辅助函数的构造及应用
【最新精选】辅助函数法的构造及应用
浅析辅助函数的构造及应用陈小亘(湛江师范学院信息科学与技术学院 广东 湛江524048)摘要：本文阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原则，并介绍几种较为典型的构造辅助函数的方法应用.关键词：辅助函数；原函数法；参数变易法；常数k 值法中图分类号：O13;O17;O172;O174;O174.4 文献标识码： A1 引言辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧.如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手.2 辅助函数的基本特点及构造原则所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结.辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键.如何构造辅助函数？事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则.这是因为辅助函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助函数的第一原则是：将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成. 其次，将复杂化为简单.一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形,由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的.再次，利用几何特征.在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造，然后加以证明.本文给出几种常用构造辅助函数的方法应用. 3 几种构造辅助函数的方法应用3.1 原函数法 (亦称积分法或逆推法)原函数法是指从所要证明的结论出发,如欲证0)(='ξF ，则可通过倒推，分析了原函数)(x F 的形式，从而构造出辅助函数的方法.这一方法适用于“证明至少存在一点ξ，使得 关于ξ及其函数的代数式成立”这类命题的证明.构造辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；第三步：用观察法或积分法求出原函数，为方便积分常数常常取为零；第四步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F .例3.1 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()()()(====b g a g b f a f ，0)(≠x g ,0)(≠''x g ，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 分析：令x =ξ，则)()()()(ξξξξg f g f ''''=⇒)()()()(x g x f x g x f ''''= ⇒)()()()(x f x g x g x f ''=''⇒dt t g t f dt t g t f xx o ⎰⎰''=''0)()()()(⇒dt t g t f x g x f dt t g t f x g x f xx o ⎰⎰''-'=''-'0)()()()()()()()( ⇒)()()()(x g x f x g x f '='⇒0)()()()(='-'x g x f x g x f .证明：令x =ξ，=)(x F )()()()(x g x f x g x f '-'，依条件，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b F a F ，由罗尔中值定理可知，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξF ，即 0)()()()(='-'ξξξξg f g f . 由于0)(≠ξg ,0)(≠''ξg ，故)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导，且0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--.3.2 参数变易法参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量x ,从而构造出相应的辅助函数的方法. 命题的证明思路：第一步：将命题中的某一参数(a 或b )换成x ；第二步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F ；第三步：根据有关定理完成命题的证明.例3.2 设)(),(t g t f 是在],[b a 上连续增加函数，0,>b a ，证明：⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()( 证明：把上式中的b 换成x ，移项，然后作辅助函数 ⎰⎰⎰--=x ax a xa dt t g t f a x dt t g dt t f x F )()()()()()(. 由于)()()()()()()()()()(x g x f a x dt t g t f dt t f x g dt t g x f x F x a x a x a ---+='⎰⎰⎰ ))()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰--+=xa x a x ax a dt x g x f dt t g t f dt t f x g dt t g x f ⎰---=xa dt t g x g t f x f )]()()][()([. 又)(),(t g t f 均为连续增加函数，因此，0)(<'x F ，)(x F 为减少函数.0)()(=≤a Fb F . 即0)()()()()(≤--⎰⎰⎰ba b a ba dt t g t f ab dt t g dt t f . 所以⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()(. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果)(x f 是在],[b a 上连续函数，且0)(>x f ，则2)()(1)(a b dx x f dx x f b a b a -≥⎰⎰. 3.3 泰勒公式法泰勒公式法是指利用泰勒公式来构造辅助函数的方法. 这一方法适用于“含有被积函数)(x f 有二阶或二阶以上连续导数”这类命题的证明.命题的证明思路：第一步：令辅助函数⎰=xa dt t f x F )()(；第二步：将)(x F 在所需点处进行泰勒展开；第三步：对泰勒余项作适当处理(可考虑用介值定理).例 3.3设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得⎰ba dx x f )(=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ) 证明：令⎰=xa dt t f x F )()(，则有0)(=a F ，)()(x f x F ='，)()(x f x F '=''，)()(x f x F ''='''，)(x F 在0x 2b a +=处的二阶泰勒公式为 2)2)(2(!21)2)(2()2()(b a x b a F b a x b a F b a F x F +-+''++-+'++=+3)2)((!31b a x F +-'''ξ F =)2(b a ++f )2(b a +-x (2b a +）f '+!21)2(b a +-x (2b a +2)+)(!31ξf ''-x (2b a +3) 其中ξ在x 与2b a +之间. 分别将b x =，a x =代入上式，并相减，则得 2)()()(241)2()()()(213ξξf f a b b a f a b a F b F +''-++-=-， 其中1ξ，2ξ分别在2b a +与b ，a 与2b a +之间. 不妨设)()(21ξξf f ''≤''，则2)()()(211ξξξf f f ''+''≤'')(2ξf ''≤，考虑到)(x f ''的连续性及介值定理，可知在1ξ，2ξ之间至少存在一个),(b a ∈ξ使2)()()(21ξξξf f f ''+''=''. 故 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ). 3.4常数k 值法在要证明的命题中，把常数分离，然后用以下步骤求辅助函数：第一步：将常数部分记作k ；第二步：恒等变形,使等式一端为a 的代数式，另一端为b 的代数式；第三步：分析关于端点的表达式是否为对称式，若果是，只要把端点a 改成x ，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.这样的方法就是常数k 值法.例3.4 设)(x f ''在],[b a 上存在，b c a <<，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)(21))(()())(()())(()(ξf b c a c c f c b a b b f c a b a a f ''=--+--+--. 分析：令k b c a c c f c b a b b f c a b a a f =--+--+--))(()())(()())(()(. ⇒))()(()()()()()()(c b c a b a k c f b a b f a c a f c b ---=-+-+-，这是关于端点c b a ,,的轮换对称式，令x b =(可以令x a =或x c =)，于是))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=.证明：令))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=,则)(x F 在],[],,[b c c a 上满足罗尔定理，于是分别存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ使得0)()(21='='ξξF F ，又))(())(()()()()()(c a x a k c x c a k x f a c c f a f x F -----+'-+-='.)(2)()()(c a k x f a c x F -+''-=''. 由罗尔中值定理，至少存在),(),(21b a ⊂∈ξξξ，使得0)(=''ξF ，即0)(2)()(=-+''-c a k f a c ξ. 从而)(21ξf k ''=. 命题得证. 3.5 微分方程法微分方程法是指通过求一个常微分方程的通解而构造辅助函数的方法.构造出辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：移项使等式一边为零，得一个常微分方程；第三步：求得常微分方程的通解，在通解中的常数令为零可得辅助函数.例3.5 设函数)(x f 在]1,0[上可导，且满足关系 )1()(2210f dx x xf ⎰=. 证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 0)()(=+'ξξξf f .分析：令x =ξ，0)()(=+'ξξξf f ⇒0)()(=+'x x f x f ⇒xx f x f 1)()(-='，积分得c x x f ln ln )(ln +-=⇒xc x f =)(⇒c x xf =)(. (令0=c ). 令)()(x xf x F =. 证明：由条件知)()(x xf x F =在]1,0[上连续，在)1,0(可导. 于是由积分中值定理，至少存在一点),0(21∈η，使得 )()(2)(2)1(210210ηηηηf dx f dx x xf f ⎰⎰===.可见)()()1()1(ηηηf F f F ===. 对)()(x xf x F =，由罗尔中值定理，至少存在一点)1,(ηξ∈，使得0)(=ξF ，即0)()(='+ξξξf f . 也就是0)()(=+'ξξξf f .总之，构造辅助函数有许多方法(见[1],[2],[3],[4],[5],[6]). 对于不同的命题，我们必须根据实际情况灵活地选择不同的构造辅助函数的方法. 有时，对于一个命题，可以同时利用不同的方法来完成命题的证明.这就要求我们在教与学的过程中不断去探索新的方法.参考文献:[1 ] 同济大学. 高等数学(第五版) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2 ] 刘玉琏,付沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3 ] 龚冬保. 高等数学典型题解法、技巧、注释[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 2000.[4 ] 陈文灯. 考研数复习指南[M] . 北京: 世界图书出版公司,2009.[5 ] 李君士. 两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[ J ]. 数学的实践与认识, 2004, 34 (10) : 165 - 169.[6 ] 郭乔. 如何作辅助函数解题[J ]. 高等数学研究, 2002, 3 (5) , 48- 49.A Brief of the Construct Method and Its Application for Auxiliary FunctionChen Xiaogen(School of Information Science and Technology , Zhanjiang Normal College Zhanjiang Guangdong 524048) Abstract: This paper elaborate the basic characteristic of the auxiliary function and the principle of coustructing the auxiliary function, meanwhile, introduce the several typical applications of methods for coustructing the auxiliary function.Key words: Auxiliary function; Primary function mothod; the method of variation of parameters; Constant -k- value methnod附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。
构造辅助函数证明微分中值定理及应用
构造辅助函数证明微分中值定理及应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一、它指出，如果函数在一些区间内连续，并且在该区间内可导的话，那么在该区间内至少存在一个点，对应的函数的导数等于函数在该区间的两个端点的函数值之差除以它们的自变量的差值。
为了证明微分中值定理，我们需要构造一个辅助函数来分析。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且可导。
我们构造一个辅助函数g(x) = f(x) - kx，其中k是待定的常数。
辅助函数g(x)在区间[a,b]上也是连续可导的。
现在我们来分析这个辅助函数g(x)。
首先，考虑端点a和b处的函数值。
根据辅助函数的定义，g(a) = f(a) - ka，g(b) = f(b) - kb。
如果我们选择k = (f(b) - f(a))/(b - a)，那么g(a) = 0，g(b) = 0。
也就是说，我们可以通过选择适当的k，使得辅助函数在区间[a,b]的两个端点处函数值为0。
接下来，我们考虑辅助函数的导数。
根据辅助函数的定义，g'(x)=f'(x)-k。
由于f(x)在区间[a,b]上可导，所以f'(x)也在该区间上连续。
因此，辅助函数g'(x)是一个连续函数。
同时，根据导数的定义，我们有g'(a)=f'(a)-k，g'(b)=f'(b)-k。
根据连续函数的介值性质，如果函数g'(x)在区间[a,b]内取到了正值和负值，那么一定存在一些点c，使得g'(c)=0。
根据导数的定义，这意味着f'(c)-k=0，即f'(c)=k。
现在我们回顾一下辅助函数的定义，g(x) = f(x) - kx。
如果f'(c) = k，那么g(x)在点x = c处的导数为0，也就是说g(x)在点x = c处取到了极值。
由于g(a) = 0，g(b) = 0，根据罗尔定理，我们知道在两个端点处对应的两个函数值相等，因此至少存在一个点d，使得g'(d) = 0。
罗尔定理中辅助函数的构造与应用
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罗尔定理中辅助函数的构造与应用
作者：郭欣红
来源：《消费导刊·理论版》2008年第14期
[摘要]构造辅助函数是解决罗尔定理问题的一种重要方法，本文介绍了几种巧妙构造辅助函数的有效方法。
[关键词]罗尔定理辅助函数
微分中值定理中的罗尔定理是高等数学中的一个重要内容，因为它的应用非常广泛，而构造辅助函数是解决罗尔定理问题的最主要的方法。
若辅助函数构造得合理巧妙,满足定理的三
个条件，则问题很快就能迎刃而解。
本文将主要讨论几种构造辅助函数的常用方法。
一、归纳法构造辅助函数
参考文献
[1] 汪诚义. 高等数学与微积分[M]. 群言出版社
[2] 微积分辅导.[M].华中科技大学高等数学教研室.华中科技大学出版社
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
辅助函数的构造
F (a) F (b)
即 F ( x ) 满足罗尔定理，
于是，至少 一个 (a , b) ，使得 F ( ) 0
f (b) f (a ) 1 f ( ) 0 即 ， ln b ln a
ab 0
b 亦即 f (b ) f (a ) f ( ) ln a
一般来说，命题中涉及闭区间上连续函数， 但不涉
及可导，会考虑利用介值定理或零点定理. 如果证明中
缺少区间端点的函数值的性质， 要考虑利用最值定理后,
再利用介值定理.
例 1.设 f (x) 在 [a, b]上连续，xi [a, b]，ti 0 (i 1, 2, , n) ，
t 且
i 1
则 F ( x ) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
f (b ) f (a ) 又 F ( a ) f ( a ) ln b ln a ln a
ln b f (a ) ln a f (a ) ln a f (b) ln a f (a ) ln b ln a
例 5： （P146 习题 3.1 第 7 题） 设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续， 在 (a, b) 内可导， a b 0 ，证明：在 ( a , b ) 内至少存在一个
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k， 【分析】令 ba
显然，这是一个对称式( a 与 b 互换等式不变)
故作辅助函数 F ( x ) xf ( x ) kx xf ( x )
bf (b ) a f (a ) x， 【证明 1】 令 F ( x ) xf ( x ) ba
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用
辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用以辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它建立了函数在某个区间内的导数与函数在该区间内的平均变化率之间的关系。
本文将介绍微分中值定理的证明方法以及其应用。
我们将利用辅助函数构造法来证明微分中值定理。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，并且f(a)≠f(b)，我们定义辅助函数g(x) = f(x) - [f(b) - f(a)]/(b-a)*(x-a)，其中[f(b) - f(a)]/(b-a)表示函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率。
辅助函数g(x)满足以下条件：1. g(x)在区间[a,b]上连续；2. g(a) = f(a) - [f(b) - f(a)] = f(b)；3. g(b) = f(b) - [f(b) - f(a)] = f(a)；根据介值定理，对于任意的y∈[f(a), f(b)]，存在c∈[a,b]，使得g(c) = y。
由于g(a) = f(b) > y，g(b) = f(a) < y，所以根据连续函数的介值定理，必然存在c∈(a,b)，使得g(c) = y。
由于g(x)是连续函数且可导，根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得g'(ξ) = 0。
由于g'(x) = f'(x) - [f(b) - f(a)]/(b-a)，所以f'(ξ) = [f(b) - f(a)]/(b-a)。
这样，我们就证明了微分中值定理：对于函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ) = [f(b) - f(a)]/(b-a)。
微分中值定理的证明通过构造辅助函数g(x)并利用介值定理和罗尔定理，建立了函数的导数与平均变化率之间的关系。
接下来，我们将介绍微分中值定理的应用。
微分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，下面我们将介绍其中的两个应用场景。
拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用
分类号编号本科生毕业论文（设计）题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用作者姓名常正军专业数学与应用数学学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2研究类型数学应用方向指导教师李明图提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5论文原创性声明本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
论文作者签名：年月日摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。
关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。
罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。
关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example.Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application目录1 定理的叙述 (1)1.1罗尔(Rolle)中值定理 (1)1.2拉格朗日(Larange)中值定理 (1)2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法 (1)2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数 (1)2.2用行列式构造辅助函数 (2)2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理 (3)2.4借助待定系数法构造辅助函数 (4)2.5借助定积分构造辅助函数 (5)2.6借助不定积分构造辅助函数 (5)2.7借助坐标轴旋转变换构建辅助函数 (6)3 拉格朗日中值定理的应用 (8)3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用 (8)3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (9)错误！未定义书签。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧构造辅助函数是应用微分中值定理的一种常用技巧，通过构造合适的辅助函数，可以简化定理的证明过程，使得结论更容易得到。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的技巧。
1.构造差商辅助函数：差商是在微积分中常用的一个概念，表示函数在一点附近的平均变化率。
通过构造差商辅助函数，可以将函数的变化率转化成差商的形式，从而应用差商的性质进行分析和证明。
具体来说，如果要证明一个函数在一些区间上的平均变化率等于两个点之间的差商，可以构造一个辅助函数，使得辅助函数的导数等于差商，从而可以利用微分中值定理得到所需的结果。
2.构造导函数辅助函数：导函数是函数在一点处的斜率，表示函数的变化速率。
通过构造导函数辅助函数，可以转化函数在区间上的斜率问题为导函数在特定点上的函数值问题。
具体来说，可以通过构造辅助函数的导函数等于原函数的导函数，再利用微分中值定理得到结论。
3.构造积分辅助函数：积分是函数的反导数，表示函数在一点处与坐标轴之间的面积。
通过构造积分辅助函数，可以将函数的积分转化为函数在区间上的平均值。
具体来说，可以通过构造辅助函数的积分等于原函数的积分，再利用微分中值定理得到所需的结论。
4.构造复合函数辅助函数：复合函数是两个或多个函数通过函数运算得到的新函数。
通过构造复合函数辅助函数，可以将定理的证明转化为复合函数的导数的证明。
具体来说，可以通过构造复合函数辅助函数使得辅助函数的导数等于复合函数的导数，再利用微分中值定理得到结论。
总之，构造辅助函数是证明微分中值定理的一种常见技巧，可以简化证明过程，使得结论更容易得到。
不同的辅助函数类型适用于不同的证明问题，具体的构造方法需要根据具体的问题进行选择。
在构造辅助函数时，需要充分发挥函数的性质和微积分的基本概念，灵活运用各种技巧，才能得到令人满意的结果。
数学分析中辅助函数的构造及其作用
数学分析中辅助函数的构造及其作用作者：杨云苏来源：《课程教育研究·中》2013年第10期【摘要】本文主要论述了在数学分析中如何构造辅助函数及辅助函数在数学分析中的应用，从而有助于提高学生分析问题与解决问题的能力。
【关键词】辅助函数构造应用【基金项目】江西省教育厅（JXJG-12-15-11）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0158-02在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析，综合运用数学基本概念和原理，经过深入的思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造函数法。
构造函数的方法内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想。
使用构造函数法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了。
1.数学分析中如何构造辅助函数1.1 辅助函数的基本特点a.辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。
b.同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题（不唯一）。
c.表面上看构造辅助函数的思路较宽广（因为不止一个），实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易（可比较性），因此，构造最恰当的辅助函数是解题的关键。
1.2 构造辅助函数的基本方法1.2.1 联想分析要构造一个与所学结果有关的辅助函数，而后再运用已知条件及有关概念，推理得出所要证明的结果，通常是先从一个愿望出发，联想起某种曾经用过的方法、手段、而后借助于这些方法、手段去接近目标，或者再从这些方法和手段出发又去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直至达到我们能力所及的起点或把问题归结到一个明显成立的结论为止，因此，联想是我们构造辅助函数的关键。
高等数学辅助函数的构造方法及应用
高等数学辅助函数的构造方法及应用1.极限函数构造方法：极限函数是研究极限存在性、计算极限值的重要辅助工具。
在构造极限函数时，可以利用基本初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数等）的性质和运算法则，通过运算、组合或分解等方法得到所需的函数。
应用：a.利用极限函数构造方法可以证明柯西收敛准则、介值定理等数学定理。
b.在计算极限的过程中，可以应用极限函数构造方法将原式转化为更容易计算的形式。
2.反函数构造方法：反函数是研究函数的性质、解方程、求极值等问题时经常用到的工具。
在构造反函数时，需要保证原函数为一一映射（即可逆），并通过交换自变量和因变量的位置得到反函数。
应用：a.反函数构造方法可以应用于解方程，通过求解反函数可以得到原方程的解。
b.在求函数的导数时，可以应用反函数构造方法将原函数转化为反函数的形式，从而简化计算。
3.特殊函数构造方法：特殊函数是高等数学中具有特定性质和重要应用的函数，包括阶乘函数、伽马函数、贝塞尔函数等。
这些函数在构造时需要考虑其特定的性质和定义条件。
应用：a.特殊函数构造方法可以应用于求解微分方程、积分等问题，通过引入特殊函数可以简化问题的求解过程。
b.特殊函数的性质和应用广泛，可以用于研究数学、物理、工程等各个领域的问题。
4.递推函数构造方法：递推函数是指通过前一项和已知条件来递推出后一项的函数。
在构造递推函数时，需要给出递推公式和初始条件，并通过递推关系得到所需的函数。
应用：a.递推函数构造方法可以应用于解决递推关系式、数列求和等问题，通过递推公式可以快速计算出数列的项或求和结果。
b.在组合数学中，递推函数构造方法常用于证明组合恒等式、计算组合数等问题。
总之，高等数学辅助函数的构造方法多种多样，根据问题的具体要求和性质选择适当的构造方法非常重要。
这些函数的应用广泛，涉及数学、物理、工程等各个领域，对于问题的分析和求解都起到了重要的作用。
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摘要辅助函数作为一种重要的函数对我们深入研究问题有着至关重要的作用.辅助函数的构造是通过巧妙的数学变换,将一般问题转化为特殊问题,将复杂问题转化为简单问题,这种论证思想是数学中重要而常用的数学思维集中体现,在解决各种实际问题中应用非常广泛.然而如何构造辅助函数是解题中的一个难点,因此我们要充分掌握辅助函数的构造方法,并能熟练运用辅助函数来解题.本论文首先介绍辅助函数的特点及构造原则；其次,总结出构造辅助函数的方法,在每种方法后配有相应的例题,这样能够帮助大家更好的理解辅助函数在解题中的应用.关键词：辅助函数,构造方法,应用The Structure and Application of Auxiliary Function Abstract：Auxiliary function as an important function for our further research issues has a vital role.The structure of the auxiliary function is a mathematical transformation, which can transform the general problems into special questions, the complex problems into simple problems. This thought is an important and commonly used in the mathematical argument concentrated expression of mathematical thinking, in solving various practical problems in the application is very broad. However, how to construct auxiliary function is a difficulty of the problem solving, so we should fully grasp the structure method of auxiliary function, and skillfully use the auxiliary function to problem solving. This paper first introduces the characteristics of the auxiliary function and principle of structure; second, summarizes the structure method of auxiliary function, after each method is equipped with the corresponding examples, which can help people better understand the application of the auxiliary function in problem solving.Keywords: Auxiliary Function, Construction method , Application目录一、引言 (1)二、辅助函数的特点及构造 (1)三、辅助函数的构造及应用 (2)（一）微分方程法 (2)（二）积分构造法 (3)（三）观察联想法 (3)（四）参数变易法 (4)（五）常数K值法 (5)（六）综合分析法 (7)（七）待定因子法 (7)（八）行列式法 (8)（九）变量替换法 (9)（十）积分定义法 (10)（十一）零点构造法 (10)（十二）函数连续法 (11)四、结束语 (12)五、致谢....................................... 错误!未定义书签。
六、参考文献 (13)一、引言辅助函数在数学分析和高等数学及一些其它学科中的应用都非常广泛.辅助函数构造法不仅是数学证明中广泛使用的一种很有用的方法,而且是数学解题中构造的辅助问题的一种.辅助函数是依据数学问题的题设及其它一些相关信息而构造成的函数,再利用这个函数所满足的条件进行求解.构造辅助函数是将原来的数学问题转化为比较容易解决的辅助函数问题.这就要求我们不仅要掌握数学知识基础,更要全面把握数学问题所提供的信息,即问题本身的特点、背景以及与其它问题之间的关系,运用基本的数学思想,经过认真、仔细的观察,深入的思考,才能构造出符合问题条件的辅助函数.这一构造过程是一个从特殊到一般的过程,而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程.构造辅助函数是一种创造性的思维过程,具有较大的灵活性,需要技巧.二、辅助函数的特点及构造构造法,是按一定方式,经过有限次步骤能够实现的方法,在解题时常表现的是不对问题本身求解,而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.辅助函数具有两个显著的特点:直观性和可行性.辅助函数还有许多基本特点.首先,辅助函数在题设中没有,在结论中也没有,仅是解题中间过程中构造出来的,类似于平面几何中的辅助线,起辅助解题的作用;其次,同一个命题可构造多个辅助函数;再次,构造辅助函数的思想较宽广.辅助函数的这些特点决定其在解题中的重要性,由于不同的辅助函数直接关系到解题的难易,因此构造最恰当的辅助函数是关键.那么如何构造最恰当的辅助函数呢?事实上,我们在构造辅助函数时,必须遵循一定的原则.因为辅助函数的构造具有一定的规律,当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难解决时,可根据已知条件和结论的特点、性质展开联想,进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助函数的原则:首先,将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个恰当的函数,从而将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成;其次,将复杂化为简单.一些命题较为复杂,直接构造辅助函数往往较困难,这时可以通过恒等变形,把复杂的式子转化为简单明了的等式,从中寻找恰当的辅助函数,以达到解决问题的目的;再次,利用几何特征.在许多教科书中,微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析,探索辅助函数的构造,然后加以证明.接下来介绍几种构造辅助函数的方法.三、辅助函数的构造及应用（一）微分方程法微分方程法是指通过求一个常微分方程的通解而构造辅助函数的方法.构造出辅助函数的步骤:第1步:将命题中的ξ换成x ;第2步:移项,使等式一边为零,得一个常微分方程;第3步:求得常微分方程的通解,在通解中的常数令为零可得辅助函数. 例1.设函数()f x 在[]0,1上可导,且满足关系()1202()1xf x dx f =⎰.证明：至少存在一点()0,1ξ∈,使得 '()()0f f ξξξ+=. 分析：令x ξ=, 则'()()0f f ξξξ+='()f x ⇒+()f x x =0'()()f x f x ⇒=-1x . 积分得ln ()f x =-ln x +ln c ()f x ⇒=c x⇒()xf x c =,（令0c =）. 于是辅助函数为:()()F x xf x =. 证明：构造辅助函数()()F x xf x =,由条件知()()F x xf x =在[]0,1上连续,在()0,1内可导.根据积分中值定理知,至少存在一点()0,1η∈,使得(1)f =()122xf x dx ⎰=()f ηη. 又可知(1)F =(1)f =()F η=()f ηη,所以对于()F x =()xf x ,由罗尔中值定理,至少存在一点(),1ξη∈,使得'()F ξ=0,即()f ξ+'()f ξξ=0,进一步化简就是'()f ξ+()f ξξ=0.（二）积分构造法在应用微分中值定理时,结论常会出现与'()f ξ 或者''()f ξ等有关的等式.我们将所要证明问题的结论中的ξ换成x 后,移项使等式右端为0,经过适当恒等变形,通常等式左端即为所要构造函数()F x 的导函数'()F x .在很多情况下,我们对等式左端进行表达式积分就可以将函数()F x 还原出来.然后利用()F x 就能构造出适当的辅助函数.我们再验证辅助函数是否满足微分中值定理的条件,若条件满足就可应用中值定理证明.这就是积分构造法.例2.设[]0,1f D ∈,()x ϕ=20()x t f t dt ⎰,且(1)ϕ=(1)f .证明：在()0,1内至少存在一点ξ,使得'()f ξ=-2()f ξξ.分析:将欲证等式中的ξ换成x ,然后对该等式变形得'()xf x +2()f x =0,两边同时乘以x 可得一簇函数()F x .并令积分常数0C =,即()F x =2()x f x . 证明：构造辅助函数()F x =2()x f x ,由已知可知()F x 在[]0,1上连续,在()0,1内可导,且利用积分中值定理,(1)F =(1)f =(1)ϕ=211()f ξξ (101ξ≤≤),又1()F ξ=211()f ξξ,故()F x 在[][]1,10,1ξ⊂上满足罗尔定理条件,所以在[]()1,10,1ξ⊂内至少有一点ξ,使得:'()F ξ=()'2x x f x ξ=⎡⎤⎣⎦=2()f ξξ+2'()f ξξ=0,即: '()f ξ=-2()f ξξ. （三）观察联想法在学习完导数的四则运算法则和复合函数的微分法后,做了一定量的习题,有了一定程度的积累后,对于一些常见函数的导数公式,我们就会很熟悉.下面我们列出一些常见的函数导数公式:（1）()'1'()()()k k k x f x kx f x x f x -=+,（2）''2()()()()f x f x x f x x x-=, （3）'''2()()()()()()()()f x f xg x f x g x g x g x -=, （4）''()()()x x e f x e f x f x λλλ--⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦,（5）''()()()x x e f x e f x f x λλλ-⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦, 当我们通过积分构造法和微分构造法不易构造出辅助函数()F x 时,我们可以观察所要证明等式的结论形式,看它是否与我们常见的函数导数公式相似或相同.当两者相似或相同时,我们可以立即联想到导数公式左端括号内的函数就是我们所要构造的辅助函数()F x .这就是观察联想法.例 3.已知函数()f x 在(),-∞+∞内满足关系式: '()()f x f x =,且(0)1f =;求()f x .分析:此题由'()()f x f x =,(0)1f =,很容易想到有可能()x f x e =,而''()()()x x e f x e f x f x λλλ--⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦,当1λ=时,''()()()xx e f x e f x f x --⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦,由于'()()f x f x =,所以有''()()()0x x e f x e f x f x --⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦,故作辅助函数x e x f x F -=)()(,则'()0F x =,再根据条件证明()1F x =即可.解:作辅助函数x e x f x F -=)()(,则''()()()x x F x f x e f x e --=-,'()()f x f x =,∴'()0F x =,即()F x C =,令0x =,得()0(0)01F f e C ===,∴()()1x F x f x e -==,从而有()x f x e =.（四）参数变易法参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量x ,从而构造出相应的辅助函数的方法.命题的证明思路:第1步:将命题中的某一参数(a 或b )换成x ;第2步:移项,使等式一边为零,则另一边即是所求辅助函数()F x ; 第3步:根据有关定理完成命题的证明.例4.设()f t ,()g t 是在[],a b 上连续增加函数,,0.a b >证明：()()()()()b b ba a a f t dt g t dtb a f t g t dt ≤-⎰⎰⎰. 证明：把上式中的b 换成x ,移项.然后作辅助函数()()()()()()x x xa a a F x f t dt g t dt x a f t g t dt =--⎰⎰⎰. 由于()()()()()'x x a a F x f x g t dt g x f t dt =+⎰⎰()()()()()xa f t g t dt x a f x g x ---⎰()()()()x xa a f x g t dt g x f t dt =+⎰⎰ ()()()()x x a a f t g t dt f x g x dt --⎰⎰ ()()()().x a f x f t g x g t dt =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 又()f t ,()g t 均为连续增加函数,因此()'0Fx ≤,()F x 为减少函数,()()0F b F a ≤=. 即 ()()()()()0b b ba a a f t dt g t dtb a f t g t dt --≤⎰⎰⎰. 所以()()()()()b b ba a a f t dt g t dtb a f t g t dt ≤-⎰⎰⎰. （五）常数K 值法此法适用于从结论中可分离出常数部分的命题,构造出辅助函数()F x 的具体步骤如下:(l)从结论中分离出常数部分,将它令为k ;(2)做恒等变换,使等式(或不等式)一端为a 及()f a 构成的代数式,另一端为b 和()f b 构成的代数式;(3)分析端点a ,b 的表达式是否为对称式或轮换式.若是,将端点改为x ,相应的函数值()f a (或()f b )改为()f x ,则关于x ,()f x 的表达式即为所求的辅助函数()F x .例5.设0b a >>,()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导.证明:(),a b ξ∃∈,使得 []()2'()()()()af b bf a ab b a f f ξξξξ⎡⎤-=--⎣⎦.分析 : 分离a ,b 与ξ,则[]()2'()()()()af b bf a ab b a f f ξξξξ⎡⎤-=--⎣⎦ ⇔()()()af b bf a ab b a --='2()()f f ξξξξ-. 则上式的左端是关于a ,b 的对称式,令其为k ,得()()()af b bf a kab b a -=-⇒22()()af b kab bf a ka b -=- ⇒22()()f b kb f a ka b a--=. 于是,可令()F x =2()f x kx x -=()f x kx x -. 证明:引入辅助函数()()f x F x kx x=-, 由题设知,()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导, 且[]()2'()()()()af b bf a ab b a f f ξξξξ⎡⎤-=--⎣⎦ ⇔()()()af b bf a ab b a --='2()()f f ξξξξ-. 令()()()af b bf a k ab b a -=-,则有22()()f a ka f b kb a b--=,即()()F a F b =, 所以由罗尔定理知,(),a b ξ∃∈,使'()0F ξ=,''2()()()0f f F k ξξξξξ-=-=, '2()()f f k ξξξξ-=,所以'2()()()()()af b bf a f f k ab b a ξξξξ--==-, 即 []()2'()()()()af b bf a ab b a f f ξξξξ⎡⎤-=--⎣⎦ .（六）综合分析法从欲证的结论出发借助于逻辑关系及已知与未知之间的内在联系,推导出所需要的结论.例6.设:b >a >e .试证:b a >a b .分析:所证形式为幂指数形式,而处理该类问题通常采用取对数转化为初等函数的形式.由于b >a >e ,若b a >a b ,即ln b a >ln a b ,即ln b a -ln a b >0.令()f x =ln x a -ln a x ,当x >a >e 时,知()f x 单调递增,则得证.利用辅助函数证明有关命题时,关键是认真分析,巧妙构造适当辅助函数,而恰当地辅助函数要根据命题的结论的具体形式及有联系的定理来构造.（七）待定因子法在一些问题中,有时难以用积分构造法直接构造出符合题设要求且满足中值定理条件的辅助函数.这时我们可以构造含有待定因子()P x 的辅助函数()F x ,然后根据其他已知条件求出待定因子()P x .这样就得到了符合要求的辅助函数()F x .这种方法叫做待定因子法.例7.设函数()f x 在[]0,1上二阶可导且(0)f =(1)f .求证:至少存在一点ξ∈()0,1,使得'''2()()1f f ξξξ=-. 分析: 这是导函数的零点问题,要用到罗尔定理.通过积分,注意到'''''(()(1)())2()(1)()f x x f x f x x f x +-=+-,很自然令()F x ='()(1)()f x x f x +-.但是得不到(0)F =(1)F ,无助于解决问题.紧接着我们考虑寻找()F x 的两个等值点或者重新构造一个()F x ,使'''2()(1)()f x x f x +-成为'()F x 的一个因子.依题意,令()F x =()P x '()f x ,则 '''''()()()()()F x P x f x P x f x =+='''(2()(1)())f x x f x λ+-()21dP P x dx x ⇒=-, 21dP dxP x =-, 得2ln ln(1)P x lnC =-+,所以2()(1)P x C x =-. 取1C =,有2'()(1)()F x x f x =-.证明 : 因为()f x 在[]0,1上可导,且(0)f =(1)f , 由罗尔定理知,存在()00,1x ∈,使'0()0f x =.令2'()(1)()F x x f x =-,则0(1)()0F F x ==,且()F x 在[]0,1上可导,由罗尔定理知存在ξ∈()0,1x ,使:''''()(1)(2()(1)())0F f f ξξξξξ=-+-=,又1ξ≠,从而: '''2()(1)())0f f ξξξ--=,即:'''2()()1f f ξξξ=-,ξ∈()0,1.（八）行列式法此法是通过平面三角形面积的坐标表达式,建立适当的行列式函数用作辅助函数.例8.设()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导.试证:存在(),a b ξ∈,使[]22'2()()()()f b f a b a f ξξ-=-. 分析:结论移项为: []22'2()()()()0f b f a b a f ξξ--+-=,即'2'22202()1()102+()=1()1()11()f f a af a f a f b bb f b ξξξξ-, 将上述行列式中ξ换为x ,并求出原函数()F x ,2221()()1()1()x f x F x a f a b f b =, 即为要找的辅助函数. 证明：作辅助函数2221()()1()1()x f x F x a f a b f b =, 易验证()()0F a F b ==,又()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导且[]''22()2()()()()F x x f b f a f x b a =--+-,由罗尔定理知,至少存在(),a b ξ∈,使'()0F ξ=,即[]22'2()()()()0f b f a b a f ξξ--+-=,亦即 []22'2()()()()f b f a b a f ξξ-=-.（九）变量替换法证明等式是数学分析的重要内容之一,根据等式特征引入辅助函数,将大大简化证明过程.例9.证明:()222211()0aa a dx a dxf x f x a x x x x ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭⎰⎰.分析:观看等式左右两边,发现等式左右两边函数f 的自变量x 和2x 同形,于是令“2t x =”,从而使左边化简为积分2211()2a a dtf t t t+⎰,再比较这个积分的上限2a 与右端积分的上限a 是两者唯一的区别,因此这又提示我们分此积分为两段,得2222211111()()()222a a a a a dt a dt a dtf t f t f t t t t t t t+=+++⎰⎰⎰, 再由这个积分与原证明等式比较,只需证明222111()()22a a a a dt a dtf t f t t t t t+=+⎰⎰, 再令“2a t u=”,则得22211()()a a a dt a dtf t f u t t u t+=+⎰⎰.证明: 令2x t =,则222221112aa a dx a dtf x f t x x t t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.又因为2222211111222a aa a a dt a dt a dtf t f t f t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰,于是再令2a t u =,即2a u t =,所以2212a a a dt f t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=2112aa du f u u u ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=2112aa dtf t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰.于是有,222222112212121121122()().aa aa a a aa dx a dtf x f t x x t t a dt a dt f t f t t t t t a dt f t t t a dx f x x x⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（十）积分定义法例10.求111lim .12n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦ 分析:此题求数列的极限,如果直接用数列极限的有关方法来求解比较麻烦,但如果我们利用辅助函数并根据定积分的定义就可以较容易地解决问题.解:11112n n n n ++++++=1111ni i nn=⋅+∑, 又()f x =11x+在[0,1]上连续,从而可积, ∴111lim 12n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦=111lim 1nn i i n n→∞=⋅+∑=1011dx x +⎰=ln 2.（十一）零点构造法解方程()f x =0,实质上就是求函数()f x 的零点.关于函数零点的问题一般是利用连续函数的性质及微分中值定理来解决.例11.已知()f x 在[0,1]上非负连续,且(0)(1)0f f ==.求:对任意实数(01)a a <<,必存在[]00,1x ∈,使得[]00,1x a +∈,且00()()f x f x a =+.分析:此题要证00()()f x f x a =+,即可证00()()0f x f x a -+=. 由此想到可构造一个辅助函数()F x ,使得()F x 在点0x 处取得的函数值为0,进而得证.证明:作辅助函数()F ()()x f x f x a =-+,则有(0)()0F f a =-≤. 因此有()F 1(1)0a f a -=-≥.而()F x 在[0,1]a -连续,由连续函数介值定理,存在[]00,1x a ∈-,使得0()0F x =,即00()()f x f x a =+.（十二）函数连续法有的问题不能直接用积分限求导公式来计算,此时我们可以试着把被积函数变换一下,从而构造出新的辅助函数来帮助解题.例12.已知01()cos xf x dt t =⎰,求'(0)f .分析:因01()cos x f x dt t=⎰,故被积函数1cos x 在点0x =不连续,故这导致不能直接用对积分限求导的公式来求'(0)f .用分部积分公式来变换被积函数,使新的被积函数在点0x =连续是解决问题的一个途径.解:当0x ≠时,202200201()sin 11sin sin 11sin2sin .x xx x f x t d t t dt t t x t dt x t⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+⎰⎰⎰令211sin ,0,()0,0;x x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩ , 212sin ,0,()0,0;x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ∴1()f x ,2()f x 在(),-∞+∞上连续,且'1(0)0f =, ∴对一切x 有: ()120()()xf x f x f t dt =+⎰,∴()'''12200(0)(0)0(0)0x x x f f f t dt f =⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰. 四、结束语辅助函数在解决数学问题以及其它学科的问题中都有广泛的应用,构造恰当的辅助函数会使问题得到简化,从而帮助我们更容易地解决问题.本文简单地介绍了几种常用的构造辅助函数的方法,也举例说明辅助函数在数学乃至其它学科中广泛的应用.虽然在本文撰写中严格要求自己,但由于知识水平有限,所以论文中还有许多不足之处,希望老师给予批评和指正.六、参考文献[1]陈小亘.浅析辅助函数的构造及应用[A].湛江师范学院学报.2009,第30卷第六期[2]韩文同.七种构造辅助函数的方法及应用[A].甘肃联合大学学报（自然科学版）.2010,第24卷[3]周凤麟,邱捷.辅助函数的构造及应用[B].景德镇高专学报,2006[4]高崚嶒.应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法[A].成都纺织高等专科学报,2007,第24卷[5]张家秀.关于构造辅助函数的几种方法—谈微分中值定理的证明[A].2003[6]江婧,田芯安.在数学分析中作辅助函数解题[A].重庆文理学院学报(自然科学版),2006[7]王兰芳.例谈中值定理应用中辅助函数的引入[A].2011[8]郑文娟.谈常数变易法构造辅助函数[A].赤峰学院学报（自然科学版）,2008,第二十四卷[9]Bencze iakos G.Open question 1608[J].Octogon Math Mag,2004,12(2):1028.。