2017年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷(理科)
黑龙江省哈尔滨三中2017届高考数学二模试卷(解析版)(理科)
2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数，则（）A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i2．已知集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8 B．7 C．6 D．43．对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，ς2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.845．在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣3）2+y2=1相交”发生的概率为（）A．B．C．D．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．57．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10 B．20 C．40 D．608．已知sin（﹣α）=，则sin（﹣2α）=（）A．B．C．D．9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．110．“关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c（c＞0），抛物线y2=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB=120°（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．已知函数，，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=x对称，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则展开式的常数项为．14．在△ABC中，已知c=2，若sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围．15．已知f（x）=，则．16．已知函数f（x）定义域为R，若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数”，给出下列函数：①f（x）=x2②f（x）=xe x③④其中函数f（x）为“期望函数”的是．（写出所有正确选项的序号）三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）=2S n+3（n∈N）17．（10分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（10分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM=DN．（1）求证：直线MN∥平面PCD；（2）若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的余弦值．20．（10分）已知圆O：x2+y2=4与x轴交于A，B两点，点M为圆O上异于A，B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A，B处的切线分别交于C，D，直线AD和BC交于点P，设P点的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形Rt△GHK，若存在，求出所有满足条件的Rt△GHK的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．21．（10分）定义：设f（x）为（a，b）上的可导函数，若f′（x）为增函数，则称f（x）为（a，b）上的凸函数．（1）判断函数y=x3与y=lg是否为凸函数；（2）设f（x）为（a，b）上的凸函数，求证：若λ1+λ2+…+λn=1，λi＞0（i=1，2，…，n），则∀x i∈（a，b）（i=1，2，…，n）恒有λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）=f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）成立；（3）设a，b，c＞0，n∈N*，n≥b，求证：a n+b n+c n≥a n﹣5b3c2+b n﹣5c3a2+c n﹣5a3b2．22．（10分）圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）=2．（1）以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求曲线C在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；（2）直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），若曲线C上的点M到直线l的距离最大，求点M的坐标（直角坐标和极坐标均可）．23．（10分）（1）已知对于任意非零实数a和b，不等式|3a+b|+|a﹣b|≥|a|（|x﹣1|+|x+1|）恒成立，试求实数x的取值范围；（2）已知不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，若a，b∈M，试比较+1与的大小．（并说明理由）2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数，则（）A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣1﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．已知集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8 B．7 C．6 D．4【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，从而求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B的子集个数．【解答】解：∵集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}={0，1，2}，∴集合A∩B={0，2}，∴集合A∩B的子集个数为n=22=4．故选：D．【点评】本题考查交集的子集个数求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、子集定义的合理运用．3．对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；2K：命题的真假判断与应用．【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，如果m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n；如果m⊂α，n 与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线；如果m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交；如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n⊂α．分析后即可得到正确的答案．【解答】解：A答案中：如果m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n，故A正确；B答案中：如果m⊂α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线，故B答案错误；C答案中：如果m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交，故C答案错误；D答案中：如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n⊂α故D答案错误；故选A【点评】要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，ς2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由正态分布曲线知，P（ξ≤0）=1﹣P（ξ≤4）．【解答】解：由P（ξ≤4）=P（ξ﹣2≤2）=P=0.84．又P（ξ≤0）=P（ξ﹣2≤﹣2）=P=0.16．故选A．【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．5．在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣3）2+y2=1相交”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆（x﹣3）2+y2=1的圆心为（3，0），半径为1．要使直线y=kx与圆（x﹣3）2+y2=1相交，则圆心到直线y=kx的距离＜1，解得﹣＜k＜．在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1相交”发生的概率为=．故选：B．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10 B．20 C．40 D．60【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥后，所得的组合体，分别代入棱锥和棱柱体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥的组合体，故几何体的体积V=（1﹣）Sh=××3×4×5=20，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8．已知sin（﹣α）=，则sin（﹣2α）=（）A．B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵sin（﹣α）=cos[﹣（﹣α）]=cos（+α）=，∴sin（﹣2α）=cos[﹣（﹣2α）]=cos[2（+α）]=2cos2（+α）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】2K：命题的真假判断与应用；5B：分段函数的应用．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f （x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得A （，0），B （0，1），C （﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x 为有理数时，f （x ）=1；当x 为无理数时，f （x ）=0， ∴当x 为有理数时，ff （（x ））=f （1）=1；当x 为无理数时，f （f （x ））=f （0）=1，即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），故②正确；③若x 是有理数，则x +T 也是有理数； 若x 是无理数，则x +T 也是无理数， ∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x +T ）=f （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确； ④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得f （x 1）=0，f （x 2）=1，f （x 3）=0，∴A （，0），B （0，1），C （﹣，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个， 故选：A ．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．10．“关于x 的方程x 2﹣mx +n=0有两个正根”是“方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】关于x 的方程x 2﹣mx +n=0有两个正根，则．方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆，则．即可得出结论．【解答】解：关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根，则．方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，则．上述两个不等式组相互推不出．∴关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了方程与判别式的关系、椭圆的标准方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c（c＞0），抛物线y2=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB=120°（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意，A（﹣，c），代入双曲线方程，可得﹣=1，由此可得双曲线的离心率．【解答】解：由题意，A（﹣，c），代入双曲线方程，可得﹣=1，整理可得e4﹣8e2+4=0，∵e＞1，∴e=+1，故选A．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知函数，，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=x对称，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=x对称．可得，可得函数f（x）的范围．在根据定义域求解k即可．【解答】解：由题意，函数，，若f（x），g （x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=x对称可得：，解得：﹣2≤x≤2．根据反函数的性质，可得﹣2≤f（x）≤2，即﹣2≤kx≤2，∵0＜x≤e，∴≤k≤，解得：．故选B．【点评】本题考查了反函数的性质的运用，属于基础题．二、填空题（2017•道里区校级二模）已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则展开式的常数项为240．【考点】7C：简单线性规划；DC：二项式定理的应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得n，再由二项式的通项求解．【解答】解：由约束条件x，y满足，作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y 轴上的截距最大，z有最大值为6．则=．=（﹣2）r•．由T r+1令6﹣=0得r=4．∴则展开式的常数项为=240．故答案为：240．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查二项式定理的应用，是中档题．14．在△ABC中，已知c=2，若sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围（2，4] ．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab=c2，再利用余弦定理可得C．由正弦定理可得：==，解出a，b代入a+b，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：∵sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab=c2，可得cosC==，C ∈（0，π），∴C=．由正弦定理可得： ==，∴a=sinA ，b=sinB ，B=﹣A ．则a +b=sinA +sinB=sinA +sin （﹣A ）=4sin ，A ∈，∴∈，∴sin ∈，∴a +b ∈（2，4]． 故答案为：（2，4]．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知f （x ）=，则+ ．【考点】67：定积分．【分析】由定积分的运算，dx +（x 2﹣1）dx ，根据定积分的几何意义及定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：dx +（x 2﹣1）dx ，由定积分的几何意义，可知dx 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的一半，则=×π=，则（x 2﹣1）dx=（x 3﹣x ）=（﹣2）﹣（﹣1）=，∴dx +（x 2﹣1）dx=+，故答案为：+． 【点评】本题考查定积分的运算，考查定积分的几何意义，考查计算能力，属于基础题．16．已知函数f（x）定义域为R，若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数”，给出下列函数：①f（x）=x2②f（x）=xe x③④其中函数f（x）为“期望函数”的是③④．（写出所有正确选项的序号）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】①：假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=x2≤|x|，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，②：同理①可判定；对于③：假设函数f（x）为“期望函数“，则则|f（x）|=，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×=，k≥．存在常数k＞0，使对所有实数都成立；对于④，同理③可判定；【解答】解：对于①：假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=x2≤|x|，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，即函数f（x）不是“期望函数”；对于②：同理①可得②也不是“期望函数”；对于③：假设函数f（x）为“期望函数“，则则|f（x）|=，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×=，∴k≥．∴存在常数k＞0，使对所有实数都成立，∴③是“期望函数”；对于④，假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×，k≥2017，．∴存在常数k＞0，使对所有实数都成立，∴④是“期望函数”；故答案为：③④．【点评】本题考查了新定义函数、分类讨论方法、函数的单调性及其最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016•广州二模）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵a n+1=2S n+3，∴当n≥2时，a n=2S n﹣1+3，∴a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，化为a n+1=3a n．∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．∴a n=3n．（II）b n=（2n﹣1）a n=（2n﹣1）•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2T n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴T n=（n﹣1）•3n+1+3．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（10分）（2017•道里区校级二模）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能估计该月空气质量优良的天数．（2）利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，基本事件总数n==15，抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：p=1﹣=．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），，P（ξ=1）=C31，，，故ξ的分布列为：∵，Eξ=3×=1.8．【点评】本题考查概率、频率、二项分布、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．19．（10分）（2017•道里区校级二模）如图，四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N 在线段BD上，且PM=DN．（1）求证：直线MN∥平面PCD；（2）若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的余弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）延长AN，交CD于点G，由相似知，推出MN∥PG，然后证明直线MN∥平面PCD；（2）以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A（1，0，0），求出相关点的坐标，=（1，1，﹣1），平面AMN的法向量，利用向量的数量积求解PB与平面AMN 夹角的余弦值．【解答】（1）证明：延长AN，交CD于点G，由相似知，可得：MN ∥PG，MN⊄平面PCD，PG⊂平面PCD，则直线MN∥平面PCD；（2）解：由于DA⊥DC⊥DP，以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），，则=（1，1，﹣1），平面AMN的法向量为，则向量与的夹角为θ，则cosθ=，则PB与平面AMN夹角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．20．（10分）（2017•道里区校级二模）已知圆O：x2+y2=4与x轴交于A，B两点，点M为圆O上异于A，B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A，B处的切线分别交于C，D，直线AD和BC交于点P，设P点的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形Rt△GHK，若存在，求出所有满足条件的Rt△GHK的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）求得M的切线方程，求得C和D点坐标，联立求得P点坐标，即可求得曲线E的方程；（2）设直线GH和KH方程，联立分别求得丨GH丨，丨HK丨，由丨GH丨=丨HK丨，分类讨论，即可求得k的值，求得两条直角边所在直线方程．【解答】解：（1）设M（x0，y0），则M处的切线为x0x+y0y=4，则，，则P：，则E：=1（y≠0），曲线E的方程=1（y≠0）；（Ⅱ）由于直线GH不与坐标轴平行或垂直，可设l GH：y=kx+1，则l KH：y=﹣x+1，联立，整理得（1+4k2）x2+8kx=0，由于△＞0恒成立，设两个根为x1，x2，则丨GH丨=|，同理，丨HK丨=，|由丨GH丨=丨HK丨知：|k|（k2+4）=4k2+1，得：①k＞0时，得（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0得：k=1或k=②k＜0时，得（k+1）（k2+3k+1）=0得：k=﹣1或k=综上，共分三种情况两条直角边所在直线方程为：y=±x+1；两条直角边所在直线方程为：y=x+1；两条直角边所在直线方程为：y=x+1．【点评】本题考查椭圆的标准方程，点轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查计算能力，分类讨论思想，属于中档题．21．（10分）（2017•道里区校级二模）定义：设f（x）为（a，b）上的可导函数，若f′（x）为增函数，则称f（x）为（a，b）上的凸函数．（1）判断函数y=x3与y=lg是否为凸函数；（2）设f（x）为（a，b）上的凸函数，求证：若λ1+λ2+…+λn=1，λi＞0（i=1，2，…，n），则∀x i∈（a，b）（i=1，2，…，n）恒有λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）=f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）成立；（3）设a，b，c＞0，n∈N*，n≥b，求证：a n+b n+c n≥a n﹣5b3c2+b n﹣5c3a2+c n﹣5a3b2．【考点】R6：不等式的证明；3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）利用定义，判断函数y=x3与y=lg是否为凸函数；（2）n=2时，即证：λ1λ2＞0且λ1+λ2=1时，λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2），再用数学归纳法进行证明即可；（3）令a0=a n，b0=b n，c0=c n，即证：（a0，b0，c0＞0）成立．【解答】解：（1）y=x3，y′=3x2，y″=6x≥0不恒成立，故不是凸函数；y=lg，y′=﹣，y″=＞0，是凸函数；（2）n=2时，即证：λ1λ2＞0且λ1+λ2=1时，λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）不防设x1≥x2，x1，x2∈（a，b），令F（x）=λ1f（x1）+λ2f（x2）﹣f（λ1x1+λ2x2）F′（x）=λ1[f′（x）﹣f′（λ1x+λ2x2）]因为x﹣（λ1x+λ2x2）=λ2（x1﹣x2）≥0且f′（x）时递增函数，所以F′（x）≥0，即F（x）为单调递增函数，所以F（x1）≥F（x2）=0，即λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）；假设n=k（k≥2）时，结论成立，即∀λi＞0，=1，x i∈（a，b），（i=1，2，3，…，k），有成立，则n=k+1时，∀λi＞0，=1，x i∈（a，b），（i=1，2，3，…，k，k+1），有≤λ1f （x 1）+λ2f （x 2）+…+λk +1f （x k +1） 所以n=k +1时，结论也成立， 综合以上可得，原结论成立．（3）令a 0=a n ，b 0=b n ，c 0=c n ，即证：（a 0，b 0，c 0＞0）成立，由（1）得f （x ）=lg 为凸函数，而=1，有而，同理有：，则成立，得证．【点评】本题考查新定义，考查不等式的证明，考查数学归纳法的运用，难度大．22．（10分）（2017•道里区校级二模）圆锥曲线C 的极坐标方程为：ρ2（1+sin 2θ）=2．（1）以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求曲线C 在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；（2）直线l 的极坐标方程为θ=（ρ∈R ），若曲线C 上的点M 到直线l 的距离最大，求点M 的坐标（直角坐标和极坐标均可）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH ：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用互化公式可得直角坐标方程，进而得到焦点的直角坐标与极坐标．（2）直线l 的极坐标方程为θ=（ρ∈R ），可得直线l 的直角坐标方程为y=，曲线C 的参数方程为，（0≤θ＜2π），设M （），利用点到直线的距离公式可得：M 到直线的距离d ，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）=2，∴曲线C的直角坐标方程：x2+y2+y2=2，化为，焦点直角坐标：F1（﹣1，0），F2（1，0）焦点极坐标：F1（1，π），F2（1，0）．（2）∵直线l的极坐标方程为β=（ρ∈R），∴直线l的直角坐标方程为y=，曲线C的参数方程为，（0≤θ＜2π），设M（），则M到直线的距离d==，∴sin（θ+α）=1时，曲线C上的点M到直线l的距离最大，此时解得sinθ=，cosθ=﹣；sinθ=﹣，cosθ=．或【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（10分）（2017•道里区校级二模）（1）已知对于任意非零实数a和b，不等式|3a+b|+|a﹣b|≥|a|（|x﹣1|+|x+1|）恒成立，试求实数x的取值范围；（2）已知不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，若a，b∈M，试比较+1与的大小．（并说明理由）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义推出|3a+b|+|a﹣b|≥4|a|，转化所求解不等式为|x+1|+|x﹣1|≤4，推出结果即可．（Ⅱ）利用作差法，结合已知条件推出结果即可．【解答】（Ⅰ）解：|3a+b|+|a﹣b|≥|3a+b+a﹣b|=4|a|，当且仅当（3a+b）（a ﹣b）≥0时取等号，只需：4|a|≥|a|（|x+1|+|x﹣1|），由于a≠0，只需|x+1|+|x﹣1|≤4，表示数轴上的点与﹣1，1的距离之和小于等于4，所以：x的取值范围为：[﹣2，2]；（Ⅱ）解得：M=（0，1），a∈M，b∈M知：＞0，即．【点评】本题考查绝对值不等式的几何意义，不等式的解法，函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．。
哈尔滨三中2017届高考数学二模试卷 含解析(理科)
2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数,则（)A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i2．已知集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为( ）A．8 B．7 C．6 D．43．对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α,n∥α，m、n共面,那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2)，P(ξ≤4）=0。
84，则P(ξ≤0）=（）A．0.16 B．0。
32 C．0.68 D．0。
845．在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x ﹣3)2+y2=1相交”发生的概率为( ）A．B． C． D．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺，松日自半，竹日自倍,松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2,则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．57．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）A．10 B．20 C．40 D．608．已知sin（﹣α)=，则sin(﹣2α)=（）A．B． C．D．9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f(x)=,称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题:①f（f（x)）=1；②函数f(x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x)对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1)），B（x2，f（x2）)，C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（)A．4 B．3 C．2 D．110．“关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c(c＞0），抛物线y2=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB=120°(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( ）A． B．2 C． D．12．已知函数，，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y=x对称，则实数k的取值范围为( ）A． B．C．D．二、填空题已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则展开式的常数项为．14．在△ABC中，已知c=2，若sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围．15．已知f(x）=,则．16．已知函数f(x）定义域为R,若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数"，给出下列函数：①f(x）=x2②f(x)=xe x③④其中函数f(x）为“期望函数"的是．（写出所有正确选项的序号）三、解答题（本大题共7小题，共70分。
(精选) 2017年全国二卷理科数学高考真题版
一、选择题 1.D 2.C
7.D 8.B
3.B 4.B 5.A 6.D 9.A 10.C 11.A 12.B
二、填空题
13. 1.96
14. 1
15.
2n
n1
16. 6
三、解答题
17. （1）由 A C
B 得 sin B 8sin 2 B ，即 cos B 4 sin B ，
2
2
2
tan B 1 ，得 tan B 8 ，则有 cos B 15 .
开始
A． 2 B． 3
输入 a
C． 4
S=0 ， K =1
D． 5
K6 否 是
S= S+a K
a= - a
K = K+ 1
输出 S
开始
9．若双曲线
C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a 0，b 0) 的一条渐近线被圆 ( x 2) 2
y2
4 所截得的弦
长为 2 ，则 C 的离心率为
A． 2
B
．3
C
．2
D． 2 3 3
(2) 设点 A 的极坐标为 (2， ) ，点 B 在曲线 C2 上，求 OAB 面积的最大值 . 3
23.[ 选修 4 5 ：不等式选讲 ] （10 分） 已知 a 0， b 0， a 3 b3 2 . 证明：
(1) (a b)(a5 b5 ) 4 ；
(2)
a b 2.
理科数学试题 第 4 页（共 4 页）
21. （12 分）
已知函数 f (x) ax2 ax x ln x ，且 f (x ) 0 .
(1) 求 a ；
(2)
证明： f ( x) 存在唯一的极大值点 x0 ，且 e 2
【黑龙江省大庆市】2017年高考二模数学(文科)试卷-答案
）π2B A =+cos(2A =+，4b =，所以由正弦定理得）cos B =-5B =， π2B A =+，，F 又三棱柱AF EF F =，1AB F ⊂面）解：设点C 1a12232黑龙江省大庆市2017年高考二模数学（文科）试卷解析一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．2．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式得a2+a3+a4=3a3=3，从而a3=1，再由等差列前n项和公式得S5= =5a3，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，∴a2+a3+a4=3a3=3，解得a3=1，∴S5==5a3=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，由数量积公式可得到方程6﹣x=3，解此方程即可得出正确选项．【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，∴6﹣x=3，∴x=3．故选D【点评】本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，是基础题．5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】因为焦点在x轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=±，由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a，b的齐次式，再把b用a，c表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴∵b2=c2﹣a2，∴化简得，即e2=，e=故选A【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．根据双曲线的渐近线方程求离心率，关键是找到含a，c的等式．6．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k≤5，S=2，k=2满足条件k≤5，S=6，k=3满足条件k≤5，S=14，k=4满足条件k≤5，S=30，k=5满足条件k≤5，S=62，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，是基础题．7．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面，进行判定即可．【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交，故不正确．故选A【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．8．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于p的不等式，根据充分必要条件的定义求出m的范围即可．【解答】解：由|x﹣4|≤6，解得：﹣2≤x≤10，故p：﹣2≤x≤10；q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则1+m≥10，解得：m≥9；故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．9．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．【解答】解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，运用诱导公式化简求值，图形的对称性，考查计算能力，是基础题．10．【考点】几何概型．【分析】在该几何概型中，其测度为线段的长度，根据P（|x|≤m）=得出m﹣（﹣1）=3，即可求出m的值．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，∵x∈[﹣1，5]，又|x|≤m，得﹣m≤x≤m，∴|x|≤m的概率为：P（|x|≤m）==，解得l=3，即m﹣（﹣1）=3，∴m=2．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，是事件发生的概率与构成该事件区域的长度成比例，是基础题．11．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意求出f（x）﹣4，由函数的零点与方程的根的关系，分别列出方程求解，结合条件即可求出a的值．【解答】解：由题意得，f（x）=，则f（x）﹣4=，若x≠3，由得，x=或x=；若x=3，则a﹣4=0，则a=4，所以a=4满足函数y=f（x）﹣4有3个零点，故选D．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，分段函数的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，属于中档题．12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线y2=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，再依据抛物线的定义，由韦达定理可以求得答案．【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），联立抛物线方程，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设出A（x1，y1）、B（x2，y2）则x1+x2=2+，x1x2=1．依据抛物线的定义得出m+n=x1+x2+2＞4，当斜率k不存在时，m+n=4．则m+n的最小值是4．故选D．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于中档题．需要注意对斜率不存在的情况加以研究．二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据条件列出关于a1和q的方程组，解得即可．【解答】解：∵a1+a3=，∴，解得q=，a1=2，∴a6=2×（）5=，故答案为：【点评】本题考查等比数列的定义，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．14．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2．∴这个几何体的体积V==．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，结合z为目标函数纵截距四倍，平移直线0=2x+4y，发现其过（0，2）时z有最大值即可求出结论．【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故答案为：20．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．16．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．【解答】解：f′（x）=e x+xe x=e x（x+1），∴切线斜率k=f′（1）=2e，∴f（x）在（1，e）处的切线方程为y﹣e=2e（x﹣1），即y=2ex﹣e，∵y=2ex﹣e与坐标轴交于（0，﹣e），（，0）．∴y=2ex﹣e与坐标轴围成的三角形面积为S==．故答案为：．【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．三.解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．【点评】本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题．18．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AF，由已知条件推导出面ABC⊥面BB1C1C，从而AF⊥B1F，由勾股定理得B1F⊥EF．由此能证明平面AB1F⊥平面AEF．（2）利用等面积方法，即可求出点C到平面AEF的距离．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查点C到平面AEF的距离的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率和为1，列方程求出x的值；（2）计算上缴税收不少于60万元的频率与频数即可；（3）根据第一组与第二组的企业家数比求出每组抽取的家数，用列举法计算基本事件数，计算对应的概率值．【点评】本题主要考查了频率分布直方图与列举法求古典概型的概率问题，也考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）求得椭圆右焦点坐标，设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，结合等差数列中项，即可得证．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，直线的斜率公式和等差数列中项性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，即为xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，讨论x=1和x＞1，由参数分离和构造函数g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），求出导数和单调性，即可判断g（x）的单调性，可得a的范围．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，求得导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用．[选修4－5：不等式选讲]23．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．【点评】本题属不等式恒成立问题，较为基础，主要考查了含绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式的性质求最值等，求解此类问题时，应掌握以下几点：1．若m≤f（x）恒成立，只需m≤[f（x）]min；若m≥f（x）恒成立，只需m≥[f（x）]max．2．|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x），|g（x）|≥h（x）⇔g（x）≥h（x），或g（x）≤﹣h（x）．。
2018年高考数学培优专题 导数 东北三省四市学生版
1.2017年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷（理科）已知函数2()(1)x f x x e ax =-+有两个零点12,x x（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）求a 的取值范围；（Ⅲ）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：120x x +<.2.2017年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷（文科）*已知函数()ln 21()f x x ax a R =-+∈（Ⅰ）讨论函数2()()g x x f x =+的单调性； （Ⅱ）若12a =，证明：11|()1|2nx f x x ->+ 3.2017年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）已知函数()ln f x ax x =-．（1）过原点O 作函数()f x 图象的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x ∈[1，+∞），不等式2()(2)f x a x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．4.2017年东北三省四市高考数学二模试卷（理科） 已知函数ln ()x f x x=． (I)求函数()f x 的极值；(II)当0x e << 时 ： 证明()()f e x f e x +>-(III)设函数()f x 的图像与直线y m =的两个交点分别为11(,())A x f x ，11(,())B x f x AB 的中点的横坐标为 0x 证明：0()0f x '<5.2017届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学（文）已知函数2()2ln 2()f x x x ax a R =+-+∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若存在0(0,1]x ∈，使得对任意的[2,0)a ∈-，不等式20()322(1)a f x a a me a >++-+（其中e 是自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．6.2017届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学（理） 已知函数21()ln 22f x x x ax =+-． 其中 a R ∈．（I ）讨论函数()f x 的单调性；(II)已知函数ln ()m x g x m x=+其中 0m >若对任意1[,1]2a ∈存在12,[1,]x x e ∈使得12|()()|1f x g x -<成立，求实数 m 的取值范围。
2017年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷(文科)
2017年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-2＜x≤2}，则A∩B=（）A.{-1，0，1，2}B.{-1，0，1}C.{-2，-1，0，1}D.{-2，-1，0，1，2}【答案】A【解析】解：集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-2＜x≤2}，则A∩B={-1，0，1，2}．故选：A．根据交集的定义写出A∩B即可．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，-），故选D．利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，-），从而得出结论．本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，则S5=（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，∴a2+a3+a4=3a3=3，解得a3=1，∴S==5a=5．由等差数列通项公式得a2+a3+a4=3a3=3，从而a3=1，再由等差列前n项和公式得S5==5a3，由此能求出结果．本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4.已知向量=（2，-1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】解：∵向量=（2，-1），=（3，x）．•=3，∴6-x=3，∴x=3．故选D由题意，=（2，-1），=（3，x）．•=3，由数量积公式可得到方程6-x=3，解此方程即可得出正确选项．本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，是基础题．5.已知双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴∵b2=c2-a2，∴化简得，即e2=，e=故选A因为焦点在x轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=±，由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a，b的齐次式，再把b用a，c表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值．本题考查双曲线的性质及其方程．根据双曲线＞，＞的渐近线方程求离心率，关键是找到含a，c的等式．6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）A.14B.30C.62D.126【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k≤5，S=2，k=2满足条件k≤5，S=6，k=3满足条件k≤5，S=14，k=4满足条件k≤5，S=30，k=5满足条件k≤5，S=62，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，计算输出S的值．本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，是基础题．7.已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）A.若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB.若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥αC.若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD.若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n【答案】A【解析】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交，故不正确．故选A根据线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面，进行判定即可．关系，属于基础题．8.已知条件p：|x-4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A.（-∞，-1]B.（-∞，9]C.[1，9]D.[9，+∞）【答案】D【解析】解：由|x-4|≤6，解得：-2≤x≤10，故p：-2≤x≤10；q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则1+m≥10，解得：m≥9；故选：D．解出关于p的不等式，根据充分必要条件的定义求出m的范围即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．9.已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．本题考查y=A sin（ωx+φ）中参数的物理意义，运用诱导公式化简求值，图形的对称性，考查计算能力，是基础题．10.在区间[-1，5]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，∵x∈[-1，5]，又|x|≤m，得-m≤x≤m，∴|x|≤m的概率为：P（|x|≤m）==，即m-（-1）=3，∴m=2．故选：C．在该几何概型中，其测度为线段的长度，根据P（|x|≤m）=得出m-（-1）=3，即可求出m的值．本题主要考查了几何概型的概率计算问题，是事件发生的概率与构成该事件区域的长度成比例，是基础题．11.已知函数f（x）=，，，若函数y=f（x）-4有3个零点，则实数a的值为（）A.-2B.0C.2D.4 【答案】D【解析】解：由题意得，f（x）=，，，则f（x）-4=，，，若x≠3，由得，x=或x=；若x=3，则a-4=0，则a=4，所以a=4满足函数y=f（x）-4有3个零点，故选D．由题意求出f（x）-4，由函数的零点与方程的根的关系，分别列出方程求解，结合条件即可求出a的值．本题考查了函数的零点与方程的根的关系，分段函数的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，属于中档题．12.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B，设|AF|=m，|BF|=n，则m+n的最小值为（）A.2B.3C.D.4【答案】D【解析】解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k（x-1），联立抛物线方程，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．设出A（x1，y1）、B（x2，y2）则x1+x2=2+，x1x2=1．依据抛物线的定义得出m+n=x1+x2+2＞4，当斜率k不存在时，m+n=4．则m+n的最小值是4．方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，再依据抛物线的定义，由韦达定理可以求得答案．本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于中档题．需要注意对斜率不存在的情况加以研究．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知等比数列{a n}中，a1+a3=，，则a6= ______ ．【答案】【解析】解：∵a1+a3=，，∴，解得q=，a1=2，∴a6=2×（）5=，故答案为：根据条件列出关于a1和q的方程组，解得即可．本题考查等比数列的定义，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．14.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______ ．【答案】【解析】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P-ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，∴这个几何体的体积V==．故答案为：．由三视图可知：该几何体为三棱锥P-ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2．本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为______ ．【答案】20【解析】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故答案为：20．先画出可行域，结合z为目标函数纵截距四倍，平移直线0=2x+4y，发现其过（0，2）时z有最大值即可求出结论．本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．16.曲线f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为______ ．【答案】【解析】解：f′（x）=e x+xe x=e x（x+1），∴切线斜率k=f′（1）=2e，∴f（x）在（1，e）处的切线方程为y-e=2e（x-1），即y=2ex-e，∵y=2ex-e与坐标轴交于（0，-e），（，0）．∴y=2ex-e与坐标轴围成的三角形面积为S==．故答案为：．利用导数的几何意义求出切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．本题考查了导数的几何意义，属于基础题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cos B的值；（2）求sin2A+sin C的值．【答案】解（1）∵，∴cos B=cos（+A）=-sin A，又a=3，b=4，所以由正弦定理得，所以=，所以-3sin B=4cos B，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2B+cos2B=1，所以，而＞，所以．（2）∵，∴，∵，∴2A=2B-π，∴sin2A=sin（2B-π）=-sin2B=又A+B+C=π，∴，∴sin C=-cos2B=1-2cos2B=．∴．【解析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cos B；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公18.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AA1=AB=2，E，F分别是CC1，BC的中点．（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；（2）求点C到平面AEF的距离．【答案】（1）证明：连结AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点，∴AF⊥BC．又∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴面ABC⊥面BB1C1C，∴AF⊥面BB1C1C，AF⊥B1F．…（2分）设AB=AA1=1，则B1F=，EF=，B1E=．∴B1F2+EF2=B1E2，∴B1F⊥EF．又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF．…（4分）而B1F⊂面AB1F，故：平面AB1F⊥平面AEF．…（5分）（2）解：设点C到平面AEF的距离为h，则由题意，AF⊥CF，AF⊥EF，∴S△ACF==1，S△AEF==，由等体积可得，，∴h=．【解析】（1）连结AF，由已知条件推导出面ABC⊥面BB1C1C，从而AF⊥B1F，由勾股定理得B1F⊥EF．由此能证明平面AB1F⊥平面AEF．（2）利用等面积方法，即可求出点C到平面AEF的距离．本题考查平面与平面垂直的证明，考查点C到平面AEF的距离的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为第一组[0，20），第二组AA1⊥平面ABC，第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）若从第一组和第二组中利用分层抽样的方法抽取6家企业，试求在这6家企业中选2家，这2家企业年上缴税收在同一组的概率．【答案】解：（1）由频率分布直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125；（2）企业上缴税收不少于60万元的频率为0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144，∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠；（3）第一组与第二组的企业数之比为0.0125：0.025=1：2，用分层抽样法从中抽取6家，第一组抽取2家，记为A、B，第二组抽取4家，记为c、d、e、f；从这6家企业中抽取2家，基本事件数是AB、A c、A d、A e、A f、B c、B d、B e、B f、cd、ce、cf、de、df、ef共15种，其中两家企业在同一组的基本事件数是AB、cd、ce、cf、de、df、ef共7种，故所求的概率为P=．【解析】（1）由频率和为1，列方程求出x的值；（2）计算上缴税收不少于60万元的频率与频数即可；（3）根据第一组与第二组的企业家数比求出每组抽取的家数，用列举法计算基本事件数，计算对应的概率值．本题主要考查了频率分布直方图与列举法求古典概型的概率问题，也考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题．20.已知椭圆C：＞＞经过点，，离心率，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点e的任一直线（不经过点a=-1）与椭圆交于两点A，B，设直线AB与l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问：k1+k2-2k3是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】解：（1）由点，在椭圆上，离心率，得，且a2=b2+c2，解得c2=4，a2=8，b2=4，椭圆C的方程：．（2）椭圆右焦点F（2，0），显然直线AB斜率存在，设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-2）．代入椭圆C的方程：．整理得（2k2+1）x2-8k2x+8k2-8=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=…①令y=k（x-2）中x=4，得M（4，2k），从而，，．又因为A、F、B共线，则有k=k AF=k BF，．∴=2k-…②将①代入②得k1+k2=2k-=2k3∴k1+k2-2k3=0（定值）．【解析】（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）求得椭圆右焦点坐标，设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，结合等差数列中项，即可得证．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，直线的斜率公式和等差数列中项性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；（2）设g（x）=xf（x），h（x）=2ax2-（2a-1）x+a-1，若x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）max=f（1）=-1；（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，即为xlnx-ax2+（2a-1）x≤a-1，当x=1时，上式显然成立．当x＞1时，可得a≥，由-1=，设g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）2（x＞1），g′（x）=1+lnx-1-2（x-1）=lnx-2（x-1），由g″（x）=-2＜0在x＞1恒成立，可得g′（x）在（1，+∞）递减，可得g′（x）＜g′（1）=0，即g（x）在（1，+∞）递减，可得g（x）＜g（1）=0，则＜1成立，即有a≥1．即a的范围是[1，+∞）．【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，即为xlnx-ax2+（2a-1）x≤a-1，讨论x=1和x＞1，由参数分离和构造函数g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）2（x＞1），求出导数和单调性，即可判断g（x）的单调性，可得a的范围．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，求得导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y-8=0（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a-16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．【解析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x-3|-2x≤2m-8．【答案】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min．由绝对值不等式的性质，有|2x-1|+|2x+5|≥|（2x-1）+（2x+5）|=6，即f（x）min=6，所以m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x-3|-2x≤4，即|x-3|≤4+2x，得-4-2x≤x-3≤4+2x，转化为，化简，得，所以原不等式的解集为．【解析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x-3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h （x）⇔-h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．本题属不等式恒成立问题，较为基础，主要考查了含绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式的性质求最值等，求解此类问题时，应掌握以下几点：1．若m≤f（x）恒成立，只需m≤[f（x）]min；若m≥f（x）恒成立，只需m≥[f（x）]max．2．|g（x）|≤h（x）⇔-h（x）≤g（x）≤h（x），|g（x）|≥h（x）⇔g（x）≥h（x），或g（x）≤-h（x）．。
(完整版)2017年高考真题——理科数学(全国II卷)+Word版含解析【KS5U+高考】
2017 年一般高等学校招生全国一致考试课标 II 理科数学【试卷评论】【命题特色】2017 年高考全国新课标II 数学卷，试卷构造在保持稳固的前提下，进行了微调，一是撤消试卷中的第Ⅰ卷与第 II 卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是依据中学教课实质把选考题中的三选一调整为二选一．试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技术的观察，着重数学在生活中的应用．同时在保持稳固的基础上，进行适量的改革和创新，与 2016 年对比难度稳中有降．详细来说还有以下几个特色：1．知识点散布保持稳固小知识点会合、复数、程序框图、线性规划、向量问题、三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三小一大、概率统计一大一小、立体几何两小一大、圆锥曲线两小一大、函数导数三小一大 (或两小一大 )．2．着重对数学文化与数学应用的观察教育部2017 年新订正的《考试纲领（数学）》中增添了数学文化的观察要求．2017 高考数学全国卷II 理科第 3 题以《算法统宗》中的数学识题为背景进行观察，理科19 题、文科 18题以养殖水产为题材，切近生活．3．着重基础，表现核心修养2017 年高考数学试卷整体上保持必定比率的基础题，试卷着重通性通法在解题中的运用，此外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有波及．【命题趋向】1．函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热门，函数性质要点是奇偶性、单一性及图象的应用，导数要点观察其在研究函数中的应用，着重分类议论及化归思想的应用．2．立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何体的表面积与体积联合在一同观察，解答题一般分 2 步进行观察．3．分析几何知识：分析几何试题一般有 3 道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会波及，双曲线一般作为客观题进行观察，多为简单题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行观察，运算量较大，可是近几年高考适合控制了运算量，难度有所降低．4．三角函数与数列：三角函数与数列解答题一般轮番出现，若解答题为数列题，一般比较简单，要点观察基本量求通项及几种乞降方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题中一般会有一道与三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般拥有小巧活的特色．【试卷分析】一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的．3 i1．1 iA．12i B．12i C．2i D．2i 【答案】 D2．设会合A1,2,4， B x x24x m 0 ．若A I B 1，则BA．1,3B．1,0C．1,3D．1,5【答案】 C【分析】试题剖析：由 AI B1得 1 B ，即x 1 是方程x24x m0 的根，所以1 4m0, m3 ， B1,3，应选 C．【考点】交集运算、元素与会合的关系【名师点睛】会合中元素的三个特征中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的会合，在求出字母的值后，要注意查验会合中的元素能否知足互异性．两个防备：①不要忽略元素的互异性；②保证运算的正确性．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：“眺望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯A．1 盏B．3 盏C．5 盏D．9盏【答案】 B4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A．90B．63C．42D．36【答案】 B【分析】试题剖析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为 4 的圆柱，其体积 V132 4 36，上半部分是一个底面半径为3，高为 6 的圆柱的一半，其体积V21(326) 27，故该组合体的体积V V1V2362763．应选B．2【考点】三视图、组合体的体积【名师点睛】在由三视图复原为空间几何体的实质形状时，要从三个视图综合考虑，依据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不行见轮廓线在三视图中为虚线．在复原空间几何体实质形状时，一般是以正视图和俯视图为主，联合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的要点是由三视图确立直观图的形状以及直观图中线面的地点关系和数目关系，利用相应体积公式求解．2x3y305．设x，y知足拘束条件2x3y30 ，则 z2x y 的最小值是y 3 0A．15B．9C．D．【答案】 A6．安排 3 名志愿者达成 4 项工作，每人起码达成 1 项，每项工作由 1 人达成，则不一样的安排方式共有A．12 种B．18 种C．24 种D．36种【答案】D【分析】试题剖析：由题意可得，一人达成两项工作，其余两人每人达成一项工作，据此可得，只需把工作分红三份：有C24种方法，而后进行全摆列，由乘法原理，不一样的安排方式共有C24 A 3336 种．应选D．【考点】摆列与组合、分步乘法计数原理【名师点睛】（ 1）解摆列组合问题要按照两个原则：①按元素(或地点 )的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．详细地说，解摆列组合问题常以元素(或地点 )为主体，即先知足特别元素(或地点 )，再考虑其余元素 (或地点 )．（2）不一样元素的分派问题，常常是先分组再分派．在分组时，往常有三种种类：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各样分组种类中，不一样分组方法的求解．7．甲、乙、丙、丁四位同学一同去处老师咨询成语比赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位优秀，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我仍是不知道我的成绩．依据以上信息，则A．乙能够知道四人的成绩B．丁能够知道四人的成绩C．乙、丁能够知道对方的成绩D．乙、丁能够知道自己的成绩【答案】 D8．履行右边的程序框图，假如输入的a 1 ，则输出的 SA．2B．3C．4D． 5【答案】 B2 22C :a 2b 29．若双曲线 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线被圆 x 2y 2 4 所截得的弦x y长为 2，则 C 的离心率为A ． 2B ． 3C ． 22 3D ．3【答案】 A【分析】试题剖析： 由几何关系可得， 双曲线x 2y 2 1 a 0, b0 的渐近线方程为bx ay 0 ，a 2b 2圆心 2,0到渐近线距离为d22 123 ，则点 2,0 到直线 bx ay0 的距离为2b a 02b ，db 23a 2 c即 4(c 2 a 2 ) 3 ，整理可得 c 24a 2 ，双曲线的离心率 ec 24 2 ．应选 A ．c 2a 2【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的地点关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率 (或离心率的取值范围 )，常有有两种方法：①求出a ，c ，代入公式 ec；②只需要a依据一个条件获得对于 a ，b ，c 的齐次式，联合 b 2＝c 2－ a 2 转变为 a ，c 的齐次式，而后等式 (不等式 )两边分别除以 a 或 a2转变为对于 e 的方程 (不等式 )，解方程(不等式 )即可得 e(e 的取值范围 )．10．已知直三棱柱ABC A1B1C1中，ABC 120 ，AB 2 ，BC CC1 1，则异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为315103 A．B．C．D．2553【答案】 C11．若x2是函数 f ( x) ( x2ax1)e x 1的极值点，则 f ( x) 的极小值为A．1B．2e3C．5e3D． 1【答案】 A【分析】试题剖析：由题可得 f (x)(2 x a)e x 1(x2ax 1)e x 1[ x2(a2) x a 1]e x 1，由于 f(2) 0，所以 a 1 ，f ( x) ( x2x1)e x 1，故 f ( x)( x2x2)e x 1，令 f ( x) 0 ，解得x 2 或 x 1 ，所以 f ( x)在( , 2),(1,) 上单一递加，在 ( 2,1)上单一递减，所以 f ( x) 的极小值为 f (1) (1 1 1)e1 11，应选A．【考点】函数的极值、函数的单一性【名师点睛】（1）可导函数 y＝ f(x)在点 x0处获得极值的充要条件是 f ′(x0)＝ 0，且在 x0左边与右边f ′(的符号不一样学*；（）若f(x)在，内有极值，那么f(x) x)2(a b)在(a，b)内绝不是单一函数，即在某区间上单一增或减的函数没有极值．12．已知△ABC是边长为uuur uuur uuur2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA ( PB PC )的最小是A．23C．4D．1 B．32【答案】 B解等问题，而后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次， X 表示抽到的二等品件数，则DX____________．【答案】 1.96【分析】试题剖析：由题意可得，抽到二等品的件数切合二项散布，即X ~ B 100,0.02 ，由二项散布的希望公式可得DX np 1 p 100 0.02 0.98 1.96 ．【考点】二项散布的希望与方差【名师点睛】判断一个随机变量能否听从二项散布，要看两点：①能否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件 A 发生的概率能否均为p；②随机变量能否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且 p X k C n k p k 1 p n k表示在独立重复试验中，事件 A 恰巧发生 k 次的概率．14．函数f ( x) sin2x 3 cos x3( x[0, ]) 的最大值是____________．42【答案】 115．等差数列a的前 n 项和为S n，a33， S4n 1n10 ，则____________．k 1S k2n【答案】1n【分析】16．已知F是抛物线C :y28x 的焦点，M是C上一点，FM的延伸线交y 轴于点N．若M 为 FN 的中点，则 FN ____________．【答案】 6【分析】试题剖析：以下图，不如设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l 与点B， NA l 与点A，由抛物线的分析式可得准线方程为x2，则AN2, FF' 4 ，在直角梯形AN FF '3，由抛物线的定ANFF' 中，中位线BM2义有： MF MB 3 ，联合题意，有 MN MF 3，故 FN FM NM33 6 ．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在分析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转变．假如问题中波及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．所以，波及抛物线的焦半径、焦点弦问题，能够优先考虑利用抛物线的定义转变为点到准线的距离，这样就能够使问题简单化．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每个试题考生都一定作答．第22、23 题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（ 12 分）△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a, b, c，已知sin A C8sin 2B．2（1）求cosB；（2）若a c 6，△ABC的面积为2，求b．【答案】（ 1）cosB 15；（ 2）b 2．17“边转角”“角转边”，此外要注意a c, ac, a2c2三者之间的关系，这样的题目小而活，备授命题者的喜爱．18．（ 12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对照，收获时各随机抽取了100 个网箱，丈量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频次散布直方图以下：（ 1）设两种养殖方法的箱产量互相独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，预计 A 的概率；（ 2）填写下边列联表，并依据列联表判断能否有99%的掌握以为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥ 50kg旧养殖法新养殖法（ 3）依据箱产量的频次散布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的预计值（精准到0.01）．附：，n(ad bc)2K 2(a b)(c d)( a c)(b d)【答案】（ 1）0.4092；（2 ）有99%的掌握以为箱产量与养殖方法有关；（3）52.35kg．【考点】独立事件概率公式、独立性查验原理、频次散布直方图预计中位数【名师点睛】（1）利用独立性查验，能够帮助我们对平时生活中的实质问题作出合理的推测和展望．独立性查验就是观察两个分类变量能否有关系，并能较为正确地给出这类判断的可信度，随机变量的观察值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．（2）利用频次散布直方图求众数、中位数和均匀数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．19 ．（ 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面，1ABC 90o,E是 PDABCD AB BC AD , BAD2的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面角 M AB D 的余弦值．【答案】（ 1）证明略；（ 2）10．5【考点】判断线面平行、面面角的向量求法【名师点睛】（1）求解此题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不必定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要仔细仔细、正确计算．（2）设 m，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等，故有 |cos θ|＝|cos<m，n>|= m n．求解时必定要注意联合实质图形判断所求角m n 是锐角仍是钝角．20．（ 12 分）设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C：x2y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点 P 2uuur uuuur 知足 NP2NM ．（ 1）求点 P 的轨迹方程；uuur uuur（ 2）设点 Q 在直线x3上，且OP PQ 1 ．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线 l 过 C 的左焦点F．【答案】（ 1）x2y 2 2 ；（2）证明略．【考点】轨迹方程的求解、直线过定点问题【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件成立x，y 之间的关系 F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的种类，求曲线方程．（3）定义法：先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入 (有关点 )法：动点 P(x，y)依靠于另一动点 Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点 P(x， y)的轨迹方程．21 ．（ 12 分）已知函数 f ( x) ax 2 ax x ln x ，且 f ( x)0 ．（ 1）求 a ；（ 2）证明： f ( x) 存在独一的极大值点 x 0 ，且 e 2f ( x 0 ) 2 2 ．【答案】（ 1） a1；（2）证明看法析．（ 2）由（ 1）知 f xx 2 x x ln x ， f ' ( x) 2x2ln x ．设 hx2x2 ln x ，则 h' ( x)2 1．x当 x(0, 1) 时， h' ( x)0 ；当 x( 1,) 时， h' ( x)0 ，22所以 h x在 (0,1) 上单一递减，在 ( 1, ) 上单一递加．2 2又 h e20， h( 1)0 ， h 10 ，所以 h x 在 (0,1) 有独一零点 x 0，在[1, ) 有2 2 2独一零点 1，且当 x0, x 0 时， h x0 ；当 x x 0,1 时， h x 0 ，当 x 1,时， h x0 ．由于 f ' (x) h x ，所以 xx 0 是 f x 的独一极大值点．由 f ' ( x 0 )0 得 ln x 02 x 0 1 ，故 f x 0 x 0 1 x 0 ．由x00,1得 f x0 1 ．4由于 x x0是f x 在（0，1）的最大值点，由e10,1，f '(e1) 0 得 f ( x0 ) f (e 1 ) e 2．所以e2f x022 ．【考点】利用导数研究函数的单一性、利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单一性、极值(最值 )最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考取，对导数的应用的观察都特别突出．导数专题在高考取的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的观察主要从以下几个角度进行：（ 1）观察导数的几何意义，常常与分析几何、微积分相联系；（ 2）利用导数求函数的单一区间，判断单一性；已知单一性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值 )，解决生活中的优化问题；（4）观察数形联合思想的应用．（二）选考题：共10 分．请考生在第22、 23 题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．22．选修 4―4：坐标系与参数方程]（ 10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4．（ 1） M 为曲线C1上的动点，点P 在线段 OM 上，且知足| OM | |OP | 16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；（ 2）设点 A 的极坐标为(2,) ，点B在曲线 C2上，求△OAB面积的最大值．3【答案】（ 1）224 x 0 ；（2） 2 3 ．x 2y（ 2）设点 B 的极坐标为B ,B 0 ，由题设知 OA 2,B 4cos，于是△ OAB 的面积S1OA B sin AOB 4cos| sin() | 2 |sin(2) 3 |23.2332时， S 获得最大值2 3 ，所以△OAB面积的最大值为 2 3 ．当12【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程、三角形面积的最值【名师点睛】此题观察了极坐标方程的求法及应用。
2017年高考全国Ⅱ卷理科数学试题(含答案解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、海南 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1．3+i 1+i =A ．1+2iB ．1–2iC ．2+iD ．2–i2．设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层 中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5．设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是A．15-B．9-C．1D．96．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种B．18种C．24种D．36种7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．执行右面的程序框图，如果输入的1a=-，则输出的S=A．2B．3C．4D．59．若双曲线C:22221x ya b-=（0a>，0b>）的一条渐近线被圆()2224x y-+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．23 310．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为 ABCD11．若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【黑龙江省大庆市】2017年高考二模数学(文科)试卷
19．（12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直
方图（如图），年上缴税收范围是[0,100] ，样本数据分组为第一组[0, 20) ，第二组 AA1 平面ABC ，第三
组[40,60) ，第四组[60,80) ，第五组[80,100] ． （1）求直方图中 x 的值； （2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1 200 个，试估计有多少企业可 以申请政策优惠； （3）若从第一组和第二组中利用分层抽样的方法抽取 6 家企业，试求在这 6 家企业中选 2 家，这 2 家企业 年上缴税收在同一组的概率．
记 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1 ， k2 ， k3 ，问：k1 k2 2k3 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请
-3-/4
说明理由．
21．（12 分）已知函数 f (x) ax ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数． （1）当 a 1时，求 f (x) 的最大值；
黑龙江省大庆市 2017 年高考二模数学（文科）试卷
一．选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．已知集合 A {2,1,0,1,2}， B {x | 2 x 2}，则 A B （ ）
A． {1, 0,1, 2}
20．（12
分）已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1（ a＞b＞0 ）经过点 P(2,
2) ，离心率 e
2 ，直线 l 的方程为 x 4 ． 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）经过椭圆右焦点 e 的任一直线（不经过点 a 1）与椭圆交于两点 A，B，设直线 AB 与 l 相交于点 M，
【黑龙江省大庆市】2017年高考二模数学(文科)试卷-答案
黑龙江省大庆市2017年高考二模数学（文科）试卷解析一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．2．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式得a2+a3+a4=3a3=3，从而a3=1，再由等差列前n项和公式得S5= =5a3，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，∴a2+a3+a4=3a3=3，解得a3=1，∴S5==5a3=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，由数量积公式可得到方程6﹣x=3，解此方程即可得出正确选项．【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，∴6﹣x=3，∴x=3．故选D【点评】本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，是基础题．5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】因为焦点在x轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=±，由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a，b的齐次式，再把b用a，c表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴∵b2=c2﹣a2，∴化简得，即e2=，e=故选A【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．根据双曲线的渐近线方程求离心率，关键是找到含a，c的等式．6．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k≤5，S=2，k=2满足条件k≤5，S=6，k=3满足条件k≤5，S=14，k=4满足条件k≤5，S=30，k=5满足条件k≤5，S=62，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，是基础题．7．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面，进行判定即可．【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交，故不正确．故选A【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．8．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于p的不等式，根据充分必要条件的定义求出m的范围即可．【解答】解：由|x﹣4|≤6，解得：﹣2≤x≤10，故p：﹣2≤x≤10；q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则1+m≥10，解得：m≥9；故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．9．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．【解答】解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，运用诱导公式化简求值，图形的对称性，考查计算能力，是基础题．10．【考点】几何概型．【分析】在该几何概型中，其测度为线段的长度，根据P（|x|≤m）=得出m﹣（﹣1）=3，即可求出m的值．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，∵x∈[﹣1，5]，又|x|≤m，得﹣m≤x≤m，∴|x|≤m的概率为：P（|x|≤m）==，解得l=3，即m﹣（﹣1）=3，∴m=2．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，是事件发生的概率与构成该事件区域的长度成比例，是基础题．11．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意求出f（x）﹣4，由函数的零点与方程的根的关系，分别列出方程求解，结合条件即可求出a的值．【解答】解：由题意得，f（x）=，则f（x）﹣4=，若x≠3，由得，x=或x=；若x=3，则a﹣4=0，则a=4，所以a=4满足函数y=f（x）﹣4有3个零点，故选D．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，分段函数的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，属于中档题．12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线y2=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，再依据抛物线的定义，由韦达定理可以求得答案．【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），联立抛物线方程，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设出A（x1，y1）、B（x2，y2）则x1+x2=2+，x1x2=1．依据抛物线的定义得出m+n=x1+x2+2＞4，当斜率k不存在时，m+n=4．则m+n的最小值是4．故选D．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于中档题．需要注意对斜率不存在的情况加以研究．二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据条件列出关于a1和q的方程组，解得即可．【解答】解：∵a1+a3=，∴，解得q=，a1=2，∴a6=2×（）5=，故答案为：【点评】本题考查等比数列的定义，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．14．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2．∴这个几何体的体积V==．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，结合z为目标函数纵截距四倍，平移直线0=2x+4y，发现其过（0，2）时z有最大值即可求出结论．【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故答案为：20．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．16．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．【解答】解：f′（x）=e x+xe x=e x（x+1），∴切线斜率k=f′（1）=2e，∴f（x）在（1，e）处的切线方程为y﹣e=2e（x﹣1），即y=2ex﹣e，∵y=2ex﹣e与坐标轴交于（0，﹣e），（，0）．∴y=2ex﹣e与坐标轴围成的三角形面积为S==．故答案为：．【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．三.解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．【点评】本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题．18．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AF，由已知条件推导出面ABC⊥面BB1C1C，从而AF⊥B1F，由勾股定理得B1F⊥EF．由此能证明平面AB1F⊥平面AEF．（2）利用等面积方法，即可求出点C到平面AEF的距离．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查点C到平面AEF的距离的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率和为1，列方程求出x的值；（2）计算上缴税收不少于60万元的频率与频数即可；（3）根据第一组与第二组的企业家数比求出每组抽取的家数，用列举法计算基本事件数，计算对应的概率值．【点评】本题主要考查了频率分布直方图与列举法求古典概型的概率问题，也考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题．20．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）求得椭圆右焦点坐标，设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，结合等差数列中项，即可得证．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，直线的斜率公式和等差数列中项性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，即为xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，讨论x=1和x＞1，由参数分离和构造函数g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），求出导数和单调性，即可判断g（x）的单调性，可得a的范围．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，求得导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用．[选修4－5：不等式选讲]23．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．【点评】本题属不等式恒成立问题，较为基础，主要考查了含绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式的性质求最值等，求解此类问题时，应掌握以下几点：1．若m≤f（x）恒成立，只需m≤[f（x）]min；若m≥f（x）恒成立，只需m≥[f（x）]max．2．|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x），|g（x）|≥h（x）⇔g（x）≥h（x），或g（x）≤﹣h（x）．。
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2017年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（ ） A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（ ） A．6 B．5 C．4 D．3
4．（5分）已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．（5分）已知条件p：|x﹣4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，9] C．[1，9] D．[9，+∞） 6．（5分）运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（ ）
A．14 B．30 C．62 D．126 7．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展 开式中含x2项的系数是（ ） A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56 8．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（ ） A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α B．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α C．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n 9．（5分）已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（ ） A． B． C． D．
10．（5分）男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，则其中女生人数是（ ） A．2人 B．3人 C．2人或3人 D．4人 11．（5分）已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（ ） A． B． C． D． 12．（5分）下列结论中，正确的有（ ） ①不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根； ②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为；
③函数y=ln与y=lntan是同一函数；
④在椭圆+=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值． A．①④ B．①③ C．①② D．②④ 二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=，a2+a4=，则S6= ．
14．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为 ． 15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为 ．
16．（5分）下列命题正确是 ，（写出所有正确命题的序号） ①若奇函数f（x）的周期为4，则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；
②若a∈（0，1），则a1+a＜a； ③函数f（x）=ln是奇函数；
④存在唯一的实数a使f（x）=lg（ax+）为奇函数．
三、解答题（本题6小题，共70分） 17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A． （1）求cosB的值； （2）求sin2A+sinC的值． 18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点． （1）求证：平面AB1F⊥平面AEF； （2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值． 19．（12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]． （I）求直方图中x的值； （Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠； （Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点P（2，），离心率e=，直线l的渐近线为x=4． （1）求椭圆C的方程； （2）经过椭圆右焦点D的任一直线（不经过点P）与椭圆交于两点A，B，设直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值若不存在，说明理由． 21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数． （1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值； （2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值； （3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．
[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 （t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ． （Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程； （Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立． （Ⅰ）求m的取值范围； （Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8． 2017年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）（2017•大庆二模）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（ ） A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}， B={x|﹣2＜x≤2}， 则A∩B={﹣1，0，1，2}． 故选：A．
2．（5分）（2017•大庆二模）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为
（，﹣）， 故选D．
3．（5分）（2017•大庆二模）已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3， ∴6﹣x=3，∴x=3． 故选D 4．（5分）（2017•大庆二模）已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．
【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上， ∴渐近线方程为y=±， 又∵渐近线方程为y=， ∴
∴ ∵b2=c2﹣a2， ∴
化简得， 即e2=，e= 故选A
5．（5分）（2017•大庆二模）已知条件p：|x﹣4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，9] C．[1，9] D．[9，+∞） 【解答】解：由|x﹣4|≤6，解得：﹣2≤x≤10， 故p：﹣2≤x≤10； q：x≤1+m， 若p是q的充分不必要条件， 则1+m≥10，解得：m≥9； 故选：D． 6．（5分）（2017•大庆二模）运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（ ） A．14 B．30 C．62 D．126 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1，S=0 满足条件k≤5，S=2，k=2 满足条件k≤5，S=6，k=3 满足条件k≤5，S=14，k=4 满足条件k≤5，S=30，k=5 满足条件k≤5，S=62，k=6 不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62， 故选：C．
7．（5分）（2017•大庆二模）在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（ ） A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56 【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大， ∴展开式中第5项是中间项，共有9项， ∴n=8； 展开式的通项公式为 Tr+1=•x8﹣r•=（﹣1）r••x8﹣2r， 令8﹣2r=2，得r=3， ∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3•=﹣56．
故选：C．
8．（5分）（2017•大庆二模）已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（ ） A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α B．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α C．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n 【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α， 不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交， 故不正确． 故选A
9．（5分）（2017•大庆二模）已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（ ） A． B． C． D．
【解答】解：=2sin（x+）， 函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数， ∴φ= 故选D．
10．（5分）（2017•大庆二模）男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，则其中女生人数是（ ） A．2人 B．3人 C．2人或3人 D．4人