管中流体流动状态和管状态的关系

管中流动状态与管状态的关系摘要本文通过雷诺实验介绍了流体流动的两种状态，即层流和湍流，并且介绍了圆管和其他异性管的临界雷诺数。

随后用纳维-斯托克斯公式分析层流圆管和缝隙中的流动状态，简单介绍了一种用于分析湍流关键词雷诺实验层流湍流圆管流动缝隙流动众所周知，流体的流动阻力及速度分布均与流体的流动状态紧密相关。

因此，流体的流动状态的研究无疑具有非常重要的理论价值与实际意义。

1883年英国物理学家雷诺通过大量实验，发现了流体在管道中流动是存在两种内部结构完全不同的流动状态，即层流和湍流。

两种流动状态可通过实验来观察，即雷诺实验。

一、流体状态的分类与界定1、雷诺实验雷诺数代表惯性力和粘性力之比，雷诺数不同，这两种力的比值也不同，由此产生内部结构和运动性质完全不同的两种流动状态。

这种现象用图1-a所示的雷诺实验装置可以清楚地观测出来。

图表 1 雷诺实验装置容器6和3中分别装满了水和密度与水相同的红色液体，容器6由水管2供水，并由溢流管1保持液面高度不变。

打开阀8让水从玻璃管7中流出，这时打开阀4，红色液体也经细导管5流入水平玻璃管7中。

调节阀8使管7中的流速较小时，红色液体在管7中呈一条明显的直线，将小管5的出口上下移动，则红色直线也上下移动，红色水的直线形状都很稳定，这说明此时整个管中的水都是沿轴向流动，流体质点没有横向运动，不相互混杂，如图1-b所示。

液体的这种流动状态称为层流。

当调整阀门8使玻璃管中的流速逐渐增大至某一值时，可以看到红线开始出现抖动而呈波纹状，如图1-c所示，这表明层流状态被破坏，液流开始出现紊乱。

若管7中流速继续增大，红线消失，红色液体便和清水完全混杂在一起，如图1-d所示，表明此时管中流体质点有剧烈的互相混杂，质点运动速度不仅在轴向而且在纵向均有不规则的脉动现象，这是的流动状态称为湍流。

如果将阀门8逐渐关小，湍乱现象逐渐减轻，当流速减小至一定值时，红色水又重新恢复直线形状出现层流。

层流和湍流是两种不同性质的流动状态，是一切流体运动普遍存在的物理现象。

层流时液体流速较低，液体质点间的粘性力其主导作用，液体质点受粘性的约束，不能随意运动。

粘性力的方向与流体运动方向可能条相反、可能相同，流体质点受到这种粘性力的作用，只可能沿运动方向降低或是加快速度而不会偏离其原来的运动方向，因而流体呈现层流状态，质点不发生各向混杂。

湍流时液体流速较高，液体质点间粘性的制约作用减弱，惯性力逐渐取代粘性力而成为支配流动的主要因素，起主导作用。

沿流动方向的粘性力对质点的束缚作用降低，质点向其他方向运动的自由度增大，因而容易偏离其原来的运动方向，形成无规则的脉动混杂甚至产生可见尺度的涡旋，这就是湍流。

2、雷诺数流体的流动状态可用雷诺数来判断。

实验结果证明，液体在圆管中的流动状态不仅与管内的平均流速v有关，还与管道内径d、液体的运动粘度ν有关。

而用来判别流体状态的是由这三个参数所组成的一个无量纲数——雷诺数ReRe=vdν（式1）雷诺数的物理意义表示了液体流动是惯性力与粘性力之比。

如果液流的雷诺数相同，则流动状态亦相同。

流体由层流转变为湍流时的雷诺数和由湍流转变为层流时的雷诺数是不相同的，前者称为上临界雷诺数，以Re’c 表示；后者称为下临界雷诺数，以Rec表示。

两相比较可知：Re>Re’c时，管中流动状态是湍流。

Re<Rec时，管中流动状态是层流。

Rec < Re<Re’c时，层流湍流的可能性都存在，不过湍流的情况居多，实践证明这种情况下的层流往往也是不稳定的。

这是因为，雷诺数较高时层流结构极不稳定，遇到外界干扰和振动时，原来的流线有微许起伏波动，例如形成图2（1）所示那样，左面成波峰、右面成波谷形状。

按照伯努利方程式分析，波峰上侧流道断面变窄，速度增大，压强降低，波峰下策流道断面变宽，速度减小，压强增大。

于是流线两侧的压强差会使波峰更加隆起，同理使波谷更加凹陷，如图2（2）所示。

于此同时，在流线的每一侧也会产生从高压部位流向低压部位的所谓二次流，其流动方向如图2（2）、（3）中的箭头所示。

结果流线会被扭曲成图2(4)所示的形状，继续发展下去，流线终将被冲断，形成如图2（5）所示的脉动涡旋，这样原来不稳定的层流就转变为湍流。

这也就是雷诺数介于上下临界值之间时，出现湍流的机会比出现层流的机会更多的一种原因，事实上也就是对层流如何变成湍流的一种形象性的解释。

图表 2 涡旋形成过程因此，一般都用数值小的下临界雷诺数作为判别流体状态的依据，称为临界雷诺数Recr，即：Re>Recr时，管中流动状态是湍流。

Re<Recr时，管中流动状态是层流。

3、水力直径一般雷诺数vlν中的特征尺寸l在圆形管道中取为直径，因而圆管的雷诺数是vdν。

圆管直径与断面A和断面上流体固体接触周长S的关系4AS=4πd d2πd=d（式2）异形管道也可以用过流断面面积A与过流断面上流体与固体接触周长S之比的4倍来作为特征尺寸。

这种尺寸称为水力直径，用d H表示d H=4AS（式3）于是异形管道的雷诺数为R e=vd Hν，圆形管道的雷诺数仍然是R e=vd Hν=vdν，这二者是一致的。

其中S又称为通流截面的湿周。

水力直径的大小对管道的通流能力的影响很大。

在流通截面面积A一定时，水力直径大，代表流体和管壁的接触周长短，管壁对流体的阻力小，通流能力大。

在面积相等但形状不同的所有通流截面中，圆形管道的水力直径最大。

常见流体管道的临界雷诺数由实验求得，如表1所列。

比较Re与Re c的大小即可判别这几种异形管道中的流动状态。

表格1常见流体管道的临界雷诺数二、层流1、圆管中的层流分析定常不可压缩流体在圆管中的层流，可以从纳维-斯托克斯（N-S）公式出发，结合层流运动的特点建立常微分方程。

根据元观众层流的数学特点对N-S方程式进行简化，定常不可压缩完全扩展段的管中层流具有如下五方面的特点。

（1）只有轴向运动取Oxyz坐标系，使y轴与管轴线重合，如图3所示，因为层流中没有纵向跳动，故图表 3 圆管层流v y ≠0，v x =v z =0于是去掉v x 、v z 后，N -S 方程式变成f y −1ρ∂p ∂y+υ(∂2v y ∂x 2+∂2v y ∂y 2+∂2v y ∂z 2)=∂v y ∂t +v yf x −1ρ∂p ∂x =0 f z −1ρ∂p ∂z =0 （式4）（2）定常、不可压缩定常流动 ∂vy ∂t =0有不可压缩流体的连续方程式 ∂v x +∂v x +∂v x =0 可得 ∂v x∂y =0于是 ∂2v y ∂y =0（3）速度分布的轴对称线由于壁面的摩擦，在Oxz 坐标面，即管中的过流断面上各点速度是不同的，但圆管流动是轴对称的，因而速度v y 沿x 方向、z 方向以及任意半径方向的变化规律应该相同，而且v y 只随r 变化。

故 ∂2v y ∂y 2=∂2v y ∂z 2∂2v y ∂r 2d 2v y dy 2（4）等径管路压强变化的均匀性由于壁面摩擦及瘤体内部的摩擦，亚抢眼流动方向是逐渐下降的，但在等径管路上这种下降应是均匀的，单位长度上的压强变化率∂p ∂y 可以用任何长度l 上的压强变化的平均值表示。

即∂p ∂y =dp dy =−p 1−p 2l =−∆p l式中“−”号说明压强变化率dp dy 是负值，压强沿流动方向下降。

（5）管道中质量力不影响其流动性能如果管路是水平的，则f x =f y =0，f z =−g从（式4）的第二、三式可以看到在Oxz 断面，也就是过流断面上，流体压强是按照流体静力学的规律分布，而在第一个方程式中，质量力的投影f y =0，故而质量力对水平管道的流动性是没有影响的。

非水平管道中质量力只影响位能，亦与流动特性无关。

根据上述五个特点，（式4）就可以简化为∆pρl +2υd 2v y dr 2=0 或 d 2v ydr =−∆p 2μl 积分得 dv y dr =−∆p 2μl r +C当r=0时，管轴线上的速度远离管壁，有最大值，故dv y dr =0。

于是积分常数C=0，得dv y dr =−∆p 2μlr （式5）这就是用纳维-斯托克斯公式所得到的一个一阶常微分方程。

2、缝隙中的层流（1）平行平面缝隙与同心环形缝隙由于活塞与缸筒之间的同心环形缝隙在平面上展开以后也是平行平板间的流动问题，因此图4所示剖面图实质上代表这两种那个情况，这种流动是其他各种缝隙流动的基础。

设平板长为l,宽为B，缝隙高度为δ，取如图4所示的坐标轴，讨论缝隙两端具有压强差Δ∆p=p1−p2、且上面平板（活塞）以匀速度v0运动情况下，平板间液体的流动问题。

图表 4 平行平板间的流动层流时物体运动速度v y=v y(z)，v x=v z=0，再考虑到定常、连续、不可压缩、忽略质量力，则N-S方程可以简化为−1ρ∂p∂y+υ∂2v y∂z2=0−1ρ∂p∂x=0−1ρ∂p∂z=0（式6）后两个公式说明，压强p只是沿y方向变化。

又因为平板缝隙大小沿y方向是不变的，因而p在y方向的变化率应该是均匀下降的，于是v y=∆p2μl(δz−z2)+v0zδ(式7)这就是平行平板间的速度分布规律，公式右端包括两项：第一项是由压强差造成的流动，v y与z的关系是二次抛物线规律，这种流动称为压差流。

第二项是由上平板运动造成的流动，v y与z是一次直线规律，这种流动称为剪切流。

（2）偏心环形缝隙偏心缝隙展开以后本来不是平行平板，但是在相对偏心距较小的情况下，由微元角度dθ所夹的两个微元弧段可以近似的看作是平行平板，它的微元宽度是dB=rdθ。

当柱塞具有直线速度v0，且在l长柱塞两端存在压强差∆p时，经过这一微元面积∆dB的泄露流量dq v有dq v=∆pδ312μl(1+εcosθ)3rdθ+v0δ2(1+εcosθ)rdθ从θ=0到θ=2π积分，即可得经过整个偏心缝隙的流量q v=[∆pδ312μl(1+32ε2)+v0δ2]πd三、湍流湍流中不断速度有脉动，而且一点上的流体压强等参数都存在类似的脉动现象，但是要想从理论上找出速度脉动的规律是极为困难的。

研究湍流，唯一可行的方法就是统计时均法。

这种方法不是着眼于瞬时状态，而是以某一个适当时间段内的时间平均参数作为基础去研究这短时间内的湍流时均特性，时间段的长短可视湍流的脉动情况而定，一般并不甚长。

有时二三秒也就足够了。

将瞬时值用几秒钟内的时均值代替并不妨碍对湍流的了解。

时均法的确切定义是(t)μ(x1,x2,x3)=1T∫μ̃t0+Tt0(x1,x2,x3,t)dt随机量的平均值符号规定如下：在这个量上加"-"表示平均值，在一横之上再加的符号表示平均的方法。

例如，(t)V i 表示随机速度按时间的平均值；(τ)V i表示随机速度按体积的平均值；(ρ)V i表示随机速度按概率的平均值。