高一数学常考立体几何证明题及复习资料
高一数学常考立体几何证明题
1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。
2、如图，在正方体1111
ABCD A B C D -中，E 是
1
AA 的中点，
求证： 1//
A C 平面BDE 。
3、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ．
4、已知正方体
1111
ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.
求证：(１) C1O ∥面11
AB D ；(2)
1
AC ⊥面
11
AB D ．
5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：
''AC B D DB ⊥平面；
6、正方体ABCD —A1B1C1D1中．
(1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ；
(2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ．
7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且
22EF AC =
，90BDC ∠=，
A
E D B
C
A
E D 1
C
B 1
D
C
B
A
S
D
C
B A
D 1
O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C A A B 1
C 1
C
D 1
D
G E
F
求证：BD ⊥平面ACD
8、如图，在正方体
1111
ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、
11
C D 的中点.求证：平面
1D EF
∥平面BDG .
9、如图，在正方体1111
ABCD A B C D -中，E 是
1
AA 的中点.
（1）求证：
1//
A C 平面BDE ；
（2）求证：平面1A AC ⊥
平面BDE .
10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，
E 为BC 的中点．
求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．
11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0
60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥．
12、如图1,在正方体
1111
ABCD A B C D -中，M 为
1
CC 的中点，AC 交BD
于点O ，求证：
1
AO ⊥平面MBD ．
13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ． 求证：AH ⊥平面BCD ．
14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．
已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面EFGH ，AB ∥截面EFGH. 求证：截面EFGH 是平行四边形．
15．(12分)已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为a ，M 、N 分别为A1B 和AC 上的点，A1M ＝AN ＝
2
3
a ，如图． (1)求证：MN ∥面BB1C1C ；
16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． (1)证明：PQ ∥平面ACD ；
17．(12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点． 求证：(1)直线EF ∥面ACD. （2）平面EFC ⊥平面BCD .
20、如图，在正方体1111
ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，
求证： 1//
A C 平面BDE 。
D 1
O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C
N M
P
C
B
A
25、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = 求证：MN AB ⊥；
26、如图，在正方体
1111
ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、
AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .
27、如图，在正方体1111
ABCD A B C D -中，E 是
1
AA 的中点.
（1）求证：
1//
A C 平面BDE ；
（2）求证：平面
1A AC ⊥
平面BDE .
32、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．
1、 证明：（1）BC AC CE AB
AE BE =?
?⊥?=? 同理，AD BD DE AB
AE BE =?
?⊥?=?
又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE
（2）由（1）有AB ⊥平面CDE
又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 2、证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为
1
AA 的中点，O 为AC 的中点
∴EO 为三角形
1A AC
的中位线 ∴
1
//EO AC
又EO 在平面BDE 内，
1A C
在平面BDE 外 ∴
1//
A C 平面BDE 。
3、证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥
又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥
又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 4、证明：（1）连结11
A C ，设
11111
A C
B D O ?=，连结
1
AO
∵
1111
ABCD A B C D -是正方体 11
A ACC ∴是平行四边形
∴A1C1∥AC 且 11A C AC =
又
1,O O
分别是11,A C AC
的中点，∴O1C1∥AO 且
11O C AO
=
11
AOC O ∴是平行四边形
111,C O AO AO ∴?∥面
11
AB D ，
1C O ?
面
11
AB D ∴C1O ∥面
11
AB D
6、证明：(1)由B1B ∥DD1，得四边形BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD ， 又BD 平面B1D1C ，B1D1?平面B1D1C ， ∴BD ∥平面B1D1C ． 同理A1D ∥平面B1D1C ．
而A1D ∩BD ＝D ，∴平面A1BD ∥平面B1CD ．
(2)由BD ∥B1D1，得BD ∥平面EB1D1．取BB1中点G ，∴AE ∥B1G ．
从而得B1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD ．
7、证明：取CD 的中点G ，连 结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG
12
//AC =
12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ?中，2222
12EG FG AC EF +==
∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ?=
∴BD ⊥平面ACD
8、证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ?平面BDG ，BD ?平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D G EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB
又
1D E ?
平面BDG ，GB ?平面BDG ∴
1D E
∥平面BDG
1EF D E E ?=，∴平面
1D EF
∥平面BDG
9、证明：（1）设AC BD O ?=， ∵E 、O 分别是1
AA 、AC 的中点，∴
1A C
∥EO
又
1A C ?
平面BDE ，EO ?平面BDE ，∴
1A C
∥平面BDE
（2）∵
1AA ⊥
平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，
1AA BD
⊥
又BD AC ⊥，1AC AA A ?=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ?平面BDE ，
∴平面BDE ⊥平面1A AC
10、证明：在ADE ?中，222
AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ?平面ABCD ，∴PA DE ⊥ 又PA AE A ?=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角
在Rt PAD ?，42PD =，在Rt DCE ?中，22DE = 在Rt DEP ?中，2PD DE =，∴0
30DPE ∠=
11、证明：（1）ABD ?为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥
又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD
（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ?=，∴AD ⊥平面PBG ，
PB ?平面PBG ，∴AD PB ⊥
12、证明：连结MO ，1A M
，∵DB ⊥
1A A
，DB ⊥AC ，
1A A AC A ?=，
∴DB ⊥平面
11
A ACC ，而
1A O ?
平面
11
A ACC ∴D
B ⊥
1A O
．
设正方体棱长为a ，则
22132A O a =
，2234MO a =．
在Rt △11A C M
中，22194A M a =
．∵222
11AO MO AM +=，
∴
1
AO OM ⊥．
∵OM ∩DB=O ，∴
1A O
⊥平面MBD ．
13、 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥． ∵AD BD =，∴DF AB ⊥． 又CF
DF F =，∴AB ⊥平面CDF ．
∵CD ?平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B ?=， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．
∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E ?=， ∴ AH ⊥平面BCD ．
14．证明：∵SC ∥截面EFGH ，SC ?平面EFGH ，SC ?平面ASC ，且平面ASC ∩平面EFGH ＝GH ， ∴SC ∥GH.