最新-2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)预
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）预测2物理第Ⅰ卷（选择题共38分）一、本题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，选对得3分，有选错或不答的得0分1．原子核自发地放出电子的现象称为β 衰变，开始时科学家曾认为β 衰变中只放出电子，即β 粒子，后来发现，这个过程中，除了放出电子以外，还放出一种叫作“反中微子”的粒子，反中微子不带电，与其他物质的相互作用极弱．下面关于β 衰变的说法中正确的是（）A．静止的原子核发生β 衰变时β 粒子与衰变后的核的运动速度方向一定相反B．原子核发生β 衰变时放出的能量等于β 粒子与衰变后的核的动能之和C．原子核能发生β 衰发，说明原子核内含有电子D．发生β 衰变后的原子核的核子数不变但带电量增加2．人造地球卫星在科研、国防等方面起着不可替代的作用．只要发射的技术高，就能使人造地球卫星（）A．在地球赤道面离地面任意高度的圆轨道上，并且相对于地面永远是静止的B．在与地球赤道共面的圆轨道上做匀速圆周运动，但相对地面不一定是静止C．有可能在地球任一纬度线所决定的平面内，绕地球做匀速圆周运动D．始终在某一经度圈所在的平面内运动，且轨道与该经度圈为同心圆，卫星相对地面静止3．在研究微型电动机的性能时，应用如图2所示的实验电路．当调节滑动变阻器R使电动机停止转动时，电流表和电压表的示数分别为0.50A和2.0V．重新调节R使电动机恢复正常运转，此时电流表和电压表的示数分别为2.0A和24.0V，则这台电动机正确运转时的输出功率为（）图2A．32W B．44W C．47W D．48W4．在电视机的显像管中，电子束的扫描是用磁偏转技术实现的，其扫描原理如图3所示．圆形区域内的偏转磁场方向垂直于圆面，当不加磁场时，电子束将通过O点而打在屏幕的中心M点．为了使屏幕上出现一条以M点为中点的亮线PQ，偏转磁场的磁感应强度B随时间变化的规律应是图4中的（）图3图45．如图5所示，一木块B 放在水平地面上，木块A 放在木板B 的上面，木块A 的右端通过轻质弹簧固定在竖直墙壁上．用力F 向左拉木板B ，使它们以速度v 运动，这时弹簧秤示数为F ．下列说法中正确的是（ ）图5A ．木板B 受到的滑动摩擦力的大小等于F B ．地面受到的滑动摩擦力的大小等于FC ．若木板以2v 的速度运动，木块A 受到的滑动摩擦力的大小等于2FD ．若用力2F 拉木板B ，木块A 受到的滑动摩擦力的大小等于F6．如图5所示，荷质比为e /m 的电子，以速度0v 沿AB 边射入边长为a 的等边三角形的匀强磁场区域中，欲使电子从BC 边穿出，磁感应强度B 的取值为（ ）图5A ．aemv B 03=B ．ae mv B 02=C ．aemv B 03<D ．ae mv B 02<二、本题共5小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分．7、如图所示，电源电动势为E ，内阻为r ．当开关S 闭合，滑动变阻器的滑片P 位于中点位置时，三个小灯泡L 1、L 2、L 3都正常发光，且亮度相同，则（ ） A ．三个灯泡的额定功率相同 B ．三个灯泡的额定电压相同 C ．三个灯泡的电阻按从大到小排列是L 1、L 3、L 1 D ．当滑片P 稍微向左滑动，灯L 1和L 3变暗，灯L 2变亮8、如图所示电路为演示自感现象的实验电路. 若闭合开关s ，电流达到稳定后通过线圈L 的电流为I 1，通过小灯泡L 2的电流 为I 2，小灯泡L 2处于正常发光状态，则以下说法正确的是（ ） A ．s 闭合的瞬间，L 2灯缓慢变亮，L 1灯立即亮； B ．s 闭合的瞬间，通过线圈L 的电流由零逐渐增大到I 1； C ．s 断开的瞬间，小灯泡L 2中电流由I 1逐渐减为零，方向与I 2相反；D ．s 断开的瞬间，小灯泡L 2中电流由I 2逐渐减为零，方向不变.9、如图所示，一细光束通过玻璃三棱镜折射后分成a 、b 、c 三束单色光，则这三种单色光（ ） A 、频率关系是a v <b v <c vB 、在真空中的传播速度关系是a v <b v <c vC 、通过同一双缝产生的干涉条纹的间距a d <b d <c dD 、通过同一双缝产生的干涉条纹的间距a d >b d >c d10、如图所示，某人正通过定滑轮用不可伸长的轻质细绳将质量为m 的货物提升到高处。
已知人拉绳的端点沿平面向右运动，若滑轮的质量和摩擦均不计，则下列说法中正确的是 （ ）A ．人向右匀速运动时，绳的拉力T 等于物体的重力mgB ．人向右匀速运动时，绳的拉力T 大于物体的重力mgC ．人向右匀加速运动时，物体做加速度增加的加速运动D ．人向右匀加速运动时，物体做加速度减小的加速运动11、水平推力F 1和F 2分别作用于水平面上原来静止的、等质量的a 、b 两物体上，作用一段时间后撤去推力，物体将继续运动一段时间停下，两物体的v －t 图象如图所示，已知图中线段AB ∥CD ，则（ ） A ．F 1的冲量小于F 2的冲量 B ．F 1的冲量等于F 2的冲量C ．两物体受到的摩擦力大小相等D ．两物体受到的摩擦力大小不等第Ⅱ卷（非选择题 共112分）二、实验题22分 12（10分）．某同学设计了一个测量物体质量的装置，如图所示，其中P 是光滑水平面，A 是质量为M 的带夹子的已知质量金属块，Q 是待测质量的物体（可以被A 上的夹子固定）．已知该装置的弹簧振子做简谐运动的周期为km T π2=（数量级为100s ）,其中m 是振子的质量，K 是与弹簧的劲度系数有关的常数．(1) 为了达到实验目的还需要提供的实验器材是：__☐_； (2) 简要写出测量方法及所需测量的物理量（用字母表示）①__________________☐__________________________________； ② ☐ ；(3) 用所测物理量和已知物理量求解待测物体质量的计算式为m = ☐ ； (4) 如果这种装置与天平都在太空站中使用，则（☐） A ．这种装置不能用来测质量，天平仍可以用来测质量 B ．这种装置仍可以用来测质量, 天平不能用来测质量 C ．这种装置和天平都可以用来测质量 D ．这种装置和天平都不能用来测质量 13．（12分）热敏电阻是传感电路中常用的电子元件．现用伏安法研究热敏电阻在不同温度下的伏安特性曲线，要求特性曲线尽可能完整．已知常温下待测热敏电阻的阻值约40~50Ω．热敏电阻和温度计插入带塞的保温杯中，杯内有一定量的冷水，其它备用的仪表和器具有：盛有热水的热水瓶（图中未画出）、电源（3V 、内阻可忽略）、直流电流表（内阻约1Ω）、直流电压表（内阻约5kΩ）、滑动变阻器（0~10Ω）、开关、导线若干．⑪图(1)中a 、b 、c 三条图线能反映出热敏电阻伏安特性曲线的是 ．⑫在图（2）的方框中画出实验电路图，要求测量误差尽可能小． ⑬根据电路图，在图（3）的实物图上连线．三、解答题（90分） 14．（14分）宇宙飞船在距火星表面H 高度处作匀速圆周运动，火星半径为R ，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α 倍，因α量很小，所以飞船新轨道不会与图（2）图（1）火星表面交会，如图10所示，飞船喷气质量可忽略不计．图10（1）试求飞船新轨道的近火星点的高度近h ，和远火星点高度远h ．（2）设飞船原来的运动速度为0v ，试计算新轨道的运行周期T ． 15、（14分）如图所示，在A 、B 两点间接一电动势为4V ，内电阻为1Ω的直流电源，电阻R 1、R 2、R 3 的阻值均为4Ω，电容器的电容为30μF ，电流表 的内阻不计，当电键S 闭合时，求： （1）电流表的读数； （2）电容器所带的电量；（3）断开电键S 后，通过R 2的电量．16．（14分静止的氮核（N 147）被速度为0v 的中子（n 10）击中，生成甲、乙两核，甲乙两核的速度方向与撞击的中子速度方向一致．测得甲、乙两核动量之比为1∶1，动能之比为1∶4，当它们垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，其半径之比为1∶6，试分析判断，甲、乙分别是什么核?写出核反应方程式，并求出甲、乙两核速度的关系。
17.（16分）如图所示 ，有一质量为m ，带 负电的小球静止在光滑绝缘的水平台上，平台距离质量为M 的绝缘板B 的中心O 高度为h ，绝缘板放在水平地面上，板与地面间的动摩擦因数为μ，一轻弹簧一端连接在绝缘板的中心，另一端固定在墙面上。
边界GH 的左边存在着正交的匀强电场和匀强磁场，其电场强度为E ，磁感应强度为B 。
现突然给小球一个水平向左的冲量，小球从平台左边缘垂直于边界GH 进入复合场中，运动至O 点处恰好与绝缘板发生碰撞，碰撞后小球恰能返回平台，而绝缘板向右从C 点运动到D 点，C 、D 间的距离为S ，设小球与绝缘板碰撞过程无机械能损失。
求：（1）.小球获得向左的冲量I o 的大小。
（2）.绝缘板从C 点运动到D 点时，弹簧具有的弹性势能E p18. （16分）如图所示，两根不计电阻的倾斜平行导轨与水平面的夹角θ=37o ，底端接电阻R=1.5Ω。
金属棒a b 的质量为m=0.2kg 。
电阻r=0.5Ω，垂直搁在导轨上由静止开始下滑，金属棒a b 与导轨间的动摩擦因数为μ=0.25，虚线为一曲线方程y=0.8sin(12πx)m 与x 轴所围空间区域存在着匀强磁场，磁感应强度.B=0.5T ，方向垂直于导轨平面向上（取g=10m/s 2,sin37o =0.6,cos37o =0.8）。
求：（1）.当金属棒a b 下滑的速度为2m/s 时，电阻R 上消耗的电功率是多少？（2）若金属棒a b 从静止开始运动到X o =6 m 处，电路中消耗的电功率为0.8w ，在这一过程中，安培力对金属棒a b 做了多少功？19．（16）如图所示，竖直固定的光滑绝缘的直圆筒底部放置一场源A ，其电荷量Q = ＋4×10－3 C ，场源电荷A 形成的电场中各点的电势表达式为rQkU =，其中k 为静电力恒量，r 为空间某点到A 的距离．有一个质量为m = 0.1 kg 的带正电小球B ，B 球与A 球间的距离为a = 0.4 m ，此时小球B 处于平衡状态，且小球B 在场源A 形成的电场中具有的电势能表达式为rQqk=ε，其中r 为q 与Q 之间的距离．有一质量也为m 的不带电绝缘小球C 从距离B 的上方H = 0.8 m 处自由下落，落在小球B 上立刻也小球B 粘在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，它们向上运动到达的最高点P ．（取g = 10 m/s 2，k = 9×118 N·m 2/C 2），求： （1）小球C 与小球B 碰撞后的速度为多少？ （2）小球B 的带电量q 为多少？ （3）P 点与小球A 之间的距离为多大？（4）当小球B 和C 一起向下运动与场源A 距离多远时，其速度最大？速度的最大值为多少？参考答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．D 6．C 7、AC 8、BC 9、AD 10、 BC 11、 AC12．（1）(1分)秒表（2）①(1分)不放Q 时用秒表测出振子振动20次的时间t 1；（或者测出振子的周期T 1）②(1分)将Q 固定在A 上，用秒表测出振子振动20次的时间t 2（或者测出振子的周期T 2）（此两步中，明确写出只测振动一次的时间的最多只得3分） （3）(3分)M t t t 212122-或M T T T 212122-；13． (1) c (4分)（2）如答图2 (4分)(3)如答图3所示．(4分)14．设火星和飞船的质量分别为M 和m ，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点与火星中心的距离为r ，飞船速度为v ．因飞船喷气前绕圆轨道的面积速度为0021v r ，等于喷气后飞船绕椭圆轨道在P 点的面积速度p v r 021sin θ （P 为圆和椭圆的交点），由开普勒第二定律，后者又应等于飞船在近、远火星的面积速度rv 21，故0021v r ＝p v r 021sin θ ＝rv 21即 00v r ＝rv ① 2分 由机械能守恒定律202202)(2121r Mm G v a v m r Mm G mv -+=- ② 2分 答图2飞船沿原圆轨道运动时，有 02020r v m r MmG = ③ 2分式中 0r ＝R ＋H ，r ＝R ＋h上述三个方程消去G 、M 、0v 后可解得关于r 的方程为02)(120022=+--r r r r α 上式有两个解，大者为远r ，小者为近r ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=++=+=αααα111100H R r r H R r r 远近故近、远火星点距火星表面的高度为αα+-=-=1RH R r h 近近 1分αα-+=-=1RH R r h 远远 1分（2）设椭圆轨道的半长轴为a ，则 a r r 2=+远近 即 21α-=r a 2分 飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为 00π2v r T =1分 设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为T ，由开普勒第三定律得2/300)(r aT T = 2分 故2/32002/300)11(π2)(α-==v r r a T T 2/320)11()(π2α-+=v H R T 1分15、（14分）解：（1）A R r I 8.0543==+=ε（4分） （2）C ..C IR Q 56310691030480--⨯=⨯⨯⨯== （5分）(3) C C IR Q5632108.42/103048.02/--⨯=⨯⨯⨯== （5分）16．设甲质量为1m 速度1v ，乙质量为2m 速度2v ，甲乙电量为1q 和2q ∵ 2211v m v m =；21122221421v m v m ⨯=（已知） ∴ 1v ∶2v ＝1∶4 则1m ∶2m ＝4∶1∴ u um 1245)114(1=⨯+=， 2分 u um 315)114(2=⨯+=2分 由r mv qvB 2= ∴ B q v m 111∶Bq v m 222＝1∶6 3分∴ 1q ∶2q ＝6∶1而1q ＋2q ＝7e ∴ 1q ＝6e ，2q ＝e 2分 ∴ 甲为C 126，乙为H 31．核反应方程H C n N 3112610147+→+ 1分由动量守恒 22110v m v m v m n += 2分 ∴ 2401v v =，0261v v = 2分 17.（16分）.解析：考点：重力、洛仑兹力、二力平衡、动量与冲量、动量定理、动量守恒定律、功能关系、带电粒子在匀强磁场中的运动、匀速圆周运动（1）.带点小球垂直于边界GH 进入复合场，运动到O 点恰与绝缘板碰撞，碰后能返回平台，说明小球在复合场中做匀速圆周运动，经过半个圆周到达O 点qE=mg ① （2分）qvB －m rv 2② （2分）根据几何关系 r=21h ③ （2分） 根据动量定理I 0=mv ④ （2分）由① ~ ④式联解得: I 0=EmgBh2 （1分）（2）.小球与绝缘板碰撞过，以小球和绝缘板为系统、动量守恒mv = －mV+MV m ⑤ （3分）绝缘板从到的过程中，根据功能关系E P+μMgS=21MV m 2 ⑥ （3分） 由 ①②③⑤⑥式联解得 E P = 222)(ME mgBh ―μMgS （1分）评析：本题以带电小球在复合场中作匀速圆周运动与绝缘板碰撞为背景材料，考查学生推理能力和分析综合能力。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷)
7. 已知函数 y = sin(2x + ϕ)(- π 2 < ϕ < )的图象关于直线 x = 3 对称，则 ϕ 的值是 ▲b 2= 1(a > 0, b > 0) 的右焦点 F (c ,0) 到一条2 c ，则其离心率的值是 ▲cos πx ,0 < x ≤9. 函数 f ( x ) 满足 f ( x + 4) = f ( x )( x ∈ R ) ，且在区间 (-2,2] 上，f ( x ) = ⎨ 22 , - 2 < x ≤锥体的体积V = Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高.一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上。
5. 函数 f (x ) = log x -1 的定义域为▲ .2018 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 （江苏卷）π 2 π8. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线离为 3x 2 a 2 -.y 2⎧ ⎪⎪ ⎪ x + 1 ⎪⎩的值为 ▲ .10. 如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲.参考公式：1 3．．．．．．．．1. 已知集合 A = {0,1,2,8}, B = {-1,1,6,8} ，那么 AB = ▲ .2. 若复数 z 满足 i ⋅ z = 1 + 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为▲ .3. 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为▲ .4. 一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的 S 的值为▲ .11. 若函数 f ( x ) = 2x 3 - ax 2 + 1(a ∈ R ) 在 (0, +∞) 内有且只有一个零点，则 f ( x ) 在 [-1,1]上的最大值与最小值的和为 ▲ .12. 在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l : y = 2 x 上在第一象限内的点， B (5,0) ，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D ．若 AB ⋅ C D = 0 ，则点 A 的横坐标为 ▲ .13. 在△ ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ， ∠ABC = 120 ︒ ， ∠ABC 的平分线交 AC 于点 D ,且 BD = 1, 则 4a + c 的最小值为 ▲ .14. 已知集合 A = {x | x = 2n - 1, n ∈ N*}, B = {x | x = 2n , n ∈ N *} ，将 A B 中的所有元素按从小到大的顺序依次排列构成数列{a } ，设数列{a } 的前 n 项和为 S ，则使 S ≥12an nnnn +1▲ .成立的 n 的最小值为26.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(3,),焦点F(-3,0),F(3,0),圆O的直径为27，求直线l的方程．．．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在平行六面体ABCD-A B C D中，AA=AB，AB⊥B C.11111111求证：(1)AB//平面A B C；11D1C1(2)平面ABB A⊥平面A BC.111A1B1D C A B16.（本小题满分14分）4535.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.17.（本小题满分14分）某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚I内的地块形状为矩形ABCD,大棚II内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定P18.（本小题满分16分）112F F．12(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A,B两点．若△OAB的面积为26sinθ的取值范围;(2)若大棚I内种植甲种蔬菜,大棚II内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.D COMA B N(第| | 19.（本小题满分 16 分）记 f '( x ), g '( x ) 分别为函数 f ( x ), g ( x ) 的导函数．若存在 x ∈ R ，满足 f ( x ) = g ( x ) 且 0f '( x ) =g '( x ) ，则称 x 为函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的一个“S 点”．(1) 证明：函数 f ( x ) = x 与 g ( x ) = x 2 + 2x - 2 不存在“S 点”；(2) 若函数 f ( x ) = ax 2 - 1与 g ( x ) = ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值；20．（本小题满分 16 分）设 {a } 是首项为 a ，公差为 d 的等差数列，{b } 是首项为 b ，公比为 q 的等比数列．n 1 n 1(1) 设 a = 0, b = 1,q = 2 ，若 | a - b ≤ b 对 n = 1,2,3, 4 均成立，求 d 的取值范围；1 1 n n 1(2) 若 a = b > 0, m ∈ N * , q ∈ (1, m 2] ，证明：存在 d ∈ R ，使得 | a - b ≤ b 对 n = 2,3,1 1 n n 1立，并求 d 的取值范围（用 b , m , q 表示）．1(3) 已知函数 f ( x ) = - x 2 + a ，g ( x ) = b ex x．对任意 a > 0 ，判断是否存在 b > 0 ，使函数 f ( x ) 与 g ( x )在区间 (0, +∞) 内存在“S 点”，并说明理由．。
2018年全国普通高等学校招生统一考试物理(江苏卷)(原卷版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试物理（江苏卷）一、单项选择题：1. 我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号冶相比，下列物理量中“高分五号”较小的是（）A. 周期B. 角速度C. 线速度D. 向心加速度2. 采用220 kV高压向远方的城市输电．当输送功率一定时，为使输电线上损耗的功率减小为原来的，输电电压应变为（）A. 55 kVB. 110 kVC. 440 kVD. 880 kV3. 某弹射管每次弹出的小球速度相等．在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球．忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的（）A. 时刻相同，地点相同B. 时刻相同，地点不同C. 时刻不同，地点相同D. 时刻不同，地点不同4. 从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面．忽略空气阻力，该过程中小球的动能E k 与时间t的关系图像是（）A. 学&科&网...学&科&网...B.C.D.5. 如图所示，水平金属板A、B分别与电源两极相连，带电油滴处于静止状态．现将B板右端向下移动一小段距离，两金属板表面仍均为等势面，则该油滴（）A. 仍然保持静止B. 竖直向下运动C. 向左下方运动D. 向右下方运动二、多项选择题：6. 火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°．在此10 s时间内，火车（）A. 运动路程为600 mB. 加速度为零C. 角速度约为1 rad/sD. 转弯半径约为3.4 km7. 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置．物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点．在从A到B的过程中，物块（）A. 加速度先减小后增大B. 经过O点时的速度最大C. 所受弹簧弹力始终做正功D. 所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功8. 如图所示，电源E对电容器C充电，当C两端电压达到80 V时，闪光灯瞬间导通并发光，C放电．放电后，闪光灯断开并熄灭，电源再次对C充电．这样不断地充电和放电，闪光灯就周期性地发光．该电路（）A. 充电时，通过R的电流不变B. 若R增大，则充电时间变长C. 若C增大，则闪光灯闪光一次通过的电荷量增大D. 若E减小为85 V，闪光灯闪光一次通过的电荷量不变9. 如图所示，竖直放置的形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B．质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等．金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g．金属杆（）A. 刚进入磁场Ⅰ时加速度方向竖直向下B. 穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间C. 穿过两磁场产生的总热量为4mgdD. 释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h可能小于三、简答题10. 一同学测量某干电池的电动势和内阻．（1）如图所示是该同学正准备接入最后一根导线（图中虚线所示）时的实验电路．请指出图中在器材操作上存在的两个不妥之处__________；____________．（2）实验测得的电阻箱阻值R和电流表示数I，以及计算的数据见下表:根据表中数据，在答题卡的方格纸上作出关系图像___________．由图像可计算出该干电池的电动势为_________V；内阻为__________Ω．R/Ω8.0 7.0 6.0 5.0 4.0I/A 0.15 0.17 0.19 0.22 0.26/A–1 6.7 6.0 5.3 4.5 3.8（3）为了得到更准确的测量结果，在测出上述数据后，该同学将一只量程为100 mV的电压表并联在电流表的两端．调节电阻箱，当电流表的示数为0.33 A时，电压表的指针位置如图所示，则该干电池的电动势应为_______V；内阻应为_____Ω．11. 某同学利用如图所示的实验装置来测量重力加速度g．细绳跨过固定在铁架台上的轻质滑轮，两端各悬挂一只质量为M的重锤．实验操作如下：①用米尺量出重锤1底端距地面的高度H；②在重锤1上加上质量为m的小钩码；③左手将重锤2压在地面上，保持系统静止．释放重锤2，同时右手开启秒表，在重锤1落地时停止计时，记录下落时间；④重复测量3次下落时间，取其平均值作为测量值t．请回答下列问题（1）步骤④可以减小对下落时间t测量的______（选填“偶然”或“系统”）误差．（2）实验要求小钩码的质量m要比重锤的质量M小很多，主要是为了______．A、使H测得更准确B、使重锤1下落的时间长一些C、使系统的总质量近似等于2MD、使细绳的拉力与小钩码的重力近似相等（3）滑轮的摩擦阻力会引起实验误差．现提供一些橡皮泥用于减小该误差，可以怎么做_________________? （4）使用橡皮泥改进实验后，重新进行实验测量，并测出所用橡皮泥的质量为m0．用实验中的测量量和已知量表示g，得g=______．12. 如图所示，一支温度计的玻璃泡外包着纱布，纱布的下端浸在水中．纱布中的水在蒸发时带走热量，使温度计示数低于周围空气温度．当空气温度不变，若一段时间后发现该温度计示数减小，则_____．A. 空气的相对湿度减小B. 空气中水蒸汽的压强增大C. 空气中水的饱和气压减小D. 空气中水的饱和气压增大13. 一定量的氧气贮存在密封容器中，在T1和T2温度下其分子速率分布的情况见右表．则T1___（选填“大于”“小于”或“等于”）T2．若约10%的氧气从容器中泄漏，泄漏前后容器内温度均为T1，则在泄漏后的容器中，速率处于400~500 m/s区间的氧气分子数占总分子数的百分比___（选填“大于”“小于”或“等于”）18.6%．14. 如图所示，一定质量的理想气体在状态A时压强为2.0×105 Pa，经历A B C A的过程，整个过程中对外界放出61.4 J热量．求该气体在A B过程中对外界所做的功．15. 梳子在梳头后带上电荷，摇动这把梳子在空中产生电磁波．该电磁波______．A. 是横波B. 不能在真空中传播C. 只能沿着梳子摇动的方向传播D. 在空气中的传播速度约为3×108 m/ s16. 两束单色光A、B的波长分别为、，且>，则______（选填“A”或“B”）在水中发生全反射时的临界角较大．用同一装置进行杨氏双缝干涉实验时，可以观察到______（选填“A”或“B”）产生的条纹间距较大．17. 一列简谐横波沿x轴正方向传播，在x=0 和x=0.6 m处的两个质点A、B的振动图象如图所示．已知该波的波长大于0.6 m，求其波速和波长18. 已知A和B两种放射性元素的半衰期分别为T和2T，则相同质量的A和B经过2T后，剩有的A和B 质量之比为_____．A. 1:4B. 1:2C. 2:1D. 4:119. 光电效应实验中，用波长为的单色光A照射某金属板时，刚好有光电子从金属表面逸出．当波长为的单色光B照射该金属板时，光电子的最大初动能为______，A、B两种光子的动量之比为_____．（已知普朗克常量为h、光速为c）20. 如图所示，悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为m，运动速度的大小为v，方向向下．经过时间t，小球的速度大小为v，方向变为向上．忽略空气阻力，重力加速度为g，求该运动过程中，小球所受弹簧弹力冲量的大小．四、计算题:21. 如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为，间距为d．导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直．质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流．金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g．求下滑到底端的过程中，金属棒（1）末速度的大小v；（2）通过的电流大小I；（3）通过的电荷量Q．22. 如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B．质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l．用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°．松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：（1）小球受到手的拉力大小F；（2）物块和小球的质量之比M:m；（3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T．23. 如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O′点，各区域磁感应强度大小相等．某粒子质量为m、电荷量为+q，从O 沿轴线射入磁场．当入射速度为v0时，粒子从O上方处射出磁场．取sin53°=0.8，cos53°=0.6．（1）求磁感应强度大小B；（2）入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O′的时间t；（3）入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO′平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从O运动到O′的时间增加Δt，求Δt的最大值．。
2018年高考数学试题(江苏卷)含答案
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ题答题要求参考公式：锥体的体积13V Sh=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{0,1,2,8}A=，{1,1,6,8}B=-，那么A B=▲．2．若复数z满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则z的实部为▲．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．5．函数()f x 的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）AB ∥平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ． 16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos 2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,(1a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．29 10．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+==， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则si n θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）=sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C 的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()( 24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点． （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =．令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a xb x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩，（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立， 即1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+ ，即当2,3,,1n m =+ 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+ 均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+ ）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若PC =，求BC 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n 的表达式(用n 表示)．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．又因为PC=OC=2，所以OP．又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．B．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，det()221310=⨯-⨯=≠A，所以A可逆，从而1-A2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P(x，y)，则233121xy⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311xy-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A，因此，点P的坐标为(3，–1)．C．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：因为曲线C的极坐标方程为=4cosρθ，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l过A（4，0），倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos 6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以1,2)2P -，从而11(,2)(0,2,22),BP AC ==- ，故111|||cos ,|||||BP AC BP AC BP AC ⋅==⋅ ． 因此，异面直线BP 与AC 1（2）因为Q 为BC的中点，所以1,0)2Q ，因此3,0)2AQ = ，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC == ． 设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅= n n即30,2220.y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅== n n n 所以直线CC 1与平面AQC 123．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+ (242)(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=，因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。
2018年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷)(解析版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B ⋂=________．【答案】{1，8}.【解析】分析：根据交集定义{}A B x x A x B 且⋂=∈∈求结果.详解：由题设和交集的定义可知：{}1,8A B ⋂=.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2.若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为i 12i z ⋅=+，则12i 2i iz +==-，则z 的实部为2. 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b R ∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90.【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.详解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为8989909191，，，，，故平均数为89+89+90+91+91905=. 点睛：12,,,n x x x L 的平均数为12n x x x n+++L .4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.5.函数()f x =________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞. 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】3.10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3.10点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7.已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________． 【答案】6π-. 【解析】 分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+；(2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.8.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________． 【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,b y x a =±即0bx ay ±=,bc b c ==所以2b c =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e == 点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．【答案】2 【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由(4)()f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22f f f =-=-=-+=因此1π2((15))()cos .242f f f === 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】 分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，2，，所以该多面体的体积为21421(2).33⨯⨯⨯= 点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11.若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．【答案】3-.【解析】分析：先结合三次函数图象确定在(0,)+∞上有且仅有一个零点的条件，求出参数a ,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由()2620f x x ax '=-=得0,3a x x ==，因为函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，因此322()()10, 3.33a a a a -+==从而函数()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以()max ()0,f x f ={}min ()min (1),(1)(1)f x f f f =-=-，max min ()()f x f x +=()0+(1)14 3.f f -=-=- 点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v ，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ， 由0AB CD ⋅=u u u v u u u v 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+= 当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14.已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}n B x x n N ==∈．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设=2k n a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++L L()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m L L =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >.由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如,2,n n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数），符号型（如2(1)n n a n =-），周期型（如πsin 3n n a =）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥。
2018年普通高等学校招生全国统一考试物理试题(江苏卷,含答案)
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保持平常心，顺其自然2018年普通高等学校招生全国统一考试物理试题（江苏卷）一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意．1．我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 k m，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号冶相比，下列物理量中“高分五号”较小的是（A）周期（B）角速度（C）线速度（D）向心加速度2．采用220 kV高压向远方的城市输电．当输送功率一定时，为使输电线上损耗的功率减小为原来的14，输电电压应变为（A）55 kV （B）110 kV （C）440 kV （D）880 kV3．某弹射管每次弹出的小球速度相等．在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球．忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的（A）时刻相同，地点相同（B）时刻相同，地点不同（C）时刻不同，地点相同（D）时刻不同，地点不同4．从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面．忽略空气阻力，该过程中小球的动能E k 与时间t的关系图象是5．如图所示，水平金属板A、B分别与电源两极相连，带电油滴处于静止状态．现将B板右端向下移动一小段距离，两金属板表面仍均为等势面，则该油滴（A）仍然保持静止（B）竖直向下运动（C）向左下方运动（D）向右下方运动二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分．每小题有多个选项符合题意．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．6．火车以60 m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s内匀速转过了约10°．在此10 s时间内，火车（A）运动路程为600 m （B）加速度为零（C）角速度约为1 rad/s （D）转弯半径约为3.4 km7．如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置．物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点．在从A到B的过程中，物块（A）加速度先减小后增大（B）经过O点时的速度最大（C）所受弹簧弹力始终做正功（D）所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功8．如图所示，电源E对电容器C充电，当C两端电压达到80 V时，闪光灯瞬间导通并发光，C放电．放电后，闪光灯断开并熄灭，电源再次对C充电．这样不断地充电和放电，闪光灯就周期性地发光．该电路（A）充电时，通过R的电流不变（B）若R增大，则充电时间变长（C）若C增大，则闪光灯闪光一次通过的电荷量增大（D）若E减小为85 V，闪光灯闪光一次通过的电荷量不变9．如图所示，竖直放置的形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B．质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等．金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g．金属杆（A ）刚进入磁场Ⅰ时加速度方向竖直向下（B ）穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间（C ）穿过两磁场产生的总热量为4mgd（D ）释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h 可能小于22442m gR B L 三、简答题:本题分必做题（第10、11题）和选做题（第12题）两部分，共计42分．请将解答填写在答题卡相应的位置．【必做题】 10．（8分）一同学测量某干电池的电动势和内阻．（1）题10-1图所示是该同学正准备接入最后一根导线（图中虚线所示）时的实验电路．请指出图中在器材操作上存在的两个不妥之处．（2）实验测得的电阻箱阻值R 和电流表示数I ，以及计算的1I数据见下表: 根据表中数据，在答题卡的方格纸上作出1R I关系图象．由图象可计算出该干电池的电动势为 V ；内阻为 Ω． R /Ω8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 I /A0.15 0.17 0.19 0.22 0.26 1I /A –1 6.7 6.0 5.3 4.5 3.8（3）为了得到更准确的测量结果，在测出上述数据后，该同学将一只量程为100 mV的电压表并联在电流表的两端．调节电阻箱，当电流表的示数为0.33 A时，电压表的指针位置如题10-2 图所示，则该干电池的电动势应为 V；内阻应为Ω．11．（10分）某同学利用如图所示的实验装置来测量重力加速度g．细绳跨过固定在铁架台上的轻质滑轮，两端各悬挂一只质量为M的重锤．实验操作如下：①用米尺量出重锤1底端距地面的高度H；②在重锤1上加上质量为m的小钩码；③左手将重锤2压在地面上，保持系统静止．释放重锤2，同时右手开启秒表，在重锤1落地时停止计时，记录下落时间；④重复测量3次下落时间，取其平均值作为测量值t．请回答下列问题（1）步骤④可以减小对下落时间t测量的（选填“偶然”或“系统”）误差．（2）实验要求小钩码的质量m要比重锤的质量M小很多，主要是为了．（A）使H测得更准确（B）使重锤1下落的时间长一些（C）使系统的总质量近似等于2M（D）使细绳的拉力与小钩码的重力近似相等（3）滑轮的摩擦阻力会引起实验误差．现提供一些橡皮泥用于减小该误差，可以怎么做?（4）使用橡皮泥改进实验后，重新进行实验测量，并测出所用橡皮泥的质量为m0．用实验中的测量量和已知量表示g，得g= ．12．【选做题】本题包括A、B、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答．若多做,则按A、B两小题评分．A．[选修3-3](12分)（1）如题12A-1图所示，一支温度计的玻璃泡外包着纱布，纱布的下端浸在水中．纱布中的水在蒸发时带走热量，使温度计示数低于周围空气温度．当空气温度不变，若一段时间后发现该温度计示数减小，则．（A）空气的相对湿度减小（B）空气中水蒸汽的压强增大（C）空气中水的饱和气压减小（D）空气中水的饱和气压增大（2）一定量的氧气贮存在密封容器中，在T1和T2温度下其分子速率分布的情况见右表．则T1（选填“大于”“小于”或“等于”）T2．若约10%的氧气从容器中泄漏，泄漏前后容器内温度均为T1，则在泄漏后的容器中，速率处于400~500 m/s区间的氧气分子数占总分子数的百分比（选填“大于”“小于”或“等于”）18.6%．（3）如题12A-2图所示，一定质量的理想气体在状态A时压强为2.0×105 Pa，经历A→B→C→A的过程，整个过程中对外界放出61.4 J热量．求该气体在A→B过程中对外界所做的功．B．[选修3-4]（12分）（1）梳子在梳头后带上电荷，摇动这把梳子在空中产生电磁波．该电磁波．（A）是横波（B）不能在真空中传播（C ）只能沿着梳子摇动的方向传播（D ）在空气中的传播速度约为3×108 m/ s（2）两束单色光A 、B 的波长分别为A λ、B λ，且A λ>B λ，则 （选填“A”或“B”）在水中发生全反射时的临界角较大．用同一装置进行杨氏双缝干涉实验时，可以观察到 （选填“A”或“B”）产生的条纹间距较大．（3）一列简谐横波沿x 轴正方向传播，在x =0 和x =0.6 m 处的两个质点A 、B 的振动图象如图所示．已知该波的波长大于0.6 m ，求其波速和波长C ．[选修3-5]（12分）（1）已知A 和B 两种放射性元素的半衰期分别为T 和2T ，则相同质量的A 和B 经过2T 后，剩有的A 和B 质量之比为 ．（A ）1:4 （B ）1:2 （C ）2:1 （D ）4:1（2）光电效应实验中，用波长为0λ的单色光A 照射某金属板时，刚好有光电子从金属表面逸出．当波长为02λ的单色光B 照射该金属板时，光电子的最大初动能为 ，A 、B 两种光子的动量之比为 ． （已知普朗克常量为h 、光速为c ）（3）如图所示，悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为m ，运动速度的大小为v ，方向向下．经过时间t ，小球的速度大小为v ，方向变为向上．忽略空气阻力，重力加速度为g ，求该运动过程中，小球所受弹簧弹力冲量的大小．四、计算题:本题共3小题，共计47分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．13．（15分）如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为θ，间距为d ．导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向与导轨平面垂直．质量为m 的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s ，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流．金属棒被松开后，以加速度a 沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g ．求下滑到底端的过程中，金属棒（1）末速度的大小v ；（2）通过的电流大小I ；（3）通过的电荷量Q ．14．（16分）如图所示，钉子A 、B 相距5l ，处于同一高度．细线的一端系有质量为M 的小物块，另一端绕过A 固定于B ．质量为m 的小球固定在细线上C 点，B 、C 间的线长为3l ．用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC 与水平方向的夹角为53°．松手后，小球运动到与A 、B 相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g ，取sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：（1）小球受到手的拉力大小F ；（2）物块和小球的质量之比M :m ；（3）小球向下运动到最低点时，物块M 所受的拉力大小T ．15．（16分）如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d ，宽为d ，中间两个磁场区域间隔为2d ，中轴线与磁场区域两侧相交于O 、O ′点，各区域磁感应强度大小相等．某粒子质量为m 、电荷量为+q ，从O 沿轴线射入磁场．当入射速度为v 0时，粒子从O 上方2d 处射出磁场．取sin53°=0.8，cos53°=0.6．（1）求磁感应强度大小B；（2）入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O′的时间t；（3）入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO′平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从O运动到O′的时间增加Δt，求Δt的最大值．参考答案一、单项选择题1．A 2．C 3．B 4．A 5．D二、多项选择题6．AD 7．AD 8．BCD 9．BC三、简答题10．（1）①开关未断开 ②电阻箱阻值为零（2）（见下图） 1.4（1.30~1.44都算对） 1.2（1.0~1.4都算对）（3）1.4（结果与（2）问第一个空格一致） 1.0（结果比（2）问第二个空格小0.2）11．（1）偶然（2）B（3）在重锤1上粘上橡皮泥，调整橡皮泥质量直至轻拉重锤1能观察到其匀速下落（4）0222M m m Hmt ++（）12A ．（1）A （2）大于 等于（3）整个过程中，外界对气体做功W =W AB +W CA ，且W CA =p A （V C –V A ）由热力学第一定律ΔU =Q +W ，得W AB =–（Q +W CA ）代入数据得W AB =–138.6 J ，即气体对外界做的功为138.6 J12B ．（1）AD （2）A A（3）由图象可知，周期T =0.4 s由于波长大于0.6 m ，由图象可知，波从A 到B 的传播时间Δt =0.3 s 波速xv t ∆=∆，代入数据得v =2 m/s 波长λ=vT ，代入数据得λ=0.8 m12C ．（1）B （2）0hc λ 1:2 （3）取向上为正方向，动量定理mv –（–mv ）=I 且–I F mg t =（）解得2F I Ft mv mgt ==+四、计算题13．（1）匀加速直线运动v 2=2as 解得2v as =（2）安培力F 安=IdB 金属棒所受合力–F mgsin F θ=安牛顿运动定律F=ma解得–m gsin I d a Bθ=（） （3）运动时间v t a = 电荷量Q =It 解得2sin asm g a Q θ-=（） 14．（1）设小球受AC 、BC 的拉力分别为F 1、F 2F 1sin53°=F 2cos53° F +mg =F 1cos53°+ F 2sin53°且F 1=Mg解得53F Mg mg =- （2）小球运动到与A 、B 相同高度过程中小球上升高度h 1=3l sin53°，物块下降高度h 2=2l机械能守恒定律mgh 1=Mgh 2解得65M m = （3）根据机械能守恒定律，小球回到起始点．设此时AC 方向的加速度大小为a ，重物受到的拉力为T 牛顿运动定律Mg –T =Ma 小球受AC 的拉力T ′=T牛顿运动定律T ′–mg cos53°=ma解得85mMg T m M =+（）（4885511T mg T Mg ==或） 15．（1）粒子圆周运动的半径00mv r qB =由题意知04d r =，解得04mv B qd = （2）设粒子在矩形磁场中的偏转角为α由d =r sin α，得sin α=45，即α=53° 在一个矩形磁场中的运动时间12π360m t qB α=︒，解得1053π720d t v = 直线运动的时间22dt v =，解得2025dt v = 则12053π+724180dt t t v =+=（）（3）将中间两磁场分别向中央移动距离x 粒子向上的偏移量y =2r （1–cos α）+x tan α 由y ≤2d ，解得34x d ≤则当x m =34d 时，Δt 有最大值 粒子直线运动路程的最大值mm m 2223xs d x d cos α=+-=（）增加路程的最大值m m –2s s d d ∆== 增加时间的最大值mm 05sdt v v ∆∆==。
2018高考真题__数学(江苏卷)+含解析
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】分析：根据交集定义求结果.详解：由题设和交集的定义可知：.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2. 若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.5. 函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.9. 函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l 交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.19. 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。
2018年江苏数学卷(精校版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合，，那么．2．若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．5．函数的定义域为．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．已知函数的图象关于直线对称，则的值是．8．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是．9．函数满足，且在区间上，则的值为．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为．12．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为．13．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为．14．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．16．（本小题满分14分）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．19．（本小题满分16分）记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8} 2．2 3．904．85．[2，+∞） 6．7．8．29．10．11．–3 12．3 13．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC ，BC平面A1BC ，所以AB1⊥平面A1BC ．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为 22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为 ,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+==，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）由条件知： 112(,)n n n a n d b -=-=．因为对n=1，2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d ---≤对n=1，2，3，4均成立，即1≤1，1 ≤d≤ 3，3≤2d≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤ ．因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知： 111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得（n=2，3，···，m+1）成立，即1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则 112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d=0时，对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）．①当 2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当 112mq <≤时，有 2n m q q ≤≤，从而 1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m -．②设 ()()21x f x x =-，当x>0时， ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x单调递减，从而()f x<f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m m b q b q m m -．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若，求 BC 的长．B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科#网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．继续阅读。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学
2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=_____.解析：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，答案：{1，8}2.若复数z满足i·z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为_____.解析：由i·z=1+2i，得()()212122i iiz ii i+-+=--＝＝，∴z的实部为2.答案：23.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为_____.解析：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为15×(89+89+90+91+91)=90.答案：904.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为_____.解析：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8.答案：85.函数()f x=的定义域为_____.解析：由题意得：2log x≥1，解得：x≥2，∴函数f(x)的定义域是[2，+∞). 答案：[2，+∞)6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为_____.解析：(适合理科生)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C 52=10种，其中全是女生的有C 32=3种， 故选中的2人都是女同学的概率P=310=0.3， (适合文科生)，设2名男生为a ，b ，3名女生为A ，B ，C ，则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，Bc ，AB ，AC ，BC 共10种， 其中全是女生为AB ，AC ，BC 共3种， 故选中的2人都是女同学的概率P=310=0.3， 答案：0.37.已知函数y=sin(2x+φ)(22ππϕ-＜＜)的图象关于直线x=3π对称，则φ的值为_____.解析：∵y=sin(2x+φ)(22ππϕ-＜＜)的图象关于直线x=3π对称，∴232k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ， 即φ=k π﹣6π， ∵22ππϕ-＜＜， ∴当k=0时，φ=﹣6π， 答案：﹣6π8.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点F(c ，0)到一条，则其离心率的值为_____.解析：双曲线22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点F(c ，0)到一条渐近线b y x a =c ，bc a b ==， 可得22234ca c -＝，即c=2a ，所以双曲线的离心率为：2ce a=＝.答案：29.函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x ∈R)，且在区间(﹣2，2]上，f(x)=1c 2os 02220x x x x π⎧≤⎪⎨⎪+-≤⎩，＜，＜，则f(f(15))的值为_____.解析：由f(x+4)=f(x)得函数是周期为4的周期函数， 则f(15)=f(16﹣1)=f(﹣1)=|﹣1+1|=12， ()()1122cos ?co s 24f ππ=⨯== 即10.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_____.解析：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1， 多面体的中心为顶点的多面体的体积为：133421⨯=.答案：4311.若函数f(x)=2x 3﹣ax 2+1(a ∈R)在(0，+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为_____.解析：∵函数f(x)=2x 3﹣ax 2+1(a ∈R)在(0，+∞)内有且只有一个零点， ∴f′(x)=2x(3x ﹣a)，x ∈(0，+∞)， ①当a ≤0时，f′(x)=2x(3x ﹣a)＞0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(0)=1，f(x)在(0，+∞)上没有零点，舍去； ②当a ＞0时，f′(x)=2x(3x ﹣a)＞0的解为x ＞3a ， ∴f(x)在(0，3a )上递减，在(3a，+∞)递增， 又f(x)只有一个零点， ∴()310273a f a =-+=，解得a=3，f(x)=2x 3﹣3x 2+1，f′(x)=6x(x ﹣1)，x ∈[﹣1，1]， f′(x)＞0的解集为(﹣1，0)，f(x)在(﹣1，0)上递增，在(0，1)上递减， f(﹣1)=﹣4，f(0)=1，f(1)=0，∴f(x)min =f(﹣1)=﹣4，f(x)max =f(0)=1，∴f(x)在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为： f(x)max +f(x)min =﹣4+1=﹣3. 答案：-312.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y=2x 上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为_____. 解析：设A(a ，2a)，a ＞0， ∵B(5，0)，∴C(52a +，a)， 则圆C 的方程为(x ﹣5)(x ﹣a)+y(y ﹣2a)=0.联立()()()2520y x x x a y y a ⎧⎪⎨--+-⎪⎩＝＝，解得D(1，2).∴()()22321552224022a a a AB CD a a a a a ----⋅--⋅-=+-＝，，＝. 解得：a=3或a=﹣1. 又a ＞0，∴a=3. 即A 的横坐标为3. 答案：313.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD=1，则4a+c 的最小值为_____.解析：由题意得 12acsin120°= 12asin60°+ 12csin60°， 即ac=a+c ， 得111a c+=，得()()1144455459c a a c a c a c a c +=++=++≥=+=，当且仅当4c aa c+，即c=2a 时，取等号.答案：914.已知集合A={x|x=2n ﹣1，n ∈N*}，B={x|x=2n，n ∈N*}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞12a n+1成立的n 的最小值为_____.解析：利用列举法可得：()()5262122114144162503S -+=++＝＝，a 27=43，⇒12a 27=516，不符合题意.()()62721222143546212S -+=+=-，28=45⇒1228=540，符合题意，答案：27二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC.解析：(1)由11111111AB A B AB A B C A B A B C ⎫⎪⎬⎪⊂⎭不在平面内平面⇒AB ∥平面A 1B 1C ；(2)可得四边形ABB 1A 1是菱形，AB 1⊥A 1B ，由AB 1⊥B 1C 1⇒AB 1⊥BC ⇒AB 1⊥面A 1BC ，⇒平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC. 答案：证明：(1)平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1，11111111AB A B AB A B C A B A B C ⎫⎪⎬⎪⊂⎭不在平面内平面⇒AB ∥平面A 1B 1C ； (2)在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB ，⇒四边形ABB 1A 1是菱形，⊥AB 1⊥A 1B. 在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB ，AB 1⊥B 1C 1⇒AB 1⊥BC.∴1111111AB A B AB BC A B BC B A B A BC BC A BC ⎧⎪⎨⎪⎩⊥⊥⋂⊂⊂，＝面，面 ⇒AB 1⊥面A 1BC ，且AB 1⊂平面ABB 1A 1⇒平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC.16.已知α，β为锐角，tan α=43，cos(α+β)=(1)求cos2α的值；(2)求tan(α﹣β)的值.解析：(1)由已知结合平方关系求得sin α，cos α的值，再由倍角公式得cos2α的值； (2)由(1)求得tan2α，再由cos(α+β)=﹣求得tan(α+β)，利用tan(α﹣β)=tan[2α﹣(α+β)]，展开两角差的正切求解.答案：(1)由22sin 4cos 3sin cos 1ααααα⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+＝＝为锐角，解得4sin 3cos 5αα⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴cos2α=227cossin 25αα--＝；(2)由(1)得，sin2α＝2sin αcos α＝2425，则tan2α=sin 224cos27αα-＝. ∵α，β∈(0，2π)，∴α+β∈(0，π)，∴()sin αβ+==.则()()()sin tan 2cos αβαβαβ++=-+＝.∴tan(α﹣β)=tan[2α﹣(α+β)]=()()tan 2tan 2111tan 2tan ααβααβ-+=-++.17.某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.解析：(1)根据图形计算矩形ABCD 和△CDP 的面积，求出sin θ的取值范围； (2)根据题意求出年总产值y 的解析式，构造函数f(θ)，利用导数求f(θ)的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大. 答案：(1)S 矩形ABCD =(40sin θ+10)·80cos θ =800(4sin θcos θ+cos θ)， S △CDP =12·80cos θ(40﹣40sin θ) =1600(cos θ﹣cos θsin θ)， 当B 、N 重合时，θ最小，此时sin θ=14； 当C 、P 重合时，θ最大，此时sin θ=1， ∴sin θ的取值范围是[14，1)； (2)设年总产值为y ，甲种蔬菜单位面积年产值为4t ，乙种蔬菜单位面积年产值为3t ， 则y=3200t(4sin θcos θ+cos θ)+4800t(cos θ﹣cos θsin θ) =8000t(sin θcos θ+cos θ)，其中sin θ∈[14，1)； 设f(θ)=sin θcos θ+cos θ，则f′(θ)=cos 2θ﹣sin 2θ﹣sin θ=﹣2sin 2θ﹣sin θ+1；令f′(θ)=0，解得sin θ=12，此时θ=6π，cos θ； 当sin θ∈[142 1，)时，f′(θ)＞0，f(θ)单调递增；当sin θ∈[12，1)时，f′(θ)＜0，f(θ)单调递减；∴θ=6π时，f(θ)取得最大值，即总产值y 最大.答：(1)S 矩形ABCD =800(4sin θcos θ+cos θ)，S △CDP =1600(cos θ﹣cos θsin θ)， sin θ∈[1，1)； (2)θ=6π时总产值y 最大.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点12，)，焦点F 1(0)，F 2，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P.①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.若△OAB，求直线l 的方程.解析：(1)由题意可得c=223114a b+＝，又a 2+b 2=c 2=3，解得a=2，b=1即可.(2)①可设直线l 的方程为y=kx+m ，(k ＜0，m ＞0).可得2231m k +＝，即m 2＝3+3k 2. 由2244y kx m x y +⎧⎨++⎩＝＝，可得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，△=(8km)2﹣4(4k 2+1)(4m 2﹣4)=0，解得k=﹣m=3.即可.②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立直线与椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，O 到直线l的距离21d AB x ==-=， △OAB的面积为S=1122==解得k=(正值舍去)，即可答案：(1)由题意可设椭圆方程为22221y x a b+=，(a ＞b ＞0)， ∵焦点F 1(﹣，0)，F 2(0)，∴c=.∵∴223114a b+＝，又a 2+b 2=c 2=3， 解得a=2，b=1.∴椭圆C 的方程为：2214x y +＝，圆O 的方程为：x 2+y 2=3.(2)①可知直线l 与圆O 相切，也与椭圆C ，且切点在第一象限， ∴可设直线l 的方程为y=kx+m ，(k ＜0，m ＞0). 由圆心(0，0)到直线l的距离等于圆半径，可得2231m k +＝，即m 2＝3+3k 2. 由2244y kx mx y +⎧⎨++⎩＝＝，可得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，△=(8km)2﹣4(4k 2+1)(4m 2﹣4)=0，可得m 2=4k 2+1，∴3k 2+3=4k 2+1，结合k ＜0，m ＞0，解得k=m=3.将k=m=3代入223x y y kx m⎧+⎨+⎩＝＝可得220x -+＝，解得y=1，故点P 的坐标为). ②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由2200330k m m k +⎧⎪⎩∆⎪⎨＜，＞＝＞⇒k联立直线与椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，21x x -==O 到直线l的距离d =，21AB x =-=，△OAB 的面积为S=1122==解得k=(正值舍去)，∴y =+为所求.19.记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x 0∈R ，满足f(x 0)=g(x 0)且f′(x 0)=g′(x 0)，则称x 0为函数f(x)与g(x)的一个“S 点”.(1)证明：函数f(x)=x 与g(x)=x 2+2x ﹣2不存在“S 点”；(2)若函数f(x)=ax 2﹣1与g(x)=lnx 存在“S 点”，求实数a 的值；(3)已知函数f(x)=﹣x 2+a ，()x be g x x=.对任意a ＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，+∞)内存在“S 点”，并说明理由.解析：(1)根据“S 点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可； (2)根据“S 点”的定义解两个方程即可；(3)分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可. 答案：(1)证明：f′(x)=1，g′(x)=2x+2，则由定义得222122x x x x ⎧+-⎨+⎩＝＝，得方程无解，则f(x)=x 与g(x)=x 2+2x ﹣2不存在“S 点”；(2)f′(x)=2ax ，g′(x)=1x，x ＞0，由f′(x)=g′(x)得1x=2ax，得x =ln 211f g a =-==-，得a=2e ；(3)f′(x)=﹣2x ，()()21x be x g x x -'=，(x ≠0)， 由f′(x 0)=g′(x 0)，得0300201x x be x =--＞，得0＜x 0＜1， 由f(x 0)=g(x 0)，得022000021x x be x a x x -+==--，得2200021x a x x =--， 令()23222311x x x ax a h x x a x x-++-=--=--，(a ＞0，0＜x ＜1)， 设m(x)=﹣x 3+3x 2+ax ﹣a ，(a ＞0，0＜x ＜1)，则m(0)=﹣a ＜0，m(1)=2＞0，得m(0)m(1)＜0， 又m(x)的图象在(0，1)上连续不断， 则m(x)在(0，1)上有零点， 则h(x)在(0，1)上有零点，则f(x)与g(x)在区间(0，+∞)内存在“S”点.20.设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列. (1)设a 1=0，b 1=1，q=2，若|a n ﹣b n |≤b 1对n=1，2，3，4均成立，求d 的取值范围；(2)若a 1=b 1＞0，m ∈N*，q ∈(1]，证明：存在d ∈R ，使得|a n ﹣b n |≤b 1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示).解析：(1)根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；(2)根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可.答案：(1)由题意可知|a n ﹣b n |≤1对任意n=1，2，3，4均成立， ∵a 1=0，q=2，∴01121241381d d d -≤-≤-≤⎧⎪-⎨≤⎪⎪⎪⎩，解得133522733d d d ≤≤≤≤≤≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩.即7532d ≤≤.证明：(2)∵a n =a 1+(n ﹣1)d ，b n =b 1·q n ﹣1，若存在d ∈R ，使得|a n ﹣b n |≤b 1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b 1+(n ﹣1)d ﹣b 1·q n ﹣1|≤b 1，(n=2，3，…，m+1)，即1111211n n b q q b d n n ---≤≤--，(n=2，3，…，m+1)， ∵q ∈(1，∴则1＜q n ﹣1≤q m≤2，(n=2，3，…，m+1)，∴111120011n n b q q b n n ---≤--，＞，因此取d=0时，|a n ﹣b n |≤b 1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{121n q n ---}的最大值和数列{11n q n --}的最小值，①当2≤n ≤m 时，()()()1112222111n n nn n n n n n q q q q q nq q nq n n n n n n -----+----+-==---， 当112m q ≤＜时，有q n ≤q m≤2，从而n(q n ﹣q n ﹣1)﹣q n+2＞0，因此当2≤n ≤m+1时，数列{121n q n ---}单调递增，故数列{121n q n ---}的最大值为2m q m-.②设f(x)=2x(1﹣x)，当x ＞0时，f′(x)=(ln2﹣1﹣xln2)2x＜0，∴f(x)单调递减，从而f(x)＜f(0)=1，当2≤n ≤m 时，()()()111112111nn q q n n f n n n qn --=≤-=-＜，因此当2≤n ≤m+1时，数列{11n q n --}单调递递减，故数列{11n q n --}的最小值为mqn ，()12mb q m-∴d 的取值范围是()112m m b q b q d m m ⎡⎤-⎢⎥∈⎢⎥⎣⎦，.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)21.如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C.若PC=BC 的长.解析：连接OC ，由题意，CP 为圆O 的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO 的长，即可判断△COB 是等边三角形，BC 的长. 答案：连接OC ，因为PC 为切线且切点为C ， 所以OC ⊥CP.因为圆O 的半径为2，PC＝所以BO=OC=2，4PO，所以1os 2c COP ∠＝， 所以∠COP=60°，所以△COB 为等边三角形，所以BC=BO=2.B.[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)22.已知矩阵A=2312⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (1)求A 的逆矩阵A ﹣1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(3，1)，求点P 的坐标. 解析：(1)矩阵A=2312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求出det(A)=1≠0，A 可逆，然后求解A 的逆矩阵A ﹣1. (2)设P(x ，y)，通过233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求出31x y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即可得到点P 的坐标. 答案：(1)矩阵A=2312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，det(A)=2×2﹣1×3=1≠0，所以A 可逆， 从而：A 的逆矩阵A ﹣1= 2312-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. (2)设P(x ，y)，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311y A x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹣， 因此点P 的坐标为(3，﹣1).C.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分0分)23.在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(6π﹣θ)=2，曲线C 的方程为ρ=4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解析：将直线l 、曲线C 的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解.答案：∵曲线C 的方程为ρ=4cos θ，∴ρ2=4ρcos θ，⇒x 2+y 2=4x ，∴曲线C 是圆心为C(2，0)，半径为r=2得圆.∵直线l 的方程为ρsin(6π﹣θ)=2，∴cos sin 212ρθρθ=，∴直线l 的普通方程为：x ﹣圆心C 到直线l 的距离为1d ==，∴直线l 被曲线C 截得的弦长为.D.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分0分)24.若x ，y ，z 为实数，且x+2y+2z=6，求x 2+y 2+z 2的最小值.解析：根据柯西不等式进行证明即可.答案：由柯西不等式得(x 2+y 2+z 2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2，∵x+2y+2z=6，∴x 2+y 2+z 2≥4 是当且仅当122y x z ＝＝时，不等式取等号，此时x=23，y=43，z=43， ∴x 2+y 2+z 2的最小值为4【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点.(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；(2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.解析：设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，以{1OBOC OO ，，}为基底，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，(1)由111cos BP AC BP AC BP AC ⋅=⋅＜，＞可得异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；(2)求得平面AQC 1的一个法向量为n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为θ， 可得111sin cos CC nCC n CC n θ⋅==⋅＜，＞，即可得直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.答案：如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则，OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，故以{1OBOCOO ，，}为基底， 建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，∵AB=AA 1=2，A(0，﹣1，0)，B(，0，0)， C(0，1，0)，A 1(0，﹣1，2)，B 10，2)，C 1(0，1，2).(1)点P 为A 1B 1的中点.∴122P ⎫-⎪⎝⎭，， ∴()13202212BP AC ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝，，，＝，，. 111152os c BP AC BP AC BP AC -+=⨯⋅==⋅＜，＞. ∴异面直线BP 与AC 1； (2)∵Q 为BC 的中点.∴21Q ⎫⎪⎝⎭，，0 ∴3302AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，()()11022022AC CC ＝，，，＝，，， 设平面AQC 1的一个法向量为n =(x ，y ，z)， 由13302220AQ n x y ACn y z ⎧⋅+⎪⎨⎪⋅+⎩＝＝＝＝，可取n =(1，1)， 设直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为θ，1112sin 5cos CC nCC n CC n θ⋅==⨯⋅==＜，＞ ∴直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为26.设n ∈N *，对1，2，……，n 的一个排列i 1i 2……i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2……i n 的一个逆序，排列i 1i 2……i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k)为1，2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数.(1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示).解析：(1)由题意直接求得f 3(2)的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f 4(2)的值；(2)对一般的n(n ≥4)的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n (1)=n ﹣1.为计算f n+1(2)，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得f n+1(2)=f n (2)+f n (1)+f n (0)=f n (2)+n ，则当n ≥5时，f n (2)=[f n (2)﹣f n ﹣1(2)]+[f n ﹣1(2)﹣f n ﹣2(2)]+…+[f 5(2)﹣f 4(2)]+f 4(2)，则f n (2)(n ≥5)的表达式可求.答案：(1)记μ(abc)为排列abc 得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ(123)=0，μ(132)=1，μ(231)=2，μ(321)=3，∴f 3(0)=1，f 3(1)=f 3(2)=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，f 4(2)=f 3(2)+f 3(1)+f 3(0)=5；(2)对一般的n(n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n (0)=1. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n (1)=n ﹣1.为计算f n+1(2)，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.当n≥5时，f n(2)=[f n(2)﹣f n﹣1(2)]+[f n﹣1(2)﹣f n﹣2(2)]+…+[f5(2)﹣f4(2)]+f4(2)=(n﹣1)+(n﹣2)+…+4+f4(2)=222n n--.因此，当n≥5时，f n(2)=222n n--.。
2018年高考数学江苏卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共42页） 数学试卷 第4页（共42页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共42页） 数学试卷 第8页（共42页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共42页） 数学试卷 第10页（共42页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018江苏高考数学试卷及解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ1．已知集合{0,1,2,8}A ，{1,1,6,8}B ，那么A B I ▲ ．2．若复数z 满足i 12i z ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为▲ ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲ ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为▲ ．5．函数2()log 1f x x 的定义域为▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为▲ ．7．已知函数sin(2)()22y x 的图象关于直线3x对称，则的值是▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b 的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是▲ ．9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x R ，且在区间(2,2]上，cos,02,2()1||,20,2x x f x x x ≤-≤则((15))f f 的值为▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a R 在(0,)内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]上的最大值与最小值的和为▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x 上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD u uu r uu u r ，则点A 的横坐标为▲ ．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ，ABC 的平分线交AC 与点D ，且1BD ，则4a c 的最小值为▲ ．14．已知集合*{|21,}A x xn n N ，*{|2,}n B x x n N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112nn S a 成立的n 的最小值为▲ ．15．在平行六面体1111ABCD A B C D 中，1111,AA AB AB B C ．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC 平面平面．16．已知,为锐角，4tan3，5cos()5．（1）求cos2的值；（2）求tan()的值．17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．（1）用分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin 的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267，求直线l 的方程．19．记(),()f x g x 分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x R ，满足00()()f x g x 且00()()f x g x ，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x 与2()22g x x x 不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax 与()ln g x x 存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a ，e()x b g x x ．对任意0a ，判断是否存在0b ，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)内存在“S 点”，并说明理由．20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ，若1||n n a b b ≤对1,2,3,4n 均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,(1,2]m a b m q N ，证明：存在d R ，使得1||n n a b b ≤对2,3,,1n m L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．此时此刻，2018年高考大战已经落下帷幕，曾经的欢笑和泪水，拼搏与挣扎已经灰飞烟灭。