2017届高三数学第八次月考试题(文)
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
函数的单调性+奇偶性(含答案)
函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。
【精编精校卷】2022届重庆市巴蜀中学高三下学期高考适应性月考(八)数学试题(解析版)
2022届重庆市巴蜀中学高三下学期高考适应性月考（八）数学试题一、单选题1．已知集合{}5,8A =，{}23100B x x x =--≤，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}5B ．{}8C ．{}2,5,8-D ．{}2-【答案】B【分析】求出集合B ，利用交集和补集的定义可求得结果.【详解】因为{}{}2310025B x x x x x =--≤=-≤≤，则{R 2B x x =<-或}5x >，因此，(){}R 8A B ⋂=. 故选：B.2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数2x =，10y =，则由观测的数据得到的线性回归方程可能为（ ） A ．1511y x =-+.B ．0.511y x =-+C ．0.59y x =+D ． 1.58y x =+【答案】C【分析】根据变量正相关排除AB ，再利用线性回归方程过点(,)x y 判断CD 即可. 【详解】因为变量x 与y 正相关，所以0b >，故排除AB ； 又线性回归方程过点(2,10)，代入CD 检验，可知C 正确，D 错误. 故选：C3．将函数()y f x =的图象向右平移2π个单位长度得到函数()sin3g x x =的图象，则()f x =（ ）A ．cos3xB ．cos3x -C ．sin3xD ．sin3x -【答案】B【分析】利用三角函数的图象变换可得出()2f x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合诱导公式化简可得出函数()f x 的解析式.【详解】由题意可知，将函数()sin3g x x =的图象向左平移2π个单位长度，可得到函数()f x 的图象，则()3sin 3sin 3cos322f x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：B.4．已知O 为坐标原点，直线():22l y kx k =+-上存在一点P ，使得2OP =，则k 的取值范围为（ ） A ．32,32⎡⎤-+⎣⎦B ． (][,2323,)-∞-⋃++∞C ．23,23⎡⎤-+⎣⎦D ． ](,3232,) [-∞-⋃++∞【答案】C【分析】根据题意得坐标原点到直线l 距离d OP ≤，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点()0,0O 到直线():22l y kx k =+-的距离为 222|0022||22|(1)1k k k d k k ⨯-+--==+-+，由题意得坐标原点到直线l 距离d OP ≤，2OP =， 所以2|22|21k k -≤+，解得2323k -≤≤+所以k 的取值范围为23,23⎡⎤-+⎣⎦.故选：C.5．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（ ）A 20OB OE OG ++= B ．22OA OD =-C ．4AH EH +=D ．422+=+AH GH 【答案】D【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，写出需要点的坐标，然后利用向量加法的坐标运算、向量的数量积坐标运算及向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系，因为正八边形ABCDEFGH ，所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠==== DOE COB COD ∠∠∠︒=====︒360458作AM HD ⊥，则OM AM =, 因为2OA =，所以2OM AM == 所以(,A --22，同理可得其余各点坐标， (,),(,(,),(,),(,)B E G D H ---022******* ，对于A ((),)OB OE OG ++=-=202222220，故A 正确； 对于B ，((222022OA OD =-⨯+-⨯=-，故B 正确；对于C ，(22,2AH =-，(22,2EH =-，()4,0AH EH +=- 所以()22404AH EH +=-+=，故C 正确；对于D ,(22,2AH =-，(22,2GH =-，()422,0AH GH =-++()224220422AH GH +=-++=-D 不正确.故选：D.6．已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B ．422 C ．32 D ．6【答案】B【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解.【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==22取等号. 故选：B.7．从编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为（ ） A ．57B ．35C ．25D ．13【答案】A【分析】先用组合数算出基本事件的总数，再用排异法求出任意两个小球编号都不相邻的事件的个数，进而得出至少有两个小球编号相邻的事件的个数，然后用古典概型的计算公式即可求解.【详解】随机取出三个小球共有3735C =种情况，任意两个小球编号都不相邻的基本事件有：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,135136137146147157246247257357共有10种，故所求概率为-=35105357. 故选：A.8．已知点(A B ，若曲线0(0,0)⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x y x y a b a b a b 上存在点P 满2PA PB -=，则下列选项一定正确的是（ ）A ．1b a <+B ．b >C ．1b a >+D ．b <【答案】D【分析】根据双曲线的定义知，点P 在双曲线的右支上，求得双曲线的方程为221(0)2y x x -=>和渐近线方程为y =，转化为曲线b y x a =±与双曲线相交，得到ba.【详解】由题意，点(A B 且2PA PB -=，根据双曲线的定义知，点P 在双曲线的右支上，且1122,a c =b ==所以双曲线的方程为221(0)2y x x -=>，其渐近线方程为2y x =±，又点P 在曲线0x y x y a b a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22220x y a b-=，即点P 在曲线b y x a =±，若曲线0x y x y a b a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满2PA PB -=，即曲线b y x a =±与双曲线221(0)2y x x -=>相交，所以2b a <，即2b a <.故选：D. 二、多选题9．设α，β为两个平面，下列选项中是“//αβ”的充分条件的是（ ） A ．异面直线a ，b 满足a ∥α，b ∥β B ．α内有两条相交直线与平面β均无交点 C ．α，β与直线l 都垂直D ．α内有无数个点到β的距离相等 【答案】BC【分析】AD 选项可举出反例，BC 选项可以通过，面面平行的判定及线面垂直的性质进行证明.【详解】A 选项，如图，直线BC 为a ，直线EF 为b ，平面ADHE 为α，平面CDHG 为β，满足a ∥α，b ∥β，而α，β为相交平面，A 错误；B 选项，设α内两条相交直线为,m n 均与平面β无交点，即m ∥β，n ∥β，又,m n α⊂，且,m n 为相交直线，故α∥β，B 正确；C 选项，α，β与直线l 都垂直，不妨设l 与α内有两条相交直线,a b 均垂直，则在平面β内存在相交直线,m n 与l 都垂直，且m ∥a ，n ∥b ，因为m ⊄α，所以m ∥α，同理可知n ∥α，由于,m n 为相交直线，故可知α∥β，C 正确；D 选项，α内有无数个点到β的距离相等，这无数个点可能来自于同一条直线，此时不能推导出α∥β，D 错误. 故选：BC10．已知()4cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（ ） A ．3sin 25α=B ．()cos αβ-=C．cos cos αβ=D ．1tan tan 3αβ=【答案】AB【分析】利用凑角的方式2()αβααβ-=-+，将角看成整体，但要注意角的范围， 根据同角三角函数的关系，两角和差的余弦公式及解方程即可求解.【详解】因为4cos 25α=-，π0,02π2αα<<∴<<，所以3sin 25α=，故A 正确；因为()cos αβ+=ππ0,0,0π22αβαβ<<<<∴<+<，所以()sin αβ+= 所以cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=+++⎛⎛⎫=-⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭4355，故B正确； cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+=，cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=②， 由+①②得，2cos co s αβ=，解得cos cos αβ=C 不正确； 由①-②得，2sin sin αβ=，解得sin sin αβ=sin sin tan tan 3cos c os αβαβαβ===，故D 不正确.故选：AB.11．202212a +能被7整除，则整数a 的值可以是（ ） A ．4 B ．6C ．11D ．13【答案】BD【分析】将202212a +化成2022(142)a -+，问题转化为20222a +能被7整除，再利用二项式定理计算推理作答.【详解】依题意202120222022202220222022012(142)[C 14(2)]2i i i i a a a -=+=-+=⨯⨯-++∑，显然2021202220220[C 14(2)]iii i -=⨯⨯-∑能被7整除，因此202212a +能被7整除，当且仅当20222a+能被7整除， 而()67367420226746746742871(C7)1k kk a a a a -=+=+=++=⨯++∑，又673674674(C 7)kk k -=⨯∑能被7整除，从而得1a +能被7整除，则整数a 的值可以是6或13. 故选：BD12．如图甲，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点M 是AD 上靠近A 的四等分点. 现将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于P ，连接PB ，如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）A ．PB //平面EFM B ．PD PB ⊥C ．平面EFM 与平面BFDE 所成角的余弦值为63D ．点P 到平面BFDE 的距离为23【答案】ACD【分析】根据线面平行的判定可判断A ，证明PD ⊥平面PEF 可判断B ，由∠MGD 是二面角的平面角，利用余弦定理可判断C ，根据点P ，M 到面的距离的关系求解可判断D.【详解】如图，连接BD 与EF 相交于G ;3//4MD DG MG PB PD DB ==⇒⇒ PB //平面EFM ，故A 正确； 由PD ⊥PE ，PD ⊥PF ，PE∩PF=P 知PD ⊥平面PEF ，PB 平面PEF=P ，故PD 与PB 不垂直，故B 错误;平面EFM 与平面BFDE 所成角即为∠MGD ，在△MGD中，32GD MD ==，MG由余弦定理得222cos 2MG GD MD MGD MG GD +-∠==⋅故C 正确；由cos MGD ∠=知sin MGD ∠=MN BD ⊥，则点P 到平面BFDE 的距离等于点M 到平面BFDE 的距离的43，又442sin 333MN MG MGD =⋅∠=，故D 正确.故选：ACD 三、填空题13．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________.【分析】设复数1i z a b =+，进而得出共轭复数2z ，根据复数相等求出,a b ， 再利用复数的摸公式即可求解. 【详解】设1i z a b =+,则2i z a b =-，i (i)i i i z z a b a b a b a b a b -=+--=+-+=-+1222223因为12229i z z -=-+，所以i=i a b -+-+329即239a b -=-=⎧⎨⎩，解得2,3a b ==，所以1=2+3i z ，所以1z =14．函数13,0()32,02x x x f x x ---≤⎧⎪=⎨->⎪⎩的值域为___________.【答案】[3,)-+∞【分析】利用函数的单调性分别求出3y x =--在(,0]-∞上、1322x y -=-在(0,)+∞上函数值集合，再求并集作答.【详解】依题意，3y x =--在(,0]-∞上单调递减，则当0x ≤时，3y ≥-， 1322x y -=-在(0,)+∞上单调递增，则当0x >时，1y >-，所以函数13,0()32,02x x x f x x ---≤⎧⎪=⎨->⎪⎩的值域为[3,)-+∞.故答案为：[3,)-+∞15．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，则点P 到y 轴的距离与点P 到直线:125130l x y -+=的距离之和的最小值为___________.【答案】1213【分析】将点P 到y 轴的距离与点P 到直线l 的距离之和转化为点P 到准线的距离与点P 到直线l 的距离之和，再借助抛物线定义求解作答.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线:1l x '=-，抛物线24y x =上的点P 到y 轴的距离等于它到准线l '距离d 减去1的差，由抛物线定义知，||d PF =，令点P 到直线:125130l x y -+=的距离为d '， 于是得点P 到y 轴的距离与点P 到直线:125130l x y -+=的距离之和为1||1d d PF d ''-+=+-，过P 作PM l ⊥于M ，连PF ，MF ，过点F 作FQ l ⊥于Q ，交抛物线24y x =于点P '，如图，显然，||PM d '=，当点P 与点P '不重合时，有：||1||||1||1||1||||1PF d PF PM MF FQ P F P Q '''+-=+->->-=+-，则当点P 是过焦点F 作直线l 的垂线与抛物线交点时，点P 到y 轴的距离与点P 到直线:125130l x y -+=的距离之和取得最小值，此最小值为2212||111312(5)FQ -==+-.故答案为：121316．设y R ∈，[x ]表示不超过x 的最大整数，设正项数列{n a }满足284n n n S a a n N +=+∈（），设数列{bn }的前n 项和为n T ，且n b ，则[35T ]=___________. 【答案】5【分析】由,n n a S 的关系可推出{n a }为等差数列，求出通项公式代入n b ，利用放缩法及裂项相消法可求出35T 的范围，即可得解.【详解】由284n n n S a a =+可得2111842)(n n n S a a n ---=+≥，两式相减得：2211844n n n n n a a a a a --=-+- (2)n ≥，化简得1114()()()n n n n n n a a a a a a ---+=-+，又由正项数列{n a }可知，10n n a a ->+， 所以14n n a a --= (2)n ≥，又211184S a a =+，解得14a =所以{n a }是以4为首项，4为公差的等差数列， 故44(1)4n a n n =+-=，n b ==== 3512351213243353435T b b b ∴=+++<+-+-+-++-=，又n b ===> 35123521324336353615T b b b ∴=+++>-+-+-++-=-=，355T ∴<<35[]5T ∴=.故答案为：5 四、解答题17．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且2BD DC =，2AD =.(1)若ABD △是正三角形，求AC 的长； (2)若310cos B =135ADC ∠=，求ABCS 的值.【答案】(1)7AC =(2)6ABCS=【分析】（1）利用余弦定理可求得AC 的长；（2）利用两角差的正弦公式可求得sin BAD ∠的值，利用正弦定理可求得BD 的长，可得出CD 的长，再利用三角形的面积公式及3ABC ACD S S =△△可求得结果. 【详解】(1)解：因为120ADC ∠=，112CD BD ==， 由余弦定理可得222cos 7AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠(2)解：因为310cos B =B 为锐角，则210sin 1cos B B =- 则())225sin sin 135cos sin BAD B B B ︒∠=-=+=由正弦定理sin sin BD ADBAD B=∠得252sin 542sin 10AD BAD BD B ∠===22CD =，因此，133sin13562ABC ACD S S AD CD ==⨯⋅⋅=△△.18．美国职业篮球联赛（NBA 联赛）分为常规赛和季后赛，常规赛共82场比赛，以全明星假期为界，分为前半赛季和后半赛季，东、西部排名前8的球队进入季后赛，季后赛共四轮，最后一轮总决赛采用七场四胜制（“七场四胜制”是指在七场比赛中先胜四场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是A 队在常规赛的前80场比赛中的比赛结果记录表 阶段 比赛场数 主场场数 获胜场数 主场获胜场数 前半赛季 52 25 43 23 后半赛季28151712(1)根据表中信息完成列联表，并判断是否有95%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？(2)已知A 队与B 队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，A 队每场比赛获胜的概率等于A 队常规赛前80场比赛获胜的频率，求总决赛五场结束的概率. 附∶()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(1)见解析 (2)2164【分析】（1）根据题设信息填写列联表，计算2K 进行独立性检验；（2）总决赛五场结束意味着前4场中A 队（或B 队）胜3场败1场，第五场A 队（或B 队）获胜，再由概率公式计算即可. 【详解】(1)列联表如下表所示：2280(3515255)20 6.667 3.841602040403K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯故有95%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关.(2)由题意可知，A 队常规赛前80场比赛获胜的频率603804=，即A 队每场比赛获胜的概率为34总决赛五场结束意味着前4场中A 队（或B 队）胜3场败1场，第五场A 队（或B 队）获胜.即总决赛五场结束的概率为3333443131312144444464C C ⎛⎫⎛⎫⋅⨯⨯+⋅⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.19．已知数列{}n a 的首项10a =，()134N n n a a n n *+=+∈.(1)证明：数列{}21n a n ++是等比数列； (2)求数列{}100n a -的前n 项和n S 的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)304-【分析】（1）由已知等式变形得出()()1211321n n a n a n ++++=++，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）分析数列{}n b 的单调性，确定{}n b 的符号，由此可求得n S 的最小值.【详解】(1)解：因为()134N n n a a n n *+=+∈，则()()1211321n n a n a n ++++=++，且133a +=，所以，数列{}21n a n ++是以3为首项，3为公比的等比数列. (2)解：由（1）知，121333n n n a n -++=⋅=，则321n n a n =--.所以，10032101nn n b a n =-=--，所以，113322320n n nn n b b ++-=--=⋅->，故数列{}n b 为递增数列，1100b =-，296b =-，380b =-，428b =-，5132b =，，故当14n ≤≤时，0n b <；当5n ≥时，0n b >. 所以，n S 的最小值为4304S =-.20．如图所示，在正三棱台111ABC A B C -中，O 为BC 的中点，M 为11B C 的中点，平面ABC 与平面11BCC B 所成角的余弦值为13.(1)证明：平面ABC ⊥平面AOM ；(2)求直线1CC 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）延长111,,BB AA CC 相交于点P ，则可得三棱锥P ABC -为正三棱锥，可得延长OM 也交于点P ，由等腰三角形的性质可得PO BC ⊥，AO BC ⊥，由线面垂直的判定可得BC ⊥平面AOH ，再由面面垂直的判定可证得结论，（2）由（1）可知AOP ∠为平面ABC 与平面11BCC B 所成角，设2AB =，侧棱为a ，然后在POA 中利用余弦定理列方程可求出2a =，从而可得正三棱锥P ABC -为正四面体，过P 作1PO 垂直于平面ABC ，则1PBO ∠为PB 与平面ABC 所成角，然后计算即可 【详解】(1)延长111,,BB AA CC 相交于点P ， 因为棱台111ABC A B C -为正三棱台， 所以三棱锥P ABC -为正三棱锥， 所以延长OM 也交于点P ，所以PBC 为等腰三角形，O 为BC 的中点， 所以PO BC ⊥，因为ABC 为正三角形，O 为BC 的中点， 所以AO BC ⊥，因为AO PO O =，所以BC ⊥平面POA ，即BC ⊥平面AOH ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面AOM ； (2)如图，,PO BC AO BC ⊥⊥，所以AOP ∠为平面ABC 与平面PBC 所成角，即平面ABC 与平面11BCC B 所成角，设2AB =，侧棱为a ，所以3AO =，21PO a =-，所以在POA 中，222222131cos 23213PO OA PA a a POA PO OA a +--+-∠===⋅-⋅，解得2a =， 所以正三棱锥P ABC -为正四面体，所以1CC 与平面11ABB A 所成角，即为PC 与平面PBA 所成角， 即PB 与平面ABC 所成角，过P 作1PO 垂直于平面ABC ，则1O 为正ABC 的中心， 连接1O B ，则1PBO ∠为PB 与平面ABC 所成角， 因为122,33PB O B ==，所以22111226493PO PB O B =-=-=, 所以112663sin 23PO PBO PB ∠===， 所以直线1CC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为6321．已知椭圆C ∶22221(0)x y a b a b+=>>经过点P 332），O 为坐标原点，若直线l与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若3OM =AOB 面积的最大值. 【答案】(1)221123x y += (2)3【分析】（1）根据椭圆经过点P 332），得到223914a b+=，再利用点差法，根据直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14，得到 2214b a -=-求解；（2）当AB x ⊥轴时，易得12AOBSOM AB =⋅AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx t =+，联立221123x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，根据OM =k ，t 的关系，再求得AB 和点O 到直线AB 的距离为d ，由12AOB S AB d =⋅⋅求解.【详解】(1)解：因为椭圆经过点P32）， 所以223914a b +=， 设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+， 因为线段AB 的中点为M ，且直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14，所以 2214b a -=-，解得223,12b a ==，所以椭圆方程为：221123x y +=； (2)当AB x ⊥轴时，点M 在x 轴上，且OM AB ⊥，由OM =3AB =，所以12AOBSOM AB =⋅ 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx t =+，由221123x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2221484120k x ktx t +++-=， 则21212228412,1414kt t x x x x k k -+=-⋅=++，224,1414kt t M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由OM =()2222314116k t k +=+，因为AB =，点O 到直线AB 的距离为d所以12AOBSAB d =⋅⋅=3≤=，当且仅当221214k k =+，即218k =时，等号成立，综上 AOB 面积的最大值是3.22．已知函数()()ln e x x f x x g x x+==421，（e为自然对数的底数）. (1)求()f x 的极值；(2)（i ）证明∶()e ln xm x x x =+342与()e x n x x=-21有相同的零点； （ii ）若()()()Z f x g x x ax a -->∈210恒成立，求整数a 的最大值. 【答案】(1)()f x 的极小值为e f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1144，无极大值；(2)（i ）证明见解析，（ii ）1【分析】（1）根据导数法求函数的极值的步骤即可求解；（2）（i ）首先利用导数法判断函数()m x ，()n x 的单调性，然后利用 函数零点的存在性定理即可证明；（ii ）先将不等式()()()Z f x g x x ax a -->∈210恒成立等价转化为 min ln e x x a x +⎛⎫+<- ⎪⎝⎭42211012在()0,+∞恒成立，然后利用导数法求函数()ln e x x h x x +=-42212的最小值即可，进而能够求出整数a 的最大值. 【详解】(1)由题意可知，()()e xf x x '=+441，令0fx，即()e x x +=4410，解得14x =-；当14x >-时，0fx，所以()f x 在,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭14单调的递增；当14x <-时，0f x ，所以()f x 在,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14单调的递减；当14x =-时，()f x 取得极小值为e f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1144，无极大值；(2)（i ）由()e ln xm x x x =+342知()()e x m x x x x'=++>3241860，所以()m x 在()0,+∞上单调递增；由()e xn x x =-21知()()e xn x x x'=+>>221200，所以()n x 在()0,+∞上单调递增；又,e n n ⎛⎫⎛⎫=<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11402042，故必存在唯一,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01142使得()00n x =，即有e ,ln ln x x x x x ===-020000112， 故()eln x m x x x x x x ⎛⎫=+=⋅-= ⎪⎝⎭243300000012220，所以()e ln x m x x x =+342与()e xn x x=-21有相同的唯一零点0x x =； （ii ）由()()f x g x x ax -->210，得()()ln e x f x g x x a x x -++<=-422211012恒成立，minln e x x a x +⎛⎫+<- ⎪⎝⎭42211012在()0,+∞恒成立，令()ln e xx h x x +=-42212，()0,x ∞∈+，则 ()ln ()e e ln x x x x h x x x x x'=+=+434434482， 由（i ）知()()e xm x x x x'=++>3241860单调递增且()e ln x m x x x =+342存在唯一零点0x x =；则当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增； 故()()min h x h x =0； 由（i ）知e,ln ln x x x x x ===-020000112；又e ,e n n ⎛⎫⎛⎫=-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311302032， 故进一步确定011,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；故()min ln ()e (,)x x x h x h x x x x x x +-+==-=-=+∈04000222200000214121421221， 即a +≤10112，解得.a ≤11，又Z a ∈； 所以整数a 的最大值为1.【点睛】求解不等式问题的关键：适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形， 从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点； 构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以 求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.。
新疆乌鲁木齐市第八中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学(文)试题及答案
乌鲁木齐市第八中学2022-2023学年第一学期高三年级第一阶段考试文数问卷（命题人：高三数学组考试时间： 120 分钟卷面分值： 150 分）（命题范围：高考）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A∩B的真子集个数为．( )A. 1B. 3C. 2D. 42.命题“∀x∈[1,2]，x 2−2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. a≤2B. a≥2C. a≥4D. a≤43.函数y=sin x cos x+3cos2x−3的图像的一个对称中心是．( )B. C. −2π3D.4.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为元( )A. a(1+r)17B. ar [(1+r)17−(1+r)]C. a(1+r)18D. ar[(1+r)18−(1+r)]5.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC=λAM+μBD，则λ+μ=( )A. 43B. 2 C. 158D. 536.设数列{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S5<S6，S6=S7>S8，则下列结论不正确的是( )A. d<0B.S9>S5C. a7=0D. S6与S7均为S n的最大值7.已知θ∈(0,π2)，sin (π4−θ)=55，则sin (2θ+π3)的值为( )A. 43+310B. 43−310C. 33+410D.33−4108.若点O 和点F 分别为椭圆x24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ⋅FP 的最大值为．( )A. 2B. 3C. 6D. 89.在公比q 为整数的等比数列{ a n }中，S n 是数列{ a n }的前n 项和，若a 1+a 4=18，a 2+a 3=12，则下列说法错误的是( )A. q =2B. 数列{ S n +2 }是等比数列C.数列{ lga n }是公差为2等差数列D. S 8=51010.已知关于x 的不等式x 2−4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2)，则x 1+x 2+ax 1x 2的最大值是( )A.63B. −433C. 433D. −23311.在△ABC 中，AC =3，AB =1，O 是△ABC 的外心，则BC ⋅AO 的值为( )A.4B. 6C. 8D. 312.已知函数f(x)=|sinx|+|cos x|−sin 2x−1，则下列说法正确的是( )A. x =π2是函数f(x)的对称轴B. 函数f(x)在区间(π2,5π6)上单调递增C. 函数f(x)的最大值为2，最小值为−2D. 函数f(x)在区间(0,Mπ)上恰有2022个零点，则1011<M ⩽20232二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x >0，y >0，且32x +6y =2，求4x +2y 的最小值____________14.若函数f(x)=2x +mx +1在区间[0,1]上的最大值为3，则实数m =___________.15.已知当a ∈[0,1]时，不等式x 2+(a−4)x +4−2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是 ．16.数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n−1，前16项和为540，则a 1= ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
长沙市雅礼中学2022-2023学年高三下学期月考试卷(八)数学试题(原卷版)
雅礼中学2023届高三月考试卷（八）数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}²4120A x x x =∈--<Z ，{}sin B y y e x x ==∈R ，，则A B =（ ） A.{2,1,0,1,2}-- B.{}1|2x x -<< C.{1,0,1,2}-D.{2|x x ≥或}1x ≤-2.下列说法正确的是（ ）A.“a b ≥”是“22am bm ≥”的充要条件B.“4k x π=，k ∈Z ”是“tan 1x =”的必要不充分条件 C.命题“0x ∃∈R ，0012x x +≥”的否定形式是“x ∀∈R ，12x x +>”D.“1xy =”是“lg lg 0x y +=”的充分不必要条件3.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图，矩形ABCD 是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中16AB =，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）A.11πB.12πC.15πD.16π4.在平面直角坐标系中，已知点(3,4)P 为角α终边上一点，若1cos()3αβ+=，(0,)βπ∈，则cos β=（ ）A.315+B.315-C.415+D.415- 5.已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，2AB =，4AC =，点P 在以A 为圆心且与边BC相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）C.165D.5656.已知0.75a =，52log 2b =，sin 5c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b <<7.若函数33()ln x e f x e x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是（ ）A.2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,0]-∞C.(]3,09e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭D.23,49e e ⎛⎤⎧⎫-∞⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭8.已知双曲线22122:1x y C a b==(0,0)a b >>与抛物线22:2C y px =(0)p >有公共焦点F ，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线2C 相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线1C 的离心率为e ，则2e =（ ）二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.上级某部门为了对全市36000名初二学生的数学水平进行监测，将获得的样本（数学水平分数）数据进行整理分析，全部的分数可0.040按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法正确的是（ ）A.图中x 的值为0.025B.估计样本数据的80%分位数为84C.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数低于60分的人数约为360D.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数80分及以上的人数占比为3%10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第一次向下的数字为偶数”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A.1()2P A =B.1()2P B A =C.事件A 和事件B 互为对立事件D.事件A 和事件B 相互独立11.如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）A.BPB.PA PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积不变D.以点B 1AB C 12.对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足：12,D x x ∀∈且12x x <，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为区间D 上的“非减函数”，若()f x 为区间[]0,2上的“非减函数”，且(2)2f =，()(2)2f x f x +-=，又当3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(1)f x x ≤-恒成立，下列命题中正确的有（ ） A.(1)1f =B.03,22x ⎡⎤∃⎢⎣∈⎥⎦，0()1f x <C.12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.10,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， (())()2f f x f x ≤-+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.51(21)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含4x 项的系数为__________.14.已知点P 为抛物线2:4C y x =上的一个动点，直线:1l x =-，点Q 为圆22:(3)(31)M x y +-=+上的动点，则点P 到直线l 的距离与PQ 之和的最小值为__________.15.已知三棱锥P ABC -满足1PA =，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则其外接球体积的最小值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1，0，1”，A 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列A ：1，0，则数列()f A ：0，1，0，1，0，1.已知数列1A ：1，0，1，0，1，且数列1()k k A f A +=，1k =，2，3，…，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且22n n S s a t n n =⋅+⋅-，*n ∈N .（1）当3s =，0t =时，求证：数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）当0s =，3t =时，不等式1n na a λλ++≥对于任意2n ≥，*n ∈N 都成立，求实数λ的取值范围.18.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin 2cos 2B CB b +=. （1）求角A 的大小；（2）若BC 边上的中线1AD =，求ABC △面积的最大值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，AB DC ∥，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若直线PB 与平面PAC ，求二面角P AC E --的余弦值. 20.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：（2）在人工智能中常用(|)(|)(|)P B A L B A P B A =表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计(|)L B A 的值；（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望. 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，反射后必经过另一个焦点.若从椭圆2222:1(0)x y T a b a b+>>=的左焦点1F 发出的光线，经过两次反射之后回到点1F ，光线经过的路程为8，椭圆T 的离心率2. （1）求椭圆T 的标准方程；（2）设0(),D D x ，且D x a >，过点D 的直线l 与椭圆T 交于不同的两点M ，N ，点2F 是椭圆T 的右焦点，且2DF M ∠与2DF N ∠互补，求2MNF △面积的最大值. 22.已知函数31()6x f x e ax =-（a 为非零常数），记1()()n n f x f x +'=（n ∈N ）0()()f x f x =，.（1）当0x >时，0f x ≥（）恒成立，求实数a 的最大值； （2）当1a =时，设2()()nn i i g x f x ==∑，对任意的3n ≥，当nx t=时，()n y g x =取得最小值，证明：()0n n g t >且所有点(,())n n n t g t 在一条定直线上.。
湖南省长沙市第一中学2023届高三月考数学试卷 (八)
长沙市一中2023届高三月考试卷(八)数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={xx2<2x},集合B={x|log2(x−1)<1},则A∩B=()(A){x|0<x<3}(B){x|1<x<2}(C){x|2⩽x<3}(D){x|0<x<2}2.在复平面内,复数z与21−i对应的点关于虚轴对称,则z等于()(A)1+i(B)−1−i(C)1−i(D)−1+i3.若双曲线C:x29−y2m=1(m>0)的一条渐近线与x轴的夹角是π3,则C的虚轴长是()(A)2√33(B)3√3(C)2(D)6√34.若(1+x)(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+···+a8x8,则a1+a3+a5+a7的值是()(A)−1(B)−2(C)2(D)15.在△ABC中,“cos A+sin A=cos B+sin B”是“∠C=90◦”的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔,纪念为人民解放事业牺牲的湖南革命烈士,它是公园的标志.为了测量纪念塔的实际高度,某同学设计了如下测量方案:在烈士纪念塔底座平面的A点位置测得纪念塔顶端仰角的正切值为32,然后直线走了20m,抵达纪念塔底座平面B点位置测得纪念塔顶端的仰角为π3.已知该同学沿直线行进的方向与他第一次望向烈士纪念塔底端的方向所成角为π3,则该烈士纪念塔的高度约为()(A)30m(B)45m(C)60m(D)75m7.已知点P(2,2),直线AB与抛物线C:y2=2x交于A、B两点,且直线P A,P B的倾斜角互补,则直线AB的斜率为()(A)−14(B)−12(C)−1(D)−28.函数g(x)=ln xx+1在区间[t,+∞)(t∈N∗)上存在极值,则t的最大值为()(A)2(B)3(C)4(D)5二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知a,b∈(0,+∞),λ=a+b,µ=√3ab,则()(A)λ−µ<0(B)λ−µ⩾0(C)µλ⩽√32(D)µλ>√3210.数列{a n}首项a1=2,对一切正整数n,都有a n+1=2−1a n,则()(A)数列{1a n−1}是等差数列(B)对一切正整数n都有a n>1(C)存在正整数n,使得a n=2a2n(D)对任意小的正数ε,存在n0∈N,使得|a n+1−a n|<ε(n>n0)11.已知直线l:x−y+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上,圆C:(x−2)2+y2=2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP,则点P的横坐标的取值可以为()(A)13(B)12(C)3(D)512.将2n(n∈N∗)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中,已知每个球放入这2个盒子的可能性相同,且每个盒子容纳球数不限,记2个盒子中最少的球数为X(0⩽X⩽n,X∈N∗),则下列说法中正确的有()(A)当n=1时,方差D(X)=1 4(B)当n=2时,P(X=1)=3 8(C)∀n⩾3,∃k∈[0,n)(k,n∈N∗),使得P(X=k)>P(X=k+1)成立(D)当n确定时,期望E(X)=n(22n−C n2n)22n三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数f(x)的图象在区间(1,3)上连续不断,能说明“若f(x)在区间(1,3)上存在零点,则f(1)·f(3)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)=.14.若随机变量ξ的数学期望和方差分别为E(ξ),D(ξ),则对于任意ε>0,不等式P(|ξ−E(ξ)|⩾ε)⩽D(ξ)ε2成立.在2023年湖南省高三九校联考中,数学科考试满分150分,某校高三共有500名学生参加考试,全体学生的成绩ξ的期望E(ξ)=80,方差D(ξ)=42,则根据上述不等式,可估计分数不低于100分的学生不超过人.15.如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60◦,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义:若# »OP=x e1+y e2(其中e1,e2分别是x轴,y轴正方向的单位向量),则P点的斜坐标为(x,y),向量# »OP的斜坐标为(x,y),# »OM=(3,1),# »ON=(1,3),则△OMN的面积为.x16.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,点E∈平面AA1B1B,点F是线段AA1的中点,若D1E⊥CF,则当△EBC的面积取得最小值时,三棱锥E−BCC1外接球的体积为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)=2sin x2cosx2+2√3cos2x2−√3,x∈[−π6,π3].(1)已知f(α)=85,α∈(−π6,π3),求sinα;(2)若不等式|f(x)−m|⩽3恒成立,求整数m的最大值.18.设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=1,2na n−2S n=n2−n,n∈N∗.(1)求证:数列{a n}是等差数列;(2)令b n=2−a n2n,求数列{b n}的前n项和T n.19.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,点P是长方形A1B1C1D1内一点,∠AP C是二面角A−P D1−C的平面角.(1)证明:点P在A1C1上;(2)若AB=BC,求直线P A与平面P CD所成角的正弦的最大值.B C DA PB1C1D1A120.(1)对于任意两个事件A,B,若P(A)>0,P(B)>0,证明:P(A)P(A)=P(A|B)P(A|B)·P(B|A)P(B|A);(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的,它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为:设A1,A2,···,A n是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪···∪A n=Ω,且P(A i)>0,i=1,2,···,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(A i|B)=P(A i)P(B|A i)P(B)=P(A i)P(B|A i)n∑k=1P(A k)P(B|A k),i=1,2,···,n.①已知某地区烟民的肺癌发病率为1%,先用低剂量C进行肺癌筛查,医学研究表明,化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性(有病),而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性(无病),现某烟民的检验结果为阳性,请问他真的患肺癌的概率是多少?②为了确保诊断无误,一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时,此人患肺癌的概率就不再是1%,这是因为第一次检查呈阳性,所以对其患肺癌的概率进行修正,因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率.请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性,则他真的患肺癌的概率是多少?21.已知f(x)=e x−tx,x∈R.(1)函数f(x)有且仅有一个零点,求t的取值范围.(2)当t=1时,证明:∃ξ∈(a,b)(其中a>0),使得f(b)−f(a)b−a=eξ−1.22.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年−公元前325年),大约100年后,阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质:如图1,从椭圆的一个焦点出发的光线或声波,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,其中法线l ′表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线,已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点为F 1(−c,0),F 2(c,0)(c >0),若由F 1发出的光线经椭圆两次反射后回到F 1经过的路程为8c .对于椭圆C 除顶点外的任意一点P ,椭圆在点P 处的切线为l ,F 1在l 上的射影为H ,其中|OH |=2√2.H F 1F 2法线l ′图1O P切线l•图2(1)求椭圆C 的方程;(2)如图2,过F 2作斜率为k (k >0)的直线m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(点A 在x 轴上方).点M ,N 是椭圆上异于A ,B 的两点,MF 2,NF 2分别平分∠AMB 和∠ANB ,若△MF 2N 外接圆的面积为81π8,求直线m 的方程.。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)4
人教版数学高三期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【来源】2020届湖南省高三上学期期末统测数学（文)试题 【答案】B2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定【来源】海南省文昌中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题 【答案】A3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】D4．已知圆C 1：（x +a ）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．B ．94C ．32D ．2【来源】安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二（上)期中数学（理科)试题 【答案】B5．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）【来源】甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文)试题 【答案】A6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．53【来源】湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二10月联考文科数学试卷 【答案】D7．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【来源】广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 【答案】C8．若不等式22log (5)0x ax -+>在[4,6]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(,4)-∞）B ．20(,)3-∞ C ．(,5)-∞D ．29(,)5-∞【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】C9．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样D ．无法确定【来源】2020届广东省珠海市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】B10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23434a a a +=，则5S =（ ）【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】A11．在ABC ∆中3AB =，5BC =，7AC =，则边AB 上的高为( )A B C D 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B12．不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b -=( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B13．各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若224n n n a S a -=，则2019S 为( )A ．BC ．2019D ．4038【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则2312m n m n +++++的最小值为( ) A ．176B ．145 C ．114D ．83【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314n n S a +=，则使不等式1000成立的n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】C16．ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1a =，b =4B π=，则A =( )A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．23π【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A17．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =,则（ ） A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】C18．在等差数列{}n a 中，652a a =，则17a a +=（ ） A ．0B ．1C ．2-D ．3【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题 【答案】A19．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析) 【答案】D20．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】A21．在ABC ∆中，60A =︒，1b =，则sin sin sin a b c A B C ++++的值为（ ）A ．1B ．2C D ．【来源】辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一下学期期末数学(文)试题 【答案】B二、填空题22．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷) 【答案】923．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin B ＝_____．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3524．如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____.【来源】2014届江西省南昌大学附属中学高三第三次月考理科数学试卷（带解析) 【答案】1025．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 【来源】智能测评与辅导[文]-等比数列 【答案】6426．设x ，y 满足约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =-+的最小值是______.【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】9-27．已知数列{}n a 是等差数列，且公差0d <，()11a f x =+，20a =，()31a f x =-，其中()242f x x x =-+，则{}n a 的前10项和10S =________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】70-28．若x ，y 满足约束条件22020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】2-29．已知数列{}n a 满足11a =，()13N n n n a a n *+⋅=∈，那么数列{}n a 的前9项和9S =______.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】24130．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______.【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】()()0,2U三、解答题31．如图，在平面四边形ABCD 中，BC ＝3，CD ＝5，DA 2=，A 4π=，∠DBA 6π=．（1）求BD 的长： （2）求△BCD 的面积．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】（1）7；（2 32．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(II)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【来源】湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题【答案】（Ⅰ）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 33．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}． （1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．【来源】2013-2014学年广东阳东广雅、阳春实验中学高二上期末文数学卷（带解析) 【答案】（1）{x |3x 2}-＜＜（2）2,24a b ==- 34．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：223n S ≤<. 【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）12n n a +=（2）证明见解析 35．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积. 【来源】2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题 【答案】（1）6A π=；（2）见解析36．设函数()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()2f A =-，且A 为钝角，求sin C 的值. 【来源】2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1437．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【来源】2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文)试题【答案】(1) cos 7DAC ∠=，7AC =；(2) 3 38．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长. 【来源】2020届福建省莆田市（第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题【答案】（1）3π；（239．在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【来源】北京101中学2018-2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷【答案】（1）（240．已知函数2()2()f x x mx m R =-++∈，()2x g x =. （1）当2m =时，求2()(log )f x g x >的解集；（2）若对任意的1[1,1]x ∈-，存在2[1,1]x ∈-，使不等式12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】（1）(0,2)（2）11[,]22-41．已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【来源】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(],0-∞；(Ⅲ)103k -<<．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【来源】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文)试题【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+43．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，523a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足13b =，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S . 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n a n =-；(2) 1332n n S +-= 44．对于正项数列{}n a ，定义12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称”值.(1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式； (2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n nb n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n n a n -=；(2)21141n S n =-+，4545．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan c B b C =.(1)求角C 的值；(2)若c =3a b =，求ABC ∆的面积.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)3C π=，(2)ABC S ∆=46．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos a cB C b b-=-. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b +=ABC V 的面积.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】（1）3C π=；（2）447．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （1）求A ；（2）若a =，ABC V 的面积为ABC V 的周长.【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题试卷第11页，总11页 【答案】（1）3A π=（2）7+48．在正项数列{}n a中，11a =，()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT . 【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】（1）22n n a +=，2n n b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++49．在ABC ∆中，10a b +=，cos C 是方程22320x x --=的一个根，求ABC ∆周长的最小值。
湖南省长沙市雅礼中学2023届高三月考试卷(二)数学试题含答案
雅礼中学2023届高三月考试卷(二)数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,时量120分钟，满分150分.第I 卷一、选择题:本题共8小题 ,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}220,{2}M x x x N =--=<∣, 则M N ⋂= A. (0,2) B. [0,2] C. [-1,4) D. [-1,2]2. 在平面直角坐标系xOy 中, 以点(0，1)为圆心且与直线10x y --=相切的圆的标准方程为A. 22(1)2x y +-=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)x y +-=D. 22(1)4x y -+=3．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：-0.23(-53)()1t K I t e=+，其中K 为最大确诊病例数.当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为(ln193)≈ A ．60B ．63C ．66D ．694．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是 A ．516B ．1132 C ．1532D ．15165. 已知圆锥的母线长为 2 , 轴截面顶角的正弦值是12, 过圆锥的母线作截面,则截面面积的最大值是A. 1 C. 1 或 2 D. 2 6. 设函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R , 若1x =-为函数()()x g x e f x =的一个极值点, 则下列图象不可能为()y f x =的图象的是7. 已知12,F F 分别是双曲线22:221(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点, 过2F 的直线与双曲线C 的左支相交于P 、Q 两点, 且1PQ PF ⊥. 若1||PQ PF =, 则双曲线C 的离心率为 63522- 522+ D.122+8. 在棱长为 6 的正方体1111ABCD A B C D -中,M 是BC 的中点, 点P 是面11DCC D 内的动点, 且满足 APD MPC ∠=∠, 则三棱锥D PBC -体积的最大值是A. 3B. 24C. 3D. 36 二、选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分,有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.关于统计数据的分析,有以下几个结论，其中正确的是A.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后， 期望与方差均没有变化C.调查剧院中观众观后感时,从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法D.样本数据9,3,5,7,12,13,1,8,10,18的第80百分位数是12.510．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式i e cos isin x x x =+（,i x ∈R 为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有 A ．e 10i π+=B ．20221312⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭C ．i -i e e 2x x+≤D ．i -i 2e e 2x x -≤-≤11. 已知函数()sin(cos )cos(sin )f x x x =+, 则下列结论正确的是A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递㖪C. ()f x 的周期是πD. ()f x 的最大值为 212. 下列不等关系正确的是A. 33e 3e π<<B. 3e e e ππ<<C. 3e e πππ≤<D.333e ππ<<第Ⅱ卷三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知||2||=b a 且()0⋅-=b a a , 则,b a 的夹角是_____.14. 已知函数()x x f x e ae -=+(a 为常数)为奇函数, 且()()g x f x mx =-为增函数, 则实数m 的取值范围是_____.15. 已知抛物线2:4E y x =, 直线:(1)l y k x =-与E 相交于,A B 两点, 若(1,1)M -使90AMB ︒∠=, 则 k =_____. 16. 已知三角形数表:现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列{}n a ，记此数列的前n 项和为n S .若()277tm S t m m =∈∈>Z N ，且，则m 的最小值是_____.四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知*n ∈N ,抛物线2y x n =-+与x 轴正半轴相交于点A .设n a 为该拋物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2) 设2n n na b =, 求证: 1211112n b b b n +++<-（*n ∈N 且2n ）.18.（本小题满分 12 分)在ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 若2A C B +.(1) 求证: B 3π;(2) 对*n ∈N , 请你给出一个n 的值, 使不等式2n n n a c b +成立或不成立,并证明你的结论.19. (本小题满分 12 分)如图 1, 在ABC 中,2,90,30,AC ACB ABC P ︒︒=∠=∠=是AB 边的中点. 现把ACP 沿CP 折成如图 2所示的三棱锥A BCP -, 使得10AB =(1)求证: 平面ACP ⊥平面BCP ; (2)求二面角B AC P --的余弦值.20. (本小题满分 12 分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级．现设4n =，分别以1234,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令12341234X a a a a =-+-+-+-， 则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．(1)假设1234,,,a a a a 等可能地为1,2,3,4的各种排列，写出X 的可能值集合，并求X 的分布列；(2)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ≤，①试按(1)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； ②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由． 21. (本小题满分 12 分)已知(1,0),A B -是圆22:2150F x x y -+-=上的任意一点, 线段AB 的垂直平分线交BF 于点P .(1) 求动点P 的轨迹C 的方程;(2) 设,PA PF 交轨迹C 于另两点,D E . 记PAF 和PDE 的面积分别为12,S S . 求12SS 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分)已知函数11()t tttf x x x x +=+- (0, x t >为正有理数). (1) 求函数()f x 的单调区间;(2) 证明: 当2x 时,()0f x .雅礼中学2023届高三月考试卷(二)数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 答案B ACD C D B A ADABC ABABD13.3π 14.(],2-∞ 15. 2 16. 95四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(1) 抛物线在点,0)A n 处的切线方程为2()y n x n =--, 所以它在y 轴上的截距 2n a n =.(2)222121*********12121223(1)n b b b n n n n +++=++⋅<++++=-⨯⨯-. 18.【解析】(1) 由A B C π++=且2A C B +得23B B B ππ-⇒.(2) 当2n =时, 不等式成立, 即有2222a c b +. 证明如下: 由余弦定理有()()()2222222222cos b a c a c ac B a c -+=++--224cos 24cos 2(12cos )a c ac B ac ac B ac B =+--=-由 (1) 知1,cos cos 12cos 0332B B B πππ<∴=⇒-, 所以()22220b a c -+, 即2222a c b +.或当1n =时, 不等式成立, 即有2a c b +. 证明如下: 由正弦定理有2()2[2sin (sin sin )]24sin cos 2sin cos 2222B B A C A C b a c R B A C R +-⎛⎫-+=-+=- ⎪⎝⎭4cos 2sin cos 222B B A C R -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (其中R 是ABC 外接圆的半径)由 (1) 知1,sin sin 2sin 136222622B B BB πππππ<∴<⇒=⇒. 而cos 12AC -, 所以2sin cos 022B A C --, 又cos 02B>, 所以2()0b a c -+, 即2a c b +.或222()(2)a c b a c b +⇔+,而由余弦定理 ()()222222(2)()42cos 2b a c a c ac B a c ac-+=+--+-()2238cos 268cos 24(12cos )a c ac B ac ac ac B ac ac B =+----=- 由 (1) 知1,cos cos12cos 0332B B B πππ<∴=⇒-, 所以22(2)()0b a c -+, 即2a c b +.或当5n =时, 不等式不成立, 即5552a c b +不成立. 证明如下:取,23A B ππ==, 则有555sin 2sin 3a A b B ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎭⎝⎭=⎝, 所以552a c b b ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即5552a c b +>.说明此时5552a c b +≤不成立19.【解析】（1）在图1中，取CP 的中点O ，连接AO 交CB 于E ，则AE CP ⊥.在图2中，取CP 的中点O,连接AO,OB, 因为2AC AP CP ===, 所以AO CP ⊥且 3AO =在OCB 中, 由余弦定理有2221(23)21237OB ︒=+-⨯⨯=, 所以22210AO OB AB +==, 所以AO OB ⊥, 又,AO CP CP OB O ⊥⋂=, 所以AO ⊥面PCB , 又AO ⊂面ACP , 所以平面ACP ⊥平面CPB .（2）因为AO ⊥面PCB 且OC OE ⊥，故可建立如图2空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,0,0),(3,0)O C A P B --(2,3,3),(1,0,3)AB AC =--=.设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m , 则由0,0,AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得(3,3,1)=m又平面ACP 的法向量为(0,1,0)=n .所以313cos ||||13131θ⋅===⋅⨯m n m n . 因此, 二面角B AC P --的余弦值为1313.20.【解析】(1) X 的可能取值集合为{0,2,4,6,8},在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个, 所以24,a a 中奇数个数等于13,a a 中偶数个数, 因此1313a a -+-与2424a a -+-的奇偶性相同, 从而X 必为偶数.X 的值非负, 且易知其值不大于 8 .容易举出使得X 的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X 的值，在等可能的假定下， 得到X 的分布列为X 0 2 4 6 8P124 324 724924 424（2）①首先(2)(0)(2)246P X P X P X ≤==+=== 将三轮测试都有X ≤2的概率记做P ,有上述结果和独立性假设得311P 6216⎛⎫==⎪⎝⎭ ②由于15P 2161000=<是一个很小的概率, 这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X ≤2的结果的可能性很小， 所以我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能,不是靠随机猜测.21.【解析】(1) 由题意可知||||||||||42||PA PF PB PF FB AF +=+==>=, 所以动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点且长轴长为 4 的椭圆, 因此C 方程为22143x y += 设||(13),PA x x PAF θ=<<∠=, 则在PAF 中, 由余弦定理得32cos x θ=-,则有3cos 2xθ=-. 同理33||2cos()2cos AD πθθ==--+.所以22212124||||||4cos 43342x PD PA AD x x θ=+===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 设||PF y =, 则4x y +=. 同理可得24||43y PE y =-所以12||(43)(43)391||||1616S PA PF x y S PD PE xy xy ⋅--===-⋅∣. 易知(4)(3,4]xy x x =-∈,所以12S S 的取值范围是325,1664⎛⎤ ⎥⎝⎦.22.【解析】(1) 函数的定义域为(0,)+∞.()111111111111()11t t t t t t t t f x txx t x tx x x x t t t-+--'--⎛⎫⎛⎫=+-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当01x <<时, ()0f x '>; 当1x >时, ()0f x '<. 所以函数()f x 的单调区间为(0,1),(1,)+∞且()f x 在(0,1)上单调递增, 在(1,)+∞上单调递减. (2) 因为()f x 在[2,)+∞单调递减, 所以11()(2)222t tttf x f +=+-.记11(0)()222t tttg t t +=+>-，因此要证()0f x ≤，只要证()0g t ≤即可而1()g t g t ⎛⎫= ⎪⎝⎭且(1)0g =,因此只要证明: 当1t 时,()0g t .而1111()2222221t t tt tt ttg t +-⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭=.令122)1(1)(t t t h t t -+=-≥1121()2(ln 2)12t t t h t t -'⎛⎫=+- ⎪⎝⎭, 令1m t =, 则01m <. 令2()12(01)m F m m m =++<,2()22ln 2,()22ln 2(01),()22(ln 2)0m m m F m m G m m m G x ''=-=-<=->令, 所以()G m 在(0,1]上单调递增, 又(0)ln 20,(1)22ln 20G G =-<=->, 又()G m 在(0,1]上连续, 故存在0(0,1]x ∈, 使得()00,x x ∈时,(]0()0,,1G m x x <∈时, $G(m)>0$. 所以()F m 在()00,x 上单调递减, 在(]0,1x 单调递增. 又(0)(1)0F F ==, 所以()0F m .即()0h t ', 所以()h t 在[1,)+∞单调递减, 所以()(1)0h t h =, 即()0g t . 综上所述, 当2x 时,()0f x .。
湖北省荆州中学高三数学12月月考试题文
INPUT x IF 1x >= THEN2y x =ELSE21y x =-+END IFPRINT y END湖北省荆州中学2017届高三数学12月月考试题 文第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x ＞2}，B={x|（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}，则A ∩B=（ ） A ．{x|x ＞1} B ．{x|2＜x ＜3} C ．{x|1＜x ＜3} D ．{x|x ＞2或x ＜1} 2．已知复数z 满足（z ﹣1）i=1+i ，则z=（ ）A ．﹣2﹣iB ．﹣2+iC ．2﹣iD ．2+i 3．设p ：log 2x ＜0，q ：（）x ﹣1＞1，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若函数f （x ）=，则f （f （10））=（ ）A ．lg101B ．2C ．1D ．05．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=﹣3，S 6=12，则a 5等于（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1 D ．4 6. 执行右图程序中，若输出y 的值为1，则输入x 的值为（ ） A ．0 B ．1C ．01或D ．101-、或 7．已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且+=，||=2||，则•等于（ ）A ．154-B ．34-C ．154D ．348．实数x ，y 满足条件，则目标函数z=x+2y 的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．﹣1D ．9．已知函数y=f （x ）的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的，则=（ ）A ．B ．C ．0D ．10．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．100 cm 3B ．108 cm 3C ．84 cm 3D ．92 cm 3 11.函数)sin sin ln(xx xx y +-=的图像大致是（ ）12.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πθθ=+≤＞部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a=log 2.10.6，b=2.10.6，c=log 0.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是 ．14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．15．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+b 2x+1，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 ．16.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数x x x f 0 ,1)( 被 称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有如下四个命题： ①()()0ff x =； ②函数()f x 是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点()()()112233,(),,(),,()A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形. 其中正确命题的序号有________三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（本题满分为12分）如图，△ABC 是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且BC=2CD ，AD=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求CD 的长．18．（本题满分为12分）已知{a n }是等比数列，2a =2且公比q ＞0，﹣2，1a ，3a 成等差数列． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）已知11n n n n b a a na λ++=-（n=1，2，3，…），设n s 是数列{n b }的前n 项和．若12s s >，且1k k s s +<（k=2，3，4，…），求实数λ的取值范围．19.（本题满分为12分）某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？资金单位产品所需资金（百元） 空调机洗衣机 月资金供应量（百元）成本 30 20 300 劳动力（工资） 5 10 110 单位利润 6820．（本题满分为12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF=1．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．21．（本题满分为12分）已知函数2()ln f x a x b x =⋅+⋅的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为10.x y --= （1）求()f x 的表达式；（2）若()F x 满足()()F x G x <恒成立，则称()F x 是()G x 的一个“拉里—川普函数” ． 证明：函数()2(),2g x af x t t R t =+∈≤且，是函数()()xh x e f x t =++的一个“拉里—川普函数”．请考生在22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
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图1 2017届高三数学第八次月考试题 文 科 数 学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合21,3xAxBxx，则AB （ ）
A．3,0 B．3,3 C．0,3 D．0, （2）若复数12aizi（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为 A．2 B．12 C．12 D．2 （3）高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号并用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本。已知5号，33号，47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为 A．13 B．17 C．19 D．21 （4）在等差数列{}na中，315,aa是方程26100xx的根，则17S的值是（ ） A. 41 B． 51 C. 61 D．68
（5）将三角函数sin26yx向左平移6个单位后，得到的函数解析式为 （ ）
A．sin26x B．sin23x C．sin2x D． cos2x （6）已知实数221311log3,,log330abc，则,,abc的大小关系是 （ ） A．abc B. acb C．cab D. cba
（7）给出下列两个命题：命题p:若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，则1MA的概率为4. 命题q：若函数4,1,2fxxxx，则fxmin=4.则下列命题为真命题的是： （ ） A．pq B．p C．pq D．pq
（8）若,xy满足42200xyyxy,2zxy若，则z的最大值是 （ ） A．1 B．4 C．6 D．8 （9）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍，松竹何日而长等.图1是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b分别为4，2，则输出的n等于 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （10）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的侧面积是 （ ） A．12 B. 143 C. 6+35 D．11+35
（11）已知双曲线22122:10,0xyCabab的左顶点为M，抛物线22:2Cyax的焦点为F，若在曲线1C的渐近线上存在点P使得PMPF，则双曲线1C离
心率的取值范围是（ ）
A．1,2 B．321,4 C．1, D．32,24
（12）已知2lnfxaxx在区间0,1内任取两个不相等的实数pq、，不等式1fpfqpq
恒成立，则实数a的取值范围为 （ ） NMC
D
BA
S
ADMNCF1F2OB
A．3,5 B．,3 C．3,5 D． 3, 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）已知向量,ab的夹角为5,2,3,6ab，则2aba
.
（14）已知抛物线26yx上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为 .
（15）已知ABC中，4,27,,3ACBCBAC则AB的长为 . （16）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，BDACO,M是线段1DO上的动点，过M做平面1ACD的垂线交平面1111ABCD于点N，则点N到点A的距离最小值是___________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（12分）已知公差不为零的等差数列na的前n项和为nS，若10110S，且124,,aaa成等比数列 （Ⅰ）求数列na的通项公式；
（Ⅱ）设数列nb满足111nnnbaa，若数列nb前n项和nT. （18）（12分）根据国家环保部最新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米。某城市环保部分随机抽取的一居民区过去20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下： 组别 PM2.5平均浓度 频数 频率 第一组 （0,25] 3 0.15 第二组 （25,50] 12 0.6 第三组 （50,75] 3 0.15 第四组 （75,100] 2 0.1 （Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率； （II）求样本平均数，并根据样本估计总计的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进?并说明理由.
（19）（12分）已知四棱锥SABC的底面为平行四边形，且22SDABCDABADSD面，,60DCB,MN、分别为SBSC、中点，过MN作平
面MNPQ分别与线段CDAB、相交于点PQ、. （Ⅰ）在图中作出平面MNPQ使面MNPQ‖SAD面(不要求证明）； （II）若4AB，在（Ⅰ）的条件下求多面体MNCBPQ的体积. （20）(12分)如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B,左右焦点分别为1212,4,23FFABFF、,直线:0lykxmk交椭圆于
CD、两点，与线段12FF及椭圆短轴分别交于MN、两点（MN、不重合）,且
CMDN.
（Ⅰ）求椭圆E的离心率； （Ⅱ）若CD的垂直平分线过点1,0,求直线l的方程. （21）（12分）已知函数xxfln)(，bxaxxg2)((,ab为常数)． （Ⅰ）求函数)(xf在点1,1f处的切线方程； （Ⅱ）当函数gx在2x处取得极值2,求函数)(xg的解析式；
（Ⅲ)当21a时，设)()()(xgxfxh，若函数)(xh在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围. （22）（10分）选修4-5：不等式选讲设函数4fxx （Ⅰ）若22yfxafxa最小值为4，求a的值； （Ⅱ）求不等式112fxx的解集. 文 科 数 学（参考解答） 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A C B D C A C B C B D 【6】解题思路：
222log2log3log421,2a，1133111,loglog393027bc，故选择C
【7】解题思路：易知命题,pq均为真命题，故选择A 【11】解题思路：在曲线1C的渐近线上存在点P使得PMPF，即以MF为直径的圆与渐近
线有交点，,0Ma ,0,24aaFr， 圆心3,04aN，由点N到渐近线byxa的距离小于等于半径，即3bc， 解得321,4e
.
【12】解题思路：由不等式1,fpfqpqfx在1,2内任两点的斜率大于1，即1fx
在1,2恒成立，由21afxxx，得12axx恒成立，即3a 二、填空题
13． 10 14. 32 15. 6 16. 62
【16】解题思路：连结11BD，易知面1ACD面11BDDB，而1MNACD，即1NMDO，
NM在面11BDDB内，且点N的轨迹是线段11BD，连结1AB，易知11ABD是等边三角形，则
当N为11BD中点时，NA距离最小，易知最小值为62
三、解答题
【17】解析：（Ⅰ）由题意知：2221411110131101045110aaaadaadSad„„„„„„„„„..„„4分 解得12ad，故数列2nan；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
1111212122121nbnnnn
，„„„„„„„„„„„„„..8分
则1111111...213352121nTnn
„„„„„„„„„„„„„„„„„„
„..10分 11122121nnn
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
„„12分
【18】解析： （Ⅰ）设PM2.5的24小时平均浓度在50,75的三天记为