2015年秋季新版苏科版八年级数学上学期2.5、等腰三角形的轴对称性学案8

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2.5等腰三角形的轴对称性课件数学苏科版八年级上册

∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）．
讲例
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
A 分析：（1）找出图中所有相等的角；
∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
D
△ABC, △ABD, △BCD.
B
C
讲例
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 _3_0_°__,_3_0___. °
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
练一练：
1.在△ABC中，AB＝AC． ⑴ 如果∠B＝70°,那么∠C＝___，∠A＝____． ⑵ 如果∠A＝70°,那么∠B＝____，∠C＝ ___． ⑶ 如果有一个角等于120°, 那么∠A＝___ °，∠B＝___ °，∠C ＝___ °． ⑷ 如果有一个角等于50°,那么另两个角等于多少度？
∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝
CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
练一练：
(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°__,_3_0_°__； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ___7_2_°__,7_2_°__或__3_6_°__,_1_0_8；°
讲例
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，解得x=36 °，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.

苏科版数学八年级上册 2.5 等腰三角形的轴对称性教案 (1)

《等腰三角形的轴对称性》的教学设计——开发利用课程资源促进学生自主发展【学情分析】学生在小学认识过等腰三角形的腰相等，在苏科版七年级下册中三角形按边分类时已经接触过等腰三角形，同时本节课是在轴对称图形、线段的垂直平分线及全等三角形的基础上接着学习的。

学生对等腰三角形并不陌生，但是对等腰三角形性质和相关规律并没有进行系统的探索、归纳、总结。

这节课的内容不仅是对前面所学知识的运用，也是今后证明角相等、线段相等及两条直线互相垂直的依据，在教材中处于非常重要的地位。

因此本节课我采用以下教学主线：动手实践——观察——猜想——操作——证明——探究——应用。

在这个设计中，观察、猜想表现的是学生的洞察力，动手实践、操作的意义在于实验，强化了猜想的直觉，证明、探索，可以激发和培养学生的创新意识和创新思维。

本节课等腰三角形性质的证明用到辅助线的添加，学生理解有些困难。

因此我确定本节课的难点是等腰三角形性质的证明。

【设计理念】教师由表演者变为激发学生灵感的激发者与捕捉者，学生由听者变为实验者、发现者、演讲者。

坚持以学生为中心，以操作为重要手段，以感悟为学习目的，以发现为宗旨。

重视学生的自主探索、亲身实践、合作交流，学生在活动中理解掌握基本知识、技能、方法。

学生是学习和发展的主体，教师是学习活动的积极组织者和引导者。

【课程资源】苏科版八上教科书【教学目标】1．经历折纸、观察、猜想、验证、归纳等活动，知道并掌握等腰三角形的性质．2．进一步理解证明的基本步骤和书写格式，并能应用等腰三角形的性质进行计算、证明．3．在运用数学知识证明与解答问题的活动中，培养学生的合情推理能力和逻辑推理能力.【教学重点与难点】重点：等腰三角形性质的探索、证明难点：等腰三角形性质的证明【主要学习活动】一、动手实践1．试一试：（1）请你用一张长方形纸片折出一个等腰三角形，并画出它的平面图形，标上字母。

设计意图：从一开始就提供给学生动手操作的机会，提高学生的兴趣，激发他们的求知欲，同时让学生有一种轻松感。

苏科版-数学-八年级上册-2-5 等腰三角形的轴对称性(2)教案

第22课时课题：2.5 等腰三角形的轴对称性（2）教学目标：1．掌握等腰三角形的判定定理；2．知道等边三角形的性质以及等边三角形的判定定理；3．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径；4．会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以……”等方式来进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力．教学重点：熟练地掌握等腰三角形的判定定理．教学难点：正确熟练地运用定理解决问题及简洁地逻辑推理．教学过程：开场白：前面我们学习了等腰三角形的轴对称性，说说你对等腰三角形的认识．本节课我们将继续学习等腰三角形的轴对称性．创设情境：如图所示△ABC是等腰三角形，AB＝AC，和一个底角∠C．请同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC（设计思路：一方面回忆等边对等角及其研究方法，为学生研究等角对等边提供研究的方法，另一方面通过创设情境，自然地引入课题．）探索发现一：请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：（1）在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC．（2）以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，在BC的同侧用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A．（3）用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折．问题1：AB与AC有什么数量关系？问题2：请用语言叙述你的发现．（设计思路：演示折叠过程为进一步的说理和推理提供思路．通过动手操作、演示、观察、猜想、体验、感悟等学习活动，获得知识为今后学生进行探索活动积累数学活动经验．）分析证明：思考：我们利用了折叠、度量得到了上述结论，那么如何证明这些结论呢？问题3：已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．B C引导学分析问题，综合证明．思考：你还有不同的证明方法吗？问题4：“等边对等角”与“等角对等边”，它们有什么区别和联系？（设计思路：在实验的基础上获得问题解决的思路，在合情推理的基础上让学生经历演绎推理的过程，培养学生的逻辑思维能力．通过“你有不同的证明方法吗”的问题，让学生学会质疑，学会从不同的角度思考问题，培养学生的发散性思维，激发探究问题的欲望和兴趣，通过对问题4的思考让学生加深对性质与判定的理解．）探索发现二：问题5：什么是等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么区别和联系？问题6：等边三角形有什么性质？问题7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形了？为什么？1．学生阅读教材，进行自主学习．2．小组讨论交流．3．展示学习成果：等边三角形的概念、等边三角形的性质、等边三角形的判定．（设计思路：培养学生阅读教材的学习习惯和自主学习能力．引导学生经历合情推理和演绎推理的过程，感受合情推理和演绎推理都是人们认识事物的重要途径．）例题精讲：例1如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．求证：BD＋EC＝DE．提示：先设法找出图中相等的角，再利用“等角对等边”，即可找出相等的线段进行代换．点评：当题目中出现平行线和角平分线时，通常先用内错角进行角的转化，再运用“等角对等边”得到等腰三角形．同学们不妨在平时的解题中留心验证．例2如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC．(1)求∠ECD的度数．(2)若EC＝5，求BC的长．提示：(1)根据ED所在的直线是线段AC的垂直平分线，可得AE＝EC，因此∠A＝∠ACE．(2)由已知条件可以求出∠B＝72°，∠BEC＝72°，即∠B＝∠BEC，从而运用“等角对等边”求得BC的长．点评：本题综合考查了等腰三角形的性质和判定方法，以及线段垂直平分线的性质，是一道小型的综合题．例3如图，D是等边三角形ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边三角形EDC，连接AE．找出图中的一组全等三角形，并说明理由．提示：利用等边三角形三边相等，三个角都是60°来找全等三角形．点评：在利用等边三角形的性质解题时，不仅要考虑到三边相等，而且要注意到三个角都是60°．本题用到两个相等的60°角减去同一个角得到的两个角仍然相等，有时用两个相等的60°角加上同一个角得到的两个角仍然相等，同学们在平时解题中要多留心．学以致用：请同学完成课本P63－64练习第1、2、3题．学生独立思考、小组讨论、展示交流、相互评价．（设计思路：引导学生学会分析问题和解决问题，理解分析和综合之间的关系，培养学生分析问题和解决问题的能力．巩固学习成果，加强知识的理解和方法的应用，培养分析问题、解决问题的能力．）归纳小结：这节课你有怎样的收获？还有哪些困惑呢？学生以小组为单位归纳本节课所学习的知识、方法．展示交流，相互补充，建立知识体系．讨论困惑问题．（设计思路：引导学生进行知识归纳整理，学会学习，培养学生发现问题、提出问题的学习能力．）课堂作业：（见附页）课后作业：课本P67习题2.5第7、8、10题，补充习题P31—32，伴你学P48—49.。

【苏科版八年级数学上册教案】2.5等腰三角形的轴对称性(1)

2.5 等腰三角形的轴对称性（1）教课目标【知识与能力】理解等腰三角形的轴对称性及其相关性质；2．可以证明等腰三角形的性质定理。

【过程与方法】可以运用等腰三角形的性质定理解决相关问题。

【感情态度价值观】经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不停感觉合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要门路.教课重难点【教课要点】等腰三角形的轴对称性及其相关的性质.【教课难点】等腰三角形的性质证明及其应用.课前准备无教课过程教课过程：教师活动学生活动一一、情境引入1．观察图中的等腰三角形ABC，分别说出它们1．学生思虑、回答．的腰、底边、顶角和底角．2．学生着手操作、实践．2．把该等腰三角形沿顶角均分线对折睁开，你有什么发现？学生分组谈论，交流二、研究活动结果问题一：等腰三角形是轴对称图形吗？它的对A称轴是什么？问题二：找出等腰三角形ABC对折后重合的线段和角．B D C问题三：由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？说一说你的猜想．设计企图复习等腰三角形的相关看法．经过着手操作让学生感悟到等腰三角形是轴对称图形．．在前方着手操作、直观演示的基础上指引学生如何利用折痕这条辅助线，构造出两个全等的三角形，从而让学生经历演绎推理的过程，从而主动地发现证明思路，为今后学生进行研究活动累积数学活动经验．三、归纳总结思虑： 1．你能证让学生经过思虑“你能明上述定理吗？2．你证明上述定理吗？” “你等腰三角形的两底角相等．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角均分线重合．思虑：1．你能证明上述定理吗？2．你有不一样的证明方法吗？课堂练习：课本P61-62 第 1、2 题．四、操作试试按以下作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边 BC＝ a，高 AD＝ h五、例题讲解例 1课本P61例1．有不一样的证明方法吗？详尽以下：1．做顶角的均分线，用“ SAS”．2．作底边上的中线，用“ SSS”．3．作底边上的高，用“ HL”学生着手作图．有不一样的证明方法吗？”的问题，不但使学生思虑证明定理，更使学生学会怀疑，感觉到只要多观察、多思虑，即可能获取更多不一样解决问题的方法，从而激倡导数学研究的欲念和兴趣．等腰三角形的性质应用．AB D C学生独立思虑、小组交流．思虑：1．图中有几个等腰三角形？2．可以获取哪些相等的角？指引学生把复杂的图形简单化是解决复杂问题的一种方法，再经过观察、思虑，找出简单图形中的相等的角，最后的证明，培育学生解析问题和解决问题的能力．课堂练习：课本P62第 3 题．六、课堂小结师生互动，总结学习成共同小结．果，体验成功．本节课你的收获是什么？。

八年级数学上册 2.5 等腰三角形的轴对称性学案(1) 苏科版

八年级数学上册 2.5 等腰三角形的轴对称性学案（1）苏科版2、5等腰三角形的轴对称性（1）课型：新课学习目标：1、了解等腰三角形的轴对称性及其相关性质、2、探索等腰三角形三线合一的性质、补充例题：例1、BD为△ABC的角平分线，△ABC、△ABD和△BCD都是等腰三角形，求∠CBD和∠ADB的度数、例2、如图，在ΔABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC的中点，DE⊥BC于F，EG⊥BC于G、求证：DF＝EG、_D_C_E_B_A_F例3、如图，AB＝AE， BC＝ED，∠ABC＝∠AED，点F是CD的中点、请说明∠BAF＝∠EAF 课后续助：一、选择题、1、等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是 ( )A、17cmB、22cmC、17cm或22cmD、18cm2、等腰三角形的一个外角是80，则其底角是 ( )A、100B、100或40C、40D、803、△ABC中，AB=AC ，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A、7B、11C、7或11D、7或10二、填空题、4、在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，（1）如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______、（2）如果∠BAD＝∠CAD，BC=6cm，那么∠BDA＝_____,BD＝______cm、（3）如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______、（4）如果∠B＝80，那么∠BAC＝、5、①等腰三角形的两边长分别是3、5和7，则该三角形的周长是____________、②腰三角形的两边长分别是5和7，则该三角形的周长是___________、6、等腰三角形底边中线长10，则底边上的高长为_________，顶角平分线长为___________、7、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度、8、如图，在△ABC中，D是AC上的一点，且AD＝BD＝BC，∠DBC＝40,则∠A＝_________，∠C＝________，∠ABC＝________C9、如图，在△ABC中，AB=AC=32cm, DE是AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E、（1）若∠C=70，则∠ABE=_______,∠BCE=_______、（2）若BC=21 cm, 则△BCE的周长为_______cm、、三、解答题、10、如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠A＝30，BD是△ABC 的角平分线，求∠ADB的度数、11、如图，已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是两腰上的高、求证：BD=CE、。

八年级数学上册 2.5《等腰三角形的轴对称性》等腰三角形要点全析素材 (新版)苏科版

要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。

苏科版数学八年级上册 2.5 等腰三角形的轴对称性(1) 教案

等腰三角形的轴对称性（1）第一课时教学设计一、课题（学科和年级）等腰三角形的轴对称性（1） (数学八年级)二、教材简解本节课内容是：等腰三角形轴对称性。

在此之前，学生已学习了三角形全等、轴对称图形及其性质等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容既是前面知识的深化和应用，又是学习等腰三角形辨别和等边三角形有关知识的基础，还是说明角相等、线段相等及两条直线互相垂直的依据。

它所倡导的观察-发现-猜想－论证的数学思想方法是今后研究数学的基本思想方法.因此，本节内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。

三、目标预设1、由实践体会等腰三角形的轴对称性，掌握其相关性质．2、经历“折纸、画图、观察、归纳”等活动，发展学生空间观念和抽象、概括能力，感受分类、转化等数学思想方法，不断积累数学活动的经验．3、会用“因为……所以……”说理，发展有条理地思考和表达，提高推理能力．四、重点、难点1、重点：等腰三角形性质的探索及其应用2、难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．五、设计理念新课程理念下的数学教学设计，应以《标准》的基本理念为设计的指导思想；以促进学生的全面、持续、和谐的发展为出发点和归宿；以动手实践、自主探究、合作交流为主要学习方式；以培养学生终生学习能力、动手实践能力、探索创新能力和用数学思考与解决问题能力为目的。

据于这一教学理念，因此，我设计了本课时的教学程序。

六、设计思路进入初二的学生已经具备了一定的学习能力，观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想还是比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。

教学中要多提供机会，让他们主动的参与。

动手动脑，自主创造从而乐于探究。

因为心理学研究表明：学生对掌握主动权的学习很感兴趣。

学习过程是师生交流，积极互动，共同发展的过程。

在这个过程中，师生互教互学彼此是个“学习共同体”。

苏科版-数学-八年级上册-2.5 等腰三角形的轴对称性(2)教案

等腰三角形的轴对称性（2）基本环节基本内容组织教学知识梳理教学目标：1．掌握等腰三角形的判定定理．2．知道等边三角形的性质以及等边三角形的判定定理．3．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径．4．会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以……”等方式来进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力．教学重点：熟练地掌握等腰三角形的判定定理．等边三角形的性质教学难点：正确熟练地运用定理解决问题及简洁地逻辑推理．温故知新：问题1：等腰三角形有哪些性质？说出命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题，并判断真假。

问题2：什么是等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么区别和联系？问题3：等边三角形有什么性质？问题4：一个等腰三角形满足什么条件就是等边三角形了？为什么？智慧碰撞1．操作、实践：取一张长方形纸片，如图所示，任意折叠。

①观察图中∠1与∠2有什么关系？说明理由。

②度量线段AB与BC的长度，想一想，再试一次。

2．操作、思考：三边相等的三角形叫做三角形或。

用一个等边三角形的小纸片：（1）用折纸的方法找出它的对称轴，你有什么发现？（2）用量角器量出3个角的大小。

（3）通过折纸和测量，你得出了等边三角形的哪些特殊性质。

3．讨论、交流：（1）有两个角等于600的三角形是等边三角形吗？为什么？（2）如果一个等腰三角形中有一个角等于600，那么这个三角形是等边三角形吗？知识提炼：1．若一个三角形的两个角相等，则这两个角所对的边也相等。

（简写成“”）2．等边三角形是轴对称图形，并且有条对称轴，等边三角形的每个角都等于。

3．三个角都相等的三角形是等边三角形。

4．有一个角是的等腰三角形是等边三角形。

自主展示1. 下列能断定△ABC为等腰三角形的是A.∠A=30°，∠B=60°B.AB=AC=2，BC=4C.∠A=50°，∠B=80°D.AB=3.BC=7，周长为132. 在△ABC中，∠A=80°，当∠B=________时，△ABC是等腰三角形．3. 如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD=________cm．4. 如图，已知△ABC中，AC+BC=16，AO、BO分别是∠CAB.∠ABC的角平分线．MN 经过点O，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为________．1.如图，在△ABC中，AM=CM，AD=CD，DM∥BC，判断△CMB的形状，并说明理由．拓展延伸通过本节课的学习，你有什么收获？还有那些疑惑？情感升华参考答案自主展示1. C2. 80°、50°、20°3. 34. 16拓展延伸1. 解：在△AMC中，因为AM=CM，AD=CD，（已知），所以∠AMD=∠CMD（等腰三角形三线合一），因为DM∥BC（已知），所以∠AMD=∠B（两直线平行，同位角相等），∠CMD=∠MCB（两直线平行，内错角角相等），所以∠B=∠MCB（等量代换），所以MC=MB（等角对等边），即△CMB是等腰三角形．。

2.5等腰三角形的轴对称性学案 2021—2022学年苏科版八年级数学上册

2.5等腰三角形的轴对称性学案1. 学习目标•理解等腰三角形的定义和性质；•掌握等腰三角形的判定方法；•理解等腰三角形的轴对称性质；•能够应用等腰三角形的轴对称性质解决相关问题。

2. 知识回顾在前面的学习中，我们已经学习了三角形的定义和性质，以及一些基本的判定方法。

在本节课中，我们将深入学习等腰三角形的特点和轴对称性。

2.1 等腰三角形的定义和性质回顾等腰三角形是指两条边相等的三角形。

根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下性质： - 等腰三角形的底角（两边不等长的角）相等； - 等腰三角形的顶角（两边等长的角）相等； - 等腰三角形的底边（两边不等长的边）相等； - 等腰三角形的顶点到底边的距离相等。

2.2 判断一个三角形是否为等腰三角形要判断一个三角形是否为等腰三角形，可以根据以下方法进行判定： - 如果三角形的两边相等，则为等腰三角形； - 如果三角形的两个角相等，则为等腰三角形。

3. 等腰三角形的轴对称性等腰三角形还具有一个重要的性质，即轴对称性。

所谓轴对称，是指存在一个轴，使得图形在对称轴两侧是完全相同的。

对于等腰三角形来说，它的对称轴就是其底边的中垂线。

3.1 等腰三角形的轴对称性质•等腰三角形关于底边的中垂线是轴对称轴；•等腰三角形的底边上的任意一点关于底边的中垂线的对称点也在等腰三角形上；•等腰三角形的顶角可以通过对称轴旋转180度得到。

3.2 应用轴对称性解决问题等腰三角形的轴对称性质在解决问题时非常有用。

通过利用等腰三角形的对称性，我们可以简化问题，提高解题效率。

下面通过几个例子来说明应用轴对称性解决问题的方法。

例子1已知等腰三角形ABC，且AD是底边BC上的中线，求证：∠BAD=∠CAD。

解法：根据等腰三角形的轴对称性质，我们知道点D关于底边BC的中垂线的对称点也在等腰三角形ABC上，即点D’在三角形ABC上。

因此，在∠BAD和∠CAD分别与∠BAD’和∠CAD’重合，所以∠BAD=∠CAD。

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1
等腰三角形的轴对称性(1)
预习目标
1．知道等腰三角形的轴对称性及相关性质．
2．能解决与等腰三角形的轴对称性有关的问题．
教材导读
阅读教材P60～P61内容，回答下列问题：
1．等腰三角形的轴对称性
等腰三角形_______（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴是
2．等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两底角_______（简称“等边对等角”）．
用几何语言表述：如图①，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

(2)等腰三角形_______、_______及_______重合（简称“三线合一”）．
用几何语言表述：如图②，
①∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴_______⊥_______，_______＝_______．
②∵AB＝AC，BD＝CD，∴_______⊥_______，∠_______＝∠_______．
③∵AB＝AC，AD⊥BC，∴_______＝_______，∠_______＝∠_______．
例题精讲
例1 (1)等腰三角形一边长为5，另一边长为9，其周长为_______．
(2)等腰三角形一边长为6 cm，另一边长为3 cm，其周长为_______cm．
(3)等腰三角形有一个内角为30°，其底角的度数为_______．
(4)等腰三角形有一个内角为100°，其底角的度数为_______．
(5)等腰三角形两内角的度数比为1：4，其底角的度数为_______．
(6)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，其底角的度数为_______．
提示：解关于等腰三角形的计算题时，要学会分类讨论：一条边可能是腰，也可能是
底边；一个角可能是顶角，也可能是底角；腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，
解答：(1)19或23． (2)15． (3)30°或75°． (4) 40°． (5) 30°或80°． (6) 10°或
80°．
点评：若等腰三角形有一个角是钝角，则这个角必定是顶角，在考虑多解时，有关边的计算还要验证
是否符合“三角形两边之和大于第三边”．题目中出现比例时，通常用设未知数的方法解答，如第(5)题，
设三个内角的度数分别为x°、x°、4x°或x°、4x°、4x°．当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高
在三角形内；当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形外．

例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，∠BAD＝20°，
那么∠C＝_______．
提示：本题可以先利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD⊥BC和
∠BAD＝∠CAD，然后在Rt△ADC中求出∠C的度数；也可以在得到AD⊥BC
后，在Rt△ADB中求出∠B的度数，再由“等边对等角”，得到∠C＝∠B，从
而求得∠C的度数．
解答：70°．
2

点评：本题考查等腰三角形的性质，运用“三线合一”是快速解答本题的关键．在学习了“三线合一”
后，要直接运用该性质解题，避免出现先利用三角形全等证出“三线合一”，再用它来解题的情况．

热身练习
1．等腰直角三角形的一个底角的度数为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．若等腰三角形的一个外角的度数为70°，则其底角的度数为_______；若等腰三角形的一个外角的度数
为110°，则其底角的度数为_______．
3．在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，若∠A是顶角，则∠B＝_______；若∠B是顶角，则∠B＝_______；
若∠C是顶角，则∠B＝_______．
4．如图，∠O＝35°，CD为OA的垂直平分线，则∠ACB＝_______．

5．在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，∠A＝36°，则∠BDC＝_______．
6．如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE＝70°，则∠CAD＝_______．
7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，求∠B的度数．
3

参考答案
1．B 2．35° 55°或70° 3．50° 20° 80° 4．70° 5．72°6．70°7．70°或20°