5 利用三角形全等测距离
利用三角形全等测距离
利用三角形全等测距离2篇文章1一、什么是三角形全等测距离？三角形全等测距离是指通过观察和测量三角形的各个边长和角度，来确定两个或多个三角形之间的距离。
在实际应用中，我们常常需要测量一些无法直接测量的物体的距离，而三角形全等测距离提供了一种有效的方法。
通过观察和测量三角形的特征，我们可以推导出相似三角形之间的比例关系，从而计算出距离。
二、如何利用三角形全等测距离测量距离？要进行三角形全等测距离的测量，我们需要以下步骤：步骤一：选择一个可测量的标志物体。
在测量过程中，我们需要选择一个已知距离的标志物体作为参照。
这个标志物体可以是任何形状的物体，但是必须要有明确的测量标准。
例如，我们可以选择一根知道长度的杆子或测量单位已知的标尺作为参考。
步骤二：确定视角。
为了进行距离的测量，我们需要确定测量者与被测量物体之间的视角。
视角的选择将直接影响到后续的测量结果。
步骤三：观察和记录。
通过眼睛观察被测物体和标志物体之间的角度和边长关系，并将其记录下来。
这些记录将作为计算距离的依据。
步骤四：计算距离。
利用已知角度和边长的比例关系，我们可以通过简单的几何运算计算出待测物体与标志物体之间的距离。
具体的计算公式可以根据实际情况进行调整，但原理是相同的。
三、三角形全等测距离的应用领域三角形全等测距离在现实生活中有广泛的应用。
以下是其中一些应用场景：1.地图测量在绘制地图时，我们需要准确测量不同地理特征之间的距离，并将其绘制到比例尺上。
利用三角形全等测距离，我们可以通过测量一些关键标志物体之间的距离来计算出其他位置的距离。
2.建筑设计在建筑设计中，我们常常需要测量建筑物与周围地物的距离。
例如，在规划一片土地时，我们需要计算出建筑物与道路、河流等的距离。
通过利用三角形全等测距离，我们可以准确测算出各个位置之间的距离。
3.导航系统导航系统需要准确测量车辆或行人与目标地点之间的距离。
通过利用三角形全等测距离，我们可以在导航系统中引入三角测量的原理，从而提供准确的距离信息。
北师大版七下数学4.5利用三角形全等测距离教案
北师大版七下数学4.5利用三角形全等测距离教案一. 教材分析本节课是北师大版七下数学的教学内容，主要讲述了利用三角形全等来测距离的方法。
通过本节课的学习，学生能够了解三角形全等的性质，并能运用全等三角形来解决实际问题，提高学生的实践操作能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质，能够理解全等三角形的概念，并会运用全等三角形来解决问题。
但部分学生在实际操作中，可能对测量工具的使用和测量方法不够熟悉，需要老师在课堂上进行引导和示范。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解三角形全等的性质，并能运用全等三角形来测距离。
2.过程与方法：学生通过实际操作，掌握利用全等三角形测距离的方法，提高实践操作能力。
3.情感态度价值观：学生能够体验数学与实际生活的联系，培养学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：学生能够理解三角形全等的性质，并能运用全等三角形来测距离。
2.教学难点：学生能够熟练运用全等三角形测距离的方法，解决实际问题。
五. 教学方法本节课采用问题驱动法、实践操作法和小组合作法进行教学。
通过设置问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣；通过实践操作，让学生亲身体验和理解全等三角形的性质；通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、量角器、测距仪等。
2.教学课件：制作相关的教学课件，以便于引导学生思考和展示实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置问题情境，引导学生思考如何利用三角形全等来测距离。
例如，给出两个相似的三角形，让学生思考如何测量它们之间的距离。
2.呈现（10分钟）教师通过展示实例，讲解三角形全等的性质，并引导学生理解如何利用全等三角形来测距离。
同时，教师进行实际操作演示，让学生直观地感受和理解全等三角形的性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践操作，运用全等三角形来测距离。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予适当的反馈。
在生活中应用全等三角形测距离
在生活中应用全等三角形测距离在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决。
下面，我们举例谈谈怎样构造全等三角形，测量两地的距离，看看在实际生活中的应用。
例1：有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。
（1）按题中要求画图。
（2）说明DE=AB的理由，并试着把说明的过程写出来。
解：（1）如图1。
（2）因为在△ABC和△DEC中，CA CDACB DCECB CE所以△ABC≌△DEC所以DE=AB例2、如图2，某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去。
析解：怎样做一个三角形与已知三角形全等，可以依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被摔成三块，其中①仅留一个角，仅凭一个角无法做出全等三角形；而②没边没角；③存在两角和夹边，于是根据“ASA”不难做出与原三角形全等的三角形。
故应选C。
例3、如图3、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案。
分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离。
方案：如图3，在点B所在的河岸上取点C，连结BC并延长到D，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，A、C、E三点在同一直线上。
测量出DE的长，就是AB的长。
因为∠B=∠D，CD=CB，∠ACB=∠ECD，所以△ACB≌△ECD所以AB=DE。
例4、如图4，点C是路段AB的中点，两人从C点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到过D、E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB 的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是以相同的速度从点C同时出发，且同时到达D、E两点，所以CD=CE。
利用全等三角形测距
第四章 三角形5利用三角形全等测距离课前展示活动内容： ① 复习全等三角形的性质及判定条件② 在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！（以小组为单位抢答或个人抢答或根据不同情况而定）题如下：活动目的： 通过第1个问题的提问可以温习与本节有关的知识，帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础；第2个问题是为学习新内容作铺垫，向学生进一步渗透理论联系实际。
实际教学效果：第1题是学生独立思考后回答，由于问题较简单，学生回答踊跃；第2题是第1题的继续，学生的回答的方法较多，小组间的竞争提高了学习热情，使学生产生自信和竞争意识，开始在不知不觉中集中精力，走入数学殿堂。
情境引入B ACB A CA C B活动内容：引入一位经历过战争的老人讲述的一个故事，（图片显示）；在一次战役中，为了炸毁与我军阵地隔河相望的敌军碉堡，需要测出我军阵地到敌军碉堡的距离。
由于没有任何测量工具，我军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。
配合简图如下:教师提出问题： 你知道聪明的战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？活动目的: 用真实的故事引入新课，体现了三角形全等在生活中的广泛应用,适时的提问,激发了学生的学习积极性和好胜心。
学生独立思考后，小组间相互交流看法。
教师要注意帮助学生审题，引发学生思考,并有主动尝试利用三角形全等来解决实际问题的欲望，从而引出课题---利用三角形全等测距离。
实际教学效果：由故事所引发的问题使学生产生了好奇心，并激发了他们的求知欲，有了学习的积极性，使问题变的生动有趣。
但是有些同学对此问题不是很理解，也有一些同学意见不同，针对此，教师可做如下安排：① 先让学生体会这个情境，明白战士的具体做法,对战士的测量有直观的理解;如:找出教室中与你距离相等的两个点,小组成员合作通过测量来验证战士的做法的合理性。
条件允许的情况下,可以安排时间把学生拉到操场或野外选择一定目标亲自做一做。
七年级数学下册 3.5 利用三角形全等测距离(快乐预习+轻松尝试)导学案 (新版)北师大版(1)
5 利用三角形全等测距离1．利用三角形全等所测距离叙述正确的是( )． A ．绝对准确B ．误差很大，不可信C ．可能有误差，但误差不大，结果可信D ．如果有误差的话就想办法直接测量，不能用三角形全等的方法测距离2．如图，有一湖的湖岸在A ，B 之间呈一段圆弧状，A ，B 间的距离不能直接测得，你能用已学过的知识或方法设计测量方案，并求出A ，B 间的距离吗？(要求：画出图形，说明方法和理由)答案：1．C2．解：在A ，B 都可以到达的空地上选一点P ，连接AP 并延长到C ，使PC ＝AP ；连接BP 并延长到D ，使PD ＝BP ，根据“SAS”可知，△PCD ≌△PAB ，所以线段CD 的长度即为A ，B 间的距离．利用三角形全等测距离的实际应用【例】 某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，如图，设计时要测量隧道的长度，恰好在山的前面是一片空地．利用这样的地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖隧道的长度？请画出你设计的测量方案图，并说明理由．分析：说明一个三角形全等的方法有多种，因此本题的设计方案也有多种，我们可以根据三角形全等的判定方法入手，只要所缺的条件我们可以通过测量得到即可．解：方案一：如图1，(1)过点A 作线段A D⊥AB 于点A ；(2)过点D 作线段D M ⊥A D 于点D ；(3)取A D 的中点C ，连接BC 并延长，交D M 于E ，则DE 的长度就是隧道AB 的长．理由如下：因为A D⊥AB ，D M ⊥A D ，所以∠A ＝∠D＝90°.在△ACB 和△D C E 中，因为⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AC ＝DC ，∠ACB＝∠DCE，所以△ACB ≌△D C E ，所以AB ＝DE.方案二：如图2，(1)过点A 作线段A D ；(2)过点D 作线段D M ∥AB ；(3)取A D 的中点C ，连接BC 并延长，交D M 于E ，则DE 的长度就是隧道AB 的长．理由如下：因为D M ∥AB ，所以∠A ＝∠D.在△ACB 和△D C E 中，因为⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AC ＝DC ，∠ACB＝∠DCE，所以△ACB ≌△D C E ，所以AB ＝DE.方案三：如图3，(1)过点A 作线段A D ；(2)取A D 的中点C ，连接BC 并延长，使E C ＝BC ；(3)连接ED ，则DE 的长度就是隧道AB 的长．理由如下：在△ACB 和△D C E 中，因为⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DC ，∠ACB＝∠DCE，BC ＝EC ，所以△ACB ≌△D C E.所以AB ＝DE.点拨：本题是方案设计探究问题，其中方案的设计有多种，关键是通过分析，将实际问题转化为数学模型，构造出全等三角形．1．如图所示，AA ′，BB ′表示两根长度相同的木条，若O 是AA ′，BB ′的中点，经测量AB ＝9 cm ，则容器的内径A ′B ′为( )．A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．11 cm 2．如图所示，已知AC ＝D B ，A O ＝DO ，C D ＝100 m ，则A ，B 两点间的距离( )．A ．大于100 mB ．等于100 mC ．小于100 mD ．无法确定3.如图所示，P 是∠A O B 的平分线O C 上的任意一点，PD⊥O A 于点D ，PE⊥O B 于点E ，则PD 与PE 的大小关系是__________．4．B D 是△ABC 的一条中线，延长B D 至E ，使DE ＝B D ，连接C E ，若AB ＝10 c m ，则C E ＝__________.5．如图，学校数学课外小组要测量河的宽度，他们用了如下的方法：一个人先站在河边的C 点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A 点，然后他姿态不变原地转了180°，正好看见他所在岸上的一块石头B 点，他们测得BC ＝30米，于是他们就说河宽是30米，他们的方法可行吗？为什么？答案：1．B 由A ′O ＝AO ，∠A ′OB ′＝∠AOB ，B ′O ＝BO ，可知△OA ′B ′≌△OAB ，所以A ′B ′＝AB ＝9 cm.2．B 因为AC ＝DB ，AO ＝DO ，所以AC －AO ＝DB －DO ，即OC ＝OB .在△AOB 和△DOC 中，AO ＝DO ，∠AOB ＝∠DOC ，OB ＝OC ，所以△AOB ≌△DOC ， 所以AB ＝DC ＝100 m.3．PD ＝PE 因为OC 平分∠AOB ，所以∠AOC ＝∠BOC ，因为PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，所以∠ODP ＝∠OEP ＝90°，在△ODP 和△OEP 中，∠AOC ＝∠BOC ，∠ODP ＝∠OEP ，OP ＝OP ，所以△ODP ≌△OEP (AAS)，所以PD ＝PE .4．10 cm5．解：他们的方法可行．理由如下：因为小军姿态不变原地转了180°，所以∠BCD＝∠ACD＝90°.又因为帽檐的位置没动，所以∠BDC＝∠ADC.又因为CD＝CD，所以△BDC≌△ADC(ASA)．所以AC＝BC＝30米．所以他们的方法可行．。
北师大七年级下4.5《利用三角形全等测距离》习题含详细答案
《利用三角形全等测距离》习题一、选择题1．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC△△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC△△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL2．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与△PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是△PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC△△ADC，这样就有△QAE=△PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3．如图：要测河岸相对两点A、B间距离，先从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为17米．这一作法的理论依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS4．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=5.2km，CB=CD=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（）A．3km B．4km C．5km D．5.2km5．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO△△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC6．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB△△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS二、填空题7．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=．8．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B 的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站千米的地方．9．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道△DEH=△DFH，小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别方法是（用字母表示）．10．如图1所示的折叠凳．图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是．三、解答题11．如图，A、B两点分别位于一个假山两边，请你利用全等三角形的知识设计一种测量A、B间距离的方案，并说明其中的道理．（1）测量方案：（2）理由：12．小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角△DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角△APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？13．如图所示，在铁路线CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路线的距离分别是15km和10km，作AC△CD，BD△CD，垂足分别为C，D，且CD=25，现在要在铁路旁建一个农副产品收购站E，使A，B两村庄到收购站的距离相等，用你学过的知识，通过计算，确定点E的位置．14．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．15．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿△ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．参考答案一、选择题1．答案：B解析：【解答】△AB△BF，DE△BF，△△ABC=△EDC=90°，在△EDC和△ABC中，，△△EDC△△ABC（ASA）．故选B．【分析】结合图形根据三角形全等的判定方法解答．2．答案：D解析：【解答】在△ADC和△ABC中，，△△ADC△△ABC（SSS），△△DAC=△BAC，即△QAE=△PAE．故选：D．【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC△△ABC，进而得到△DAC=△BAC，即△QAE=△PAE．3．答案：C解析：【解答】△先从B处出发与AB成90°角方向，△△ABC=90°，在△ABC和△EDC中，△△ABC△△EDC（ASA），△AB=DE，△沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17△AB=17．故选：C．【分析】根据已知条件求证△ABC△△EDC，利用其对应边相等的性质即可求得AB．4．答案：B解析：【解答】连接AC，在△ADC和△ABC中，△△ADC△△ABC（SSS），△△DAC=△BAC，△C到l1与C到l2的距离相等，都为4km．故选：B．【分析】利用已知得出△ADC△△ABC（SSS），进而利用角平分线的性质得出答案．5．答案：B解析：【解答】要想利用△PQO△△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，故选：B．【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．6．答案：A解析：【解答】△O是AA′、BB′的中点，△AO=A′O，BO=B′O，在△OAB和△OA′B′中，△△OAB△△OA′B′（SAS），故选：A．【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有△AOA′=△BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB△△OA′B′．二、填空题7．答案：20米解析：【解答】△点C是AD的中点，也是BE的中点，△AC=DC，BC=EC，△在△ACB和△DCE中，，△△ACB△△DCE（SAS），∴DE=AB=20米【分析】根据题目中的条件可证明△ACB△△DCE，再根据全等三角形的性质可得AB=DE，进而得到答案．8．答案：12解析：【解答】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，在Rt△AEC中，CE2=AE2+AC2=x2+242，在Rt△BED中，DE2=BE2+BD2=（36﹣x）2+122，△CE=ED，△x2+242=（36﹣x）2+122，解得x=12，所以E站应建在距A站12千米的地方，能使蔬菜基地C、D到E的距离相等．【分析】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，分别在Rt△AEC和Rt△BED中，利用勾股定理表示出CE和ED，然后通过CE=ED建立方程，解方程即可．9．答案：SSS．解析：【解答】证明：△在△DEH和△DFH中，△△DEH△△DFH（SSS），△△DEH=△DFH【分析】根据题目中的条件DE=DF，EH=FH，再加上公共边DH=DH，可利用SSS证明△DEH△△DFH，再根据全等三角形的性质可得△DEH=△DFH．10．答案：全等三角形对应边相等.解析：【解答】△O是AB、CD的中点，△OA=OB，OC=OD，在△AOD和△BOC中，，△△AOD△△BOC（SAS），△CB=AD，△AD=30cm，△CB=30cm．所以，依据是全等三角形对应边相等．【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．三、解答题11．答案：见解答过程．解析：【解答】（1）测量方案：先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB 的长；（2）理由：在△EDC和△ABC中，，△△EDC△△ABC（SAS），△ED=AB（全等三角形对应边相等），即DE的距离即为AB的长．【分析】（1）先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC 至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（2）利用SAS证明△EDC△△ABC，根据全等三角形的对应边相等得到ED=AB．12．答案：楼高AB是26米．解析：【解答】△△CPD=36°，△APB=54°，△CDP=△ABP=90°，△△DCP=△APB=54°，在△CPD和△PAB中△，△△CPD△△PAB（ASA），△DP=AB，△DB=36，PB=10，△AB=36﹣10=26（m），答：楼高AB是26米．【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．13．答案：E点在距离C点10km处．解析：【解答】设CE=xkm，则DE=（25﹣x）km，△AC△CD，BD△CD，△△ACE和△BDE都是直角三角形，在Rt△ACE中，AE2=152+x2，在Rt△BDE中，BE2=102+（25﹣x）2，△AE=BE，△152+x2=102+（25﹣x）2，解得：x=10，∴E点在距离C点10km处【分析】产品收购站E，使得A、B两村到E站的距离相等，在Rt∴DBE和Rt∴CAE中，设出CE的长，可将AE和BE的长表示出来，列出等式进行求解．14．答案：见解答过程．解析：【解答】（1）解：河的宽度是5m；（2）证明：由作法知，BC=DC，△ABC=△EDC=90°，在Rt△ABC和Rt△EDC中，，△Rt△ABC△Rt△EDC（ASA），△AB=ED，即他们的做法是正确的．【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；（2）利用“角边角”证明Rt△ABC和Rt△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．15．答案：此时轮船没有偏离航线.解析：【解答】此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：DA=DB，AC=BC，在△ADC和△BDC中，，△△ADC△△BDC（SSS），△△ADC=△BDC，即DC为△ADB的角平分线，△此时轮船没有偏离航线．【分析】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明△ADC=△BDC，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．第11页共11页。
北师大版七年级数学下册教学课件4.5利用三角形全等测距离
练习
3.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，
AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ D ）
A.AO=CO
B.BO=DO C.AC=BD D.AO=CO且BO=DO
A D
O
C B
练习
4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离
故三角形△AOE≌△BOF, BF＝AE,从而DE＝CF, 因此只要测出BF, CF即可知AE, DE的长度了.
【归纳】利用全等三角形来测量不能直 接测量的距离,关键是构造全等三角形.
练习
1. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两 点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC ，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的 理B 由是( )
解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C. 在△BME和△CMF中， ∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF， 所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. 故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
练习
6、如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法？并说明这样做的合理性 ．
解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。
我们学过哪些全等三角形的判定方法？
活动1 自主探究1
∴△ABC≌△FDC（ASA）
连接BC并延长到E,使CE＝CB.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ ）
在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO；
利用三角形全等测距离
利用三角形全等测距离一、教材依据北师大版七年级（下册）第三章第5节《利用三角形全等测距离》。
二、设计思路前面内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“三角形全等的条件及性质”。
通过探索三角形全等，得到了三角形判断定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等，掌握了这些知识，学生就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础。
学生已经历过解决实际问题的过程，具备了一定的分析问题和解决问题的能力，通过本节的学习，学生解决实际问题的能力会得到提升。
在实际应用中，并没有全等三角形，学生的障碍点就是如何构造全等三角形，这是一个难点，所以学生必须要自己构造出全等三角形，把不能直接测量的转化为能直接测量的。
所以，在教学中要先把构造好的全等三角形，展示在学生面对，让学生解决，在问题中给出提示，最后让学生自己构造，做到顺理成章。
三、教学目标1.知识能力目标：(1)进一步巩固和理解全等三角形的性质与判定；(2)能利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系；(3)在实际应用及交谈中发展有条理地思考与表达的能力．2.方法与途径：(l)采用小组合作，分组讨论；(2)结合学生的学案，在自主讨论的基础上做适当引导、评价；在解决问题中让学生自己构造，做到水到渠成。
(3)培养学生建模的思想。
3、情感目标：(1)通过生动、有趣、现实的例子来激发学生的学习兴趣，自主设计、讨论后代表发言形式，进而培养数学学习兴趣；(2)通过对问题的探索、思考、讨论，培养学生的探索精神与科学态度；(3)通过活动，让学生增强合作与交流的意识。
四、教学重点利用三角形全等测量距离。
五、教学难点如何把实际问题转化成数学问题（即建模）。
六、教学准备指导学生做好学案老师备好多媒体教具。
教学环节教学活动说明提示准备1、复习全等三角形的性质及判定条件；回顾全等三角形的判定方法，为新探讨内容打基础。
探究内容一1、图例：课本故事形式。
（老师配合多媒体投影）2、显示并讲述此故事后，明确题意“使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部”这句话含义。
生活中的“利用三角形全等测距离”
生活中的“利用三角形全等测距离”利用三角形全等测距离实际就是构造两个全等的三角形，通过全等三角形对应边相等这一性质，把较难测得长度的线段，转化为已知的或是较易得到结果的线段．［例1］某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度．小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度说明道理．点拨：A、B两点直接测量有难度，因此，可利用山前面的空地，构造全等的两个三角形，使含AB的一对对应边相等，则测量出对应边的长，即得出AB 的长．解：方法：可在空地上取一个能直接到达A点、B点的点O，连结AO延长到D，使OD＝OA；连接BO延长到E，使OE＝OB。
连结DE并测出它的长度，则DE的长就是A、B间的距离．如图所示：∴△AOB≌△DOE（SAS）∴AB＝DE（全等三角形，对应边相等）．［例2］如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法并说明这样做的合理性．点拨：直接测量A、B间的距离有困难，而若用上题中的方法，则会出现这种情况：得到的O点在河中间，很难取到；即使O点取好，而寻找的全等三角形中AB的对应边CD的两点仍然在河的两岸，与A、B的位置相同，因此此法不可取．要寻求另一种使对应边在岸上的方法．利用下面图示的方法就行了．解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。
过点D作BE的垂线D G，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离．理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE∴∠B＝∠BDF＝90°∴△ABC≌△FDC（ASA）∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．注意：要注意区分这两种情况，根据具体情况或题目的语言叙述来判断方法．最明显的区别是第一种没有垂直的情况，利用SAS证全等；而第二种有垂直的情况，会用ASA证明三角形全等．当然，若特殊情况，需具体分析．。
5.7 利用三角形全等测距离
5.7利用三角形全等测距离57利用三角形全等测距离在我们的日常生活和实际工作中，常常会遇到需要测量一些难以直接到达或难以直接测量的距离。
这时候，三角形全等的知识就能派上大用场啦！先来说说什么是三角形全等。
当两个三角形的三条边及三个角都对应相等时，这两个三角形就全等。
全等三角形的对应边相等，对应角也相等。
那怎么利用三角形全等测距离呢？让我给您举几个例子。
假设我们面前有一条河，想要知道河的宽度。
我们可以在河的一侧选定一个点 A，然后在河对岸找到一个能够直接到达的点 B。
接着，在河的这一侧沿着与河岸垂直的方向选一个点 C，并测量出 AC 的长度。
然后，保持方向不变，再往前走一段距离，到达点 D，使得 AD 和 AC 长度相等。
接下来，连接 CD，并延长 CD 与河岸相交于点 E。
此时，我们发现三角形 ABC 和三角形 ADE 是全等的。
因为角BAC 和角 DAE 是对顶角，所以它们相等；角 ACB 和角 ADE 都是直角，也相等；而我们刚刚特意让 AD 等于 AC 。
根据三角形全等的判定定理，这两个三角形全等。
既然全等，那么 AB 的长度就等于 DE 的长度。
我们只要测量出 DE 的长度，就知道河的宽度 AB 啦！再比如，有一个无法直接测量深度的池塘。
我们可以在池塘旁边找一个点 A，然后取一根足够长的杆子，将杆子的一端固定在点 A 处，让杆子与地面垂直。
接着，把杆子沿着水平方向移动一段距离到点B ，使得 AB 的长度是我们能够测量的。
再在点 B 处将杆子向池塘方向倾斜，让杆子的顶端恰好能够接触到池塘的底部 C 点。
这时，在地面上连接 AC 并测量出其长度。
我们会发现三角形 ABC 和三角形A'B'C' 全等（其中A'B' 是我们事先设定好的已知长度的线段，且三角形 A'B'C' 的角度和三角形 ABC 相同）。
因为全等，所以池塘的深度 BC 就等于 A'B' ，我们只要测量出 A'B' 的长度，就知道池塘的深度啦。
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利用全等三角形测量距离的步骤: (1)先定方法:即确定构造三角形全等的方法;(2)画出草图:根据测量方法画出 草图;(3)说明理由:根据条件说明三角形全等,得到对应边相等.
1.利用三角形全等所测距离叙述正确的是( C ) (A)绝对准确 (B)误差很大,不可信 (C)可能有误差,但误差不大,结果可信 (D)如果有误差的话就想办法直接测量,不能用三角形全等的方法测距离 2.如图所示,为了测量出A,B两点之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC, 使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度 也就得到了A,B两点之间的距离,这样测量的依据是( B ) (A)AAS (B)SAS (C)ASA (D)SSS
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【导学探究】 1.由条件可得∠BDA=∠CDA= 90 °. 2.说明△ADB≌△ADC,则可得AB= AC .
用全等三角形解决实际问题,需要从实际问题中建立全等三角形模 型,借助全等三角形的对应边相等或对应角相等得到结论.
探究点二:利用三角形全等测距离
【例2】如图,小勇要测量家门前河中浅滩B到对岸A的距离,他先在岸边定出C 点,使C,A,B在同一直线上,再沿AC的垂直方向在岸边画线段CD,取它的中点O, 又画DF⊥CD,观测得到E,O,B在同一直线上,且F,O,A也在同一直线上,那么EF的 长就是浅滩B到对岸A的距离,你能说出这是为什么吗?
探究点一:三角形全等的应用 【例1】如图,A,B,C,D是四个村庄,B,D,C三村在一条东西走向公路的沿线上, 且D村到B村,C村的距离相等,村庄A与C,A与D间也有公路相连,且公路AD是南北 走向,只有村庄A,B之间由于间隔了一个小湖,所以无直接相连的公路.现决定 在湖面上造一座斜拉桥,测得AC=3千米,AE=1.2千米,BF=0.7千米.试求建造的 斜拉桥至少有多少千米?
【导学探究】 1.由O为CD的中点可知,OC= OD . 2.易得△AOC≌ △FOD (ASA),则∠A= ∠F 3.要说明△AOB≌ △FOE ,⊥CD,AC⊥CD,所以∠C=∠D=90°. 因为O为CD中点,所以OC=OD,又∠COA=∠DOF, 所以△AOC≌△FOD(ASA).所以∠A=∠F,OA=OF. 又因为∠AOB=∠FOE(对顶角相等), 所以△AOB≌△FOE,所以BA=EF, 所以EF的长就是浅滩B到对岸A的距离.
3.如图,有一池塘,要测池塘两端A,B间的距离,可先在平地上取一个不经过池塘 可以直接到达点A和B的点C,连接AC并延长至D,使CD=CA,连接BC并延长至E,使 CE=CB,连接ED.若量出DE=58米,则A,B间的距离为( B ) (A)29米 (B)58米 (C)60米 (D)116米
4.如图所示,有一块三角形的镜子,小明不小心弄破裂成1,2两块,现需配成同样
解:因为∠CPD=21°,∠APB=69°,∠CDP=∠ABP=90°, 所以∠DCP=∠APB=69°. 在△CPD和△PAB中, 因为∠CDP=∠PBA,DC=BP,∠DCP=∠BPA, 所以△CPD≌△PAB(ASA),所以PD=AB. 因为DB=36米,PB=10米, 所以AB=36-10=26(米). 楼高AB是26米.
5 利用三角形全等测距离
全等三角形的实际应用 1.数学方法(转化法) 把难以测量或无法测量的线段(或角)转化为易测量的线段(或角). 2.解决方法 构造全等三角形,得到线段相等或角相等,其依据是SSS,ASA,AAS,SAS. 3.解决问题的步骤 画图,构造全等三角形;利用三角形全等说明对应边(或角)相等;得出结论.
大小的一块.为了方便起见,需带上第
1
块,其理由是
根据SAS可得所配的镜子与原来全等 .
5.小强为了测量一幢高楼的高AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视 线PC与地面夹角∠DPC=21°,测得楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=69°,量得P到 楼底距离PB与旗杆高度相等,等于10米,量得旗杆与楼之间距离为DB=36米,小强 计算出了楼高,楼高AB是多少米?