2014届高考数学(文)一轮复习课件：第3章 第4讲正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
人教新课标A版必修4第一章课件：1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象课件
2
2
3 7 4 x 2
函数
、
间的变化关系. y
1
O
-1
与
的图象
x
总结 函数y=sinx(>0)图象: 周期变换
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到本来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短(>1)
5
3
6
3
y=sin2x
y=sin(2x+ )
3
5
3
2
x
总结: y=sinx
y=Asin(x+)
方法2:按先变周期后平移顺序变换
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到本来的1/倍
y=sinx
纵坐标不变
y=sinx
向左>0 (向右<0)
平移||/个单位
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到本来的A倍
3
3
C.y 2sin(4x ) 1 D.y 2sin(4x ) 1
3
3
小结
1.五点法作 y Asin(x )一个周期上的函数图像
关键：
2、,, A对图象的影响
y=sinx
所有的点向左( >0) 或向右( <0)平行移动
| | 个单位长度
y=sin(x+)
y=sinx
横坐标缩短(>1)或 伸长(0< <1) 1/倍
5
把C上所有的点 C
( A)向右平行移动 个单位长度.
2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第21讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
［归纳总结］“变量变化”与“图像变化”的关系： (1)当 x→x＋φ 时， 若 φ>0， 则向左平移 φ 个单位； 若 φ<0， 点则向右平移|φ|个单位． 面 (2)当 y→y＋m 时，若 m>0，则向下平移 m 个单位；若 讲 考m<0，则向上平移|m|个单位． 向 1 (3)当 x→ωx(ω>0)时，其横坐标变为原来的 . ω 1 (4)当 y→ky(k>0)时，其纵坐标变为原来的k .
(2)[2013· 苏州模拟]
已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω>0，0<φ ≤
• 点 面 讲 考 向
π 213所示，则φ的值为________． 2 的部分图像如图4-
图4213
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第21讲2 [答案] (1)3 (2) 3 15π 3π 9π 3 [解析] (1)由图像可知4T＝ 8 －（－ 8 ）＝ 4 ，所以T
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第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
π 变式题 为了得到函数y＝cos(x＋ 3 )的图像，只需将 点 函数y＝sin x的图像向左平移________个长度单位．
面 讲 考 5π 向 [答案] 6
π [解析] 因为y＝sin x＝cos（x－ 2 ），且y＝cos（x＋ π π 5π 5π 3 ）＝cos（x－ 2 ＋ 6 ），所以向左平移 6 个单位长度．
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第21讲
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
•
π [解析] (1)函数y＝2sin 3 x的图像向右平移1个单位长度得y π π π ＝2sin 3 (x－1)＝2sin 3 x－ 3 的图像，将所得图像上每一点的 点 π 面横坐标扩大为原来的 3 倍(纵坐标保持不变)，则得到y＝ 讲
2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
第五节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念五个关键点如下表所示：x05－φωπ2ω－φω06π－φω3π2ω－φω072π－φωωx＋φ008π2π093π22πy＝A sin(ωx＋φ)0A0－A0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径提醒：两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin 12x.()(2)将y＝sin(－2x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin －2x－π3的图象．()(3)利用图象变换作图时，可以“先平移，后伸缩”，也可以“先伸缩，后平移”，平移的长度一致．()(4)y＝2sin 13x－π4的初相为－π4.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)y＝2sin 12x－π3的振幅、频率和初相分别为()A．2，4π，π3B．2，14π，π3C．2，14π，－π3D．2，4π，－π3答案C解析由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.故选C.(2)(人教A 必修第一册习题5.6T1改编)为了得到函数y ＝2sin x y＝2sin2x 的图象()A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案A解析y ＝x 2sin 2故选A.(3)(人教B 必修第三册7.3.2练习B T1改编)为了得到y ＝3cos x y ＝3cos ()A ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C ．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变D ．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变答案D解析因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y ＝3cos纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13，即可得到函数y ＝3cos x ．故选D.(4)(人教A 必修第一册5.7例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，A ＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为________．答案y ＝10，x ∈[6，14]解析从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的半个周期，则＋B ＝15，A ＋B ＝5，所以A ＝12×(15－5)＝5，B ＝12×(15＋5)＝10.又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，0<φ<π，所以φ＝3π4，所以y ＝10，x ∈[6，14]．考点探究——提素养考点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换例1(1)将函数f (x )＝cos x 的图象向左平移π2个单位长度，得到的图象的函数解析式为()A ．y ＝－xB ．y ＝xC ．y ＝－xD ．y ＝x 答案D解析由题意知，将函数f (x )＝cosx 图象向左平移π2个单位长度，得g (x )＝cos 3＋π6＝x ＋3π2＋cos πx ＋π2＋x ＋π2＋x 所以函数解析式为y ＝x 故选D.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<φ－π6，f (x )的相邻两个零点的距离为π2，为得到y ＝f (x )的图象，可将y ＝sin x 图象上的所有点()A ．先向右平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变B ．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变C ．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D ．先向右平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变答案B解析因为相邻两个零点的距离为π2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2×π2＝π，则ω＝2πT＝2，又点B －π6，，所以sin 2×φ＝0，解得－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以当k ＝0时，φ＝π3，所以f (x )＝x 则将y ＝sin x 的图象先向左平移π3个单位长度可得y ＝sin ，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝f (x )的图象．故选B.【通性通法】三角函数图象变换的关键点及解题策略(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象．(2)变同名：如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．(3)选方法：根据变换前后函数的特点，选择先平移后伸缩还是先伸缩后平移．注意：对于函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象，向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y ＝sin[ω(x ＋|φ|)]的图象，而不是函数y ＝sin(ωx ＋|φ|)的图象．【巩固迁移】1．(2023·武汉模拟)为了得到y ＝sin y ＝sin x 图象上的所有点的纵坐标不变()A ．所有点的横坐标变为原来的14，再向右平移π8个单位长度B ．所有点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移π8个单位长度C ．先向右平移π8个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的4倍D ．先向右平移π2个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的14答案C解析y ＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的4倍得到y ＝sin x 4的图象，再向右平移π2个单位长度得到y ＝sin ，故A ，B 错误；y ＝sin x 的图象先向右平移π8到y ＝sin，再将所有点的横坐标变为原来的4倍得到y ＝sin ，故C 正确，D 错误．考点二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式可以为()A ．f (x )＝xB ．f (x )＝xC ．f (x )＝xD ．f (x )＝答案A解析不妨令A ＞0，ω＞0.由题图可知，A ＝2，34T ＝13π12－π3，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，f (x )的2×13π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，故φ＝－13π6＋π2＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )＝x －13π6＋π2＋2k x －π6＋x 故选A.【通性通法】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时，ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时，ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．提醒：如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解．若将图象上的非最值点代入解析式求解时，注意点在上升区间还是在下降区间．【巩固迁移】2．(2024·湘潭模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为()A ．y ＝－cos2xB ．y ＝cos2xC ．y ＝xD ．y ＝x 答案C解析观察图象得A ＝1，令函数f (x )的周期为T ，则有3T 4＝11π12－π6＝3π4，解得T ＝π，则ω＝2πT＝2，而当x ＝π6时，f (x )max ＝1，则有2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又|φ|<π2，则φ＝π6，因此f (x )＝x 将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度得x 所以将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝x 故选C.考点三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质(多考向探究)考向1图象与性质的综合应用例3(1)已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的最小正周期为π，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的33，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )－3cos x 的最小值为()A ．4B ．－4C ．178D ．－178答案D解析f (x )＝sin ＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin因为f (x )的最小正周期为π，ω>0，所以π＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝3sin x 又将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的33，得到函数y ＝g (x )的图象，所以g (x )＝33×3sin 2＋π6＝cos2x ，所以y ＝g (x )－3cos x ＝cos2x －3cos x ＝2cos 2x －3cos x －1，当cos x ＝34时，y ＝g (x )－3cos x 有最小值，为－178.故选D.(2)已知函数f (x )＝ω>0)，若函数f (x )在区间(0，π)上有且只有两个零点，则ω的取值范围为________．答案，136解析由x ∈(0，π)可得ωx －π6∈－π6，ωπ若函数f (x )在区间(0，π)上有且只有两个零点，则π<ωπ－π6≤2π，解得76<ω≤136故ω，136.【通性通法】(1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后利用数形结合思想求解．【巩固迁移】3．(多选)(2023·黑龙江佳木斯一中模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋1的图象向左平移π3个单位长度后关于直线x ＝0对称，则下列说法正确的是()A ．f (x )在区间π3，4π3上有一个零点B ．f (x )C ．f (x )在区间π12，5π12上单调递增D ．f (x )在区间π12，π4上的最大值为32＋1答案AD解析函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋1的图象向左平移π3个单位长度后的图象对应的解析式为g (x )＝sin 2φ＋1＝x ＋2π31，又g (x )的图象关于直线x ＝0对称，且|φ|<π2，所以2π3＋φ＝π2，φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝x 1，因为0，所以f (x )的图象，故B 错误；当π3≤x ≤4π3时，π2≤2x －π6≤5π2，令t ＝2x －π6，则f (x )在π3，4π3的零点个数可转化为y ＝sin t ＋1在t ∈π2，5π2的零点个数，结合图象可知，当π2≤t ≤5π2时，y ＝sin t ＋1的图象与x 轴只有一个交点，即f (x )在π3，4π3上只有一个零点，故A 正确；当π12≤x ≤5π12时，0≤2x －π6≤2π3，结合图象可知，此时f (x )有增有减，故C 错误；当π12≤x ≤π4时，0≤2x －π6≤π3，结合图象可知，此时f (x )单调递增，所以当x ＝π4时，函数取最大值，为sin π3＋1＝32＋1，故D 正确．故选AD.考向2三角函数模型的简单应用例4如图，点A ，B 分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置A cos π3，2rad/s 做圆周运动，同时点B 从初始位置B 0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2rad/s 做圆周运动．记t 时刻，点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2.(1)求t ＝π4时，A ，B 两点间的距离；(2)若y ＝y 1＋y 2，求y 关于时间t (t >0)的函数关系式，并求当t ，π2时，y 的取值范围．解(1)连接AB ，OA ，OB (图略)，当t ＝π4时，∠xOA ＝π2＋π3＝5π6，∠xOB ＝π2，所以∠AOB ＝2π3.又OA ＝1，OB ＝2，所以AB 2＝12＋22－2×1×2cos 2π3＝7，即A ，B 两点间的距离为7.(2)依题意，y 1＝t y 2＝－2sin2t ，所以y ＝t 2sin2t ＝32cos2t －32sin2t ＝3cos t即函数关系式为y ＝3cos t t >0)，当t ，π2时，2t ＋π3∈，4π3，所以t ∈－1故当t ，π2时，y ∈－3【通性通法】利用三角函数模型解决实际问题的步骤(1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型．(2)寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答．解题思路如下：【巩固迁移】4．(多选)(2024·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (3，－33)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到点P ，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ0，ω>0，|φ()A ．水斗做周期运动的初相为－π3B ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是33D ．当水斗旋转100秒时，其和初始点A 的距离为6答案AD解析对于A ，由A (3，－33)，知R ＝32＋(－33)2＝6，T ＝120，所以ω＝2πT ＝π60.当t ＝0时，点P 在点A 位置，有－33＝6sin φ，解得sin φ＝－32，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，故A 正确；对于B ，由A 项可知f (t )＝当t ∈(0，60]时，π60t －π3∈－π3，2π3，所以函数f (t )先增后减，故B 错误；对于C ，当t ∈(0，60]时，π60t －π3∈－π3，2π3，－32，1，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 错误；对于D ，当t ＝100时，π60t －π3＝4π3，点P 的纵坐标为y ＝－33，横坐标为x ＝－3，所以|PA |＝|－3－3|＝6，故D 正确．课时作业一、单项选择题1．为了得到函数y ＝2sin y ＝sin x －3cos x 的图象()A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案C解析y ＝sin x －3cos x ＝x －32cos x cos π3－cos x 故将其图象向左平移π2个单位长度可得y ＝＋π2－2sin ．故选C.2．关于函数f (x )＝x ()A ．－π是f (x )的一个周期B ．f (x )的图象可由y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝17π12对称答案B解析f (x )＝sinx π，故－π也是其周期，故A 正确；f (x )的图象可由y＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故B sin2π＝0，故C 正确；sin 5π2＝sin π2＝1，故D 正确．3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ为了得到函数f (x )的图象，可以将函数y ＝2sin x 的图象()A ．先向右平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变B ．先向左平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C ．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D ．先向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变答案D解析由题图可知，A ＝2，14T ＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.当x ＝7π12时，7π12×2＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.所以f (x )＝2sin x将y ＝2sin x 的图象先向左平移π3个单位长度，得到y ＝2sin ，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到f (x )＝2sin x ．故选D.4．(2023·湖南永州模拟)将函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －1的图象向右平移π6个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的单调递增区间是()A ．－π12＋k π2，π6＋k π2(k ∈Z )B ．－π24＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )C ．－π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z )D ．－π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )答案A解析f (x )＝32sin2x ＋1＋cos2x 2－1＝32sin2x ＋cos2x 2－12＝x －12，则g (x )＝x －12，令－π2＋2k π≤4x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π12＋k π2≤x ≤π6＋k π2(k ∈Z )．5．(2023·贵州贵阳模拟)将函数f (x )＝sin(2x －φ)(φ>0)的图象向右平移π8个单位长度，得到函数g (x )的图象．若g (x )在0，φ2上单调递增，则φ的最大值为()A ．3π4B ．π2C ．π3D ．π4答案D解析由题意可得g (x )＝f＝sin x －π4－当x ∈0，φ2时，2x －π4－φ∈－π4－φ，－π4，因为g (x )在0，φ2上单调递增，所以－π2≤－π4－φ<－π4，解得0<φ≤π4，所以φ的最大值为π4.6.已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ＋φω>0，|φ|<π2，如图是y ＝f (x )的部分图象，则＝()A ．－3B ．3C ．－2D ．2答案A解析f (x )＝4sin(ωx ＋φ＋φ4sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)＝2sin(2ωx ＋2φ)．由题图可知f (0)＝3，即sin2φ＝32，由于点(0，3)在单调递增的区间内，所以2φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝π6＋k π，k ∈Z ，根据题意知φ＝π6，则5π6ω＋π3＝2π，解得ω＝2，故f (x )＝x 则2sin 4π3＝－2sin π3＝－ 3.故选A.7．若关于x 的方程23cos 2x －sin2x ＝3－m 在区间－π4，π6上有且只有一个解，则m 的取值范围为()A ．(－1，0]B ．{－2}∪(－1，0]C ．[－2，0]D ．{－1}∪[0，1)答案B解析23cos 2x －sin2x ＝3－m 整理可得x ＝－m 2，令t ＝2x ＋π6，因为x ∈－π4，π6，则t ∈－π3，π2，所以cos t ＝－m2在区间－π3，π2上有且只有一个解，即y ＝cos t 的图象和直线y ＝－m 2只有1个交点．由图可知，－m 2＝1或0≤－m 2<12，解得m ＝－2或－1<m ≤0.故选B.8．(2023·湖北三校联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ω>0，0<φ<π2f (x 1)＝f (x 2)＝－32，则cos π6(x 2－x 1)＝()A ．－34B ．－74C ．34D ．74答案C解析由f (0)＝2sin φ＝1，得sin φ＝12，因为0<φ<π2，所以φ＝π6，又由图象可知12T >52，即T ＝2πω>5，解得0<ω<2π5，又由f 52＝2sin 52ω＋π60，即52ω＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝－π15＋25k π，k ∈Z ，从而ω＝π3，故f (x )＝2sin π3x ＋π6，令π3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，则x ＝1＋3k ，k ∈Z ，从而函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1＋3k ，k ∈Z ，由图象可知，直线x ＝x 1与直线x ＝x 2关于直线x ＝－2对称，即x 1＋x 2＝－4，则x 2＝－4－x 1，且x 1∈－72，－2，因为f (x 1)＝2sin π3x 1＋π6＝－32，所以sin π3x 1＋π6＝－34，所以cos π6(x 2－x 1)＝cos π6(－4－2x 1)＝cos π3x 1＋π6＋π2sin π3x 1＋π6＝34.二、多项选择题9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π)的部分图象如图所示，则()A ．ω＝πB ．f (x )的单调递减区间为2k －14，2k ＋34，k ∈Z C ．φ＝π4D ．f (x )的单调递减区间为k －14，k ＋34，k ∈Z 答案ABC解析由图象可知T 2＝πω＝54－14，所以ω＝π，则f (x )＝cos(πx ＋φ)，故A 正确；因为点14，0在图象上，所以cos π4＋φ0，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又|φ|≤π，f (0)＝cos φ∈(0，1)，所以φ＝π4，所以函数f (x )＝cos πx ＋π4故C 正确；令2k π≤πx ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故B正确，D 错误．故选ABC.10．函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A ．f (x )＝3sin 2x ＋5π8B ．f (x )图象的一条对称轴方程是x ＝－5π8C ．f (x )k π－π8，0k ∈ZD ．函数y ＝f 答案BD解析由函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)的图象知，12T ＝3π8－＝π2，所以T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)，因为3，所以φ－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝3π4，f (x )＝x 对于A ，由以上分析可知A错误；对于B ，－5π4＋3，故B 正确；对于C ，令2x ＋3π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝12k π－3π8，k ∈Z ，所以f (x )－3π8，k ∈Z ，故C错误；对于D ，设g (x )＝x ＋7π4＋x 3cos2x ，则g (x )的定义域为R ，g (－x )＝3cos(－2x )＝3cos2x ＝g (x )，所以g (x )为偶函数，故D 正确．故选BD.三、填空题11．(2023·山东日照模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ＝________．答案π6解析由题图知T 2＝5π12＝π2，T ＝π，ω＝2ππ＝2，由五点法可知，φ＝0＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ＝π6.12．已知函数f (x )＝－12(ω>0)，将f (x )图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．已知g (x )在[0，π]上恰有5个零点，则ω的取值范围是________．答案2解析g (x )＝ωx －12，令t ＝2ωx －π3，由题意g (x )在[0，π]上恰有5个零点，即cos t＝12在t ∈－π3，2πω－π3上恰有5个不相等的实根，由y ＝cos t 的性质可得11π3≤2πω－π3<13π3，解得2≤ω<73.故ω的取值范围为213．函数y ＝tan x 的相邻两个周期的图象与直线y ＝2及y ＝－2围成的图形的面积是________．答案4π解析由题意，画出图象如图所示．根据正切函数的对称性可知，两个阴影部分的面积相等，因此由y ＝tan x 的相邻两个周期的图象与直线y ＝2及y ＝－2围成的图形的面积可以看成矩形ABCD 的面积，因而S 矩形ABCD ＝4π.14．已知M ，N 是函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与直线y ＝3的两个不同的交点．若|MN |的最小值是π12，则ω＝________．答案4解析由于M ，N 是函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与直线y ＝3的两个不同的交点，故M ，N 的横坐标是方程2cos(ωx ＋φ)＝3的解，即M ，N 的横坐标x 1，x 2(不妨令x 1<x 2)是方程cos(ωx ＋φ)＝32的解，设u ＝ωx ＋φ，作出函数y ＝cos u 的图象如图所示，设u 1＝ωx 1＋φ，u 2＝ωx 2＋φ，当x 2－x 1取最小值时，u 2－u 1＝ω(x 2－x 1)取得最小值，即π12ω＝π6－＝π3，解得ω＝4.四、解答题15．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的最小正周期是π.(1)求ω的值；(2)求f (x )图象的对称中心；(3)将f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间．解(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝又ω>0，∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，∴f (x )－π6，k ∈Z .(3)将f (x )的图象向右平移π3个单位长度后可得y ＝2sin x ，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z .∴g (x )的单调递增区间为2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z .16．(多选)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，|φ()A ．f (x )＝xB ．∀x ∈R ，f (x )≥C ．f (x )在－π2，π上的零点之和为πD ．若f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 2－x 1|≥π答案ABC解析T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π＝2πω，所以ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)，1，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝x 所以A 正确；－5π6＋1，f (x )≥f ，所以B 正确；f (x )＝0，则2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，k＝0时，x 1＝－π6，k ＝1时，x 2＝π3，k ＝2时，x 3＝5π6，x 1＋x 2＋x 3＝－π6＋π3＋5π6＝π，所以C 正确；若f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则x 1＝－5π12＋k π，k ∈Z ，x 2＝π12＋k π，k ∈Z ，所以|x 2－x 1|≥π2，所以D 错误．故选ABC.17.风车发电是指把风的动能转化为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P 在风车的最低点(P 离地面30米)，设点P 离地面的距离为S (单位：米)，转动时间为t (单位：秒)，则S 与t 之间的函数解析式为________，一圈内点P 离地面的高度不低于45米的时长为________秒．答案S ＝60－30cos π3t (t >0)4解析因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为π3rad/s ，经过t 秒时，叶片转过的圆心角为π3t ，此时离地面的高度为30＋－故S ＝60－30cos π3t (t >0)．由S ＝60－30cos π3t ≥45，得cos π3t ≤12，因为0≤t ≤6，cos π3t ≤12，所以π3≤π3t ≤5π3，解得1≤t ≤5，故一圈内点P 离地面的高度不低于45米的时长为4秒．18．设f (x )＝m x m －1(m ≠0)．(1)若m ＝2，求函数f (x )的零点；(2)当x ∈0，π2时，－3≤f (x )≤4恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)由m ＝2，得f (x )＝x1，令f (x )＝0，则x ＝－12，即2x －π3＝2k π＋2π3(k ∈Z )或2x －π3＝2k π＋4π3(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π2(k ∈Z )或x ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以f (x )的零点是x ＝k π＋π2(k ∈Z )或x ＝k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由0≤x ≤π2可得－π3≤2x －π3≤2π3，所以－12≤x1，当m >0时，易得m 2－1≤f (x )≤2m －1，由－3≤f (x )≤4x )min ≥－3，x )max ≤4，1≥－3，－1≤4，，解得0<m ≤52；当m <0时，可得2m －1≤f (x )≤m 2－1，由－3≤f (x )≤4x )min ≥－3，x )max ≤4，－1≥－3，1≤4，，解得－1≤m <0.综上可得，实数m 的取值范围是[－1，0)，52.。
高中数学人教A版必修第一册件5.6.2正弦型函数 y=Asin( ωx+φ) 课件(共36张PPT)
T
T
T
4
4
4
4
3
x
x
1 sin(x )
xo
T xo 4
T
3T
xo 2 xo 4
xo T
0
2
3
2
2
0
1
0 1 0
2 y Asin(x ) 0
A 0 A 0
巩固练习
1.选择题 :已知函数y 3sin( x )的图象为C.
为了得到函数y
3sin(
x
5
)的图象,只要
5
把C上所有的点 C
例 3.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A＞0，ω＞0,0＜φ＜π) 2
的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π，且图象上 2
的一个最低点为 M
2π，－2 3
.
(1)求 f(x)的解析式；
π ，π (2)当 x∈ 12 2 时，求 f(x)的值域
小结
一、作函数y=Asin(x+) 的图象： （1）用“五点法”作图。1、列五点表2、描点 3 、连线
y=Sin( x+ ) 的图象
（3）横坐标不变，纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的A倍
y=ASin(x+ )的图象
（1）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
函数 y=Sinx
y=Sin x 的图象
原来的 1倍，纵坐标不变
（2）向左( >0)或向右( <0) 平移| |个单位
y=Sin( x+ ) 的图象
（3）横坐标不变，纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的A倍
人教a版高考数学(理)一轮课件：4.4函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
例 1 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是
【解】(1)∵ x= 是函数 y=f(x)图象的对称轴, ∴ sin 2 × + φ =± 1.∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. ∵ -π<φ<0,∴ φ=- . (2)由(1)知 φ=- ,因此 y=sin 2x������ 2 3������ 4 ������ 2 3������ 4 3������ 4 3������ 4 ������ 8 ������ 4 ������ 2
π 0
ωx+φ y=Asin(ωx+φ)
ω 3������ 2
ω
2π 0
A
-A
3.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤:
4.解三角函数应用题的一般步骤: (1)阅读理解材料:将文字语言转化为符号语言; (2)建立变量关系:抽象成数学问题,建立变量关系; (3)讨论变量性质:根据函数性质讨论变量性质; (4)作出结论.
π 6 π 6
的图象,则 φ 等于( B.
5π 6
) C.
7π 6
D.
11π 6
【答案】D 【解析】 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ≤2π)个单位长度得到函数 y=sin(x+φ)的图象,在 A,B,C,D 四个选项中,只有 φ=
11π 6 11π 时有 6
y=sin ������ +
5π 8
1
7π 8
0
π
2 2
y
-
-
高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(一) 复习讲义
第四节 函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(一)一、y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的有关概念二、用“五点法”作函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的一般步骤 1.定点:如表.2.作图,在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这些点,就得到y=Asin(ωx+ϕ)在一个周期内的图象.3.扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+ϕ)在R 上的图象. 三、由函数y=sin x 的图象变换得到y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的步骤 法一法二1.法则理解(1)无论哪种变换,每一个变换总是针对“自变量x ”而言的. 即图象变换要看“自变量x ”发生什么变化,而不是看角“ωx+ϕ”的变化.(2)在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径,左右平移的单位长度个数是不一样的.前者平移|ϕ|个单位长度,后者平移|ϕω|个单位长度,原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的,因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误. (3)平移的法则是“左+右-,上+下-”.2.与确定解析式y=Asin(ωx+ϕ)+b 中参数相关的结论 (1)求ϕ①代入法.把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b 已知)或代入图象与直线y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法.确定ϕ值时,往往寻找“五点法”中的第一个点为突破口,具体如下: 选“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时,令ωx+ϕ=0; 选“第二点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+ϕ=π2; 选“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时,令ωx+ϕ=π; 选“第四点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+ϕ=3π2; 选“第五点”时,令ωx+ϕ=2π. (2)求ω:因为T=2πω,所以求ω即求T.①图象上相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T,相邻的一个最高点与最低点之间的距离是2T.②图象的相邻的对称轴(中心)之间的距离为2T,相邻的一个对称中心与对称轴之间的距离为2T.1.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( C )(A)13(B)3 (C)6 (D)9解析:由题意可知,nT=π3(n∈N*),所以n·2πω=π3(n∈N*),所以ω=6n(n∈N*),所以当n=1时,ω取得最小值6.故选C.2.为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin(2x+π6)的图象( B )(A)向左平移π4个单位长度(B)向右平移π4个单位长度(C)向左平移π2个单位长度(D)向右平移π2个单位长度解析:y=sin(2x+π6)=sin[2(x+π12)],y=sin(2x-π3)=sin[2(x-π6)]=sin[2(x-π4+π12)],所以将y=sin(2x+π6)的图象向右平移π4个单位长度得到y=sin(2x-π3)的图象.故选B.3.如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)+2(A>0,ω>0)的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是( C )(A)A=3,T=4π3,ϕ=-π6(B)A=1,T=4π3,ϕ=3π4(C)A=1,T=4π3,ϕ=-3π4(D)A=1,T=4π3,ϕ=-π6解析:由图象知,A=312-=1,2T = 5π6-π6=2π3,则T=4π3,ω=32,由5π6×32+ϕ=π2+2k π,k ∈Z,得ϕ=-3π4+2k π,k ∈Z,令k=0,得ϕ=-3π4.故选C.4.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 .解析:由图可知4T=7π12-π3=π4,所以T=π,故ω=2, 因此ϕ).又函数图象过点(π3,0) 因此2×π3+ϕ=π+2k π,k ∈Z, 又根据|ϕ|<π,所以ϕ=π3,故π3).答案π3)5.将函数∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是 .解析12sin x)=2sin(x+π3)的图象向左平移m 个单位长度后,得到y=2sin(x+m+π3)的图象,此图象关于y 轴对称,则x=0时,y=±2,即2sin(m+π3)=±2,所以m+π3=π2+k π,k ∈Z,即m=π6+k π,k ∈Z,由于m>0,所以m min =π6. 答案:π6(对应学生用书第66～68页)考点一 五点法作图【例1】 设x ∈R,函数y=f(x)=cos(ωx+ϕ)(ω>0,- π2<ϕ<0)的最小正周期为π,且f(π4.(1)求ω和ϕ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象;(3)若,求x 的取值范围.解:(1)因为函数f(x)的最小正周期T=2πω=π, 所以ω=2,因为f(π4)=cos(2×π4+ϕ)=cos(π2+ϕ)=-sin ϕ且-π2<ϕ<0, 所以ϕ=-π3. (2)由(1)知f(x)=cos(2x-π3),列表如下:图象如图:(3)因为,即cos(2x-π3,所以2k π-π4<2x-π3<2k π+π4,k ∈Z, 则2k π+π12<2x<2k π+7π12,k ∈Z,即k π+π24<x<k π+7π24,k ∈Z. 所以x 的取值范围是{x|k π+π24<x<k π+7π24,k ∈Z}.用“五点法”作y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)的简图,主要是通过列表,计算得出五点的坐标,描点后得到,由于表中“五点”相邻两点的横向距离均为4T ,因此可以通过“定两端,分中间”的方法快速写出“五点”的坐标.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),ω>0,|ϕ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π12,0),求θ的最小值;(3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,ϕ=- π6,数据补全如下表:且函数解析式为f(x)=5sin(2x-π6). (2)由(1)知f(x)=5sin(2x-π6), 则g(x)=5sin(2x+2θ-π6). 因为函数y=sin x 图象的对称中心为(k π,0),k ∈Z,令2x+2θ-π6=k π,k ∈Z,解得x=π2k +π12-θ,k ∈Z. 由于函数y=g(x)的图象关于点(5π12,0)成中心对称,所以令π2k +π12-θ=5π12,解得θ=π2k -π3,k ∈Z. 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6. (3)把y=sin x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度,得到y=sin(x-π6)的图象,再把y=sin(x-π6)的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin(2x-π6)的图象,最后把y=sin(2x-π6)上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),即可得到f(x)=5sin(2x-π6)的图象. 考点二 函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象变换【例2】 (1)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),所得图象关于直线x=π4对称,则ϕ的最小值为( )(A)18π (B)12π (C)34π (D)38π(2)将函数y=cos(2x+ϕ)的图象沿x 轴向右平移π6后,得到的图象关于原点对称,则ϕ的一个可能取值为( )(A)-π3 (B)π6 (C)π3 (D)5π6解析:(1)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,可得函数y=2sin[2(x-ϕ)+π4]=2sin(2x+π4-2ϕ)的图象,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),可得函数y=2sin(4x+π4-2ϕ)的图象;再根据所得图象关于直线x=π4对称,可得π+π4-2ϕ=k π+π2(k ∈Z),即ϕ=3π8-π2k ,k ∈Z,所以ϕ的最小值为3π8,故选D.(2)将函数y=cos(2x+ϕ)的图象沿x 轴向右平移π6后,得到的图象对应的解析式为y=cos[2(x-π6)+ϕ]=cos(2x-π3+ϕ).再根据得到的图象关于原点对称,则-π3+ϕ=k π+π2,k ∈Z,即ϕ=k π+5π6,k ∈Z.结合所给的选项,故选D.(1)解决三角函数图象变换问题,应先把变换前后两个函数化为同名函数,然后找出它们的不同,指出实施的变换.(2)平移变换要注意平移量和平移方向,其实质是点的坐标的变换,横坐标的变换对应着图象的左右平移,纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移.将函数f(x)=sin(2x+θ)(-π2<θ<π2)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点),则ϕ的值可以是( B )(A)5π3 (B)5π6 (C)π2 (D)π6解析:因为函数f(x)的图象过点P,所以θ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).又函数f(x)的图象向右平移ϕ个单位长度后,得到函数g(x)=sin[2(x-ϕ)+π3]的图象,所以sin(π3-2ϕ所以ϕ可以为5π6.故选B.考点三求函数y=Asin(ωx+ϕ)+b的解析式【例3】 (1)函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(x)等于( )π6)π3)π3)π6)(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<ϕ<π2)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为M(2π3,-2),则f(x)的解析式为.解析:(1)由题图知f(x)在x=512π且最小正周期T满足34T=512π+π3.故34×2πω=3π4,ω×5π12+θ5π6+θ)=1,5π6+θ=2kπ+π2,k∈Z,θ=2kπ-π3,k∈Z.所以f(x)的解析式可为π3).故选B.(2)由最低点为M(2π3,-2)得A=2.由题意得2T=π2,即T=π,ω=2πT=2ππ=2, 由点M(2π3,-2)在图象上得2sin(2×2π3+ϕ)=-2, 即sin(4π3+ϕ)=-1,故4π3+ϕ=2k π-π2,k ∈Z, 所以ϕ=2k π-11π6,k ∈Z,又ϕ∈(0,π2), 所以ϕ=π6, 故f(x)=2sin(2x+π6). 答案:(1)B (2)f(x)=2sin(2x+π6)确定y=Asin(ωx+ϕ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A,b,确定函数的最大值M 和最小值m,则A=2M m -,b=2M m+.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=2πT. (3)求ϕ,常用方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定ϕ值时,往往寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.已知函数f(x)=Atan(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)等于( B )解析:由图象可知T=2(3π8-π8)=π2,所以ω=2,所以2×π8+ϕ=k π+π2,k ∈Z,得ϕ=π4+k π,k ∈Z, 又|ϕ|<π2, 所以ϕ=π4. 又f(0)=1,所以Atan π4=1,得A=1, 所以f(x)=tan(2x+π4), 所以f(π24)=tan(π12+π4)=tan π3.考点四 易错辨析【例4】 (2018·浙江金华十校模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(x ∈R,ω>0)与g(x)=cos(2x+ϕ)的对称轴完全相同,为了得到h(x)=cos(ωx+π3)的图象,只需将y=f(x)的图象( ) (A)向左平移π4个单位长度 (B)向右平移π4个单位长度 (C)向左平移π2个单位长度 (D)向右平移π2个单位长度 解析:因为对称轴一样,所以两个三角函数的周期必定一样,即ω=2,所以f(x)=sin(2x+π3),h(x)=cos(2x+π3)=sin[2(x+π4)+π3],故得到h(x)的图象仅需将y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度,故选A.(1)忽略函数名称的不同,误以为同名三角函数之间的变换;(2)忽略系数ω的存在,误将x 的变换认为是ωx 的变换.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|< π2)的最小正周期是π,若将f(x)的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象( B )(A)关于直线x=π12对称(B)关于直线x=5π12对称(C)关于点(π12,0)对称(D)关于点(5π12,0)对称解析:因为f(x)的最小正周期为π, 所以2πω=π,ω=2,所以f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)=sin[2(x-π3)+ϕ]=sin(2x-2π3+ϕ)的图象,又g(x)的图象关于原点对称, 所以-2π3+ϕ=kπ,k∈Z,所以ϕ=2π3+kπ,k∈Z,又|ϕ|<π2,所以ϕ=-π3,所以f(x)=sin(2x-π3).当x=π12时,2x-π3=-π6,所以A,C错误;当x=5π12时,2x-π3=π2,所以B正确,D错误.故选B.(对应学生用书第68～69页)三角函数图象【例题】已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.a.求实数m 的取值范围;b.证明:cos(α-β)=225m -1. (1)解:将g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x 的图象,再将y=2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y=2cos(x-π2)的图象,故f(x)=2sin x. 从而函数f(x)=2sin x 图象的对称轴方程为x=k π+π2(k ∈Z). (2)a.解:f(x)+g(x)=2sin x+cossin cos ϕ)(其中sinϕϕ依题意知,sin(x+ϕ[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当故m 的取值范围是b.证明:因为α,βϕ)=m 在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+ϕβ+ϕ当1≤,α+β=2(π2-ϕ), 即α+ϕ=π-(β+ϕ); 当时,α+β=2(3π2-ϕ),即α+ϕ=3π-(β+ϕ). 所以cos(α+ϕ)=-cos(β+ϕ). 于是cos(α-β)=cos[(α+ϕ)-(β+ϕ)] =cos(α+ϕ)cos(β+ϕ)+sin(α+ϕ)sin(β+ϕ) =-cos 2(β+ϕ)+sin(α+ϕ)sin(β+ϕ)22=225m -1.规范要求:(1)根据图象变换规律求出函数解析式,再根据对称轴的特点求对称轴方程.(2)通过三角变换将f(x)+g(x)化为一个角的一种三角函数形式.(3)分离参数法转化为求函数的值域,从而解绝对值不等式求得参数范围.(4)利用三角函数相等,求得α,β的关系,从而判定cos(α+ϕ)与cos(β+ϕ)的关系,进而利用两角和与差公式求值.(5)解决给值求值问题的关键是找出未知角与已知角关系,从而选择对应公式求解.【规范训练1】如图为y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的一段.(1)求其解析式;(2)若将y=Asin(ωx+ϕ)的图象向左平移π6个单位长度后得y=f(x),求f(x)的对称轴方程.解:(1)由图象知由“五点法”列方程组π0,35ππ,6ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩解之2,2π,3ωϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩得所以所求解析式为2π3 ).π6)-2π3sin(2x-π3),令2x-π3=π2+kπ(k∈Z),则x=512π+π2k(k∈Z),所以f(x)的对称轴方程为x=512π+π2k (k ∈Z).【规范训练2】 设关于x在区间(0,2π)内有相异的两个实根α,β. (1)求实数a 的取值范围; (2)求α+β的值.解:(1)原方程可化为sin(x+π3)=-2a ,作出函数y=sin(x+π3)(x ∈(0,2π))的图象.由图知,方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件是11,2a a ⎧-<-<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩ 即(2)由图知,当即-2a∈)时,直线 y=-2a 与三角函数y=sin(x+π3)的图象交于C,D 两点,它们中点的横坐标为76π, 所以2αβ+=7π6, 所以α+β=7π3. 当即-2a∈,1)时,直线y=-2a 与三角函数y=sin(x+π3)的图象有两交点A,B,由对称性知,2αβ+=π6, 所以α+β=π3. 综上所述,α+β=π3或73π.(对应学生用书第69页)类型一 三角函数图象变换1.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( A )解析:把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=cos x+1的图象,然后把所得函数图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数y=cos(x+1)的图象.故选A.2.(2018·浙江镇海中学期中)将函数f(x)=3sin(4x+π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一条对称轴是( C )(A)x=π12 (B)x=π6 (C)x=π3 (D)x=2π3解析:将函数f(x)=3sin(4x+π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=3sin(2x+π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得g(x)=3sin[2(x-π6)+π6]=3sin(2x-π6)的图象,令2x-π6=k π+π2,k ∈Z,则y=g(x)图象的对称轴是x=π2k +π3,k ∈Z,故选C. 类型二 求函数y=Asin(ωx+ϕ)+b 的解析式3.如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,此函数的解析式可为( B ) (A)y=2sin(2x+π3) (B)y=2sin(2x+2π3)(C)y=2sin(2x -π3)(D)y=2sin(2x-π3)解析:由题图可知A=2,2T =5π12-(-π12)=π2, 所以T=π,ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+ϕ),又f(-π12)=2sin(-π6+ϕ)=2, 即-π6+ϕ=π2+2k π,k ∈Z, 所以ϕ=2π3+2k π(k ∈Z),结合选项知选B.4.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)图象的最高点的纵坐标是4,相邻的两对称中心距离为π2,图象经过点(π6,0),则函数f(x)的解析式为 .解析:由题意知A=4,T=2×π2=π, 所以2πω=π,则ω=2, 所以f(x)=4sin(2x+ϕ). 又函数图象经过点(π6,0), 所以4sin(2×π6+ϕ)=0, 所以ϕ+π3=k π(k ∈Z), 所以ϕ=k π-π3(k ∈Z),又|ϕ|<π, 所以ϕ=-π3或ϕ=2π3. 所以f(x)=4sin(2x-π3)或f(x)=4sin(2x+2π3). 答案:f(x)=4sin(2x-π3)或f(x)=4sin(2x+2π3)5.如图所示,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置P(x,y).若初始位置为P 012),当秒针从P 0(注:此时t=0)正常开始走时,那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 .解析:由题意可得,函数的初相位是π6,又函数周期是60秒且秒针按顺时针旋转,即T=2πω=60,所以|ω|=π30,即ω=-π30,故y=sin(-π30t+π6). 答案:y=sin(-π30t+π6) 类型三 函数y=Asin(ωx+ϕ)与y=Acos(ωx+ϕ)图象的应用6.函数y=f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|< π2)的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈(-π6,π3),且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)等于( D )(A)1 (B)12解析:观察图象可知,A=1,T=π, 所以ω=2,f(x)=sin(2x+ϕ).将(-π6,0)代入上式得sin(-π3+ϕ)=0, 由|ϕ|<π2,得ϕ=π3, 则f(x)=sin(2x+π3). 函数图象的一条对称轴为x=ππ632-+=π12.又x 1,x 2∈(-π6,π3),且f(x 1)=f(x 2),所以122xx +=π12,所以x 1+x 2=π6,所以f(x 1+x 2)=sin(2×π6+π3.故选D.7.已知直线y=b(b<0)与曲线y=f(x)=sin(2x+π2)在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列,则b 的值是 . 解析:设三个横坐标依次为x 1,x 2,x 3,由图及题意有12232213π,2π,,x x x x x x x ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩解得x 2=2π3,所以b=f(2π3)=-12. 答案:-12。
【课堂新坐标】高考数学一轮复习 第三章第四节 三角函数的图象及三角函数模型的应用 理 (广东专用)
A．ω＝1，φ＝π6 C．ω＝2，φ＝π6
B．ω＝1，φ＝－π6 D．ω＝2，φ＝－π6
【解析】 由图象知 A＝1，T＝4(172π－π3)＝π， ∴2ωπ＝π，ω＝2，排除 A，B. 再由 2×π3＋φ＝π2，得 φ＝－π6.
【答案】 D
4．(2011·大纲全国卷)设函数 f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将 y＝f(x)
究
•••678、、、做凡教老为育师教者的者，只必非要期为有于已一达往次到，向不非学须为生教现撒。在谎对，撒人而漏以专了诚为底信将，，来就人。可不20能 欺22使 我/1他/;对3的12事全02以部2诚/教1/信育31，成2事0果2无2从/不1此/成3为1。2之022失20/2败12//。31/132102220年 22/11月/32102J2a/n1u/a3r1y23012,2/210/23212022/1/311/31/2022提知·
【规范解答】 (1)∵f(x)的图象过点(π6，12)，
∴21＝21sin
π 3sin
φ＋cos2π6cos
φ－21sin(π2＋φ)．
化简 23sin φ＋12cos φ＝1，即 sin(φ＋π6)＝1…………….3 分
的图象向右平移π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 3
ω
的最小值等于( )
1 A.3
B．3 C．6
D．9
【解析】 平移后函数 y＝cos ω(x－π3)＝cos(ωx－π3ω)， 依题意 cos ωx＝cos(ωx－π3ω)， ∴－π3ω＝2kπ，(ω＞0)，ωmin＝6.
【答案】 C
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
规范解答之五 函数 y＝Asin(ωx＋φ)最值的求法 (12 分)(2010·山东高考)已知函数 f(x)＝ 12sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－12sin(π2＋φ)(0＜φ＜π)，其图象过点 (π6，21)． (1)求 φ 的值；
高考数学一轮总复习第4章三角函数第4节函数y=Asinωx+φ的图象及简单应用教师用书
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单应用考试要求：1．结合具体实例，了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义．2．能借助图象理解参数A ，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．一、教材概念·结论·性质重现1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ≥0)振幅周期频率相位初相A T ＝f ＝＝ωx ＋ φ φ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：ωx ＋φ0π2πxy ＝A sin(ωx＋φ)0A 0－A 01．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径：由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( × )(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( × )(3)若函数y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．( √ )(4)函数y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为．( √ ) 2．(2021·常州一模)已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin的图象，只需( )A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度C．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的D．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍B 解析：将f(x)＝2sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为f(x)＝2sin 2x；再将函数f(x)＝2sin 2x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝2sin．3．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数的单调递减区间是( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)B 解析：由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为(k∈Z)．4．(2021·东城区一模)已知函数f(x)＝A sin(2x＋φ)，其中x和f(x)部分对应值如表所示：x－0f(x)－2－2－222那么A＝________．4 解析：由题意得f(0)＝A sin φ＝－2，f＝－A cos φ＝－2，所以A2(sin2φ＋cos2φ)＝16，因为A＞0，所以A＝4．5．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ ．3 解析：观察函数图象可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3．考点1 由图象确定y＝A sin ωx＋φ 的解析式——基础性1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则此函数的解析式可以是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sinC 解析：由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象知，T＝2×＝π，ω＝＝2，由五点法画图知，是函数图象的第三个关键点，即2×＋φ＝π，解得φ＝，所以此函数的解析式是y＝sin．2．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ＝( )A． B．－C． D．－D 解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，结合图象，－＝×，所以ω＝2．结合五点法作图可得，2×＋φ＝，所以φ＝－．3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．－ 解析：由题意可得T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得φ＝－，据此有f(x)＝2cos，f ＝2cos＝2cos＝－．4．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数T＝A sin(ωt＋φ)＋b，则这段曲线对应的函数解析式为____________．y＝10sin＋20，x∈[6,14] 解析：从题图中可以看出，6～14时是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20．又×＝14－6，所以ω＝．又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．1．由图象求解析式问题，求①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z．考点2 函数y＝A sin ωx＋φ 的图象变换——综合性(1)(2021 ·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )A．sin B．sinC．sin D．sinB 解析：由已知的函数y＝sin逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin．(2)(2021·山西二模)将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度得到y ＝cos 2x的图象，则φ的值可能为( )A． B．C． D．A 解析：将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos＝cos＝cos．若要得到y＝cos 2x的图象，则－2φ－＝2kπ，即φ＝－kπ－，k∈Z．因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ＝．本例(1)若改为：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝________．sin 解析：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin＝sin．1．由函数y移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要特别注意这两种情况下平移的单位长度．2．当变换前后解析式三角函数名称不同时，要注意利用诱导公式转化．1．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C上所有点的( )A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D 解析：函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C 上所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，即可．2．已知函数f(x)＝cos是偶函数，要得到函数g(x)＝sin 2x的图象，只需将函数f(x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度C 解析：因为函数f(x)＝cos是偶函数，所以φ－＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝cos 2x，要得到函数g(x)＝sin 2x＝cos的图象，只需将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．考点3 三角函数模型及其应用——应用性(2021·上海模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )A．5米B．(4＋)米C．(4＋)米D．(4＋)米D 解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴正方向，以竖直方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈．设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．又T＝12，所以θ＝t，所以f(t)＝3－2cos t，t≥0；风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，θ＝6π＋，P(，1)，所以点P的高度为3－2×＝4(米)．因为A(0，－3)，所以AP＝＝，所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米．三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数模型，再利用三角函数的有关知1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M 从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是( )A．H＝4sin＋2B．H＝4sin＋2C．H＝4sin＋2D．H＝4sin＋2A 解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t(s) 内转过的角度为t＝t，所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t－，则点M的纵坐标为4sin，所以点M距水面的高度H(m)表示为时间 t(s) 的函数是H＝4sin＋2．2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．6 000 解析：作出函数简图如图：三角函数模型为y＝A sin(ωx＋φ)＋B，由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝．将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．所以f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性(1)(多选题)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)，则下列结论正确的是( )A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称B．函数g(x)的图象关于点对称C．函数g(x)在上单调递减D．函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点AD 解析：函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)＝2sin的图象，对于A：当x＝时，g＝2，故A正确．对于B：当x＝时，g＝2sin＝，故B错误．对于C：当x∈时，2x－∈，故函数在该区间上单调递增，故C错误．对于D：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0,1,2,3时，x＝，，，，正好有4个极值点，故D正确．(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )A． B．(－2,2)C．(－2，－) D．(－2，－1)D 解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈．设2x＋＝t，则t∈，题目条件可转化为＝sin t，t∈，有两个不同的实数根．所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为，故m的取值范围是(－2，－1)．已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．1≤m＜2 解析：2sin2x－sin 2x＋m－1＝－cos 2x－sin 2x＋m＝－2sin＋m．因为x∈，所以2x＋∈．要使方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则2x＋∈且2x ＋≠，此时2sin∈[1,2)，所以1≤m＜2．1．研究y＝1．(2021·运城模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )A．f(x)＝2sinB．若把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到的函数在[－π，π]上是增函数C．若把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数是奇函数D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称B 解析：由图象可得T＝－2π＝，所以T＝6π，所以ω＝＝．因为f(2π)＝2，所以f(2π)＝2sin＝2，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|＜π，所以φ＝－．所以f(x)＝2sin，故A正确．把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为y＝2sin．因为x∈[－π，π]，所以－≤x－≤，所以y＝2sin在[－π，π]上不单调递增，故B错误．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数为y＝2sin＝2sin x，是奇函数，故C正确．f(－4π)＝2sin＝2，是最值，故x＝－4π是f(x)的对称轴，故D正确．2．若将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．2 B．C．1 D．A 解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到的y＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ＝，函数f(x)＝2sin．因为x∈，所以2x＋∈，则当2x＋＝时，函数f(x)在上的最大值为2．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．[四字程序]思路参考：构造正弦型函数的解析式．B 解析：y ＝cos x ＋sin x ＝2sin ，函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度，得y ＝2sin 的图象．由x ＋m ＋＝k π＋(k ∈Z )，得函数y ＝2sin 的图象的对称轴为x ＝－m ＋k π(k ∈Z )．因为所得的图象关于y 轴对称，所以－m ＋k π＝0(k ∈Z )，即m ＝k π＋(k ∈Z )，则m 的最小值为．思路参考：构造余弦型函数的解析式．B 解析：函数y ＝cos x ＋sin x ＝2cos 的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到y ＝2cos 的图象．因为此函数图象关于y 轴对称，所以y ＝2cos 为偶函数，易知m 的最小值为．思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．B 解析：由解法1，得y ＝2sin ．因为所得的图象关于y 轴对称，可得当x ＝0时，y ＝±2，进而sin ＝±1，易知m 的最小值为．思路参考：利用函数图象．B 解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－．由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为．1．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．2．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．0 B．C． D．1D 解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ．因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin．在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值为1．。
高考数学复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
A=1,B=6,T=4,因为T2= ,所以ω= ,所以y=sin( x ) 6.
2
2
因为当x=1时,y=6,所以6=sin( ) 6,
2
结合表中数据得 +φ=2kπ,k∈Z,可取φ=- ,
2
2
所以y=sin( x ) 6.
22
答案:y=sin( x ) 6
22
考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及图象变换 【题组练透】 1.(2017·全国卷Ⅱ)已知曲线C1:y=cos x,C2:y= sin (2x 2)，则下面结论正确的是 ( )
2
_______,周期T为____________,频率为____________
____,初相φ为______________.
【解析】振幅A=2,T=
2
=6,f=
1 6
,因为图象过点(0,1),
所以1=2sin φ,所以s3in φ= 1 ,又|φ|< ,所以
2
2
φ= .
6
答案:2 6 1
第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
(全国卷5年6考)
【知识梳理】
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω> 0),x∈R
振周 幅期
频率｜
=_｜_2_｜
初 相位 相
_ω__x_+_ _φ__
_φ__
2.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的 五个关键点
x
___
ωx+φ _0_
y= Asin(ωx 0
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件第4章第5节 函数y=Asin(ω+φ)的图象及三角函数的应用
知条件转化为三角函数解析式和图象,然后再根据数形结合思想研究函数
的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性).
1
上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)后,可得
2
π
再向左平移6 个单位长度得到
故 D 错误.
故选 A.
y=cos 4 +
π
6
=cos 4 +
2π
3
y=cos 4x,
≠sin +
π
3
,
(2)逆向考虑:y=sin
π
- 4
y=sin
y=sin +
的图象
2
+
π
12
的图象.
π
12
的图象
π
2
的部分
)
π
B.f(x)的图象关于点 , 0 对称
4
5π
π
C.f(x)在区间 − 12 , − 6 上是增函数
π
D.将 y=sin 2x 的图象向右平移3 个单位长度可以得到 f(x)的图象
π
π
(2)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) > 0, − ≤ ≤ 的图象上的一个最高点和
2
2
1
π
解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .
6
数据补充完整如下表
ωx+φ
0
12
x
Asin(ωx+φ)
2
3
0
π
7
12
5
函数解析式为 f(x)=5sin 2 −
0
π
6
3
2