圆的极坐标方程
圆的轨迹方程
圆的轨迹方程圆的轨迹方程是一种数学表达式，用于描述一个圆的形状和大小。
在平面几何中，圆是指与一个固定点（圆心）距离相等的所有点的集合。
圆的轨迹方程可以用不同的方式表示，包括直角坐标系、极坐标系和参数方程等。
一、直角坐标系下的圆的轨迹方程在直角坐标系下，一个圆可以表示为所有满足以下方程的点的集合：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，a和b分别是圆心在x轴和y轴上的投影值，r是圆半径。
这个方程被称为标准式或一般式。
它表明所有到圆心距离为r的点都在圆上。
如果将a和b设为0，则该方程简化为：x² + y² = r²这个方程描述了以原点为中心、半径为r的圆。
二、极坐标系下的圆的轨迹方程在极坐标系下，一个圆可以表示为所有满足以下方程的点：r = a其中a是常数，r是到原点距离。
这个方程表明所有到原点距离相等且与x轴夹角相等的点都在圆上。
如果将a设为圆半径，则该方程可以简化为：r = r0其中r0是圆半径。
三、参数方程下的圆的轨迹方程在参数方程下，一个圆可以表示为：x = a + r cos(t)y = b + r sin(t)其中a和b是圆心坐标，r是圆半径，t是参数。
这个方程描述了一个以(a, b)为中心、半径为r的圆。
通过改变t值，可以得到不同位置的点，从而形成一个完整的圆形。
四、总结以上三种方式都可以用来表示一个圆的轨迹方程。
直角坐标系下的标准式是最常用和最简单的一种方式，极坐标系和参数方程则更适合用于特定问题或需要更多几何直观的情况。
掌握这些不同表达方式对于理解和解决数学问题都非常重要。
4.2.2圆的极坐标方程
4.2.2圆的极坐标方程
学习目标：掌握圆的极坐标方程的推导方法及其结论，并能简单应用。
一、复习：
直线的极坐标方程的推导方法及其结论
二、引入
课本P28 2
三、建构
圆的极坐标方程：圆心),(00θρM ，半径r
特殊地：
（1）圆心在极点，半径r 的圆的极坐标方程是
（2）圆心在点M （r ，0），半径r 的圆的极坐标方程是
圆心在点)0,(r M -，半径r 的圆的极坐标方程是
（3）圆心在点)2,(π
r M ，半径r 的圆的极坐标方程是
圆心在点)2,
(π
r M -，半径r 的圆的极坐标方程是 x O
),(00θρM
例1、圆心的坐标为A （4，0），半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹方程。
练习：圆心的坐标为A （4，0），半径为4的圆中，求过极点的弦的三等分点的轨迹方程
变题：求圆心的坐标为)6,
4(πA ，半径为4的圆的极坐标方程。
比较与例1中已知圆的极坐标方程，有何联系？
例2、（课本P29 9）自极点O 作射线与4cos =θρ相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得OM ·OP=12，求点P 的轨迹方程
四、课堂小结：
五、作业。
1.3.1圆的极坐标方程
3、已知一个圆的方程是 ＝5 3 cos 5 sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 x ( ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5 2 2
A、 ,0) (5
C、 , ) (5 3
B、 , ) (5 3
2 D、 , ) (5 3
小节： 1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程
意一点，那么 OM AM。
在RtAMO中OM OA cosMOA
即
可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式1) ( 2
＝2a cos .......... 1) .(
所以，等式1)就是圆上任意一点的极 ( 坐标( , )满足的条件，
另一方面，可以验证， 坐标适合等式1)的点都在这个圆上。 (
圆的极坐标方程定义
M
方程
O
＝2a cos
C （a, 0）
A
就是圆心在C(a,0)(a>0)，半径为a的圆 的极坐标方程.
曲线的极坐标方程定义：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中 至少有一个满足方程 f ( , ) 0并且坐标适合方程 ( , ) 0的点都 f 在曲线C上，那么方程 ( , ) 0叫做曲线C的 f 极坐标方程。
4、以极坐标系中的点 (1,1)为圆心， A 1为半径的 圆的方程是
(
C
)
圆的极坐标方程及圆心半径的表示最新文档
圆的极坐标方程及圆心半径的表示最新文档(可以直接使用，可编辑最新文档，欢迎下载）圆的极坐标方程及圆心、半径的表示圆心为C(00,θρ)，且半径为R的圆的极坐标方程是圆心在极点，半径为a(a>0)的圆的极坐标方程是ρ=a ．圆心在C(a , 0)(a>0)且过极点的圆的极坐标方程是ρ=2acosθ．圆心在（a,p ）（a>0）且过极点的圆的极坐标方程是r=-2acosq向量的坐标表示及其运算【知识概要】1. 向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如读作向量，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB ，表示由到的向量.为向量的起点，为向量的终点）.向量AB （或）的大小叫做向量的模，记作AB （或a ）.注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；② 长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别 ③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.例1 下列各量中不是向量的是（ D ）A.浮力B.风速C.位移D.密度 例2 下列说法中错误．．的是（ A ） A.零向量是没有方向的B .零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.一条线段B .一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆2）向量坐标的有关概念① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为和.② 将向量的起点置于坐标原点，作OA a =，则叫做位置向量，如果点的坐标为(,)x y ，它在轴和轴上的投影分别为,M N ，则,.OA OM ON a OA xi y j =+==+③向量的正交分解在②中，向量能表示成两个相互垂直的向量、分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称为、的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(,)x y 叫做向量的坐标，记为=(,)x y .一般地，对于以点111(,)P x y 为起点，点222(,)P x y 为终点的向量12PP ，容易推得122121()()PP x x i y y j =-+-，于是相应地就可以把有序实数对2121(,)x x y y --叫做12PP 的坐标，记作12PP =2121(,)x x y y --. 3）向量的坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==，R λ∈则1212121212(,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量的模()norm .2a x y =+注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4 已知点的坐标为(2,0)，点的坐标为(3,0)-，且4,3AP BP ==，求点的坐标. 解：点的坐标为612(,)55-或 612(,)55--. 例5 已知2(4,3),2(3,4)a b a b +=--=，求、的坐标. 解：(1,2),(2,1)a b =-=-- 例6 设向量,,,,a b c R λμ∈，化简：（1）()()()()a b c a b c b c λμμλμλ+--+-+--； （2）2()(22)2a b c a b c λμλμλμμ+--++.解：都为.2. 向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）. 已知与为非零向量，若1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =，所以，向量平行的充要条件可以表示为：1221//().a b a b x y x y λλ⇔=⇔=其中为非零实数例7 已知向量(2,3)a =-，点(2,1)A -，若向量AB 与平行，且213AB =，求向量OB 的坐标.解：OB 的坐标为(6,7)- 或(2,5)-.3. 定比分点公式1）定比分点公式和中点公式①12,P P 是直线l 上的两点，是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数， 使P P 1=2PP λ，叫做点分21P P 所成的比，有三种情况：(内分)>0(外分) <-1 (外分)-1<<0② 已知111(,)P x y 、222(,)P x y 是直线上任一点，且P P 1=2PP λ(,1)R λλ∈≠.是直线12P P 上的一点，令(,)P x y ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这个公式叫做线段12P P的定比分点公式，特别地1λ=时，为线段12P P 的中点，此时121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，叫做线段12P P 的中点公式. 注：①12PP PP λ=⋅可得12PP PP λ=±⋅；②当1λ=-时，定比分点的坐标公式121x x x λλ+=+和121y y y λλ+=+显然都无意义，也就是说，当1λ=-时，定比分点不存在2）三角形重心坐标公式设ABC ∆的三个点的坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，为ABC ∆的重心，则12312333G G x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例8 在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，点在直线12P P 上，且122PP PP =，求出的坐标.解：当在12P P 上时，(0,3)P ；当在12P P 延长线上，(8,15)P -.例9 已知(3,1),(4,2)A B ---，是直线AB 上一点，若23AP AB =，求点的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得155(,)22P --.*方法提炼*几个重要结论1. 若,a b 为不共线向量，则a b +，a b -为以,a b 为邻边的平行四边形的对角线的向量；2. 22222()a b a b a b ++-=+；3. 为ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=123123(,)33x x x y y y G ++++⇔ 112233[(,),(,)(,)]A x y B x y C x y【基础夯实】1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2.下列命题正确的是（ C ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行3.在下列结论中,正确的结论为（ D ） (1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的既不充分也不必要条件 (3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b 的充要条件(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠b 的充分不必要条件 A. (1)(3) B. (2)(4) C. (3)(4) D. (1)(3)(4) 4. 已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）A. 点C 分AB 的比是-31B.点C 分的比是-3 C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分的比是25.已知两点1(1,6)P --、2(3,0)P ，点7(,)3P y -分有向线段21P P 所成的比为，则、的值为（ C ）A －41，８ B.41，－８ C －41，－８ D ４，816.△ABC 的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ A ）A (2，-7)B (-7，2)C (-3，-5)D (-5，-3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件. 答案：必要非充分8.已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定. 答案：不共线9.已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x= 答案：2或2710.△ABC 的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C 点坐标为 答案：(8,-4)11. 已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且18AMC ABC S S ∆∆=，则M 分AB 所成的比为 答案：71【巩固提高】12.已知点(1,4)A =--、(5,2)B ，线段AB 上的三等分点依次为、，求、点的坐标以及,A B 分21P P 所成的比．解：P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-213. 过1(1,3)P 、2(7,2)P 的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点，求分21P P 所成的比值解：12514. 已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）15. 设是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=,则（ B ） (A).0PA PB += (B).0PC PA += (C).0PB PC += (D).+0PA PB PC +=16. 若平面向量,a b 满足1,a b a b +=+平行于轴，(2,1)b =-，则(1,1)(3,1)a =--或.17．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)解析：选A.AC →＝2AQ →＝2(PQ →－P A →)＝(－6,4)，PC →＝P A →＋AC →＝(－2,7)，BC →＝3PC →＝(－6,21)．18.已知O 为坐标原点，向量(2,),(,1),(5,1).OA m OB n OC =-==-若A,B,C 三点共线，且2m n =，求实数,m n 的值19.已知点A(3，0),B(-1，-6), P 是直线AB 上一点，且1||||3AP AB =，求点P 的坐标.20. 已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且8||25m n +=，求cos()28θπ+的值。
圆的极坐标方程
5 3 2 5 2 化为标准方程是 (x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
例1: 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ
＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习： 1、曲线的极坐标方程＝4sin 化为直角坐标 方程
将下列直角坐标转化为极坐标 （1） （-1，3） （2） （-2，-2）
简单曲线的极坐标方程
圆的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (1)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (2)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
＝r
＝2acos
＝2asin
＝２a cos( 0 )
圆 心 的 极 径 与 圆 的 半 径 相 等
练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （１） ＝２cos( (2) (3)
4
)
＝cos( - )
3
＝3 sin (4) ＝６
练习
圆的极坐标方程
2、将以下极坐标方程化为直角坐标方程，并说出表示什 么曲线。
（1） =5
解： x2 y2 =25
（3） =6 cos
解： x2 y2 =6x (x 3)2 y2 =9
（2） =2 sin
解： x2 y2 2 y x2 ( y 1)2 1
（4）=2cos 4sin
解： x2 y2 =2x 4 y (x 1)2 ( y 2)2 5
A、2
B、 2
C、1
D、 2 2
2、(2016全国II）在直角坐标系中，圆C 的方程
为(x+6)2 y2 =25。以坐标系原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C
的极坐标方程。
第十页，共14页。
课堂小结
1、几种特殊情况的圆的极坐标方程：
2、一般地，过极点且圆心为(r， )的圆的 极坐标方程为：=2r cos( )
点到直线 = ( R)距离的最大值是_______。
3
第十三页，共14页。
选做题
1、(2015江苏）已知圆C的极坐标方程为：
2 +2 2sin( )-4=0，求圆C的半径。
4
第十四页，共14页。
程
当困难降临时，用微笑去
面对，用智慧去解决它。
高二选修4-4〔人教A版〕 第三章第1节
授课人：邓乙梅
二中崇文高级中学
第二页，共14页。
学习目的
1、理解极坐标方程的意义。 2、掌握特殊位置下的圆〔过极点或 圆
心在极点的圆〕的极坐标方程． 3、掌握极坐标方程与直角坐标方程 的
互化方法。
第三页，共14页。
定义：假如曲线Ｃ上的点与方程f( , )=0 有如下关系：
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f( , )=0 ；
极坐标圆的5种表示方法是什么
极坐标圆的5种表示方法是什么在数学中，极坐标表示法是一种描述平面上点的方法，其中每个点由一个极坐标对$(r, \\theta)$表示，其中r是点到原点的距离，$\\theta$是从正半轴逆时针旋转到该点所需的角度。
极坐标可以用来描述圆形，而圆形又是极坐标中的特殊情况。
下面将介绍极坐标圆的5种不同表示方法。
1.基本极坐标方程表示：圆的标准极坐标方程为r=a，其中a是圆的半径。
在这种表示方法中，圆心在极点的极坐标就是半径a。
这种表示方法简单直观，直接给出了圆的半径，但没有给出圆心的位置。
2.参数方程表示：圆可以用参数方程表示为$x = a\\cos(t)$和$y =a\\sin(t)$，其中a是圆的半径，t为参数。
参数方程表示方法将圆与正弦和余弦函数联系起来，可以通过参数t的变化来描述圆上的点。
3.复数表示：圆也可用复数形式表示为$z =a\\operatorname{cis}(\\theta)$，其中a是圆的半径，$\\theta$是极坐标中的角度。
这种表示方法通过欧拉公式将圆与复数联系起来，揭示了极坐标与复数的内在联系。
4.三角函数表示：圆可以用三角函数表示为$x = a\\cos(\\theta)$和$y= a\\sin(\\theta)$，其中a是圆的半径，$\\theta$是极坐标中的角度。
这种表示方法更侧重于三角函数的表达，展示了圆和三角函数之间的关系。
5.参数方程组合表示：圆还可以用参数方程组合表示为$x = a\\cos(t) +h$和$y = a\\sin(t) + k$，其中(ℎ,k)表示圆心坐标。
这种表示方法将圆心的位置也包含在内，通过参数方程和圆心坐标共同描述了整个圆。
综上所述，极坐标圆可以通过不同方法进行表示，每种方法都从不同角度展示了圆的特点和性质，更全面地揭示了极坐标下圆的美妙之处。
通过学习不同的表示方法，可以更深入地理解圆的几何性质和数学特征。
经过原点的圆的极坐标方程
经过原点的圆的极坐标方程在极坐标系中，我们可以用极径 r 和极角θ 来描述一个点的位置。
对于经过原点的圆，也可以用极坐标方程来表示它的形状。
下面我们将详细介绍经过原点的圆的极坐标方程。
对于经过原点的圆，其任意一点到原点的距离都是相等的，假设这个距离为r，那么我们可以得出以下关系：r = const这是因为对于圆上的任意一点，它到原点的距离都是r，所以r 是一个恒定值，即距离圆心的距离是固定的。
在极坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r, θ)，其中 r 表示到原点的距离，θ表示与极轴的夹角。
对于经过原点的圆，它的每一个点到原点的距离都是相等的，所以它的极坐标方程可以表示为：r = a （其中 a 为一个常数）这个常数 a 就是圆的半径，在极坐标系中表示到原点的距离。
所以经过原点的圆的极坐标方程可以简化为：r = a例如，当 a = 1 时，极坐标方程就变成了 r = 1，表示了一个半径为 1 的圆。
在极坐标方程中，我们可以通过改变常数 a 的值来控制圆的半径，从而改变圆的大小。
当 a 的值增大时，圆的半径也增大，反之亦然。
当 a 的值等于 0 时，极坐标方程就变成了 r = 0，表示了一个点，也就是原点。
除了极坐标方程，我们还可以使用直角坐标系中的方程来描述经过原点的圆。
直角坐标系中的圆方程为：x^2 + y^2 = a^2在直角坐标系中，经过原点的圆的方程是通过 x 轴和 y 轴上的点到原点的距离相等来描述的。
当 a 的值增大时，圆的半径也增大，反之亦然。
当 a 的值等于 0 时，直角坐标系中的圆方程就变成了 x^2 + y^2 = 0，表示了一个点，也就是原点。
总结起来，经过原点的圆的极坐标方程简化为 r = a，其中 a 为圆的半径，表示了每一个点到原点的距离，也可以使用直角坐标系中的方程 x^2 + y^2 = a^2 来描述。
通过改变常数 a 的值，我们可以控制圆的大小。
这就是经过原点的圆的极坐标方程的详细解释和表达方式。