2020—2021年新高考总复习数学(文理)全真模拟试题及答案解析三.docx

（第4题）2019年数学全真模拟试卷三试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合A ={-1，0，2}，B ={x|x =2n -1，n ∈Z}，则A ∩B = ▲ ． 【答案】{-1}2． 设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，123 ()x x =-∈R a e e ，122=+b e e ．若//a b ，则x 的值为 ▲ ． 【答案】-63． 从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a ，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b ， 则a ≤b 的概率为 ▲ ．【答案】894． 行李的费用c （单位：元）与行李重量w 之间的流程图．假定某旅客的托运费为托运的行李重量为 ▲ 千克． 【答案】205． 函数0 0 ()1 0x f x x x x =⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，，的零点个数为▲ ．【答案】36． 在平面直角坐标系xOy 中，曲线ln y x x =在e x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ▲ ．【答案】2e 47． 如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为 ▲ ． 【答案】62 8． 若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0 0 )A ωϕπ>><2，，的图象关于坐标原点中心对称，且在y 轴右侧 的第一个极值点为x π=3，则函数()f x 的最小正周期为 ▲ ．【答案】43π9． 关于定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个命题： ①若(1)(1)f f =-，则()f x 不是奇函数；②若(1)(1)f f >-，则()f x 在R 上不是单调减函数；③若(1)(1)f x f x +=-对任意的x ∈R 恒成立，则()f x 是周期函数． 其中所有正确的命题序号是 ▲ ． 【答案】②③10．已知数列{}n a 的前n 项和1 ()nn S k k =-∈R ，且{}n a 既不是等差数列，也（第7题）10 8不是等比数列，则k 的 取值集合是 ▲ ． 【答案】{}0． 【解析】．11．如果将直线l ：20x y c ++=向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得直线l '与圆C ：22240x y x y ++-=相切，则实数c 的值构成的集合为▲ ．【答案】{3-，13-}【解析】易得直线l '：(1)2(2)0x y c ++++=，即250x y c +++=，圆C ：22(1)(2)5x y ++-=的圆心(1 2)-，到直线l '：250x y c +++=的距离=，解得3c =-或13c =-．12．已知正数x ，y 满足3x yxy x y -=+，则y 的最大值为 ▲ ．【答案】13【解析】由2223x y xy x y -=+，得2112322x y x y xy y x -+==-，所以113222y x y x -=+=≥，从而23210y y +-≤，解得13y ≤．13．考察下列等式：11ππcos isin i44a b +=+，()222ππcos isin i 44a b +=+，()333ππcos isin i 44a b +=+，……()ππcos isin i 44nnna b +=+，其中i 为虚数单位，a n ，b n (n *∈N )均为实数．由归纳可得，a 2015+b 2015的值为 ▲ ． 【答案】0【解析】通过归纳可得，()ππππcos isin cos isin 4444nn n +=+，从而a 2015+b 20152015πcos 4=2015πsin 4+=0．14．在△ABC中，13AE AB =u u u r u u u r ，23AF AC=u u u r u u u r．设BF ，CE 交于点P ，且EP EC λ=u u u r u u u r ，FP FBμ=u u u r u u u r(λ,μ∈R ),则λμ+的值为 ▲ ．【答案】57【解析】不妨考虑等腰直角三角形ABC ，设AB 3=，3AC =， 以AB ，AC 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则A (0 0)，，(3 0)B ，，(0 3)C ，，(1 0)E ，，(0 2)F ，，直线BF 的方程为：132y x +=，①直线CE 的方程为：13y x +=，②由①②得，37x =，127y =，所以()312 77P ，，代入EP EC λ=u u u r u u u r，FP FB μ=u u u r u u u r 得，31(01)7λ-=-，30(30)7μ-=-，解得47λ=，17μ=，故λμ+=57．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC 内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且(1tan )(1tan )2A B ++=．（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 面积的最大值．（1）由(1tan )(1tan )2A B ++=得tan tan 1tan tan A B A B +=-，所以tan tan tan()11tan tan A B A B A B ++==-，（4分） 故△ABC中，A B π+=4，C 3π=4（6分）（2）由正弦定理得2sin c =3π4，即c =（8分）由余弦定理得2222cos a b ab 3π=+-4，即222a b =++，（10分）由2222a b ab =++≥得2ab ≤（当且仅当a b =时取等号）（12分）所以13sin 2S ab π=4（14分）AB CP（第16题）D16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直，PBC BAD∠=∠90=o．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求证：//AD平面PBC．证明：（1）在平面PAB内过点P作PH AB⊥于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB I平面ABCD AB=，PH⊂平面PAB，所以PH⊥平面ABCD，（4分)而BC⊂平面ABCD，所以PH⊥BC，由90PBC∠=o得PB⊥BC，又PH I PB P=，PH，PB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，（8分)（2）因为AB⊂平面PAB，故BC⊥AB，由90BAD∠=o得AD AB⊥，故在平面ABCD中，//AD BC，（11分)又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以//AD平面PBC．（14分)17．（本题满分14分）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈．．由两条平行线段（图中的AB，DC）A BCD 和两个半圆构成，设AB = x m ，且80x ≥．（1）若内圈周长为400 m ，则x 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为22500πm 2，则x 取何值时，内圈周长最小？【解】设题中半圆形半径为r （m ），矩形ABCD 的面积为S（m 2），内圈周长为c （m ）． （1）由题意知：2S rx =，且22π400x r +=，即π200x r +=，于是()22000022π2(π)ππ2πx rS rx x r +==⋅⋅=≤（m 2）当且仅当π100x r ==（m ）时，等号成立．答：当x = 100（m ）时，矩形ABCD 的面积最大．（6分)（2）由题意知：2225002ππrx r +=，于是22500π2π2x rr =-⋅，从而 ()22500π22π22π2π2c x r r r r =+=-⋅+22500ππr r=+．（8分)因为80x ≥，所以22500π802π2r r -⋅≥，即()2π160π225000r r +⋅-≤，解得250π90r -≤≤，所以900πr <≤，（10分)故221π8100r ≥．因为2222500225001π16πππ<0ππ81009c r '=-⋅+-⋅+=-≤，（12分)所以关于r 的函数22500ππc r r=+在(900π⎤⎥⎦，上是单调减函数．故当90πr =即22500π90802902πx =-⋅=⨯（m ）时，内圈周长c 取得最小值，且最小值为225009034090+=（m ）．（14分)18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的焦距为且过点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上横坐标大于2的一点，过点P 作圆22(1)1x y -+=的两条切线分别与y轴交于点A ，B ，试确定点P 的坐标，使得△PAB 的面积最大．解：（1）由题意得，2c =22251a b +=，（2分）又222ca b =-， 故212a=，26b =，所以椭圆C 的方程为221126y x +=；（5分）（2）设点00( )P x y ，，其中(02x ∈，且22001126x y +=，又设(0 )A m ，，(0 )B n ，，不妨m n >，则直线PA 的方程为：000()0y m x x y x m --+=，则圆心(1 0)，到直线PA1=，化简得2000(2)20x m y m x -+-=，（8分）同理，2000(2)20x n y n x -+-=， 所以m ，n 为方程2000(2)20x x y y x -+-=的两根，则()()220002024(2)(2)y x x m n x +--=-，（10分）又△PAB 的面积为S 01()2m n x =-，所以222000020(2)(2)y x x S x x +-=-220020(2)82(2)x x x -+=-，（12分）令(0202t x ⎤=-∈⎦，记222(8)(2)()2t t f t t ++=，则324(2)(16)()0t t t f t t +-'=>在(02⎤⎦恒成立， 所以()f t在(02⎤⎦上单调递增，故2t =，即0x =时，()f t 最大，此时△PAB 的面积最大．（16分）19．（本题满分16分） 已知函数1()ln f x a x x =+，a ∈R ．（1）若()f x 有极值，求a 的取值范围；（2）若()f x 有经过原点的切线，求a 的取值范围及切线的条数，并说明理由．解：（1）易得2211()(0)a ax f x x x x x -'=-=>，(2分)若0a ≤，则()0f x '<，从而()f x 无极值； 若a > 0，则当1x a<时，()0f x '<；1x a>时，()0f x '>，此时()f x 有极小值()1f a．综上，a 的取值范围是(0)+∞，．(4分)（2）设P(x 0，y 0) 是经过原点的切线与函数()f x 图象的切点， 则切线方程为()00200011ln ()a y a x x x x x x --=--，（6分）因为切线过点(0，0)，于是00011ln a x a x x --=-+，即()0021ln a xx =-，因为0a ≠，所以0002ln x x xa =-，设()ln g x x x x =-，则()1ln 10g x x '=--=，得1x =，(8分)故当21a >，即02a <<时，不存在切线；当21a =或20a <，即2a =或a<0时，有且仅有一条切线，当201a <<，即2a >时，存在两条切线，（12分）下证：对任意的(01)m ∈，，ln x x x m -=在(0，1)内一定有一解，其中2m a =．⇔证明11ln mx x +=在(0，1) 内有一解，⇔证明1ln t mt +=在(1)t ∈+∞，内有一解． 令()1ln h t mt t =--， 则h(1) =m – 1<0，(2)21ln 2n n h m n =⋅--⋅21n m n >⋅--(11)1n m n =⋅+--(1)112n n m n n +⎡⎤>++--⎢⎥⎣⎦，这是关于n 的二次函数，所以当n 充分大时，一定取得正值，由介值定理知，()h t 在(1)+∞，内有唯一解，即证．（16分）20．（本题满分16分）已知数列{}n a 的通项公式2(1)n n n a =--，*n ∈N ．设1n a ，2n a ，…，tn a （其中1n <2n <…t n <，*t ∈N ）成等差数列．（1）若3t =．①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值；（2）求t 的最大值．解：（1）①依题意，1n a ，11n a +，12n a +成等差数列，即111122n nn a a a ++=+，从而111111112222(1)2(1)2(1)n n n n n n ++++⎡⎤--=--+--⎣⎦，当1n 为奇数时，解得124n =-，不存在这样的正整数1n ； 当1n 为偶数时，解得124n=，所以12n =．(3分)②依题意，1a ，2n a ，3n a 成等差数列，即2312n n a a a =+，从而332222(1)32(1)n n n n ⎡⎤--=+--⎣⎦，当2n 3n 均为奇数时，321221n n --=，左边为偶数，故矛盾； 当2n3n 均为偶数时，3221221n n ---=，左边为偶数，故矛盾；当2n 为偶数，3n 奇数时，321225n n +-=，左边为偶数，故矛盾；当2n 为奇数，3n 偶数时，321220n n +-=，即321n n -=．(8分)（2）设s a ，r a ，t a （s r t <<）成等差数列，则2r s t a a a =+， 即22(1)2(1)2(1)r r s s t t⎡⎤--=--+--⎣⎦，整理得，1222(1)(1)2(1)s t r s t r ++-=-+---，若1t r =+，则2(1)3(1)s s r =-+--，因为22s ≥，所以(1)3(1)s r-+--只能为2或4，所以s 只能为1或2；(12分) 若2t r +≥，则1214322222222210s t r s r r ++++-+-+-=≥≥，(1)(1)s t -+-2(1)r --4≤，故矛盾，综上，只能1a ，r a ，1r a +成等差数列或2a ，r a ，1r a +成等差数列，其中r为奇数，从而t的最大值为3．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（几何证明选讲）如图，已知△ABC的内角A的平分线交BC于点D，交其外接圆于点E．求证：AB⋅AC=AD⋅AE．证明：连结EC，易得∠B=∠E，（2分）由题意，∠BAD=∠CAE，所以△ABD∽△AEC，（6分）从而AB ADAE AC=，所以AB⋅AC=AD⋅AE．（10分）B．（矩阵与变换）求矩阵M0001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量．AB CDE(第21—A题)解：矩阵M 的特征多项式为()(1)01f λλλλλ==--，（2分）令()0f λ=，解得M 的特征值10λ=，21λ=．（4分） 将10λ=代入二元一次方程组00 0(1)0 x y x y λλ-⋅=⎧⎨-⋅+-=⎩，，解得 0 0x x y ∈≠⎧⎨=⎩R ，且，，所以矩阵M 的属于特征值0的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（7分）同理，将21λ=代入①解得0 0x y x =⎧⎨∈≠⎩R ，，且，所以矩阵M 的属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（10分）C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知A( 1，π3 )，B( 9，π3 )，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及△ABC 的面积． 解：易得线段AB 的中点坐标为(5，π3)，（2分）设点P(ρ，θ)为直线l 上任意一点，在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5，（6分）令θ＝0，得ρ＝10，即C(10，0)．（8分）所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203．（10分）D ．（不等式选讲） 已知x ，0y >，求证：22x y x y ++≥．证明：因为x ，0y >，且2()0x y -≥，（当且仅当x y =时“=”成立）所以222x y x yx y +++≥，① （4分）又2x y+（当且仅当x y =时“=”成立）② （8分）由①②得22x y x y++x y =时“=”成立）．（10分）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定．．．．．区域．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AA h =．（1）若2h =，求1AC 与平面1A BD 所成角的正弦值；（2）若二面角1A BD C --的大小为34π，求h的值．解：如图，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 分别ACBD1A1B1D 1C（第22题）为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，（1）当2h =时，(1 0 0)B ，，，(0 1 0)D ，，，1(0 0 2)A ，，，1(1 1 2)C ，，， 则1(1 1 2)AC =u u u u r，，，1(1 0 2)A B =-u u u r，，，1(0 1 2)A D =-u u u u r，，，设平面1A BD 的法向量( )a b c =，，n ，则由110 0A B A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u u u r ，n n 得，20 20 a c b c -=⎧⎨-=⎩，，不妨取1c =，则2a b ==，此时(2 2 1)=，，n ，（3分）故111cos AC AC AC ⋅<===⋅u u u u ru u u u r u u u u u r ，nn >n，所以1AC 与平面1A BD 所成角的正弦值；（5分）（2）由1(0 0 )A h ，，得，1(1 0 )A B h =-u u u r，，，1(0 1 )A D h =-u u u u r，，，设平面1A BD 的法向量( )x y z =，，m ，则由110 0A B A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u u u r ，m m 得，0 0 x zh y zh -=⎧⎨-=⎩，，不妨取1z =，则x y h ==，此时( 1)h h =，，m ，（7分）又平面CBD 的法向量1(0 0 )AA h =u u u r，，，故111cos AA AA AA ⋅<===⋅u u u ru u u r u u u u r ，m m >m ，解得h =．（10分）（第22题）23．设n 为给定的不小于3的正整数．数集P ={}xx n x ∈*N ≤，，记数集P 的所有(1 )k k n k ∈*N ≤≤，元子集的所有元素的和为k P ． （1）求1P ，2P ； （2）求12n P P P ++⋅⋅⋅+．解：（1）易得数集P ={}1 2 3 n ⋅⋅⋅，，，，，则1(1)1232n n P n +=+++⋅⋅⋅+=，（2分）数集P 的2元子集中，每个元素均出现1n -次， 故2(1)(1)(1)(123)2n n n P n n +-=-+++⋅⋅⋅+=，（4分）（2）易得数集P 的k (1 )k n k ∈*N ≤≤，元子集中，每个元素均出现11C k n --次，故1111(1)C (123)C 2k k k n n n n P n ----+=⋅+++⋅⋅⋅+=，（6分）所以12n P P P ++⋅⋅⋅+=01211111(1)(C C C C )2n n n n n n n -----++++⋅⋅⋅+1(1)22n n n -+=⋅2(1)2n n n -=+⋅．（10分）。