《正弦函数的图象和性质再认识》示范教学方案北师大新课标

5.1正弦函数的图象和性质再认识 1．能正确使用单位圆和“五点法”作出正弦函数的图象． 2．会求正弦函数的定义域和值域、周期性、奇偶性、单调区间及函数的零点等． 3．通过正弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．

教学重点：理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点． 教学难点：能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图象．

PPT课件． 一、探索新知 将塑料布扎一个小孔，做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，看到纸板上形成一条曲线，本节我们就学习与此曲线有关的正弦函数曲线．

设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——正弦函数的图象和性质再认识（板书）． 1．画正弦函数的图象 问题1描点法作函数的图象有哪几个步骤？ 师生活动：学生举手回答． 设计意图：让学生明确画函数图象的一般方法． 问题2怎样画正弦函数sinyx在R上的图象？

◆ 教学过程 ◆ 课前准备 ◆ 教学重难点 ◆

◆ 教学目标 师生活动：学生互相交流后，再回答． 设计意图：让学生明确，画正弦函数的图象，只需要画一个周期，然后左右延伸即可． 追问1在区间[0,2]上取一系列的x值（x的值取得越多越好），例如：0,,,,,2632

，列表如下：．

x 0

6 3 2

 23 56  76 43 32 53 11

6

2

sinx 0 12 32 1 32 12 0 12 32 1 32 12 0

表格中的数据，有一些无理数，怎样在平面直角坐标系中比较准确地画出？

★资源名称： 【数学探究】正弦函数的图象 ★使用说明：本资源为“正弦函数的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率． 注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．

师生活动：教师引导学生思考． 追问2正弦函数sinyx在区间[2,2(1)],,0kkkkZ上的图象与在区间[0,2]上的函数图象形状是否相同？

师生活动：让学生思考，教师补充． 追问3将函数sin[0,2]yxx，的图象怎样平移可以得到正弦函数在整个定义域上的图象？这条曲线叫什么曲线？ 师生活动：学生独立思考，然后回答教师提出的问题，教师补充完善． 设计意图：培养学生分析和归纳的能力． 2．正弦函数性质的再认识 问题3请观察正弦函数图象，你能从中看到那些性质？并将看到的性质用数学语言描述． 师生活动：让学生思考，教师补充． 师生活动：估计学生能从图象中看到正弦函数的一些性质，如果有的性质没有看出来，建议教师启发引导学生继续探讨．对于用数学语言描述不准确的内容，请教师带领学生交流研讨后完善． 追问1正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？

师生活动：让学生独立思考后交流，并举手回答． 追问2正弦函数有对称轴吗？有对称中心吗？如果有，请写出它的对称轴方程和对称中心的坐标；如果没有，请说明理由． 师生活动：教师依据学生的认知水平，适度指导，总结结论． 设计意图：通过图象归纳正弦函数的性质，提升学生的探究问题、归纳问题的能力． 教师讲解： 正弦函数性质 定义域 R

值域 [－1，1]

最大值与 最小值

当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，ymax＝1；

当x＝2kπ＋3π2(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 周期函数，T＝2π 单 调 性

在[2,2]22kk (k∈Z)上是增加的；

在3[2,2]22kk (k∈Z)上是减少的 奇偶性 奇函数 对称性 图象关于原点对称，对称中心(kπ，0)，k∈Z；对称轴x＝kπ＋π2，k∈Z 3．五点(画图)法 问题4观察正弦函数sinyxxR，的图象，你认为那些点起着关键性的作用，理由是什么？ 师生活动：留出充分的时间让学生思考交流，找出关键点． 设计意图：让学生明确那五点是关键点，体会“五点”作图的重要性． 练习：教材P32练习第2题． 预设答案： 问题1列表、描点、连线． 问题2由于正弦函数sinyx是以2为周期，我们只需画出[0,2]上正弦函数的图象，再利用周期性将其延拓到整个定义域上． 追问1可以采用如下画法： （1）作单位圆，把O12等分（当然分的越细，图象越准确）； （2）12等分后得到对应于0,,,,,2632的角，并作出相应的正弦值； （3）将x轴上从0到2一段分成12等份； （4）平移相应角的正弦值； （5）描点，用光滑曲线顺次连接，就得到sinyx在区间[0,2]上的图象

追问2相同． 追问3将函数sin[0,2]yxx，的图象向左、右平移（每次平移2个单位长度），就可以得到正弦函数sinyxxR，的图象，如下图

这条曲线叫正弦曲线． 问题3性质 追问1选取3,22上的图象来研究，即可掌握整个定义域上的性质． 追问2正弦函数有对称轴，对称轴是,2xkkZ，也有对称中心，是曲线与x轴的交点，即(,0),kkZ． 问题4在函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的有五个关键点：(0，0)，

π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．这“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标

轴的交点．描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象就基本上确定了． 二、初步应用 例1比较下列各组值的大小：

（1）sin15与sin11；（2）18sin7与23sin9．

师生活动：引导学生图象和利用正弦函数的单调性判断，再与教材核对． 设计意图：让学生掌握正弦函数的单调性，帮助学生积累比较大小的方法和经验．

例2画函数sinyx在区间[0,2]上的图象． 师生活动：让学生板演，教师评价． 预设答案：参考教材P29例2的解析． 追问：将例2改为“作函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象．”如何画图？ 预设答案：(1)列表：

x 0 π2 π 3π2 2

π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1

(2)描点、连线，图象如图．

设计意图：利用五点法函数作图，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向． 例3画出函数sin1yx的图象，并讨论它的性质．

师生活动：学生独立解题，教师板书解题过程． 预设答案：参考教材P29例3的解析 设计意图：考查学生本节内容掌握情况，培养学生直观想象、数学抽象的素养．

【板书设计】 5.1正弦函数的图象和性质再认识 一、探索新知 二、初步应用 1．画正弦函数的图象 例1 2．正弦函数性质的再认识 例2 知识讲解： 三、归纳小结，布置作业 问题5：通过本节课的学习，你有什么收获？ 师生活动：学生自主总结，展示交流．老师适当补充． （1）画正弦函数图象的五个关键点是什么？ （2）画正弦函数图象连线时要注意什么？ （3）利用正弦函数的单调性比较大小，要注意什么？

预设答案：（1）五个关键点：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)； （2）连线要保持光滑，注意凸凹方向； （3）要注意利用诱导公式化归到同一个单调区间，才能利用单调性比较大小． 设计意图：通过梳理本节课的内容，提升数学抽象的素养． 布置作业：教科书P32练习3，4，5，6，7；P37习题A1（1）（2）2（1）（2）4（1）（2）；P38B组的1（1）（2）． 四、目标检测设计 1．函数y=sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是( )

设计意图：检验学生对正弦函数图象的理解． 2．下列关系式中正确的是( ) A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°

设计意图：利用正弦函数的单调性判断函数值的大小． 3．函数y＝sin(x＋π)在[,]2上的单调递增区间为________．

设计意图：利用正弦函数的图象求单调区间． 4．已知函数y＝12－sin x． (1)作出此函数在x∈[0，2π]的大致图象，并写出使y＜0的x的取值范围； (2)利用第(1)题结论，分别写出此函数在x∈R时，使y＜0与y＞0的x的取值范围．

设计意图：利用五点画正弦函数的图象，并利用正弦函数的图象解不等式． 参考答案： 1．B【解析】由y=sin(x)=sinx，其图象和y=sinx关于x轴对称，故选B． 2．C ∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，又sin11°＜sin12°＜sin80°，∴sin11°＜sin168°＜cos10°．

3．[,]2由[,]2x，得[,2]2x．令t＝x＋π，由函数y＝sin t在[,2]2



上的图象，知其单调递增区间为3[,2]2，则3π2≤x＋π≤2π，解得π2≤x≤π．

4．【解析】(1)作图，如图所示：

在x[0，2π]上，当5(,)66x时，y＜0． (2)当5(2,2)66xkk，kZ时，y＜0． 当513(2,2)66xkk，kZ时，y＞0．