2.1对函数的再认识
九年级数学对函数的再认识
2.1对函数的再认识教学目标:1、使学生经历从实际问题抽象出函数模型的过程,了解对应观点下的函数意义,会求简单函数的函数值。
2、会根据实际问题求出函数的关系式。
教学重点：函数的概念的理解。
教学难点：理解函数的意义。
教学过程：诊断补偿：1、什么是函数？你能举出几个函数的例子吗？2、A、B两地的路程为900km，一辆汽车从A到B地所需时间t(h)与汽车的平均速度v(km/h)之间的关系式是3、如图，矩形ABCD的一边AB长为4cm，另一边BC长为acm，矩形ABCD的面积S(cm2)与a(cm)的关系式是_____________4、某种书的定价为8元，如果购买10本以上，超过10本以上，超过10本的部分打八折，问题：（1）购买该种书6本需会款__________元；（2）购买该种书14本需付款_________-元；（3）付款金额y（元）与购买该种书的本数x（本）之间的关系式是___________。
小结：从上面的找出的关系式发现：这三道题目中都有几个变量，它们分别是什么这几个变量是否可以取任意值，自变量的取值范围是什么？对于自变量在它可以取值的范围内的每一个值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应由此你对函数有了哪些进一步的认识?与同伴进行交流精讲提炼：定义：一般地,在一个变化过程中有两个变量,对于自变量地某一范围内的每一个确定值,都有惟一确定的值与它对应,那么就说是的函数强调;对于函数概念的理解,主要抓住以下三点:1 函数不是数,是指在一个变化过程中两个变量之间的关系2 自变量每一个确定值,函数有一个并且只有一个值与之对应3 自变量的取值范围题组： 1下列表达式是否为的函数y==±x y=x2 s=t3+2 y=x+2(x≥0)2下列函数中是函数的图象的是例1、 一年期定期储蓄的年利率是2.25，所得利息要缴纳20%的利息税，存款到期时，银行应向储户支付的金额y （元）与储户的存款额x （元）之间的关系式是什么？（不交利息税） 题链导航：求利息的公式是什么？ 精讲提炼：分析：利息=存款额×利率 支出的金额=存款额+利息 解：y=x+2.25%(1-20%)x =x+0.018x =1.018x所以y 与x 之间的关系式是y=1.018x 。
2.1对函数的再认识(2) (1)
方 法 点 拔
（2）含有偶次根式的：被开方式大于等于0
（3）含有对数式的：真数大于0，底数大于0 且不等于1 （4）含[f(x)]0的： f(x)不等于0 （5）含tan f(x)的： f ( x ) k
2
如果函数是由一些基本函数通过四则 运算结合而成的，那么定义域是各基 本函数定义域的交集.
1 2
变题1：若函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R，求实数a 的取值范围． 分析 由函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R知：x2+ax+1 ＞0对x∈R恒成立，而f(x)= x2+ax+1为二次函数，函数 值恒正，故可利用“△”法求解． 解 因函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R，故x2+ax+1＞0 对x∈R恒成立，而f(x)= x2+ax+1是开口向上的抛物线， 从而△＜0，即a2-4＜0，解得 -2＜a＜2，它便是所求 的a的取值范围．
2
如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而 成的，那么定义域是各基本函数定义域的交集.
例题解析
例1：求函数f ( x)
x 5x 6 的定义域 x2
2
解:
x2 5x 6 0
依题有:
x2 0
解得:
2
x 3或x 2
x 5x 6 f ( x) 的定义域是 : {x x 3或x 2} x2
鲁教版九上·§2.1
2.1对函数的再认识 (2)
1 1.已知函数f(x)= x 1 ,则函数f(x) 的定义域为 ( A )
A.{ x x 1} B.{ x x 2}
【数学课件】对函数的再认识
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm,2cm时,圆的面积 增加多少？
小结 拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
想一想 3
源于生活的数学
驶向胜利 的彼岸
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种 一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每 一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平 均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些 是自变量？哪些是因变量？
X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Y/个
你能根据表格中的数据作出猜
想吗？
做一做 5
亲历知识的发生和发展
驶向胜利 的彼岸
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说， 利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银 行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,
怎么 判断
(1）y=3(x-1)²+1; (2).y x 1 . x
(3) s=3-2t².
?
1
(4).y
x2
. x
(5)y=(x+3)²-x².
(6) v=10πr².
驶向胜利 的彼岸
随堂练习 8
知道就做别客气
驶向胜利 的彼岸
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²) 与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？ 是哪一种函数？ 解：S=a(60 -a)=a(30-a)=30a-a²= -a²+30a .
示范教案{§2对函数的进一步认识2.1函数概念}
§2 对函数的进一步认识2．1 函数概念整体设计教学分析在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．三维目标1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y ＝f (x )的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性． 重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“y ＝f (x )”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.北京时间2005年10月12日9时整，万众瞩目的“神舟六号”飞船胜利发射升空，5天后圆满完成各项任务并顺利返回．在“神舟六号”飞行期间，我们时刻关注“神舟六号”离我们的距离y 随时间t 是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究．引出课题．思路2.问题：已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ∈∁R Q ，0，x ∈∁R Q ，请用初中所学函数的定义来解释y 与x 的函数关系？学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．推进新课新知探究提出问题1给出下列三种对应：幻灯片①一枚炮弹发射后，经过26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m ，且炮弹距地面的高度h 单位：m 随时间t 单位：s 变化的规律是h ＝130t －5t 2.时间t 的变化范围是数集A ＝{t |0≤t ≤26}，h 的变化范围是数集B ＝{h |0≤h ≤845}，则有对应f ：t →h ＝130t －5t 2，t ∈A ，h ∈B .②近几十年来，大气层的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S (单位：106 km 2)随时间t (单位：年)从1979—2001年的变化情况．图1根据图1中的曲线可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．化范围是数集B＝{S|37.9≤S≤53.8}，则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义．(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义指什么？(5)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．讨论结果：(1)共同特点是：集合A、B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应．(2)一般地，设A，B都是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(3)(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0，被开方数为非负数，如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值，等等．(5)C ⊆B .应用示例思路1例1 某山海拔7 500 m ，海平面温度为25 ℃，气温是高度的函数，而且高度每升高100 m ，气温下降0.6 ℃.请你用解析表达式表示出气温T 随高度x 变化的函数关系，并指出函数的定义域和值域．活动：学生思考初中所学函数解析表达式的含义，即用自变量表示因变量，并明确函数的定义域和值域．解：当高出海平面x m 时，温度下降了x 100×0.6(℃)， 则函数解析式为T (x )＝25－0.6x 100＝25－3500x . 函数的定义域为[0,7 500]，值域为[－20,25]．点评：本题考查函数的概念，以及在实际生活中的应用能力．例2 已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2， (1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值； (3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x ＋3和1x ＋2有意义的自变量的取值范围；x ＋3有意义，则x ＋3≥0，1x ＋2有意义，则x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0和x ＋2≠0组成的不等式组． (2)让学生回想f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23表示什么含义？f (－3)表示自变量x ＝－3时对应的函数值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23表示自变量x ＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值． (3)f (a )表示自变量x ＝a 时对应的函数值，f (a －1)表示自变量x ＝a －1时对应的函数值．分别将a ，a －1代入函数的对应法则中得f (a )，f (a －1)的值．解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0.解得－3≤x ＜－2或x ＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋3＋123＋2＝38＋333. (3)∵a ＞0，∴a ∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f (a )，f (a －1)有意义．则f (a )＝a ＋3＋1a ＋2； f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f (x )的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．f (x )是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f (x )没有什么意义．符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算．例如f (x )＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x 为某一代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋5，f [g (x )]＝[g (x )]2－g (x )＋5等．符号y ＝f (x )表示变量y 是变量x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f 与x 的乘积；符号f (x )与f (m )既有区别又有联系，当m 是变量时，函数f (x )与函数f (m )是同一个函数；当m 是常数时，f (m )表示自变量x ＝m 对应的函数值，是一个常量．已知函数的解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.变式训练1．求函数y ＝x ＋12x ＋1－1－x 的定义域． 答案：{x |x ≤1，且x ≠－1}．点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x |x ≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前时，不要化简解析式．2．若f (x )＝1x的定义域为M ，g (x )＝|x |的定义域为N ，令全集U ＝R ，则M ∩N 等于( )．A ．MB ．NC ．U MD ．U N分析：由题意得M ＝{x |x ＞0}，N ＝R ，则M ∩N ＝{x |x ＞0}＝M .答案：A3．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数f (2x －1)的定义域是________．分析：要使函数f (2x －1)有意义，自变量x 的取值需满足－1≤2x －1≤1，∴0≤x ≤1. 答案：[0,1]思路2例1 已知函数f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________.活动：观察所求式子的特点，引导学生探讨f (a )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 的值． 解法一：原式＝121＋12＋221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋421＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1421＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142 ＝12＋45＋15＋910＋110＋1617＋117＝72.解法二：由题意得f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1. 则原式＝12＋1＋1＋1＝72. 点评：本题主要考查对函数符号f (x )的理解．对于符号f (x )，当x 是一个具体的数值时，相应地f (x )也是一个具体的函数值．本题没有求代数式中的各个函数值，而是看到代数式中含有f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，故先探讨f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的值，从而使问题简单地获解．求含有多个函数符号的代数式值时，通常不是求出每个函数值，而是观察这个代数式的特点，找到规律再求解．受思维定势的影响，本题很容易想到求出每个函数值来求解，虽然可行，但是这样会浪费时间，得不偿失．其原因是解题前没有观察思考，没有注意经验的积累.变式训练1．已知a ，b ∈N ＋，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则f 2f 1＋f 3f 2＋…＋f 2 007f 2 006＝________.分析：令a ＝x ，b ＝1(x ∈N ＋)，则有f (x ＋1)＝f (x )f (1)＝2f (x )，即有f x ＋1f x ＝2(x ∈N ＋)． 所以，原式＝＝4 012.答案：4 0122．设函数f (n )＝k (k ∈N ＋)，k 是π的小数点后的第n 位数字，π＝3.141 592 653 5…，则等于________．分析：由题意得f (10)＝5，f (5)＝9，f (9)＝3，f (3)＝1，f (1)＝1，…，则有＝1.答案：1例2 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,0,1}，函数f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，则这样的函数f (x )有( )．A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个活动：学生思考函数的概念，什么是不同的函数．定义域和值域确定后，不同的对应法则就是不同的函数，因此对f (a )，f (b )，f (c )的值分类讨论，注意要满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0.解：当f (a )＝－1时，则f (b )＝0，f (c )＝1或f (b )＝1，f (c )＝0，即此时满足条件的函数有2个；当f (a )＝0时，则f (b )＝－1，f (c )＝1或f (b )＝1，f (c )＝－1或f (b )＝0，f (c )＝0， 即此时满足条件的函数有3个；当f (a )＝1时，则f (b )＝0，f (c )＝－1或f (b )＝－1，f (c )＝0，即此时满足条件的函数有2个．综上所得，满足条件的函数共有2＋3＋2＝7(个)．故选C.点评：本题主要考查对函数概念的理解，用集合的观点来看待函数.变式训练若一系列函数的解析式相同，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么解析式为y ＝x 2，值域是{1,4}的“同族函数”共有( )．A ．9个B ．8个C ．5个D ．4个分析：“同族函数”的个数由定义域的个数来确定，此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数．令x 2＝1，得x ＝±1；令x 2＝4，得x ＝±2.所有“同族函数”的定义域分别是{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{1，－2,2}，{－1，－2,2}，{1，－1，－2,2}，则“同族函数”共有9个．答案：A知能训练1．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 21＋f 2f 1＋f 22＋f 4f 3＋f 23＋f 6f 5＋f 24＋f 8f 7＋f 25＋f 10f 9＝________. 分析：∵f (p ＋q )＝f (p )f (q )，∴f (x ＋x )＝f (x )f (x )，即f 2(x )＝f (2x )．令q ＝1，得f (p ＋1)＝f (p )f (1)，∴f p ＋1f p ＝f (1)＝3. ∴原式＝2f 2f 1＋2f 4f 3＋2f 6f 5＋2f 8f 7＋2f 10f 9 ＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30.答案：302．若f (x )＝1x的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( )． A ．A ∪B ＝B B ．A BC ．A ⊆BD ．A ∩B ＝∅分析：由题意得A ＝{x |x ≠0}，B ＝{x |x ≠0，且x ≠－1}．则A ∪B ＝A ，则A 错；A ∩B ＝B ，则D 错；由于B A ，则C 错，B 正确．答案：B拓展提升问题：已知函数f (x )＝x 2＋1，x ∈R .(1)分别计算f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值．(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．活动：让学生探求f (x )－f (－x )的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．解：(1)f (1)－f (－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f (2)－f (－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f (3)－f (－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x ∈R ，有f (x )＝f (－x )．证明如下：由题意得f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )．∴对任意x ∈R ，总有f (x )＝f (－x )．课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解．作业练习1、2.设计感想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．(设计者：高建勇)。
对函数概念的再认识课件高一上学期数学
问题解决 问题7： 请问 y=1(x∈ R)是函数吗？
问题8： 请问函数 y =1(x∈R)与函数y=x0相等吗？ 函数相等： 定义域相同，对应关系相同
新知应用 y=x式同一个函数？
新知应用 例2.确定下列函数的定义域：
新知应用
R的函数f（x)=x+1,g(x)=x2计算下列各式：(1)f(2)+g(3)；(2)f （a2)-g(a)；(3)f（f（f（0))
对函数概念的再认识
函数 第3章数的概念与性质 湘教版数学必修第一册
学习目标
学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集 合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，会判 断两个函数是否为同一函数
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，函数值
核心素养
数学抽象
数学抽象 数学建模 数学抽象 数学运算
问题导入
问题2： 初中是怎样定义函数的呢？ 在一个变化过程中有两个变量 x 、 y， 对于 变量 x 的每一个值， 变量 y 都有唯一的值和它对应，那么 y 就是 x 的函数其中 x 是 自变量， y 是因变量.
问题3： 请问 y= 1( x ∈ R )是函数吗？
对应关系 图象
每一个t
新知探究
问题4：上面三个探究中，两个变量之间的关系有什么共同特点？ 对应关系
每一个x 表格 唯一的y
对应关系 每一个t 解析式 唯一的s
对应关系 每一个t 图象
问题5：结合上述共同特点，请用集合和对应的语言来描述函数？
概念生成 函数 1．定义：设A ，B 是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，对于集合A中的任何一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它 对应，那么称这样的对应 f ：A → B为定义于A取值于B的函数． 2．记法： y ＝ f ( x )( x ∈ A ， y ∈ B ) ．
数学：2.1对函数的再认识课件
2.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
有何特 点？
老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常 数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次
项和常数项,但不能没有二次项.
随堂练习 7
在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx+c(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高 次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
独立
作业
知识的升华
习题2.1 1,2题;
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
独立
练习 1,2题
作业
一年到期后,银行将本金和利息自动
按一年定期储蓄转存.如果存款是100
?
元,那么请你写出两年后的本息和
y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
思索归纳 6
二次函数
驶向胜利 的彼岸
y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
1.y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
1. 物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)与下落的时 间(s)的关系是:h=4.9t2,填表表示物体在前5s下落的高度:
t/s 1
2
3
4
5
h/m
2.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽 相等,高比长多0.5m. (1).长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积S(m2)如 何表示? (2).如果涂漆每平方米所顼要的费用是5元,油漆每个长方体所需费 用y(元)表示,那么y的表达式是什么?
对函数的再认识
对函数的再认识函数是编程中的重要概念之一，它能够封装一段特定的代码，并通过调用来执行这段代码。
在程序中，函数的作用类似于数学中的函数，输入一些参数，经过一系列的操作，最终返回一个结果。
函数的概念在编程语言中广泛存在，并且被广泛应用于各种编程场景中。
函数的再认识，意味着我们需要重新审视函数的定义、特性以及其在程序设计中的作用。
在这篇文章中，我将从几个方面来探讨函数的重要性和使用方法。
函数具有封装性。
函数能够将一段代码封装起来，形成一个独立的模块，使得代码更加清晰和易于维护。
通过将一些常用的操作封装成函数，我们可以在需要的时候直接调用函数，而不需要重复编写相同的代码。
这种封装性不仅提高了代码的可读性，还能够提高代码的复用性和可维护性。
函数具有可扩展性。
函数的设计应该具有良好的扩展性，即在需求变化时能够方便地进行修改和扩展。
通过将函数的功能进行细分，我们可以将复杂的问题分解成多个简单的函数，每个函数只负责一个具体的任务。
这种模块化的设计使得我们可以方便地对函数进行修改和扩展，而不会对其他部分产生影响。
接下来，函数具有可重用性。
函数可以被多次调用，并且可以在不同的场景中使用。
通过将一些通用的操作封装成函数，我们可以在不同的程序中进行复用，而不需要重复编写相同的代码。
这种可重用性大大提高了开发效率，减少了代码的冗余。
函数还具有参数传递和返回值的特性。
函数的参数可以是任意类型的数据，通过参数的传递，我们可以将外部的数据传递给函数进行处理。
函数可以对参数进行操作，并根据需要返回一个结果。
这种参数传递和返回值的机制，使得函数能够与外部环境进行交互，实现更加灵活和功能强大的功能。
函数还可以嵌套调用，即一个函数可以在另一个函数中调用。
通过函数的嵌套调用，我们可以实现更加复杂的功能。
在一个函数中调用另一个函数，可以将复杂的问题分解成多个简单的子问题，每个子问题由一个函数来解决。
这种嵌套调用的方式，使得代码更加模块化和可读性更好。
对函数的再认识(1)
3.初步确立自变量取值范围对函数表达式的影响意识，会求函数值。
4.能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感与价值观要求
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
对于函数y=3x+7，P34)
Ⅳ．课时小结:本节课我们学习了如下内容:
1.函数的概念:主要抓住三方面——有两个变量；一个变量随着另一个变量的变化而变化；自变量每一确定的值，函数有一个并且只有一个值与之对应．
2．函数值:注意——求函数值时，必须取自变量x的范围内的值带入表达式中求值；求函数值的步骤和前面求代数式的值的方法一样．
分析:此题目用到关系:本息和=本金+利息；利息=本金×利率×（1-利息税百分率）
例题2:当x=3时，求下列各函数y的对应值.
（1）y=3x+7；（2）y=-2x2-1；（3） ；（4） .
三、函数值:
对于自变量x在能够取值范围内的一个确定的值a，函数y都有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值（valueoffunction）.
一、由实际问题进一步巩固复习函数关系
做一做:1.A、B两地的路程为900km，一辆汽车从A地到B地所需时间t（h）与汽车的平均速度v(km/h)之间的关系式是:t=.
2.矩形ABCD的一边AB长为4cm，另一边BC长为acm，矩形ABCD的面积S(cm2)与a(cm)的关系式是:S=.
3.某种书的定价为8元，如果购买10本以上，超过10本的部分打八折.
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驶向胜利 的彼岸
?
(6) v=10πr².
随堂练习 8
知道就做别客气
驶向胜利 的彼岸
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m S(m²) 2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ) 用总长为60m的篱笆围成矩形场地 与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？ a(m)之间的关系是什么 与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？ 是哪一种函数？ 是哪一种函数？
下课了!
结束寄语
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有信心的人, 有信心的人,可以化渺小 为伟大,化平庸为神奇. 为伟大,化平庸为神奇.
你能根据表格中的数据作出猜 想吗
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驶向胜利 的彼岸
亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说， 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的 也就是说， 也就是说 利率是一个变量.在我国 在我国,利率的调整是由中国人民银 利率是一个变量 在我国 利率的调整是由中国人民银 行根据国民经济发展的情况而决定的. 行根据国民经济发展的情况而决定的 设人民币一年定期储蓄的年利率是x, 设人民币一年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后, 一年到期后,银行将本金和利息自动 按一年定期储蓄转存.如果存款是100 按一年定期储蓄转存.如果存款是100 元,那么请你写出两年后的本息和 y(元 的表达式(不考虑利息税). y(元)的表达式(不考虑利息税). y=100(x+1)²=100x +200x+100. y=100(x+1) =100x²+200x+100. =100x
t/s 1 2 3 4 5 h/m 2.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆 长方体的长和宽 某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽 某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆 相等,高比长多 高比长多0.5m. 相等 高比长多 (1).长方体的长和宽用 长方体的长和宽用x(m)表示 长方体需要涂漆的表面积 表示,长方体需要涂漆的表面积 长方体的长和宽用 表示 长方体需要涂漆的表面积S(m2)如 如 何表示? 何表示 (2).如果涂漆每平方米所顼要的费用是 元,油漆每个长方体所需费 如果涂漆每平方米所顼要的费用是5元 油漆每个长方体所需费 如果涂漆每平方米所顼要的费用是 表示,那么 的表达式是什么? 用y(元)表示 那么 的表达式是什么 元 表示 那么y的表达式是什么
想一想
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源于生活的数学
驶向胜利 的彼岸
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 100棵橙子树 600个橙子 一些橙子树以提高产量,但是如果多种树, 一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每 一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树, 一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平 均每棵树就会少结5个橙子. 均每棵树就会少结5个橙子. (1)问题中有那些变量？其中哪些 是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果 园共有多少棵橙子树？这时平均每棵 树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么 请你写出y与x之间的关系式.
有何特 点？
随堂练习 7
在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数 1.下列函数中 哪些是二次函数？ 下列函数中 哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)²+1; ） 1 (2). y = x + . 怎么 x 判断 (3) s=3-2t². 1 (4). y = 2 . x −x (5)y=(x+3)²-x².
小结
拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 1.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 定义 y=ax +bx+c(a,b,c是常数 的函数叫做x 二次函数. 的函数叫做x的二次函数. y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式 (1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,). (1)y=ax (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (2)y=ax +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx+c(a≠0,b≠0,c=0). (3)y=ax +bx+c(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x +bx+c是整式 2.定义的实质是：ax +bx+c是整式,自变量x的最高 定义的实质是 次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数. 次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
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思索归纳 6
二次函数
y=-5x +100x+60000,y=100x +100x+60000,y=100x²+200x+100. y=-5x²+100x+60000,y=100x +200x+100.
驶向胜利 的彼岸
1.y是 的函数吗？ 的一次函数？反比例函数？ 1.y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？ 2.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常 y=ax²+bx+c(a,b,c 2.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常 定义 0)的函数叫做 的二次函数. 的函数叫做x 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数. 老师提示: 老师提示: (1)关于 的代数式一定是整式,a,b,c 关于x ,a,b,c为常 (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常 数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次 等式的右边最高次数为2, (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次 项和常数项,但不能没有二次项. 项和常数项,但不能没有二次项.
独立 作业
知识的升华
习题2.1 1,2题;
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
练习 1,2题
独立 作业
1. 物体从某一高度落下 已知下落的高度 物体从某一高度落下,已知下落的高度 已知下落的高度h(m)与下落的时 与下落的时 的关系是:h=4.9t2,填表表示物体在前5s下落的高度 下落的高度: 间(s)的关系是 的关系是 填表表示物体在 下落的高度
想一想
4
驶向胜利 的彼岸
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个 橙子,因此果园橙子的总产量 y=(100+x)(600-5x)=y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产 量最多？
X/棵 1 Y/个
2.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时 2.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm ycm². 加ycm . 写出y 之间的函数关系表达式； （1）写出y与x之间的函数关系表达式； 当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时 （2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm ,2cm时,圆的面积 增加多少？ 增加多少？
60 解：S=a( -a)=a(30-a)=30a-a²= 2
-a²+30a .
是二次函数关系式. 是二次函数关系式
随堂练习 9
由感性到理性
1 +3x² (1)y= − +3x , 2 1 x²+x +x³+25, (2) y= x +x +25, 2
驶向胜利 的彼岸
1.下列函数中,(x,t是自变量),哪些是二次函数？ 1.下列函数中,(x,t是自变量),哪些是二次函数？ 下列函数中,(x,t是自变量),哪些是二次函数 (3) y=2²+2x, y=2 +2x, (4) s=1+t+5t² s=1+t+5t
九年级数学(上)第二章 二次函数 1.对函数的再认识
有的放矢 1
函数知多少
变量之间的关系 函数 一次函数 y=kx+b (k≠0) 正比例函数 y=kx(k≠0) 反比例函数
k y = (k ≠ 0 ). x
驶向胜利 的彼岸
二次函数
有的放矢 2
学习目标
驶向胜利 的彼岸
1、探索并归纳二次函数的定 义； 2、能够表示简单变量之间的二 次函数关系. 次函数关系.