二项式定理知识点和各种题型归纳带答案

二项式定理

1．二项式定理：

( a b) n C n0 a n C n1a n 1b C n r a n r b r C n n b n (n N ) ，2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做

(a b n

) 的二项展开式。

②二项式系数 : 展开式中各项的系数 C n r( r 0,1,2, , n) .

③项数：共 ( r 1) 项，是关于a与 b 的齐次多项式

④通项：展开式中的第r 1 项C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。用

T

r 1C n r a n r b r表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n1) 项。

②顺序：注意正确选择

a ,

b , 其顺序不能更改。

(

a b n

与

(b a)n

是不同的。

)

③指数： a 的指数从 n 逐项减到0，是降幂排列。 b 的指数从0 逐项减到n，是升幂排列。各项的

次数和等于 n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C n0 , C n1 ,C n2 ,, C n r ,,C n n . 项的系

数是 a 与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令 a1,b x,(1x)n C n0 C n1 x C n2 x2 C n r x r C n n x n (n N)

令 a1,b x,(1x)n C n0 C n1 x C n2 x2C n r x r(1)n C n n x n ( n N )

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离” 的两个二项式系数相等，即C n0C n n，···C n k C n k 1

②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为C n0 C n1C n2C n r C n n2n，

变形式 C n1C n2C n r C n n2n1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令a1,b 1 ，则 C n0C n1C n2 C n3(1) n C n n(1 1)n0 ，

从而得到： C n0C n2C n4C n2 r C n1C n3C n2r112n2n 1

2

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

( a x)n C n0a n x0 C n1a n 1 x C n2a n 2 x2C n n a0 x n a0 a1x1a2 x 2a n x n

( x a)n C n0a0 x n C n1ax n 1C n2a2 x n 2C n n a n x0a n x n a2 x2a1x1a0

令 x1, 则 a0a1a2a3a n(a 1)n①

令 x1,则 a0a1a2a3a n(a 1)n②

①②得 , a0a2a4a n( a1)n

2

(a 1)n(奇数项的系数和)

①②得 , a1a3a5a n(a1)n

2

(a 1)n(偶数项的系数和)

n

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数C n2取得最大值。

n 是奇数时，则中间两项的二项式系数n1n1

如果二项式的幂指数C n2,

C n

2

同时

取得最大值。

⑥系数的最大项：求(a bx) n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

为 A1, A2,, A n1，设第 r 1 项系数最大，应有

A r1A r

A r ，从而解出 r 来。

1A

r 2

6．二项式定理的十一种考题的解法：

题型一：二项式定理的逆用；

例： C n1 C n2 6 C n3 62C n n 6n 1.

解： (1 6) n C n0C n16C n2 62C n3 63C n n 6n与已知的有一些差距，

C n1C n2 6 C n3 62C n n 6n 11

(C n1 6 C n2 62 C n n 6n )

1

6

11

(C n0C n16 C n262C n n6n1)[(1 6) n1](7 n1)

666

练：C n13C n29C n33n 1 C n n.

解：设 S C 13C 29C33n 1 C n，则

n n n n n

3S n C n1 3 C n2 32C n333C n n 3n C n0 C n1 3 C n2 32C n3 33C n n 3n 1 (1 3)n1

S n (13)n14n1

33

题型二：利用通项公式求x n的系数；

例：在二项式 ( 413 x2 ) n的展开式中倒数第3项的系数为 45 ，求含有 x3的项的系数？

x

解：由条件知 C n n 245 ，即 C n245 ，n2n 90 0 ，解得n 9(舍去 )或n 10 ，由

1

2

10 r 2

r

T r 1 C 10r

( x 4 )

10

r

( x 3 )r

C 10r x

4 3

，由题意

10 r

2

r 3,解得 r

6 ，

4

3

则含有 x 3 的项是第 7项T 6 1

C 106 x 3

210 x 3 , 系数为 210 。

练：求 (x

2

1

)9 展开式中 x 9 的系数？

2 x

解： r 1

r

2 9 r

1 r

r 18 2 r

1 r

r

r 1 r 18 3 r ，令

18 3r

9

则 r 3 C 9

( x ) (

)

9

x

(

) x

9

(

) x

,

T

C

C

2x

2

2

故 x 9 的系数为 C 93 (

1)3 21 。

2

2

题型三：利用通项公式求常数项；

例：求二项式 ( x 2

1 )10 的展开式中的常数项？

2 x

解：

T r 1

C 10r ( x 2 )

10

r (

1 )r

C 10r ( 1 )r

x

5 ，令

20

5

r 0 ，得 r 8 ，所以 T 9 C 108 ( 1)8

45

20 r

2 x

2

2

2

256

练：求二项式 (2 x

1 )6 的展开式中的常数项？

2 x

解： T r 1

C 6r

(2 x)

6

r (

1)r

(

1

)r

( 1)r C 6r 26

r ( 1 )r

x 6 2r ，令 6 2r

0 ，得 r

3 ，所以

2x

2

T 4 ( 1)3 C 63

20

练：若 (x

2

1

)n 的二项展开式中第 5 项为常数项，则 n

____.

x

解： T 5

C n 4

( x 2 )

n 4

( 1

)4 C n 4 x 2 n 12 ，令 2n 12 0 ，得 n 6 .

x

题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

例：求二项式 (

x

3

x)9 展开式中的有理项？

1

1

27 r

27 r

解： T r 1

C 9r ( x 2 ) 9 r ( x 3 )r ( 1)r C 9r x 6 ，令 Z ,( 0 r 9 ) 得 r

3或 r 9 ，

6

所以当 r

3时，

27

r

4 ，T 4 ( 1)3 C 93 x 4 84 x 4 ，

6

当 r

9时，

27

r 3，T 10 ( 1)3 C 99 x 3

x 3 。

6

题型五：奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和；

例：若 (

x 2

1 )n 展开式中偶数项系数和为 256 ，求 n .

3 x 2

解：设 ( x 2

3

1 )n 展开式中各项系数依次设为 a 0 , a 1, a n ,

x 2