若函数()yfx在区间,bb上是偶函数，则0()2()bbbfxdxfxdx.
定积分的概念定积分的性质
微积分基本定理
定积分的几何意义及应用要点三、微积分基本定理 如果'()()Fxfx，且)(xf在ba,上连续，则()()()bafxdxFbFa,其中()Fx叫做)(xf的一
个原函数.由于()'(),Fxcfx()Fxc也是)(xf的原函数，其中c为常数. 一般地，原函数在ba,上的改变量)()(aFbF简记作()baFx.因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bbaafxdxFxFbFa.
要点诠释： 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算. 要点四、定积分的几何意义
设函数)(xf在区间ba,上连续.
在ba,上，当0)(xf时，定积分badxxf)(在几何上表示由曲线)(xfy以及直线bxax,与x轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.
在ba,上，当0)(xf时，由曲线)(xfy以及直线bxax,与x轴围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分badxxf)(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值； 在ba,上，当)(xf既取正值又取负值时，定积分badxxf)(的几何意义是曲线)(xfy，两条直线bxax,与x轴所围成的各部分面积的代数和. 在x轴上方的面积积分时取正号，在x轴下方的面积积
分时，取负号.如图（2）所示.
要点五、应用 （一）应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线xa，xb()ab，x轴（即直线()0ygx）及一条曲线()yfx (()0fx)围成的曲边梯形的面积：()[()()]bbaaSfxdxfxgxdx；
2. 如图，由三条直线xa，xb()ab，x轴（即直线()0ygx）及一条曲线()yfx (0)(xf)围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bbbaaaSfxdxfxdxgxfxdx；
3. 如图，由曲线11()yfx22()yfx12()()0fxfx及直线xa，xb()ab围成图形的面积公式为：1212[()()]()()bbbaaaSfxdxfxfxdxfxdx.
4.利用定积分求平面图形面积的步骤： （1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； （2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）写出定积分表达式； （4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数()(()0)vvtvt在时间区间[,]ab上的定
积分，即()baSvtdt. ②变力作功 物体在变力()Fx的作用下做直线运动，并且物体沿着与()Fx相同的方向从xa移动到
xb()ab，那么变力()Fx所作的功W()baFxdx.
【典型例题】 类型一：运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分 （1）0)cos(sindxxx； （2）dxxxx212)1(； （3）0)(cosdxexx. 【解析】（1）∵(cossin)sincosxxxx， ∴00(sincos)(cossin)2xxdxxx；
（2）∵2321(ln)23xxxxxx， ∴232221115()(ln)ln2236xxxxdxxx. （3）∵(sin)cosxxxexe， ∴001(cos)(sin)1xxxedxxee； 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得()()Fxfx的原函数()Fx。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求()Fx，即利用求导函数与求原
函数互为逆运算。 举一反三： 【变式】计算下列定积分的值：
（1）dxxx20)sin(， （2）180(8)xxdx
【解析】（1）2222001(sin)(cos)128xxdxxx （2）91801871(8)()0ln893ln29xxxxdx 【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题四】 例2.求201sin2xdx 【解析】 2222
00
242004
4204
420
4
1sin2sin2sincossincossincossincos(cossin)(sincos)(sincos)(cossin)2112222xdxxcosxxxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxxxx
【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止. 举一反三： 【变式】计算下列定积分的值.
（1）31[(4)]xxdx； （2）231(1)xdx； （3）2211()xdxx；
【解析】（1）332233111120[(4)](4)(2)33xxdxxxdxxx， （2）223324322111131(1)(331)()424xdxxxxdxxxxx.
（3）222221111117()(2)(2ln)|ln222xdxxdxxxxxx. 例3.求定积分 3,[0,1](),[1,2]2,[2,3]xxxfxxxx
，求函数)(xf在区间3,0上的积分；
【解析】 31230012()()()()fxdxfxdxfxdxfxdx12330122xxdxxdxdx
3421232201243ln2xxx 5442123ln2.
【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分。 举一反三：
【变式】求定积分：301xdx；
【解析】301xdx＝101xdx＋311xdx 2 2 0
＝ 10(1)xdx＋31(1)xdx ＝21230111()|()|22xxxx ＝15222 类型二：利用定积分的几何定义 例4. （2016 河南商丘模拟）求定积分：2204xdx；
【解析】设24yx，则224xy(0,02)yx表示41个圆， 由定积分的概念可知，所求积分就是41圆的面积, 所以2201444xdx 举一反三： 【变式】求定积分：22016xdx
【解析】设216yx，则2216xy(0,02)yx表示如图的曲边形， 其面积2233SSS扇形, 故220216233xdx. 类型三：利用定积分求平面图形面积 例5.(2015 山东淄博一模)如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的
阴影部分的面积为( )
A.2120xdx
B. 2120xdx C. 2120xdx D. 12221110xdxxdx 【答案】A 【解析】 由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的
面积相等，即2120xdx，选A.
【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤
高考数学复习： 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
的图形的面积S,正确的是 ( )
A.S= 10 (x-x2)dx C.S= 10 (y2-y)dy
B.S= 10 (x2-x)dx D.S= 10 (y- y )dy
【解析】选A.根据题意,如图所示,阴影部分为曲线 y=x2与y=x所围成的图形,其面积S= 10 (x-x2)dx.
2.(选修2-2P67T7改编)直线y=3x与曲线y=x2围成图形
b a
f(x)dx=_F_(_b_)_-_F_(_a_)_,这个结论叫做微积
分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中F(x)叫做
f(x)的一个原函数.为了方便,常把F(b)-F(a)记成
F(x)|ab ,即
b a
f(x)dx=F(x)
|ab
=F(b)-F(a).
【常用结论】 1.定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲 边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上 方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时, 定积分的值为零.
(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则
b a
f(x)dx
= ab f(t)dt.
(
)
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,
则 ab f(x)dx>0. ( )
(3)若
b a
f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴
所围成的图形一定在x轴下方. ( )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的. ( )
第五节 定积分的概念与微积分基本定理、
【知识梳理】 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个
[推荐学习]2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理理
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第三章导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理理1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(2)若f(x)为奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.( √)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.( √)(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( ×)(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的．( ×)(5)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )1．(2017·福州质检)ʃ10(e x＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝e ＋1－1＝e.2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝(2x 2－14x 4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3．(教材改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 答案 A解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21＝32×4＋4－(32＋2) ＝10－72＝132(m)．4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ，e](e 为自然对数的底数)，则ʃe0f (x )d x 的值为________．答案 43解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋ln e ＝43.题型一 定积分的计算例1 (1)(2016·九江模拟)若ʃ10(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1 (2)定积分ʃ2－2|x 2－2x |d x 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 (1)B (2)D解析 (1)ʃ10(2x ＋λ)d x ＝(x 2＋λx )|10＝1＋λ＝2， 所以λ＝1. (2)ʃ2－2|x 2－2x |d x＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x ＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20 ＝83＋4＋4－83＝8. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．(1)若π20(sin cos )d 2x a x x ⎰－＝，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.67 答案 (1)A (2)C 解析 ππ220(1)(sin cos )d (cos sin )|x a x x x a x ⎰－＝－－＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1.(2)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－12×4)－(2－12) ＝56. 题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分 例2 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________. (2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. (2)根据定积分的几何意义ʃm－2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积， 结合图形知m ＝－1. 命题点2 求平面图形的面积例3 (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为______． 答案 4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)， 由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1312311113311(3)d (3)d (3ln )|(3)|2x x x x x x x x -+-=-+-⎰⎰ ＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ39－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________． 答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ39－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163. 题型三 定积分在物理中的应用例4 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t )d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]|4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃba v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃba F (x )d x .一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×3221＝433，∴F (x )做的功为43 3 J.4．利用定积分求面积典例 由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________． 错解展示解析 所求面积S ＝ʃ20(x 2－1)d x ＝(13x 3－x )|20＝23.答案 23现场纠错解析 如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)． 所以S ＝ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝(x －x 33)|1＋(x 33－x )|21＝(1－13)＋[83－2－(13－1)]＝2.答案 2纠错心得 利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系；定积分可正可负，而面积总为正．1．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰π2011π1(sin )|.2242x x =-=- 2．ʃ101－x 2d x 的值为( ) A.14 B.π4 C.12 D.π2 答案 B解析 ʃ11－x 2d x 的几何意义为以(0,0)为圆心， 以1为半径的圆位于第一象限的部分，圆的面积为π， 所以ʃ101－x 2 d x ＝π4. 3．(2016·南昌模拟)若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析 由题意知ʃa 1(2x ＋1x)d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.4．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x ＝(x －x 22)|10＋(x 22－x )|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.5．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8 答案 A解析 22333200228(()|,333m m S m x mx x m m ==-=-=⎰解得m ＝2.6．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.7．π)d 4x x +=________.答案 2解析 依题意得π)d 4x x +ππ220(sin cos )d (sin cos )|x x x x x =+=-⎰＝(sin π2－cos π2)－(sin 0－cos 0)＝2.8．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析 所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－(－sin π3)＝ 3.*9.(2016·湖北省重点中学高三阶段性统一考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________.答案 －4解析 因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)， 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3. 所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ2f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝(x 44－x 3)|20＝－4.10．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________．答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ，由二次函数的性质可得f (a )max ＝－232－12＝29. 11．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B(3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x32123201211()|(2)|363x x x x =++- ＝23＋16＋43＝136. 12．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A (π2，0)，B (π2，1)，C (0,1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x (0≤x ≤π2)的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解 阴影部分的面积为π20π(1sin )d 1,2x x -=-⎰生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持 矩形的面积是π2×1＝π2， 所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π. *13.已知函数y ＝F (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，求函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积．解 由题意，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1， 则xF (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为11122323122101022101010d (1010)d |(5)|33x x x x x x x x +-+=+-⎰⎰ ＝103×18＋(5－103)－(54－103×18)＝54.。
高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第三章 导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理 Word
§3.4 定积分与微积分基本定理考纲展示► 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．考点1 定积分的计算1.定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个________，这个________叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .答案：常数 常数 2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，________与________分别叫做积分下限与积分上限，区间________叫做积分区间，函数________叫做被积函数，________叫做积分变量，________叫做被积式．答案：ab [a ，b ] f (x ) xf (x )d x 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝________(k 为常数)；(2)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________；(3)________＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．答案：k ⎠⎛a b f (x )d x ⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x⎠⎛abf (x )d x 4．定积分的几何意义如图：设阴影部分面积为S . (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝________； (3)S ＝____________；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .答案：(2)－⎠⎛a b f (x )d x (3)⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝________.其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．可以把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )ba ＝________.答案：F (b )－F (a ) F (b )－F (a )奇函数、偶函数的定积分．(1)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝________.(2)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝________. 答案：(1)2⎠⎛0a f (x )d x (2)0[典题1] 求下列定积分： (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ；(4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .[解](1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x ＝－13x 310＋x 210＝－13＋1＝23.(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )π0－sin x π0＝2. (3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2xd x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x 21＋ln x 21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π4|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[题点发散1] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”换为“|2x －1|”，如何求解？解：⎠⎛01|2x －1|d x ＝⎠⎜⎛012 (1－2x )d x ＋⎠⎜⎛121(2x －1)d x ＝(x －x 2)⎪⎪⎪⎪12＋(x 2－x )⎪⎪⎪⎪112＝14＋14＝12. [题点发散2] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎠⎛01－x 2＋2x d x ＝π4.[点石成金] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.34 B ．45 C.56 D ．不存在答案：C 解析：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.2．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________．答案：9π4解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.3．[2017·湖北重点中学高三阶段性统一考试]若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.答案：－4解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x44－x 320＝－4.考点2 运用定积分求平面图形的面积[典题2] (1)已知曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为S ，则S ＝________.[答案]136[解析] 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 ＋16x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. (2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[答案] 2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ，y ＝k 2， 则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. [点石成金] 1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．2．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.1.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1B ．π4C.223D ．22－2答案：D解析：由sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得x ＝π4，故图中阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝sin π4＋cos π4－cos 0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2－sin π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π4－sin π4 ＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)2．[2017·山东日照模拟]如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为________．答案：43解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1， 得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．∴面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3410＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 31221＝43. 考点3 定积分在物理中的应用[典题3] [2017·湖北武汉调研]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[答案] C[解析] 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋＋t 4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)． [点石成金] 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦．答案：36解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(焦)．[方法技巧] 1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(3)利用定积分的几何意义求定积分． 2．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．(4)计算定积分．[易错防范] 1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．真题演练集训1．[2014·陕西卷]定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案：C解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．[2014·山东卷]直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4答案：D解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 420＝4.3．[2015·天津卷]曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 答案：16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16. 4．[2015·湖南卷]⎠⎛02(x －1)d x ＝________. 答案：0解析：⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x 20＝(2－2)－0＝0. 5．[2015·陕西卷]如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．答案：1.2解析：建立如图所示的平面直角坐标系．由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛5－5⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝＋2＝16.最大流量比为S 2∶S 1＝1.2.课外拓展阅读探究定积分与不等式交汇问题[典例][2016·湖南长沙模拟]如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ；x ∈(0，π)及直线x ＝a ，a ∈(0，π)与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.7π12 B ．2π3 C.3π4 D ．5π6[审题视角] 先运用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率计算公式求出概率．[解析] 由已知S 矩形OABC ＝a ×6a＝6， 而阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )a0＝1－cos a ， 依题意有SS 矩形OABC ＝14，即1－cos a 6＝14， 解得cos a ＝－12，又a ∈(0，π)， 所以a ＝2π3.故选B.[答案] B定积分还可与其他知识交汇，如与二项式定理、数列等知识交汇．方法点睛提醒完成课时跟踪检测(十六)。
高考数学一轮复习讲义 第21课时 定积分与微积分基本定理 理
课题：定积分与微积分基本定理考纲要求：① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 . ② 了解微积分基本定理的含义. 教材复习1.定积分()1积分的定义及相关概念如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，用分点0122n n a x x x x x b -=<<<<<=，将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ(1,2,i =…，n )，作和式1()ni i b af n ξ=-∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰.其中， 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间[],a b 叫做积分区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．()2定积分的性质：①1ba dx =⎰；②()bakf x dx =⎰ (k 为常数)；③[]()()baf xg x dx ±=⎰ ；()b af x dx =⎰()3定积分的几何意义：① 当函数()f x 在区间[],a b 上恒正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积（左图中的阴影部分）即()baS f x dx =⎰； 当()f x ≤0时，()baS f x dx ==⎰()baf x dx ⎰.② 一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲边()f x以及直线x a =，x b =之间的曲边梯形的面积的代数和（右图中的阴影部分），其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数.2.微积分基本定理如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()baf x dx =⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3.定积分的应用()1曲边梯形的面积：一般地，设由曲线()y f x =，()y g x =以及直线,x a x b ==所围成的平面图形的面积为S ，则S = （()()f x g x >）.()2匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数()v v t =(()0v t ≥)在时间区间[],a b 上的定积分，即 ()bas v t dt =⎰.()3简单几何体的体积：若几何体是由曲线()y f x =与直线,x a x b ==以及x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周得到的，则其体积为V =基本知识方法：1.求定积分有两种途径：牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义；当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.2.若()f x 是[],a a -连续的奇函数，则()aaf x dx -=⎰ ；若()f x 是[],a a -连续的偶函数，则()aaf x dx -=⎰()af x dx ⎰典例分析：考向一 定积分的计算（考虑牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义） 问题1．计算下列积分：()1221x dx ⎰； ()20(sin cos )x x dx π-⎰； ()32132xdx -⎰；()41-⎰； ()5()11cos 5sin x x x dx --⎰考向二 利用定积分求面积 问题2．求下图中阴影部分的面积．解：考向三 定积分的应用问题3．()1一物体以()238v t t t =-+()m s 的速度运动，在前30s 的平均速度为()2（2012福建）如图所示，在边长为1 的正方形OABC中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为.A 14 .B 15 .C 16 .D 17课后作业：1.计算定积分：①220sin 2xdx π⎰； ②()0cos x x e dx π-+⎰；③；④⎰2. （2013届高三西工大附中六模）)1x dx ⎰=3. （2013届高三湖北武汉调研）2302cos 12x dx π⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰.A -.B 12-.C 12.D走向高考：1.（2013北京）直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 .A 43 .B 2 .C 83 .D 32.（2013江西）若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231,x S e dx =⎰则123,,S S S 的大小关系为.A 123S S S << .B 213S S S << .C 231S S S << .D 321S S S <<3.（2013湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()73v t t =-251t++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止.在此期间汽车继 续行驶的距离（单位;m ）是.A 125ln5+ .B 11825ln 3+ .C 425ln5+ .D 450ln 2+4.（2013湖南）若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为5.（2012江西）计算定积分()121sin xx dx -+=⎰6.（2010湖南） 421dx x⎰等于 .A 2ln 2- .B 2ln 2 .C ln 2- .D ln 2 7.（2011陕西）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a =。
定积分与微积分基本定理
.
F ( x)dx
a
b
.
方法技巧
方法 1 定积分的求解
1.计算一些简单的定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常
数的积的和或差;
(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分; (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分;
做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)
在时间区间[a,b]上的定积分,即s=② (2)变力做功公式 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的 方向从x=a移动到x=b(a<b),则变力F(x)所做的功W=③
v(t )dt
b a
1
1 3 3 ×2= 6 , 3 d2 1 = ∵ x x x=
5 5 1 6 2 x= 3 )d ∴ (xcos x+ ,故选D. x 1 5
1
5 3
5
1
方法 2 求曲边梯形的面积
1.求解步骤 (1)在直角坐标系中画出图形; (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和; (4)计算定积分.
b 为了方便,我们常常把F(b)-F(a)记成F(x) a ,即
b f ( x )d x = F ( x ) =F(b)-F(a). a
a b
考点二
1.定积分的几何意义
定积分的意义
b
(1)当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分 a f(x)dx的几何意义是由直 线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴
2020届高三理数一轮讲义：3.3-定积分与微积分基本定理(含答案)
[思维升华] 1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而 与积分变量用什么字母表示无关. 2.错误!f(x)dx、错误!|f(x)|dx 与|错误!f(x)dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函
数 f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图象可以在 x 轴上方、也可以在 x 轴下方、还可以在 x 轴的上下两侧，所以 错误!f(x)dx 表示由 x 轴、函数 f(x)的曲线
4 角度 2 利用定积分计算平面图形的面积 【例 2－2】 (一题多解)由抛物线 y2＝2x 与直线 y＝x－4 围成的平面图形的面积 为________.
y2＝2x，
解析 如图所示，解方程组
得两交点为(2，－2)，(8，4).
y＝x－4，
法一 选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之 和，即 S＝2错误! 2xdx＋错误!( 2x－x＋4)dx＝18.
角度 1 利用定积分的几何意义计算定积分
【例 2－1】 (1)计算：错误!(2x＋ 1－x2)dx＝________.
(2)若错误! －x2－2x dx＝π，则 m＝________. 4
解析 (1)由定积分的几何意义知，错误! 1－x2 dx 表示以原点为圆心，以 1 为半
| 径的圆的面积的1，所以错误! 1－x2 dx＝π，又 错误!2xdx＝x2
曲边梯形的面积
2.定积分的性质
(1)错误!kf(x)dx＝k错误!f(x)dx(k 为常数).
(2)错误![f1(x)±f2(x)]dx＝错误!f1(x)dx±错误!f2(x)dx.
(3)错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx(其中 a＜c＜b).
2.13定积分的概念与微积分基本定理
考向 1
定积分的计算
2 2 2
【典例1】(1)(2013·江西高考)若 s1 x dx,s 2 dx, 1 1
s3 e x dx，则s1,s2,s3的大小关系为(
1 2
1 x
)
(A)s1＜s2＜s3 (C)s2＜s3＜s1
(B)s2＜s1＜s3 (D)s3＜s2＜s1
(2) 2 1 sin 2xdx =___________. 0
2 4
(3)由y＝ 3＋2x－x 2＝ 4－ x－12，得 x－12 ＋y 2＝4 y 0 ，
表示以(1，0)为圆心，2为半径的圆在x轴上方的部分，
3 1
3 1
3＋2x－x dx 是圆面积的 ， 4
2
1
1 ·π·22＝π. 3＋2x－x dx＝ 4
2
答案：π
【互动探究】在本例题(3)中条件不变，求 3 f(x)dx的值. 1
)
A 11 x 2dx B 11 2x dx 2 1 x 0 x 1 2 x dx 2 dx D 2 dx C 0 1 0 1 0 x dx
x 2，x 0， 【解析】选D.∵ f (x) x 2 ，x 0，
1 sin 2xdx
|sin x-cos x|dx (cos
4 0
x-sin x)dx+ (sin x-cos x)dx
4 0
2 4
=(sin x+cos x) | -(cos x+sin x) | = 2 -1-(1- 2 )=2 2 -2. 答案：2 2 -2
)
(2)若函数y=f(x)在区间［a，b］上连续且恒正，则
定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结
定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.定积分的极念一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121ii ax x x x x n x b 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b axn），在每个小区间1,i i x x 上任取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1()n n i i S f x ξ==∆=∑ 1()ni i b af n ξ=-∑，当x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰，()f x 为被积函数，x 为积分变量，[,]a b 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限． 需要注意以下几点：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法.①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af nξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b aS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功(x)baS F dx =⎰2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()yf x 所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分()b af x dx ⎰的几何意义．一般情况下，定积分()b af x dx ⎰的值的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图像以及直线,x a x b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．二、基本性质 性质1 1ba dxb a =-⎰.性质2 ()()(0)b baakf x dx k f x dx k =⎰⎰其中是不为的常数（定积分的线性性质）.性质3 1212[()()]()()b b ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）.性质4 ()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）推广1 1212[()()()]()()()bb bbm m a aaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰推广2 121()()()()kb c c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰．三、基本定理设函数()f x 是在区间[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 是在[,]a b 上的任意一个原函数，即'()()F x f x =，则()()()b a f x dx F b F a =-⎰，或记为()()ba bf x dx F x a==⎰ ()()F b F a -，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ．然后计算原函数()F x 在区间[],a b 上的增量()()F b F a -即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．题型归纳及思路提示题型1 定积分的计算 思路提示对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算． 例计算()12-1sin x x dx +⎰= ．解析 ()123-111112sin =cos cos1cos113333x x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=----= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰．A. B. C. D.变式1 ()421dx x=⎰ A.-2ln 2 B. 2ln 2 C.-ln2 D. ln 2变式2 ()1(2)x e x dx +=⎰B 1e -. C.e D. +1e变式3 设函数()()20f x ax c a =+≠，若()()()100001f x dx f x x =≤≤⎰，则0x 的值为 ．变式4 设函数()y f x =的定义域为R, 若对于给定的正数k ，定义函数()()(),(),k k f x k f x f x f x k≤⎧=⎨>⎩，则当函数()1,1f x k x ==时，定积分()214k f x dx ⎰的值为（ ）A.2ln 22+B. 2ln 21-C.2ln2D. 2ln 21+ 例 根据定积分的几何意义计算下列定积分（1）()402x dx -⎰； （2）1-⎰分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故()4020x dx -=⎰．（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线()2210x y y +=≥和x 轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是2π，故121=2x dx π--⎰．评注 定积分()bax dx ⎰的几何意义是函数和直线,x a x b ==以及x 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,()0f x >面积是正值，当函数()0f x <时，积分值是负值．变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分． （1）()402x dx +⎰； （2）024x dx --⎰； （3）100sin xdx π⎰； （4）344sin xdx ππ-⎰．题型52 求曲边梯形的面积 思路提示函数()(),y f x y g x ==与直线(),x a x b a b ==<围成曲边梯形的面积为()()|f g |dx baS x x =-⎰，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限． 例 由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ） A.112 B.14 C.13 D.712解析 由23x x =得01,x x ==或则由2y x =和3y x =围成的封闭图形的面积为()1233401111110343412x x dx x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选A ． 变式1（2012湖北理3）已知二次函数()y f x =的图象如图3-16所求，则它与x 轴所围成图形的面积为（ ） A.25π B.43 C.32 D.2π变式2 由曲线2y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ） A.23 B.13 C.12 D.14变式3 求抛物线24y x =与24y x =-围成的平面图形的面积．变式4 求由两条曲线2214,y 4y x x ==和直线4y =所围成的面积．最有效训练题 1.已知函数()223f x x x =--，则()11f x dx -=⎰（ ）A. -2B.163- D. 1632.定积分())1211x x dx --=⎰（ ）A,24π- B.12π- C.14π- D. 12π-3.设()[]2,0,12,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则()20f x dx =⎰（ ）A.34B.45C.56D.不存在 4.222,,sin xa xdxb e dxc xdx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A,a c b << B.a b c << C.c b a << D. c a b <<5.曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面区域的面积为（ ）A,１ B. ２ C.21 D. )2216.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y θ=所围成的平面图形的面积为（ ）A,12 B.１ C.33 7.抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积为 ．8.已知()f x 是偶函数，且()506f x dx =⎰，则()55f x dx -=⎰ ．9.()22|1x |dx --=⎰ ．1-y xO图3-161110.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中()()10,0,5,1,02A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，．函数()()01y xf x x =≤≤的图象与x 轴所围成的图形的面积为 ．11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．（１）11|x|dx -⎰； （２）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； （３）11dx ⎰；（４）20cos 2x dx π⎰； （５）20cos 2cos sin x dx x xπ-⎰ １２．有一条直线与抛物线2y x =相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．。
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第2章 第14节 定积分与微积分基本定理
非负，而定积分的结果可以为负．
定积分的计算
[典题导入] 求下列函数的定积分．
2 (1)∫1(x2＋2x＋1)dx；
(2)∫0 (sin x－cos x)dx；
2 (3)∫1|3－2x|dx.
π
[规律方法] 应用微积分基本定理求定积分∫af(x)dx 时，可按以下两步进行： 第一步：求使 F′(x)＝f(x)成立的 F(x)； 第二步：计算 F(b)－F(a)．
2 4 所以 a ＝3，所以 a＝9. 4 答案 9
[关键要点点拨]
1．利用微积分基本定理 (即牛顿—莱布尼兹公式 )求定积分， 关键是找到满足 F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数 f(x) 的一个原函数F(x)，其过程实际上是求导运算的逆运算， 即运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反 方向上求出F(x)． 2．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积
第十四节
定积分与微积分基本定 理(理)
[主干知识梳理] 一、定积分的性质
b b 1.∫akf(x)dx＝ k∫af(x)dx (k 为常数)； b b b ∫ ∫ ∫ 2. a[f1(x)± f2(x)]dx＝ af1(x)dx± af2(x)dx ； b c b ∫ ∫ ∫ 3. af(x)dx＝ af(x)dx＋ c f(x)dx (其中 a<c<b)．
4 ∫ 故所求面积为 S＝ 0[ x－(x－2)]dx 2 4 2 3 x 16 2 ＝ [3x －（ 2 －2x）] 0＝ .] 3
2 2 ∫ ∫ 4．若∫1 f ( x )d x ＝ 1 ， f ( x )d x ＝－ 1 ，则 0 0 1f(x)dx＝________．
解析
1 2 ∵∫2 0f(x)dx＝∫0f(x)dx＋∫1f(x)dx，
37知识导学 定积分的概念与微积分基本定理
b
b
b
分变量用什么字母表示无关，即 f (x)dx f (u)du f (t)dt （称为积分形式
a
a
a
b
的不变性），另外定积分 f (x)d (x) 与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积 a
分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如 1(x2 1)dx 与 3 (x2 1)dx 的值就不同.
一般地，给定一个在区间a，b 上的函数 y=f (x) ，如图所示.将
a，b 区间平分成 n 份，分点为：
a x0 x1 x2 xi1 xi xn b
则每个小区间长度为 x （ x b a ），在每个小区间
n
xi1 , xi
上任取一点
i
i 1, 2,, n ，作和式： Sn
1
（2） xdx ； 0
（3） 1 x3dx ； 0
（4） 1 x3dx . 1
【答案】（1）
1
1dx
x1
1
0
1；
0
0
（2）
1
xdx
1
x2
1
1
12
1
02
1
；
0
2 02 2
2
（3）
1 x3dx
0
1 x4 1
1 14 1 04
1；
4 04 4
4
（4） 1 x3dx 1 x4 1 1 14 1 (1)4 0 .
5
计算可得
A
的面积为
5 2
5
25
，B
的面积为
3 2
3
9
，
24
24
从而 3 (2x 1)dx 25 9 4 .