1979年(高考数学试题文理科)

一九七九年（理科）一．（本题满分6分）若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z 成等差数列。

证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-2·2y(z+x)+4y 2=(z+x-2y)2=0∴2y=x+z,所以，x,y,z 成等差数列。

二．（本题满分6分）x xx x tg xctg x222222csc sin 1csc 111111111111:.csc 111111:==-=+-=---=---原式解化简三．（本题满分6分）甲，乙二容器内都盛有酒精。

甲有V 1公斤，乙有V 2公斤。

甲中纯酒精与水（重量）之比为m 1:n 1 ,乙中纯酒精与水之比为m 2:n 2。

问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四．（本题满6分） 叙述并证明勾股定理。

证：略。

五．（本题满10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域。

设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP=α同时在B 站测得∠BAP=β。

问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC ⊥AB 于C ，设PC=d ， 在直角三角形PAC 中，AC=d ·ctg α在直角三角形PC 中，BC=d ·ctg β ∴S=AC+BC=d （ctg α+ctg β）。

当d ≤D ，即ctg α+ctg β≥DS时，应向外国船发出警告。

六．（本题满分10分）设三棱锥V-ABC 中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角。

PA B纯酒精与水之比为混合后公斤甲乙共含水公斤甲乙共含纯酒精公斤含水公斤乙中含纯酒精公斤含水公斤甲中含纯酒精解,))(()()())(()()()(),(),(),(:22111122221122221111221111222211222211112222222211111111n m n m n m v n n m v n n m v n n m v n n m n m n m v m n m v m n m v m n m v m n m vn n m v m n m vn n m v m +++++=++++++++=+++++++)]()([:)]()([1122221111222211n m v n n m v n n m v m n m v m ++++++求证：△ABC 是锐角三角形。

证一：设VA=a ，VB=b ，VC=c ，AB=p ，BC=q ，CA=r 。

于是p 2=a 2+b 2, q 2=b 2+c 2, r 2=c 2+a 2。

由余弦定理：同理，∠ABC ，∠BCA 也是锐角。

证二：作VD ⊥BC ，D 为垂足。

因VA 垂直于平面VAC ，所以 VA ⊥BC 又BC ⊥VD ，所以BC 垂直于平面VAD ，从而BC ⊥AD 及在△ABC 中，A 在BC 边上的垂足D 介于B 和C 之间。

因此， ∠B 和∠C 都是锐角，同理可证∠A 也是锐角。

七．（本题满分12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x ，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x 应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5. 取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x,则有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4% 答：每年约增长百分之四。

八．（本题满分12分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B 。

求证：33ACBC AE BF =证：连接CD 。

因∠CFD=900，所以CD 为圆O 的直径，BCE F B.2)(cos 222222222222222为锐角CAB ac b a a ac b a c b a c b a CAB ∠∴>+⋅+=+⋅++-+++=∠又AB 切圆O 于D ，∴CD ⊥AB 。

又在直角三角形ABC 中，∠ACB=900， ∴AC 2=AD ·AB ，BC 2=BD ·BA 。

(1) .22AC BC AD BD =∴ 又因 BD 2=BC ·BF ，AD 2=AC ·AE 。

(2) 22AE AC BF BC ADBD ⋅⋅=∴由（1）与（2）得3344ACBC AE BF AC BC AE AC BF BC =∴=⋅⋅ 九．（本题满分14分）试问数列)4sin 100lg(,),4sin 100lg(),4sin 100lg(,100lg 12πππ-n 前多少项的和的值最大？并求这最大值。

（lg2=0.301) 解：该数列的第k 项为：2lg )1(212)4sin 100lg(1--==-k a n k π所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2。

要使前k 项的和最大，必须前k 项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数。

因此，k 应适合下列条件： 十．（本题满分18分）设等腰△OAB 的顶点为2θ，高为h 。

.30.143010.02912814214,1414,2.13)2(2.14)1(:(2),02lg ]1)1[(212(1) ,02lg )1(212141≈⨯-=⨯+===∴∈>≤⎪⎩⎪⎨⎧<---≥--a a S k k N k k k k k 项的和前取又得由得由解此不等式组1．在△OAB 内有一动点P ，到三边OA ，OB ，AB 的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|·|PF|=|PE|2。

求P 点的轨迹。

2．在上述轨迹中定出点P 的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|。

解：设OP 与正X 轴的夹角为α，则Y Axtg y x y y y x h y x y x x h y x PF PE PD OA A A h E A E h E O OA E A A h h h y h x h y x h x h y hx x x h y x PE PF PD y x OP OP PF y x OP OP PD y x OP ⋅θ=θ=θ∴θ=θ-θθ=θ+θ+θ=-+θ-θ=+θθ=''θ='⊥'θθθθθ=+θ-=θ++θ-≠θ=+θ+-θ-=θ-θ=⋅θ+θ=αθ+αθ=α+θ=θ-θ=αθ-αθ=α-θ=+=51,sin cos 5cos 4cos sin )2(),1()2cos h(0,(h,0)(2) .cos 2cos sin cos sin .2.,,.cos sin .cos .:.cos sin ,)0,cos ()cos sin ()cos (0cos cos 20cos 0cos 2cos (1) ,)(cos sin cos sin )sin cos cos (sin )sin(cos sin )sin cos cos (sin )sin(.22222222222222222222222222222222222222得由点点及此直线通过即得由条件的切线是而且圆在是圆上一点的半径是圆是圆的中心则作直线在注意等腰三角形内的一部分所求轨迹是此圆在所给为半径的圆以为中心这是以即得除以即得由条件一九七九年（文科）一．（本题满分9分）求函数y=2x 2-2x+1的极小值。

解略：x=21时，y 取最小值21.二．（本题满分9分）化简[（1+sin 2θ)2-cos 4θ][(1+cos 2θ)2-sin 4θ]。

解：原式=(1+sin 2θ+cos 2θ)(1+sin 2θ-cos 2θ)·(1+cos 2θ+sin 2θ)(1+cos 2θ-sin 2θ) =4(1-cos2θ)(1+cos2θ)=4sin 2 2θ三．（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精。

甲有V 1公斤，乙有V 2公斤。

甲中纯酒精与水（重量）之比为m 1:n 1 ,乙中纯酒精与水之比为m 2:n 2。

问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？)sin 25,sin 255(sin 25sin 25551sin 255sin 521)sin 521()2(.,0θ+θθ+θ+θ=θθ+⋅=θ+=θ+=∴=θ+>=+htg h P htg tg h y h hx h x y PF PE PD 的坐标为所求点得代入所以这里右端取正号可知由公斤甲乙共含纯酒精公斤含水公斤乙中含纯酒精公斤含水公斤甲中含纯酒精解))(()()()(),(),(),(:221111222211222211112222222211111111n m n m n m v m n m v m n m v m n m v m n m vn n m v m n m vn n m v m +++++=+++++++四．（本题满分9分） 叙述并且证明勾股定理。

解：略。

五．（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域。

设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP=α同时在B 站测得∠BAP=β。

问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC ⊥AB 于C ，设PC=d ，在直角三角形PAC 中，AC=d ·ctg α在直角三角形PC 中，BC=d ·ctg β∴S=AC+BC=d （ctg α+ctg β）。

当d ≤D ，即ctg α+ctg β≥DS时，应向外国船发出警告。

六．（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x ，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x 应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x,则有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四。