高一数学必修一第四章指数函数与对数函数
高一数学必修一第四章指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数，也是高一数学必修一中第四章需要掌握的重点内容。在本章中，我们将深入了解指数函数和对数函数之间的关系，以及它们在日常生活中的广泛运用。
首先，让我们来回顾一下指数函数的定义，指数函数是以一个特定的基数为底的函数，它可以表示当x变化时会随之改变的一种量的数学表示。指数函数的形式为 y = ax，这里的a是基数，当a = 1时，指数函数称为底数为1的单调函数。指数函数在实际应用中有广泛的用途，例如在我们日常生活中，我们会碰到“一年涨三分”，“一年贴现百分之十”等概念，都属于指数函数的范畴。
接着，我们再来讨论一下对数函数，它的定义是以指数函数的反函数，它的形式为 y = logax，其中a又称为对数的底数。在日常生活中，我们会经常碰到对数函数的应用，例如我们可以使用它来计算发动机的功率，照明强度，声音等等。
另外，指数函数和对数函数之间也有着重要的联系，它们之间具有逆函数关系，即y = axy = logax两个函数可以相互替换，也就是说当a是一个正数时，其两个函数的函数图形是可以经过对称轴翻转后对号入座的。
除此之外，我们还可以运用指数函数和对数函数中的经典公式来解决实际问题，例如以水的分解为例，水的分解可以用以下的指数函数公式来表示：
n = a1 + a2，其中a1代表水的分解率，a2是水的生成率。当
a1等于2时，这个公式就可以转换为一个对数函数的形式：n = log2a2。
总之，指数函数和对数函数在实际应用中都是极为重要的，它们之间也存在着紧密的联系，它们被广泛地运用在人们日常生活中，而且也可以利用它们来解决实际问题。
高中数学必修一新教材第四章指数函数与对数函数
第四章指数函数与对数函数 4.1指数 第1课时根式 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，n a n＝a. (2)n为偶数时，n a n＝|a|＝ ⎩ ⎨ ⎧a，a≥0， －a，a<0.
(3)n 0＝0. (4)负数没有偶次方根． 思考：(n a )n 中实数a 的取值范围是任意实数吗？ 提示：不一定，当n 为大于1的奇数时，a ∈R ； 当n 为大于1的偶数时，a ≥0. 1.4 81的运算结果是( ) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．±3 2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.5m C.6 m D.5－m 3．下列说法正确的个数是( ) ①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当a ≥0时才有意义． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．若x 3＝－5，则x ＝________. n 次方根的概念问题 【例1】 (1)27的立方根是________．(2)已知x 6＝2 019，则x ＝________. (3)若4 x ＋3有意义，则实数x 的取值范围为________． n 次方根的个数及符号的确定 (1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数； (2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号. 1．已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列4个式子：
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第四章指数函数与对数函数 4.1.1根式 (1) 4.1.2指数幂及其运算 (4) 4.2.1指数函数及其图象性质 (8) 4.2.2指数函数的性质及其应用 (11) 4.3.1对数的概念 (16) 4.3.2对数的运算 (18) 4.4.1对数函数及其图象 (22) 4.4.2对数函数的性质及其应用 (26) 4.4.3不同函数增长的差异 (30) 4.5.1函数的零点与方程的解 (34) 4.5.2用二分法求方程的近似解 (38) 4.5.3函数模型的应用 (42) 4.1.1根式 要点整理 1．根式的概念 一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负 数，这时，a的n次方根用符号n a表示． (2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±n a，负数没有偶次方 根． (3)0的任何次方根都是0，记作n 0＝0. 式子n a叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质 根据n次方根的意义，可以得到： (1)(n a)n＝a. (2)当n是奇数时，n a n＝a；当n是偶数时， n a n＝|a|＝ ? ? ?a，a≥0， －a，a<0.
温馨提示：(n a )n 中当n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，而(n a n )中a ∈R . 题型一根式的意义 【典例1】 下列说法正确的个数是( ) ①16的4次方根是2；②4 16的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时， n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当a ≥0时才有意 义． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102 C.210 D ．± 102 [思路导引] 利用n 次方根的概念求解． [解析] (1)①16的4次方根应是±2；②4 16＝2，所以正确的应为③④. (2)∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． ∴m ＝± 102. [答案] (1)B (2)D n (n >1)次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式n a 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定： ①当n 为偶数时，n a 为非负实数； ②当n 为奇数时，n a 的符号与a 的符号一致． 题型二简单根式的化简与求值
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数对数函数知识点高中数学必修一中，指数函数和对数函数是重要的知识点。指数函数是一种以指数为自变量的函数，形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。而对数函数是指数函数的逆运算，形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。以下是关于指数函数和对数函数的具体知识点。 一、指数函数的图像和性质 1.指数函数的基本形式： -y=a^x，其中a>0且a≠1 2.指数函数的基本性质： -当0
三、指数函数和对数函数的运算性质 1.指数函数的运算性质： -a^x*a^y=a^(x+y)； - (a^x)^y = a^(xy)； - (ab)^x = a^x * b^x； -a^0=1，其中a≠0。 2.对数函数的运算性质： - loga(xy) = loga(x) + loga(y)； - loga(x^y) = y * loga(x)； - loga(x/y) = loga(x) - loga(y)； - loga(1) = 0，其中a≠0。 四、指数函数和对数函数的应用 1.指数函数在生活中的应用： -经济增长模型中的应用； -指数衰减与物质的半衰期计算； -大自然中的指数增长现象。 2.对数函数在生活中的应用： -pH值的计算； -放大器的功率增益计算；
高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第四章 指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版 班级:___________姓名：___________考号：___________ 一、单选题 1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定： ①如一次性购物不超过200元不予以折扣； ②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； ③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ） A ．608元 B ．591.1元 C ．582.6元 D ．456.8元 2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（ ） A ．4329d B ．30323d C ．60150d D ．90670d 3．函数()f x = ） A ．()1,0- B ．(),1-∞-和()0,1 C ．()0,1 D ．(),1-∞-和()0,∞+ 4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ） A ．90100a << B ．90110a << C ．100110a << D ．80100a << 5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ） A ．2p q +； B ．()()1112p q ++-； C ； D 1． 6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419 t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ） A ．3h B ．4h C ．5h D ．6h 7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
高一数学必修一第四章指数函数与对数函数
高一数学必修一第四章指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数，也是高一数学必修一中第四章需要掌握的重点内容。在本章中，我们将深入了解指数函数和对数函数之间的关系，以及它们在日常生活中的广泛运用。 首先，让我们来回顾一下指数函数的定义，指数函数是以一个特定的基数为底的函数，它可以表示当x变化时会随之改变的一种量的数学表示。指数函数的形式为 y = ax，这里的a是基数，当a = 1时，指数函数称为底数为1的单调函数。指数函数在实际应用中有广泛的用途，例如在我们日常生活中，我们会碰到“一年涨三分”，“一年贴现百分之十”等概念，都属于指数函数的范畴。 接着，我们再来讨论一下对数函数，它的定义是以指数函数的反函数，它的形式为 y = logax，其中a又称为对数的底数。在日常生活中，我们会经常碰到对数函数的应用，例如我们可以使用它来计算发动机的功率，照明强度，声音等等。 另外，指数函数和对数函数之间也有着重要的联系，它们之间具有逆函数关系，即y = axy = logax两个函数可以相互替换，也就是说当a是一个正数时，其两个函数的函数图形是可以经过对称轴翻转后对号入座的。 除此之外，我们还可以运用指数函数和对数函数中的经典公式来解决实际问题，例如以水的分解为例，水的分解可以用以下的指数函数公式来表示： n = a1 + a2，其中a1代表水的分解率，a2是水的生成率。当
a1等于2时，这个公式就可以转换为一个对数函数的形式：n = log2a2。 总之，指数函数和对数函数在实际应用中都是极为重要的，它们之间也存在着紧密的联系，它们被广泛地运用在人们日常生活中，而且也可以利用它们来解决实际问题。
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结 第四章指数函数与对数函数
新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结 第四章指数函数与对数函数 【考纲要求】 序号考点 课标 要求 1指数函数①通过对有理数指数幂且为整 数，且，实数指数幂 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂 的运算性质。 了解 ②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解 指数函数的概念了解③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的 图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 掌握 2对数函数①理解对数的概念，及运算性质，知道用换底公式 能将一般对数转化成自然对数和常用对数 理解②通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点 法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索 并了解对数函数的单调性与特殊点 掌握③知道对数函数与指数函数互为反 函数. 了解 3二分法与 求方程近 似解 ①结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的 关系 了解 ②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零 点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并 会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近 似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。 掌握 4函数与数 学模型 ①理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律 的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合 适的函数类型刻画现实问题的变化规律。 理解 ②结合现实情境中的具体问题，利用计算公具，比 较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的 差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数 爆炸”等术语的现实含义。 理解 ③收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领 域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实 际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。 了解
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数 （讲解和习题） 基础知识讲解 一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【基础知识】 1、指数函数的定义： 一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）． 2、指数函数的解析式： y＝a x（a＞0，且a≠1） 【技巧方法】 ①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由： 如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义； 如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在． 如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要， 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1． 二．指数函数的图象与性质 【基础知识】 1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1 图象 定义域 R 值域 （0，+∞） 性质 过定点（0，1） 当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1； x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数 在R 上是减函数 2、底数与指数函数关系 ①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图． ①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝ 的图象关于y 轴对称． 3、利用指数函数的性质比较大小： 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较； 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数、对数函数知识点考点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞ 1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞ 1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律：a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝ . 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指 数 函 数 的 概 念 、 图 象 与 性 质 1、解析式：y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象： 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质： ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性：在定义域R上 当a＞1时，在R上是增函数 当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值：在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近； 当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性：非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的 值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.1 0.4－0.2 , ②0.30.4 0.40.3, 233 322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数， 则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2 知识 点 内容典型题 对 数 的 概 念 定义：设a＞0且a≠1，若a的b 次幂为N，即a b＝N，则b叫做以a 为底N的对数，记作log a N＝b. (a叫做底数，N叫做真数，式子log a N 叫做对数式.) a b＝N log a N＝b(a＞0且a≠1) 当a＝10时，x 10 log简记为lg x,称 为常用对数；当a＝e(e≈2.718…)时， x e log简记为ln x，称为自然对数. 11.把5.0 9017 .0= x化为对数式为 . 12.把lg x＝0.35化为指数式为 . 13.把ln x＝2.1化为指数式为 . 14. log3 x＝－ 2 1 ,则x＝ . 15.已知：8a=9，2b=5，求log9125．
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数的运算讲义
知识点一对数的运算性质 若a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么： （１）log a（M·N）＝log a M＋log a N， （２）log a错误!＝log a M—log a N， （３）log a M n＝n log a M（n∈R）． 错误!对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log２[（—３）·（—５）]＝log２（—３）＋log２（—５）是错误的．知识点二对数换底公式 log a b＝错误!（a＞0，a≠１，c＞0，c≠１，b＞0）． 特别地：log a b·log b a＝１（a＞0，a≠１，b＞0，b≠１）． 错误!对数换底公式常见的两种变形 （１）log a b·log b a＝１，即错误!＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 . （２）log N n M m＝错误!log N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的错误!倍． [教材解难] 换底公式的推导 设x＝log a b，化为指数式为a x＝b，两边取以c为底的对数，得log c a x＝log c b，即x log c a＝log c b. 所以x＝错误!，即log a b＝错误!. [基础自测] １．下列等式成立的是（） Ａ．log２（8—４）＝log２8—log２４ Ｂ．错误!＝log２错误!
Ｄ．log２（8＋４）＝log２8＋log２４ 解析：由对数的运算性质易知C正确． 答案：C ２．错误!的值为（） Ａ．错误!Ｂ．２ Ｃ．错误!Ｄ．错误! 解析：原式＝log３9＝２． 答案：B ３．２log５１0＋log５0．２５＝（） Ａ．0 Ｂ．１ Ｃ．２Ｄ．４ 解析：原式＝log５１0２＋log５0．２５ ＝log５（１0２×0．２５）＝log５２５＝２． 答案：C ４．已知ln ２＝a，ln ３＝b，那么log３２用含a，b的代数式表示为________．解析：log３２＝错误!＝错误!. 答案：错误! 题型一对数运算性质的应用[教材P１２４例３] 例１求下列各式的值： （１）lg 错误!； （２）log２（４7×２５）． 【解析】（１）lg错误!＝lg １001 5＝错误!lg １00＝错误!； （２）log２（４7×２５）＝log２４7＋log２２５
第四章指数函数与对数函数知识点清单总结梳理-高一上学期数学人教A版
新教材人教A版2019版数学必修第一册 第四章知识点清单 目录 第四章指数函数与对数函数 4. 1 指数 4. 2 指数函数 4. 3 对数 4. 4 对数函数 4. 5 函数的应用（二）
第四章 指数函数与对数函数 4. 1 指数 一、根式 1. n 次方根 (1)定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N *. (2)表示： 注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作√0=0. 2. 根式 (1)定义：式子√a n 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质(其中n>1，且n∈N *)： ①(√a n )n =a. ②当n 为奇数时， √a n n =a ；当n 为偶数时， √a n n =|a|={a ，a ≥0，−a ，a <0. 二、分数指数幂 1. 正数的正分数指数幂： a m n =√a m n (a>0，m ，n∈N *，n>1). 2. 正数的负分数指数幂： a −m n =1a m n =√a m n (a>0，m ，n∈N *，n>1). 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 三、实数指数幂 1. 一般地，无理数指数幂a α(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. 这样，指数幂a x (a>0)中指数x 的取值范围就从整数逐步拓展到了实数. 实数指数幂是一个确定的实数.
四、实数指数幂的运算性质 1. a r a s = a r+s (a>0，r ，s∈R)； 2. (a r )s =a rs (a>0，r ，s∈R)； 3. (ab)r =a r b r (a>0，b>0，r∈R). 4. 拓展：a r a s =a r-s (a>0，r ，s∈R). 五、根式与分数指数幂的化简、求值 1. 运用根式的性质解题时的注意点 (1)分清根式是奇次根式还是偶次根式： n>1，且n 为奇数时，( √a n )n =√a n n =a ，a 为任意实数； n>1，且n 为偶数，a ≥0时，(√a n )n 才有意义，且(√a n )n =a ； n>1，且n 为偶数，a 为任意实数时， √a n n 均有意义，且√a n n =|a|. (2)注意变式、整体代换，以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论. 2. 根式与分数指数幂化简、求值的技巧 (1)将根式化为幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，负指数幂化为正指数幂的倒数. (2)底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于利用指数幂的运算性质. 注意：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 六、指数幂的条件求值问题 解决指数幂的条件求值问题的一般方法——整体代换法 1. 将已知条件或所求代数式进行恰当变形，从而通过“整体代换法”求出代数式 的值. 整体代换法是数学变形与计算常用的方法，分析观察条件与所求代数式的 结构特点，灵活运用恒等式是关键.
人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结
人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结 一、指数函数的概念与性质： 指数函数是以一个常数为底数，自变量是指数的函数，可以表示为 y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1 1.指数函数的定义域为全体实数集，值域为(0,+∞)。 2.当a>1时，指数函数呈现递增趋势；当0 三、常见指数函数与对数函数： 1. y = 2^x：对数函数 y = log2(x)。 2. y = 3^x：对数函数 y = log3(x)。 4. y = 10^x：对数函数 y = log10(x)。 四、指数函数与对数函数的应用： 1.物质的衰减与增长：指数函数可以用来描述放射性元素的衰变过程，而对数函数则可以用来描述人口增长、物质浓度衰减等过程。 2.科学计算与数据压缩：指数函数与对数函数在科学计算领域应用广泛，可用于求解数值问题、压缩数据等。 3.经济学与金融学：指数函数与对数函数在经济学与金融学领域有诸 多应用，如利息计算、投资回报率分析等。 4.生物学与医学：指数函数与对数函数在生物学与医学领域也有广泛 应用，如细胞增殖、病毒复制等。 总结： 指数函数与对数函数是数学中重要的函数之一，广泛应用于自然科学、工程技术、经济学、医学等领域。掌握指数函数与对数函数的基本性质及 应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。因此，学生在学习过程中 需要通过大量的练习来掌握指数函数和对数函数的应用技巧，培养数学建 模和问题解决的能力。 最新课程标准： （１）通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．（２）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 知识点一指数函数的定义 函数y＝a x（a>0且a≠１）叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R. 错误!指数函数解析式的３个特征 （１）底数a为大于0且不等于１的常数． （２）自变量x的位置在指数上，且x的系数是１． （３）a x的系数是１． 知识点二指数函数的图象与性质 a>１0 [教材解难] 规定底数a>0且a≠１的理由 （１）如果a＝0，则错误! （２）如果a<0，比如y＝（—２）x，这时对于x＝错误!，错误!，错误!，错误!，…在实数范围内函数值不存在． （３）如果a＝１，那么y＝１x＝１是常量，对此就没有研究的必要． [基础自测] １．下列各函数中，是指数函数的是（） Ａ．y＝（—３）xＢ．y＝—３x Ｃ．y＝３x—１Ｄ．y＝错误!x 解析：根据指数函数的定义y＝a x（a>0且a≠１）可知只有D项正确． 答案：D ２．函数f（x）＝错误!的定义域为（） Ａ．RＢ．（0，＋∞） Ｃ．[0，＋∞）Ｄ．（—∞，0） 解析：要使函数有意义，则２x—１>0，∴２x>１，∴x>0． 答案：B ３．在同一坐标系中，函数y＝２x与y＝错误!x的图象之间的关系是（） Ａ．关于y轴对称Ｂ．关于x轴对称 Ｃ．关于原点对称Ｄ．关于直线y＝x对称 解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选Ａ． 答案：A ４．函数f（x）＝错误!的值域为________． 解析：由１—e x≥0得e x≤１，故函数f（x）的定义域为{x|x≤0}，所以0 4.4 对数函数 1．对数函数的定义 一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1. (2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示： a＞10＜a＜1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数 非奇非偶函数 3.反函数 对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称． 4．对数型复合函数的单调性 复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数. 对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域． 5．对数型复合函数的值域 对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： (1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数； (2)解f(x)>0，求出函数的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝log a u的单调性求解． 最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用. 知识点一对数函数的概念 函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）． 错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质 a＞１0＜a＜１ 图 象 性质 定义域（0，＋∞） 值域R 过点（１,0），即当x＝１时，y＝0 在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数 错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”． 知识点三反函数 一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． [教材解难] １．教材P１３0思考 根据指数与对数的关系，由y ＝错误! 5730 x （x ≥0）得到x ＝log 573012 y （0＜y ≤１）．如 图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730 x （x ≥0） 的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012 y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就 是说，函数x ＝log 573012 y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律． ２．教材P １３２思考 利用换底公式，可以得到y ＝log 12 x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x 轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12 x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴 对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12 x 的图象． ３．教材P １３8思考 一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋ 高一数学指数函数对数函数知识点导语： 在高中数学中，指数函数与对数函数是一个非常重要的数学概念和知识点。它们在不同领域的应用非常广泛，比如金融、科学等。本文将深入探讨高一数学中的指数函数和对数函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。 一、指数函数的基本概念与性质 1. 指数函数的定义 指数函数是以常数e（自然对数的底）为底的函数，表示为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1，x为实数。 举例来说，函数f(x) = 2^x就是一个指数函数，其中以2为底。 2. 指数函数的性质 ①指数函数的定义域为实数集, 即所有实数x。 ②指数函数的值域为正数集, 即所有大于0的实数。 ③指数函数是递增函数，即当x1 < x2时，a^x1 < a^x2。 ④当a > 1时，指数函数的图像是递增的；当0 < a < 1时，指数函数的图像是递减的。 二、对数函数的基本概念与性质 1. 对数函数的定义 对数函数是指数函数的反函数。以常数e为底的对数函数称为自然 对数函数，记作ln(x)。 举例来说，函数g(x) = log2(x)就是一个以2为底的对数函数。 2. 对数函数的性质 ①对数函数的定义域为正数集，即只有正实数才有对数。 ②对数函数的值域为实数集。 ③对数函数是递增函数，即当x1 < x2时，log(x1) < log(x2)。 ④对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x。 三、指数函数与对数函数之间的关系 注意：以下的例子仅为了便于理解，具体数值仅供参考。 1. 自然对数与指数函数的关系 e^x = a 可以转化为 ln(a) = x。 例如，e^2 = 7.39 可以转化为 ln(7.39) = 2。 2. 对数函数的性质与指数函数的性质 对数函数的一些基本性质与指数函数的一些基本性质是相互关联的，如： ① loga(xy) = loga(x) + loga(y) ② loga(x/y) = loga(x) - loga(y) 人教A 版（2019）高一数学第四章指数函数与对数函数 《4.1.1 n 次方根与分数指数幂》教学设计 （一）教学内容 n 次方根与分数指数幂的关系，分数（有理数）指数幂的意义。 （二）教材分析 1. 教材来源 本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第1节《指数》第１课时。 2. 地位与作用 从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂 ()0,;1,0>≠>n n m a a a n m 为整数，且且 、实数指数幂R)∈1；； ≠且a 0，(a>a x 含 义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． （三）学情分析 1.认知基础： 学生在初中已经学习过整数指数幂，在幂函数的学习中，接触过形如2 1S 的以分数为指数的幂。 2.认知障碍： 从整数指数幂过渡上升转化到分数指数幂的数学抽象需初步培养，还不足以支撑学生非常清晰的理解。 （四）教学目标 1. 知识目标： ①掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； ②了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； ③理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 2. 能力目标： ①由整数指数幂上升到分数指数幂； ②学会借助已有经验，有意识的进行类比处理。 3.素养目标：通过根式与分数指数幂之间的相互转化培养数学抽象核心素养； 利用逻辑推理理解分式指数幂的含义； 正确运用根式的运算性质进行根式的运算，提升数学运算核心素养。 （五）教学重难点： 《指数函数与对数函数》本章教材分析 一、本章知能对标 二、本章教学规划 本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在 解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养. 三、本章教学目标 1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1). 3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性. 4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 四、本章教学重点难点 重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质. 五、课时安排建议 本章教学约需11课时,具体安排如下: 六、本章教学建议 1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究 考点学习目标 核心素养 对数了解对数、常用对数、自然对数的概念， 会用对数的定义进行对数式与指数式的互 化 数学抽象、数学运算 对数的基本性质理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值数学运算 问题导学 预习教材P１２２—P１２３，并思考以下问题： １．对数的概念是什么？ ２．对数式中底数和真数分别有什么限制？ ３．什么是常用对数和自然对数？ １．对数的概念 一般地，如果a x＝N（a>0，且a≠１），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数． ■名师点拨 log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写． ２．对数式与指数式的关系 ３．常用对数与自然对数 ４．对数的基本性质 （１）负数和0没有对数． （２）log a１＝0（a＞0，且a≠１）． （３）log a a＝１（a＞0，且a≠１）． 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）对数log３9和log9３的意义一样．（） （２）（—２）３＝—8可化为log（—２）（—8）＝３．（）（３）对数运算的实质是求幂指数．（） 答案：（１）×（２）×（３）√ 若a２＝M（a＞0且a≠１），则有（） Ａ．log２M＝a Ｂ．log a M＝２ Ｃ．log a２＝M Ｄ．log２a＝M 答案：B 把对数式log a４9＝２写成指数式为（） Ａ．a４9＝２Ｂ．２a＝４9Ｃ．４9２＝aＤ．a２＝４9答案：D log ３错误!＝0，则x＝________． 答案：３ 指数式与对数式的互化 将下列指数式与对数式互化： （１）e a＝１6; （２）6４—错误!＝错误!； （３）log３9＝２; （４）log x y＝z（x＞0且x≠１，y＞0）． 【解】（１）log e１6＝a，即ln １6＝a. （２）log6４错误!＝—错误!. （３）３２＝9． （４）x z＝y. 错误! 将下列指数式与对数式互化： （１）log２１6＝４; （２）log错误!２7＝—３；（３）４３＝6４; （４）错误!错误!＝１6． 解：（１）由log２１6＝４可得２４＝１6． （２）由log错误!２7＝—３可得错误!错误!＝２7．（３）由４３＝6４可得log４6４＝３． （４）由错误!错误!＝１6可得log错误!１6＝—２． 利用对数式与指数式的关系求值求下列各式中x的值： （１）log２7x＝—错误!；（２）log x１6＝—４；（３）lg 错误!＝x; （４）—ln e—３＝x. 【解】（１）因为log２7x＝—错误!， 所以x＝２7—错误!＝（３３）—错误!＝３—２＝错误!.（２）因为log x１6＝—４， 4．3.2 对数的运算 [目标] 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用． [重点] 对数的运算性质的推导与应用． [难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用． 知识点一 对数的运算性质 [填一填] 如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0.那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a M N ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． [答一答] 1．若M ,N 同号,则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？ 提示：不一定,当M >0,N >0时成立,当M <0,N <0时不成立． 2．你能推导log a (MN )＝log a M ＋log a N 与log a M N ＝log a M －log a N (M ,N >0,a >0且a ≠1)两个公式吗？ 提示：①设M ＝a m ,N ＝a n ,则MN ＝a m ＋ n .由对数的定义可得log a M ＝m ,log a N ＝n ,log a (MN )＝m ＋n . 这样,我们可得log a (MN )＝log a M ＋log a N . ②同样地,设M ＝a m ,N ＝a n , 则M N ＝a m － n .由对数定义可得log a M ＝m , log a N ＝n ,log a M N ＝m －n , 即log a M N ＝log a M －log a N . 知识点二 换底公式 [填一填] 前提 原对数的底数a 的取值范围 a >0,且a ≠1新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数指数函数的概念讲义
人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》4.4对数函数常见题型Word版含解析
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数讲义
高一数学指数函数对数函数知识点
人教A版(2019)高一数学第四章指数函数与对数函数整章教案(整章)
高中数学必修第一册人教A版(2019)第四章 《指数函数与对数函数》本章教材分析
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数的概念教案
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数 对数的运算学案含解析新人教A版必修第一册