高中数学北师大版高二必修5_第一章1.2_数列的函数特性_作业 含解析

高中数学北师大版高二必修5_第一章1.2_数列的函数特性_作
业 含解析
[学业水平训练]
1．下列说法中不正确的是( )
A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列
B ．数列{f (n )}就是定义在正整数集N ＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数值
C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列
D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列
解析：选B.A ，D 显然正确；对于B ，因为数列{f (n )}是定义在正整数集N ＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数a n ＝f (n )，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B 项不正确；对于C ，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．
2．数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－4n ，则数列{a n }各项中最小的项是( )
A ．第1项
B ．第2项
C ．第3项
D ．第4项
解析：选B.∵a n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，画出图像可知，当n ＝2时，a 2最小值为－4，故选B.
3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n n ＋2
，则a n 与a n ＋1间的大小关系是( ) A ．a n ＞a n ＋1 B ．a n ＜a n ＋1
C ．a n ＝a n ＋1
D ．不能确定
解析：选B.∵a n ＝2（n ＋2）－4n ＋2＝2－4n ＋2
， ∴a n ＋1－a n ＝(2－4n ＋3)－(2－4n ＋2)＝4n ＋2－4n ＋3＝4（n ＋3）（n ＋2）
＞0∴a n ＋1＞a n 故选B. 4．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )
A ．109
B ．10818
C ．108
D ．107
解析：选C.a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n 2－292n )＋3＝－2·(n －294)2＋3＋2928
，当n ＝7时，a n 最大且等于108，
故选C.
5．已知数列{a n }满足a n ＝n －1n a n －1
(n ≥2)，则数列{a n }为( ) A ．递增数列 B ．递减数列
C ．常数列
D ．以上都有可能
解析：选D.若a 1>0，则a n ＜a n －1(n ≥2)，{a n }为递减数列；若a 1＝0，则a n ＝0(n ∈N ＋)，{a n }为常数列；若a 1＜0，则a n ＞a n －1(n ≥2)．{a n }为递增数列，故选D.
6．在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55…中，x 的值是________．
解析：可以看出该数列中，从第3项起，每一项都等于它的前两项的和，所以x ＝8＋13＝21. 答案：21
7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －102，那么数列从第________项开始值大于零．
解析：令4n －102＞0，得n ＞2512
，∴数列{a n }从第26项开始值大于零． 答案：26
8．已知数列{a n }为单调递增数列，通项公式为a n ＝n ＋λn
，则λ的取值范围是________． 解析：由于数列{a n }为单调递增数列，a n ＝n ＋λn ，所以a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)＋λ
n ＋1]－(n ＋λn )＝1－
λ
n （n ＋1）
＞0，即λ＜n (n ＋1)(n ∈N ＋)，所以λ＜2. 答案：(－∞，2)
9．已知：函数f (x )＝x －x 2＋1，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，试判断数列{a n }的单调性． 解：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－（n ＋1）2＋1－(n －n 2＋1)
＝1－[（n ＋1）2＋1－n 2＋1]＝1－2n ＋1（n ＋1）2＋1＋n 2＋1
＞1－2n ＋1（n ＋1）＋n ＝0，∴a n ＋1＞a n .∴数列{a n }是递增数列．
10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n .数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .
(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1≤c n .
解：(1)a 1＝S 1＝4.
对于n ≥2，有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n .
综上，{a n }的通项公式a n ＝4n .
将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1.
(求b n 方法1)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，
T n ＝2－b n 得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，
b n ＝12
b n －1，b n ＝21－n . (求b n 方法2)对于n ≥2，由T n ＝2－b n 得
T n ＝2－(T n －T n －1)，
2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12
(T n －1－2)， T n －2＝21－n (T 1－2)，
T n ＝2－21－n ，
b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n .
综上，{b n }的通项公式b n ＝21－n .
(2)证明：法一：由c n ＝a 2n ·b n ＝n 22
5－n ，得 c n ＋1c n ＝12(1＋1n
)2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43
<2，即c n ＋1<c n . 法二：由c n ＝a 2n ·b n ＝n 22
5－n ，得 c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]．
当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1<c n .
[高考水平训练]
1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N ＋，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范
围是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－2，＋∞)
D ．(－3，＋∞)
解析：选D.由a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2.
则k ＞－(2n ＋1)对于n ∈N ＋都成立，而－(2n ＋1)当n ＝1时取到最大值－3.所以k ＞－3，故选D.
2．已知数列{a n }的通项a n ＝n －96n －98
，n ∈N ＋，则数列{a n }的最大项为________，最小项为________． 解析：
将数列{a n }的通项公式变形为a n ＝1＋98－96n －98，考察函数f (x )＝1＋98－96x －98
，画出图像如图所示，
数列{a n }的图像即为曲线上横坐标为正整数的孤立的点，易知n ＝10时，a n 取得最大值，为10－9610－98
；n ＝9时，a n 取得最小值，为9－969－98
. 所以，数列{a n }中最大项为a 10＝10－9610－98，最小项为a 9＝9－969－98
. 答案：10－9610－98 9－969－98
3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2
2
n (n ∈N ＋)．问：是否存在正整数k ，使对任意正整数n 都有a n ≤a k 成立？说明理由．
解：∵数列{a n }为正项数列，所以a n ＋1a n ＝（n ＋1）22
n ＋1·2n n 2＝（n ＋1）22n 2＝12(1＋1n )2. ∴当n ≥3时，12(1＋1n
)2＜1，即a n ＋1＜a n ，故当n ≥3时{a n }为递减数列． 又∵a 1＝12，a 2＝1，a 3＝98，∴a 1＜a 2＜a 3＞a 4＞a 5＞…，即a n ≤a 3＝98
.∴存在正整数k ＝3，使a n ≤a k 成立．
4．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明数列{a n }是递减数列．
解：(1)∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ，
∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n
＝－2n . 整理得a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n .
(2)证明：∵a n ＞0，且a n ＋1a n ＝（n ＋1）2＋1－（n ＋1）n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n （n ＋1）2＋1＋（n ＋1）
＜1， ∴a n ＋1＜a n .故数列{a n }是递减数列．。