1 计数统计量和秩统计量

{Tn } N (0,1)
第二节计数统计量 定义1.2.1 设 定义1.2.1 是一个随机变量，对一给定的实数 是一个随机变量， X 随机变量 ，其中 ( X − θ 0 ) θ0 Ψ =ψ
1 t > 0 ψ (t ) = 0 t ≤ 0 X 分段的计数统计量。 分段的计数统计量。 则称随机变量 Ψ 为 按 θ0
= P{( Z 1 , Z 2 ,L, Z N ) = ( Z ( r1 ) , Z ( r2 ) ,L Z ( rN ) )} = P{( Z d1 , Z d 2 ,L, Z d N ) = ( Z (1) , Z ( 2 ) ,L Z ( N ) )} = P{( Z d1 < Z d 2 < L < Z d N )}
，定义
X 1 , X 2 , L , X n X i (i = 1,2, L n ) 定理1.2.1 相互独立。 定理1.2.1 设随机变量 相互独立。 有分布 Fi (x ) 。 Fi (θ 0 ) = p 0 (0 < p 0 < 1) (i = 1,2, L n) 是相互独立同分布的随机变量， 则 是相互独立同分布的随机变量，其共 Ψi = ψ ( X i − θ 的两点分布。 同分布为参数为0 ) 的两点分布。
例1设随机变量 X 1 , X 2 , L , X n 相互独立同分布， 相互独立同分布，分布为 N ( µ 0 , σ 2 ) = { N ( µ 0 , σ 2 ) σ > 0} 已知， 未知。 参数µ 0 已知， 未知。 ￡ σ2 取统计量 T ( X , X , L , X ) = n ( X − µ ) / S 1 2 n 0 1 其中
证明：Wilcoxon秩统计量和Mann-Whitney统计量有下列关系 证明：Wilcoxon秩统计量和Mann-Whitney统计量有下列关系 秩统计量和Mann
其中 U = ∑∑ψ (Y j − X i )
i =1 j =1
m
n(n + 1) W =U + 2 n
U 证明 ： 表示 ( X i , Y j )(i = 1,2,L m, j = 1,2, L,中Y大于X的个 n) 大于X , Y1 , Y2 , L , Yn 数，记 的次序统计量为 (Y(1) , Y( 2 ) , L 对应的秩统计量为 Y( n ) ) ( R(1) , R( 2 ) ,L R( n ) )
{Tn ( X 1 , X 2 , L , X n ), n = 1,2, L}
的样本，一切 ， 的样本F (x )
均有相同的极限分布， 对任意的 F (x ) 均有相同的极限分布，则称 渐近适应任意分布的. 渐近适应任意分布的.
关于￡ 关于 {Tn } ￡是
例2设随机变量 相互独立同分布， 相互独立同分布， X 1 , X 2 ,L, X n 分布为 分布类￡ 分布类￡ (x ) = {期望为 µ，方差为 σ 2 > 0的分布 } F 取统计量 Tn ( X 1 , X 2 , L , X n ) = n ( X − µ ) / σ 关于￡ 渐近适应任意分布的统计量. 则 关于￡是渐近适应任意分布的统计量.其极限分布为
(1 − p 0 )
由定理1.2.1可知， 由定理1.2.1可知，任一由 1.2.1可知 构成的统计 Ψ1 , Ψ2 , L , Ψn , p0 的分布类是适应任意分布的。 θ 关于一切 分位点为 2 , L的分布类是适应任意分布的。这0 S ( Ψ1 , Ψ , Ψn ) 样的统计量称为计数统计量。 样的统计量称为计数统计量。最常用的一个计数统计量为
X 1 , X 2 ,L , X m
, Y1 , Y2 , L , Yn
R = (Q1 , Q2秩统计量为 Wilcoxon秩统计量为
W = ∑ Ri
i =1
n
定理1.3.4 定理1.3.4 在 为
H 0 : F ( x ) ≡ 下( x ) Wilcoxon秩统计量的分布 G ， Wilcoxon秩统计量的分布 P (W = d ) = t m ,n (d )
2 1 n 1 n 2 X = ∑ Xi,S = ∑(X i − X ) n i =1 n − 1 i =1
则T关于￡是适应任意分布的. 关于￡ 适应任意分布的.
定义1.1.2 定义1.1.2 设随机变量 X 1 , X是来自总体 2 ,L, X n 组成分布类￡。如果统计量 F (x ) 可能的 组成分布类￡。如果统计量 ￡。
1 n +1 2 var(Ri ) = E ( R ) − E ( Ri ) = ∑ r ⋅ − ( ) n 2 r =1 1 n(n + 1)(2n + 1) n + 1 2 (n + 1)(n − 1) = −( ) = n 6 2 12
n 2 i 2 2
cov( Ri , R j ) = E[( Ri − E ( Ri ))( R j − E ( R j ))] = ∑ 0 ⋅( r −
由于
# { X i < Y(1) , i = 1,2,L m, } = R(1) − 1
# { X i < Y( j ) , i = 1,2, L m, } = R( j ) − j
# { X i < Y( n ) , i = 1,2, L m, } = R( n ) − n
所以
n
U = ∑∑ψ (Y j − X i ) = ∑ ( R( j ) − j )
，则集合
R = ( R1 , R2 , L , R N )
服从均匀分布. 则 R∗ = {( r1 , r2 , L , rN ).( r1 , r2 , L , rN ) 是（， L，N） 服从均匀分布 1 2， 的全排列｝
R
证明 P{R = r} = P{( R1 , R2 , L, R N ) = (r1 , r2 , L rN )}
1 P ( Ri = r ) = N 0 当r = 1,2, L , N 其他
二维边缘分布有， 二维边缘分布有，当 i ≠ j 时，有
1 当r ≠ s, r , s = 1,2, L , N P ( Ri = r , R j = s ) = N ( N − 1) 0 其他
因为
d
( Z d1 , Z d 2 ,L, Z d N ) =( Z 1 , Z 2 ,L, Z N )
所以 P{R = r} = P{( Z d1 < Z d 2 < L < Z d N )} = P{( Z 1 < Z 2 < L < Z N )}
=
1 N!
R = ( R1 , R2 , L , R N ) 的边缘分布也是均匀分布， 定理1.3.2 的边缘分布也是均匀分布， 定理1.3.2 特别地， 特别地，一维边缘分布有
i =1 j =1 j =1 n n n n
m
n
n
U = ∑ ( R( j ) − j ) = ∑ R( j ) − ∑ j = ∑ R j − ∑ j = W −
Wilcoxon秩统计量 Wilcoxon秩统计量 X 1 , X 2，相互独立 ,L , X m 有两个总体， 有两个总体，一个总体的样本为 F (x ) 同分布， 同分布，分布为连续函数 ；一个总体的样本为 Y1 , Y2 , L 相互独立同分布， , Yn ，相互独立同分布，分布为连续函数 ； 问随机变量 G(x) 是否大于随机变量 X Y 检验 H 0 : F ( x ) ≡ G ( x ); H 1 : F ( x ) ≥ G ( x ); 一起排序， 将 一起排序，产生对应的秩
定理1.3.3对秩统计量 定理1.3.3对秩统计量 R = ( R1 , R2 ,L , Rn ) 有 1.3.3
n +1 E ( Ri ) = , i = 1,2,L , n 2 ( n + 1)(n − 1) , i = 1,2,L , n var( Ri ) = 12
(n + 1) cov( Ri , R j ) = − , i ≠ j , i, j = 1,2,L , n 12 证明：由 R = ( R1 , R2 ,L , Rn ) 的边缘分布也是均匀分布，
i =1 相互独立同分布， 例3 符号检验 设随机变量 相互独立同分布，分 连续。 1 , X 2 ,L , X n 布为 ， 在 连续。假设检验问题 X
B = ∑ Ψi
n
F (x )
F (x )
x=0
检验统计量可取 n n 中取正号的个数。在原假设成立时， 中取正号的个数。在原假设成立时， B = ∑ Ψ = ∑ψ ( X )
定理1.3.5 定理1.3.5 在 有
H 0 : F ( x ) ≡ G (， Wilcoxon秩统计量的分布 下 x) Wilcoxon秩统计量的分布
E (W ) =
mn(n + m + 1) var(W ) = 12 并且W的分布关于 n(n + m + 1) 对称。（作业） 2
n(n + m + 1) 2
i =1 i i =1 i
1 1 H 0 : F ( 0) = ; H 1 : F ( 0) ≠ ; 2 ，即为 2
X 1 , X 2 ,L , X n
B ~ B ( n,0.5)
第三节 秩统计量
Z 1 , Z 2 ,是来自连续分布 L, Z N , 定义1.3.1 定义1.3.1 设 为其次序统计量. Z (1) ≤ Z ( 2 ) ≤ L 为其次序统计量.定义随机变量 ≤ Z ( N ) ,
r =s
n +1 n +1 1 n +1 n +1 )( s − )+∑ (r − )( s − ) 2 2 2 2 r ≠ s n( n − 1)