吉林省梅河口市第五中学高三第五次月考数学(理)试题Word版含答案
高三数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ={x |x 2 >4}，N ={-3，-2，2，3，4}，则M ?N =(A){3，4}(C){-2，3，4}2．设i 是虚数单位，则复数z =4-3i 的虚部为i(B){-3，3，4}(D){-3，-2，2，3，4}(A) 4i (B)4 (C)3．“x>2”是“1<1”的4i(D) －4x 2(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分又不必要条件4．函数y=sin2x-3cos2x的图象的一条对称轴方程为(A)πx(B)12x π12(C)πx(D)6x =-π65．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 3⋅a 5 =64，a 2 =2，则a 1 =1 (A) 4 (B)2 (C)1(D) 26．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，P (m ，-2m )(m ≠0)是角α终 边上的一点．则tan(α+π)的值为41 (A) 3(B)31(C)5- (D) -337．函数y =2|x | -x 2 -2的图象可能是a 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3=2，则S9 =S518(A)512(C)514(B)59(D)59．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为(参考数据：3=1.732，sin15︒≈0.2588，sin7.5︒≈0.1305)(A)12(B)24(C)48(D)9610．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列结论一定成立的是(A) 若a5>0，则<0 (B)a2017>0，若a6<0则a2018(C) 若a5>0，则>0 (D)S2017>0，若a6>0则S2018????????????????????11．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且满足OA+2OB+4OC=0，则AB⋅OC=(A)-15(B)-716 167(C)1615(D)1612．已知f(x)是定义在区间(0，+∞)上的函数，其导函数为f'(x)，且不等式xf'(x)<2f(x) 恒成立，则(A) 4f(1)<f(2)(B) 4f(1) f(2)(C)f(1) 4f(2)(D)⎨f (1)<4f '(2)第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答。
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。
作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷、草稿纸上无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
⎧(1)x，x ≤0， 13．已知f (x )=⎪2则f(8) f(log1)= ．2 4⎪⎩log2x，x>0，⎨ ⎩⎧x ≥0，14．已知实数x ，y 满足不等式组⎪y ≥-2,⎪2x +y -2≤0,则2x-y的最大值是．15．已知a，b为正实数，向量m=(a，a-4)，向量n=(b，1-b)，若m∥n，则a+b最小值为．16．已知数列{an }是以t为首项，以2为公差的等差数列，数列{bn}满足2bn=(n+1)an．若对n∈N*都有b≥b成立，则实数t 的取值范围是 ．n 4三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知函数f (x )=2sin(ωx -π)⋅cos ωx +16 2(其中ω>0)的最小正周期为π．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为6原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．求函数g(x)在[-π，π]上零点．18．（本小题满分12分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=(x +a)e x +2（其中a∈R，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若x∈[-1，2]时，方程f(x)=m有实数根，求实数m的取值范围．19.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2c-a=cos Ab cos Bn 1 n n +1n，D 是BC 边上的一点．(Ⅰ) 求角B 的大小；(Ⅱ) 若AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，求AB 的长. 20.（本小题满分12分）已知数列{a }的首项a =1，前n 项和为S ，且S -2S -n -1=0（n ∈N *）. (Ⅰ)求证：数列{a n +1}为等比数列；(Ⅱ)令b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .21.（本小题满分12分）已知函数f (x )=a (x +b)+b ln x (其中a ，b ∈R ).x(Ⅰ)当b =-4时，若f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；(Ⅱ)当a =-1时，是否存在实数b ，使得当x ∈[e ，e 2]时，不等式f (x )>0恒成立，如果存在，求b 的取值范围，如果不存在，说明理由（其中e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…）.请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。
22．(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程⎧⎪x =6+⎨⎪2t ，在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪2y =2t⎩ 2（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．(Ⅰ)写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；交C 于A，B两点，求|AB|.(Ⅱ) 过点M(-1，0)且与直线l平行的直线l123．(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|+|m-x|（其中m∈R）．(Ⅰ)当m=3时，求不等式f(x)≥6的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥8对任意实数x恒成立，求m的取值范围．一、选择题1.B2.D3.A4.B5.C6.C7.D8.A9.B 10.C 11.C 12.B二、填空题9 13．7；14．6；15．2三、解答题；16．[-18,-14]．17．(Ⅰ)6 2 2= 3sin 2ωx -1cos 2ωx =sin(2ωx -π)．22 6由最小正周期T =2π=π，得ω=1．··························································6分2ω(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )=sin(2x -π)，将函数f (x )的图象向左平移π个单位，6 6得到图象的解析式h (x )=sin[2(x +π)-π]=sin(2x +π)，6 6 6将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )=sin(x +π)．6由x +π=k π，k ∈Z ，得x =k π-π，6 6故当x ∈[-π，π]时，函数g (x )的零点为-π和5π． (12)6 6 分18．(Ⅰ)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，由f (0)＝0得f (0)=(0+a )e 0 +2=0即a ＝－2.······························································································4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)，当x ≥0时，f (x ) =(x -2)e x +2． 当x ＜0时，-x >0，f (-x )=(-x -2)e -x +2．由于f (x )是奇函数，则f (x ) =-f (-x )=-[(-x -2)e -x +2]，故当x ＜0时，f (x )=(x +2)e -x -2．···························································6 分 当-1≤x <0时，f (x )=(x +2)e -x -2，f '(x )=-(x +1)e -x ，由-1≤x <0，知f '(x )≤0，则当-1≤x <0时，f (x )单调递减，此时f (0)<f (x )≤f (-1)，即f (x )∈(0，e -2]．············································8分 当0≤x ≤2时，f (x ) =(x -2)e x +2，f '(x )=(x -1)e x ，由f '(x )=0，得x =1，当0<x <1时，f '(x )<0，当1<x <2时，f '(x )>0，则f (x )在(0,1)上单调递减；在(1,2) 上单调递增．则f (x )在x =1处取得极小值f (1)=2-e ，又f (0)=0，f (2)=2，故当0≤x ≤2时，f (x )∈[2-e ，2]． 综上，当x ∈[-1，2]时，f (x )∈[2-e ，2]，所以实数m 的取值范围是[2-e ，2]． (12)分19．(Ⅰ)由2c -a =cos Ab，cos B得2c cos B-a cos B=b cos A，即2c cos B=a cos B+b cos A，根据正弦定理，2sin C cos B=sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin C，·········4分所以cos B=2，又0︒<B<180︒，2所以B=45︒．························································································6分(Ⅱ)在△ADC中，AC＝7，AD＝5，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC=AD2 +DC2 -AC252 +32 -72 1==-，2AD⋅DC2⨯5⨯3 2所以∠ADC=120°，∠ADB=60°，·································································9分在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理，得AB sin ADB=AD ， sin B5⨯3所以AB =AD ⋅sin ∠ADB =5sin 60︒=2 5 6 (12)sin B 分nsin 45︒2 2220．(Ⅰ)由S n +1-2S n -n -1=0，当n ≥2时，S n -2S n -1-n +1-1=0，两式相减，得a n +1-2a n -1=0，可得a n +1+1=2(a n +1)(n ≥2)，························4分 又(a 1+a 2)-2a 1-1-1=0，则a 2 =3，满足a 2 +1=2(a 1+1)，即{a n +1}是一个首项为2，公比为2的等比数列．·········································6分(Ⅱ)据（Ⅰ）得a =2n -1.所以bna=n⨯2n -n，·········································································7分n n则Tn =b1+b2+?+bn=1⨯21+2⨯22 +?+n⨯2n -(1+2+?+n)．令Wn则2Wn所以-Wnn=2+22+?+2n-n ⨯2n +1=2(1-2)-n ⨯2n +1=(1-n )2n +1-2．1-2则W n分。
吉林省通化市梅河口市第五中学2023届高三第五次模拟考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知复数z 满足，则z 的虚部为（ ）A．B．C．D．2.若函数，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．3. 2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲､乙两个家庭，对他们过去6年(2014年到2019年)的家庭收入情况分别进行统计，发现他们的收入逐年增长，得到这两个家庭的年人均纯收入(单位：百元/人)茎叶图.对甲､乙两个家庭的年人均纯收入(以下分别简称“甲”“乙”)情况的判断，不正确的是（）A ．过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差B ．过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C ．过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数D ．过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率4. 甲､乙､丙三人被随机的安排在周六､周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.则甲､乙被安排在同一天值班的概率为（ ）A．B．C．D．5. 已知角，的顶点为坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，角的终边过点，将角的终边顺时针旋转得到角的终边，则（ ）A．B．C．D．6.已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ）A．B．C．D．8. 设中角，，所对的边分别为，，，下列式子一定成立的是（ ）．A．B．C．．D．9. 已知，则的值可以为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1210. 根据小红家2022年全年用电量（单位：度）和该月的用电量占年总用电量的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（ ）吉林省通化市梅河口市第五中学2023届高三第五次模拟考试数学试题三、填空题四、填空题A ．2022年第二季度的用电量为260度B ．2022年下半年的总用电量为500度C ．2022年11月的用电量为100度D ．2022年12个月的月用电量的中位数为80度11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（）A．当为的中点时，B．若在线段上运动，三棱锥的体积为定值C ．存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为12. 已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________．13. 某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为________.（参考数据：若随机变量，则，，）14. 已知，是虚数单位，复数，，若为纯虚数，则复数的虚部为______.15. 如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，，，则________；在数列中的任意与两项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项和为，则________．五、填空题六、解答题七、解答题16. 阅读下面题目及其解答过程．．）求证：函数是偶函数；）求函数的定义域是，都有又因为② ．所以函数是偶函数．时，，在区间上单调递减．时， 时，在区间的单调递增区间是．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①（A ）（B ）②（A ）（B ）③（A ）2（B ）④（A ）（B ）⑤（A ）（B ）17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.19. 为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，设，收集数据如下：天数123456繁殖个数612254995190表（Ⅰ）3.5062.83 3.5317.50596.5712.08八、解答题九、解答题十、解答题表（Ⅱ）(1)根据表（Ⅰ）在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断（，为常数）与（，为常数，且，）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）中的判断结果和表（Ⅱ）中的数据，建立关于的经验回归方程（结果保留2位小数）.附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.20.动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两个不同的点，过点、分别作曲线的切线，且二者相交于点.(1)求曲线的方程；(2)求证：.21.甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.(1)若选择方案一，求甲获胜的概率；(2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.22. 已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）已知正实数满足.是否存在，使得.。
吉林省梅河口五中2020届高三上学期开学考试数学理试题Word版含答案
梅河口市第五中学2017-2018学年新高三摸底测试数 学 试 题（ 理 科 ）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，考试时间为120分钟，满分150分。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数,则复数z=（ ）A. -1B. 1C.D.2. 曲线x y cos =在6π=x 处的切线的斜率为（ ）A.23 B. –23C. 21D. –21 该推理（ ）A. 推理形式错误B. 大前提错误C. 小前提错误D.非以上错误 4.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n 、p 的值为（ ）A ．n =4，p =0.6B ．.n =6，p =0.4C ．n =8，p =0.3D ．n =24，p =0.15．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，“反设”正确的是（ ）。
A. 假设三内角都不大于60度；B. 假设三内角都大于60度；C. 假设三内角至多有一个大于60度；D. 假设三内角至多有两个大于60度。
6.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A ． 24种 B. 60种 C. 90种 D. 120种 7.已知随机变量ξ服从正态分布N （2，2σ）,P(ξ≤4)=0.84,则P （ξ＜0）等于（ ） A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.848.下表为某班5位同学身高x (单位： cm)与体重y (单位kg)的数据,若两个量间的回归直线方程为 1.16y x a =+,则a 的值为 ( )A ． -121.04B ． 123.2C ． 21D ． -45.12 9.用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是（ ） A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 10. 十二生肖，又叫属相，是中国与十二地支相配以人出生年份的十二种动物，包括鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。
2020届吉林省梅河口市第五中学高三11月月考数学(理)试题(解析版)
2020届吉林省梅河口市第五中学高三11月月考数学（理）试题一、单选题1．设集合{0,1,2,3,4,5,6}U =，{0,1,3,5}A =，{2,3,4,5}B =，则()U B A ⋂=ð（ ） A ．{2,4,6} B ．{2,3}C ．{2,4}D ．{4,6}【答案】C【解析】首先求出集合A 的补集，然后与集合B 取交集即可. 【详解】因为{2,4,6}U A =ð，{2,3,4,5}B =， 所以(){2,4}U B A ⋂=ð. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的补集与交集运算，属于基础题.2．已知0,,sin 25πθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则cos 2tan θθ=（ ） A ．310-B ．310C ．65-D ．65【答案】D【解析】根据同角三角函数的基本关系式求得cos ,tan θθ，由此求得cos2θ，进而求得表达式的值. 【详解】0,,sin 25πθθ⎛⎫∈=⎪⎝⎭，所以cos θ==，sin 1tan cos 2θθθ==. 因为231cos 212sin ,tan 52θθθ=-==，所以cos 26tan 5θθ=. 故选：D 【点睛】本题考查三角恒等变换的知识，考查运算求解能力.3．在ABC V 中，D 为边BC 上的一点，且3BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r( )A ．3144AB AC +u u ur u u u rB ．1344AB AC +u u ur u u u rC ．1344AB AC -u u ur u u u rD ．3144AB AC -u u ur u u u r【答案】B【解析】D 为边BC 上的一点，且3BD DC =u u u r u u u r，D 是四等分点，结合AD AB BD =+u u u ru u u r u u u r，最后得到答案． 【详解】∵D 为边BC 上的一点，且3BD DC =u u u r u u u r，∴D 是四等分点，()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.4．若x ，y 满足约束条件0210x y x y x -⎧⎪+⎨⎪+⎩„„…，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．-5B ．-3C ．1D ．2【答案】C【解析】画出可行域，向下平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此求得z 的最大值. 【详解】画出可行域，由图可知，直线2z x y =-过点(1,1)A 时，z 取得最大值2111⨯-=. 故选：C【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.5．设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列判断正确的是() A ．若n α⊥，m α⊥，则m n ⊥ B ．若αβ∥，m α⊥，则m β⊥C ．若αβ⊥，l αβ=I ，m l ⊥，则m β⊥D ．若m n P ，m αP ，则n αP 【答案】B【解析】选项A 由线面垂直的性质定理可得；选项B ，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D ，找到反例即可. 【详解】A 选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得m n P ；B 选项正确，若αβ∥，则存在,,a b a b αα⊂⊂⋂，在平面β内存在',',''a a b b a b ⋂∥∥，由m α⊥，可得,','m a m b m a m b ⊥⊥⇒⊥⊥ ，由线面垂直的判定定理可得m β⊥；C 选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m 在平面α内或者平行于α”这个条件，才能判定m β⊥；D 选项不正确，直线n 可能在平面α上． 【点睛】解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．6．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且cos cos 4cos ,1,4a B b A c C a b +===，则c =（ ）A ．1B ．C ．D 【答案】D【解析】利用正弦定理、三角形内角和定理化简cos cos 4cos a B b A c C +=，求得cos C ，用余弦定理求得c .【详解】由cos cos 4cos a B b A c C +=，得sin cos sin cos 4sin cos A B B A C C +=，sin cos sin cos sin()sin 4sin cos A B B A A B C C C +=+==，所以1cos 4C =.根据余弦定理得21116214154c =+-⨯⨯⨯=，所以c =. 故选：D 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查运算求解能力.7．若10b a =，且a 为整数，则“b 能被5整除”是“a 能被5整除”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分别考虑充分性和必要性，得到答案. 【详解】若a 能被5整除，则10b a =必能被5整除； 若b 能被5整除，则10ba =未必能被5整除 故答案选B . 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力8．函数()()21()1x xe f x x e -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数()f x 的奇偶性和在0x >时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 因为()()21()1x xe f x x e -=+是偶函数，所以排除A ，C ，当0x >时，()0f x >恒成立，所以排除D. 故选:B. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力. 9．将函数()2f x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移12π个单位长度，得到()y g x =的图象，则()y g x =的图象的一条对称轴可能是（ ） A ．6x π=B ．4x π=C ．3x π=D ．23x π=【答案】C【解析】首先利用坐标变换求得()g x 的解析式，根据根据三角函数对称轴的求法，求得()g x 的对称轴，由此得出正确选项. 【详解】函数()2f x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到2sin 2y x =的图象，再向右平移12π个单位长度，得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.由2()62x k k πππ-=+∈Z ，得()23k x k Z ππ=+∈.令π0,3k x ==.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的图象变换和三角函数性质，考查运算求解能力. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．56234+B ．32234+C ．5683+D ．3282+【答案】A【解析】由三视图画出原图，根据几何体的结构，计算出几何体的表面积. 【详解】该几何体的直观图如图所示.易知,,5,42,8,3PB BC PD DC PD PA AD AB PE ⊥⊥=====，所以145102PBC PCD S S ∆∆==⨯⨯=1114217234,8312,(48)424222PAD PAB ABCD S S S =⨯⨯==⨯⨯==⨯+⨯=V V ，所以该几何体的表面积56234S =+.故选：A 【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3AB =E ，F ，G分别为AB ，BC ，11C D 的中点，点P 在平面ABCD 内，若直线1//D P 平面EFG ，则线段1D P 长度的最小值是（ ）A ．223B ．62C ．5 D ．72【答案】D【解析】首先找出过1D 点且与平面EFG 平行的平面，然后在三角形内找线段1D P 长度的最小值即可. 【详解】如图，连接1D A ，AC ，1D C ，因为E ，F ，G 分别为AB ，BC ，11C D 的中点， 所以//,AC EF EF ⊄平面1ACD ，则//EF 平面1ACD ， 因为1//EG AD ，所以同理得//EG 平面1ACD ， 又EF EG E =I ，得平面1//ACD 平面EFG ， 因为直线1//D P 平面EFG ，所以点P 在直线AC 上,在1ACD ∆中， 有12AD =2AC =，12CD =，所以1221272222AD CS ∆⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故当1D P AC ⊥时，线段1D P 的长度最小，有11112AD CS AC D PD P ∆=⨯⨯⇒=772122=⨯. 故选：D. 【点睛】本题考查了空间中两平面平行的证明，等面积法求点到直线距离，属于一般题.12．已知函数1,02()2ln ,24x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩剟„，若存在实数12,x x 满足1204x x <剟，且()()12f x f x =，则21x x -的最大值为（ ）A ．2e -B ．1C ．2ln2+D ．2ln 2-【答案】A【解析】画出1,02()2ln ,24x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩剟„的图像,再根据()()12f x f x =确定2(2,e]x ∈,进而将21x x -转换为关于2x 的函数,再求导分析单调性与最大值即可. 【详解】作出1,02()2ln ,24x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩剟„的图像如图所示.因为121ln 2x x =,所以122ln x x =,易知2(2,e]x ∈,则21222ln x x x x -=-. 令222()2ln ,(2,e]g x x x x =-∈,则22()1x g x x x'-=-=易知函数()2ln g x x x =-在(2,e]上单调递增,所以max ()(e)e 2g x g ==-. 故选：A 【点睛】本题考查导数的综合应用,考查学生数形结合、转化与化归的数学思想.二、填空题13．已知平面向量(2,7),(1,2),(1,1)a b c =-=-=v v v，若()//a b c λ+v v v ，则实数λ=_____________.【答案】3【解析】根据向量的坐标运算与平行公式求解即可. 【详解】由已知得(2,72)a b λλλ+=--+r r ,又()//a b c λ+r r r,所以(2)(72)0λλ---+=,解得3λ=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查平面向量坐标运算和平面向量共线的知识,考查运算求解能力.14．在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111411a a a ++=，则{}n a 的前16项和为________. 【答案】48【解析】首先根据等差数列下角标的性质求出8a 与9a ，然后根据等差数列求和公式即可求出{}n a 的前16项和. 【详解】因为3813837a a a a ++==，211149311a a a a ++==， 所以89711633a a +=+=， 所以{}n a 的前16项和为()()116891616684822a a a a ++==⨯=.故答案为：48. 【点睛】本题考查了等差数列下角标的性质，等差数列的求和公式，属于基础题.15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为______.【答案】196π【解析】平移两条异面直线，使得其相交，根据夹角的余弦值，求得长方体的高，再利用长方体外接球半径的计算公式求得半径和表面积. 【详解】如图，连接AC ，交DB 于点O ，取1CC 的中点为E ，连接OE ，BE ，因为1//AC OE ，所以BD 与1AC 所成的角为∠BOE . 令EC h =，在BEO ∆中，由8AB =，6AD =，得5OB =. 又225OE h =+236BE h =+1cos 5BOE ∠=， 由余弦定理得222125OE OB BE OE BO +-=⋅⋅，解得26h =所以146CC =则22111009619614AC AC CC ++==， 即214R =，从而24196S R ππ==表. 故答案为：196π. 【点睛】本题考查由异面直线的夹角求解线段的长度，以及长方体外接球半径的求解，属综合性基础题.16．设实数x ，y ，z 满足x y z >>，且12()T x z x y y z ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭，则T 的最小值是_________..【答案】3+【解析】首先对T 变形为倒数相加的形式，然后根据重要不等式求解出T 的最小值. 【详解】122()[()()]3y z x y T x y y z x y y z x y y z ⎛⎫--=-+-+=++ ⎪----⎝⎭， 因为0x y ->，0y z ->，所以2()333y z x y T x y y z --=+++=+--… 当且仅当2y z x y x y y z--=--时等式成立，)()x y y z -=-时取得最小值，最小值为3+故答案为：3+. 【点睛】本题主要考查了利用重要不等式求最值，属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，且3452a a a +=，121a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若22log 3log n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）123n n a -=；（2）22n n nS -=. 【解析】（1）首先根据题中已知条件求出等比数列的两个基本量1a 和q ，然后即可求出数列的通项公式；（2）首先求出数列{}n b 的通项公式，然后即可求出数列{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，则3452a a a +=可变形为2341112a q a q a q +=，化简为220q q --=， 解得2q =或1q =-（舍去），因为121a a +=，所以1121a a +=，解得113a =， 所以数列{}n a 的通项公式为1112233n n n a --=⨯=；（2）因为()12222log 3log log 3log 21n n n n b a a n -=+===-，所以数列{}n b 是首项为10b =，公差为1的等差数列，所以()2122n n n b b n n S +-==. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求解，等差数列的前n 项和公式，属于基础题. 18．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1sin 2a Bb =. （1）求A ；（2）若b c +=ABC ∆的面积为2，求a .【答案】（1）6A π=（2）2【解析】（1）首先对1sin 2a Bb =进行边角转化，然后根据锐角ABC ∆限定的角的范围即可求出角A ；（2）根据ABC ∆的面积为2求出bc 的值，再结合b c +=a 的值. 【详解】（1）因为1sin 2a B b =，所以1sin sin sin 2A B B =， 即1sin 2A =，因为ABC ∆为锐角三角形， 所以02A π<<，所以6A π=；（2）因为ABC ∆的面积为2， 所以1sin 22bc A =，即8bc =，因为42b c +=，所以22222cos ()2(1cos )1683a b c bc A b c bc A =+-=+-+=-， 故216834(31)2(31)232a =-=⨯-=-=-.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于一般题.19．如图，已知四棱锥P ABCD -的侧棱PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是直角梯形，AD CD ⊥，//AB CD ，24AB AD ==，6DC =，3PD =，点M 在棱PC 上，且3PC CM =.（1）证明：//BM 平面PAD .（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2929. 【解析】（1）首先证明四边形ABMN 为平行四边形，再利用平行四边形的性质证明线线平行，然后根据线线平行推出线面平行即可；（2）首先找出直线PB 在平面PCD 内的垂足，再利用直角三角形的边长关系求出角的正弦值. 【详解】（1）证明：取PD 的三等分点N ，且3PD DN =，连接AN ，MN ， 因为3PC CM =，3PD DN =， 所以MN DC //，且243MN DC ==， 因为//AB CD ，4AB =，所以AB MN =，且//AB MN ， 所以四边形ABMN 为平行四边形，所以//BM AN ， 因为AN ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ， 所以//BM 平面PAD ；（2）过点B 作BH CD ⊥，垂足为H ，连接PH ， 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD BH ⊥，所以BH ⊥平面PCD ，则BPH ∠为直线PB 与平面PCD 所成的角， 由题意可得2BH AD ==，41625BD =+=，所以92029PB =+=，故229sin BH BPH PB ∠==， 即直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值是22929. 【点睛】本题考查了线面平行的证明，直线与平面的夹角，属于一般题.20．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11111A B A D ==，11115BC C D ==，13AA =，AB AD ⊥.（1）证明：111B D AC ⊥；（2）求二面角11B AB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）37.【解析】（1）首先证出11B D ⊥平面11AA C ，然后即可证明111B D AC ⊥； （2）建立空间直角坐标系，根据二面角的公式求出二面角11B AB C --的余弦值. 【详解】（1）证明：连接11A C ，交11B D 于点1E ，因为11111A B A D ==，11115BC C D ==，1111AC AC =， 所以111111A B C A D C ∆∆≌，11111145B AC D AC ∠=∠=︒， 在等腰111A B D ∆中，因为11A E 是顶角的平分线， 所以1111B D A C ⊥，又因为1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以111⊥B D AA ， 因为1111A C AA A =I ，所以11B D ⊥平面11AA C ， 因为1AC ⊂平面11AA C ，所以111B D AC ⊥；（2）由（1）可知，1122A E =，1122D E =， 2211232(5)22C E ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1122AC AC == 以AB ，AD ，1AA 所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，1(1,0,3)B ，1(2,2,3)C ，所以1(1,0,3)AB =u u u r ，1(2,2,3)AC =u u u u r，设平面11AB C 的法向量为(,,)m x y z =u r ，于是1100m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v ， 所以302230x z x y z +=⎧⎨++=⎩，令2z =-，得(6,3,2)m =--u r ，易知平面1AB B 的一个法向量(0,1,0)n =r，设二面角11B AB C --的大小为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭， 则||3cos 7||||m n m n θ⋅==u r rur r . 【点睛】本题考查了线线垂直的证明，利用空间向量求解二面角，属于一般题. 21．已知函数()xf x x ae b =-+，其中,a b ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a =，k ∈R ，若存在[]0,2b ∈，对任意的实数[]0,1x ∈，恒有()1x x f x ke xe ≥--成立，求k 的最大值。
2024学年通化市梅河口五中高三数学上学期12月考试卷及答案解析
高三数学12月考一、单选题1. 已知集合{}2340A x x x =--<，{}1,B x x x =>∈Z ，则A B = （ ）A. {}1,2,3-B. {}2,3C. {}3,2-- D. {}3,2,0--【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式求出集合A ，再由绝对值不等式求出集合B ，最后求交集即可；【详解】由2340x x --<可得14x -<<，所以{}14A x x =-<<，由1x >可得1x >或1x <-，且Z x ∈，所以{}2,3A B ⋂=，故选：B.2. 若1i z =+，则i 3z z +=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数i 3z z +，再利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为1i z =+，则()()i 3i 1i 31i 1i 33i 24i z z +=+++=-+++=+，因此i 3z z +==.故选：C.3. 已知向量a ，b 满足()3,4a = ，()2,1b =- ，则向量b 在向量a 方向上的投影向量为（）A. 68,2525⎛⎫⎪⎝⎭ B. (6,8) C. 68,55⎛⎫⎪⎝⎭ D. (4,2)【答案】A【解析】【分析】根据条件计算,a b a ⋅ ，利用投影向量的公式求解即可.【详解】由()3,4a = ，()2,1b =- 得()32412,5a b a ⋅=⨯+⨯-==，则向量b 在向量a 方向上的投影向量为()()83,4223,56,25524525a b a aa ⎛⎫ ⎪=⋅=⎝⋅⋅⎭=.故选：A.4. “2a <”是“()()120a a --<”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件．C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由必要不充分条件的定义即可求解.【详解】由()()120a a --<得12a <<，由2a <不能得到12a <<，如0a =；反之，12a <<一定有2a <；“2a <”是“()()120a a --<”的必要而不充分条件.故选： B.5. α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中真命题个数为（ ）①若//m n ，α//β，则m 与α所成的角等于n 与β所成的角；②若m α⊂，n A α⋂=，A m ∉，则m 与n 是异面直线；③若m α⊂，n β⊂，α//β，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ= ，n m ⊥，则n α⊥．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】作出示意图，进而根据点线面的位置关系得到答案.【详解】对①，结合异面直线所成角的定义，因为m n ∥，所以m 与α所成的角等于n 与α所成的角，而αβ∥，于是m 与α所成的角等于n 与β所成的角，故①正确；对②，根据题意m ，n 既不平行也不相交，故m ，n 异面，所以②正确；如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，若α为平面ABCD ，β为平面1111D C B A ，取m 为ABCD ，n 为11B C ，显然异面，所以③错误；若α为平面ABCD ，β为平面11ABB A ，则m 为AB ，取n 为BC ，则n ⊂α，所以④错误.故选：B.6. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若56781a a a a +++=，91011122a a a a +++=，则16S =（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n 项和公式计算得解.【详解】在等差数列{}n a 中，由56781a a a a +++=及91011122a a a a +++=，得567891011123a a a a a a a a +++++++=，则5124()3a a +=，所以1161651216()8()62a a S a a +==+=故选：A7. 已知5log 7a =，6log 8b =，8log 10c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c>> B. b a c >> C. c a b >> D. c b a >>【答案】A【解析】【分析】利用指数幂的运算法则和对数函数、指数函数的单调性，进行合理的放缩分别比较,b a 和,c b 即得.【详解】因666665log 8log 8log 8log 8log 6log 7555205(66(8()756663=⨯=⨯<⨯=<=，故65log 8log 7<，即b a <；.又888886log 10log 10log 10log 10log 8log 8633156(8)8()10(868442=⨯=⨯<⨯=<=，故86log 10log 8<，即c b <.故有c b a <<即a b c >>.故选：A.8. 若函数()24ln b f x a x x x =++（0a ≠）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）A. 0a < B. 0b < C. 1ab >- D. 0a b +>【答案】B【解析】【分析】求出函数()f x 的导数f ′(x )，由已知可得函数f ′(x )在(0,+∞)上有两个零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可.【详解】函数()f x 的定义域为(0,+∞)，()22334242a b ax x b f x x x x x-='-=--，又函数()f x 既有极大值也有极小值，所以函数f ′(x )在(0,+∞)上有两个零点，由0a ≠，所以方程2420ax x b --=有两个不同的正实数12,x x ，所以()()21212Δ44204020a b x x a b x x a ⎧⎪=--->⎪⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，即2,0,0ab a b >-><.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知集合{|1A x y ==-，{|1B y y ==-，(){,|1C x y y ==-，则下列说法正确的是（ ）A. [1,)A B =+∞ B. A B = R C. ()R B A⊆ð D. A C ⋂=∅【答案】BCD【解析】【分析】求出函数的定义域、值域化简集合,A B ，再结合集合的运算判断ABC ；利用元素特征判断D.【详解】函数1y =-中0x ≥，1y ≤，则[0,),(,1]A B =+∞=-∞，对于A ，[0,1]A B = ，A 错误；对于B ，A B = R ，B 正确；对于C ，R (1,)B =+∞ð，则R ()B A ⊆ð，C 正确；对于D ，集合A 的元素是数，集合C 的元素是有序实数对，因此A C ⋂=∅，D 正确.故选：BCD10. 函数21()sin cos cos 2f x x x x ωωω=+-，0ω>，()f x 的最小正周期为π，且方程()f x =在π[0,]4上有两个不相等的实数根12,x x ，则下列说法正确的是（ ）A. π()4f x x =-B. 把()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则3π())4g x x =-C. 12π4x x +=D. 124cos()5x x -=【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，求出解析式并结合图象变换判断AB ；由给定实根计算判断CD.【详解】依题意，函数11π()sin 2cos 2)224f x x x x ωωω=+=+，由()f x 的最小正周期为π，得2ππ2ω=，解得1ω=，对于A ，π()4f x x =+，A 错误；对于B ，把()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得π)4x y +=，则ππ3π())444g x x x =-+=-，B 正确；对于C ，当π[0,]4x ∈时，ππ3π2[,]444x +∈，而正弦函数sin y x =在[π4]3π4,上的图象关于直线π2x =对称，依题意，12πππ222442x x +++=⨯，解得12π4x x +=，C 正确；对于D ，由1()f x =1π4x +=，解得1π4sin(2)45x +=，由选项C 知，21π4x x =-，因此12111ππππ4cos()cos(2)cos[(2)sin(2)44245x x x x x -=-=+-=+=，D 正确.故选：BCD11. 已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()33f x g x +-=，()()61g x f x --=，若()f x 为偶函数，且()02f =-，则（ ）A. ()f x 的图象关于点3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称B. ()()6g x g x +=C. ()241g =D. ()01835k g k ∑==【答案】BD【解析】【分析】由()()61g x f x --=得到()()331g x f x ----=，再结合()()33f x g x +-=，确定()()32f x f x ++=，进而通过()f x 的对称性、周期性逐项判断即可.【详解】()()33f x g x +-=①，()()61g x f x --=②，由②可得：()()331g x f x ----=③，①③联立可得：()()32f x f x +--=④，所以()f x 的图象关于点3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 错；由④，又()f x 为偶函数，所以()()32f x f x ++=，所以()()362f x f x +++=，两式相减可得：()()6f x f x +=，又()()61g x f x =-+，()()61g x f x +=+，结合()()6f x f x -=所以()()6g x g x +=，B 对，()()246g g =，由()()61g x f x --=，可知：()()601g f -=，所以()()6101g f =+=-，所以()241g =-，C 错；由()()61g x f x --=，可得()()61g x f x =-+，结合()()6f x f x +=，得：()()1g x f x =+，所以()()00181819k k g k f k ∑∑===+，又()()32f x f x ++=，所以()()()()()()142,252,362,f f f f f f +=+=+=即()()()()()()1234566f f f f f f +++++=，()()6f x f x +=，()02f =-，所以()01823616k f k ∑==-+⨯=，所以()01835k g k ∑==，D 正确.故选：BD三､填空题（每题5分，共3题，总计15分）12. “ln(1)0x +<”是“1x <”的_____________条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】先解不等式ln(1)0x +<得10x -<<，再根据集合关系判断即可.【详解】解：由ln(1)0x +<得ln(1)ln1x +<，所以011x <+<，即10x -<<；因为()()1,0,1--∞Ü，所以10x -<<”是“1x <”的充分不必要条件，即“ln(1)0x +<”是“1x <”的充分不必要条件故答案为：充分不必要13. 设()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是__________.【答案】(0,1]【解析】【分析】作出函数()y f x =的图象，根据题意转化为()y f x =与y a =的图象有三个不同的交点，结合图象，即可求得实数a 的取值范围.【详解】作出函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图象，如图所示，因为()0f x a -=由三个不同的实数根，即函数()y f x =与y a =的图象有三个不同的交点，结合图象，可得01a <≤，即实数a 的取值范围为(0,1].故答案为：(0,1].14. 已知函数()1f x kx =+，若对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则实数k 的取值范围是__________．【答案】实数k 的取值范围是[1,1]-【解析】【详解】分析：：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，，解之即可.则(1)10(1)10f k f k -=-+≥⎧⎨=+≥⎩详解：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则(1)10(1)10f k f k -=-+≥⎧⎨=+≥⎩，解得：11k -≤≤，故：实数k 的取值范围是[1,1]-．点睛：本题考查一次函数的性质，属基础题.四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2222cos 02a b c c b A b+--+=．（1）若4a =，8+=b c ，求ABC V 的面积；（2）若角C 为钝角，求c b 的取值范围．【答案】（1）（2）()2,+∞【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得π3A =，利用余弦定理可得16bc =，即可得面积；（2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得12c b =+，结合角B 的范围运算求解.【小问1详解】因为()2222cos 02a b c c b A b+--+=，由余弦定理可得()co 2cos s 0c b A a C -+=，由正弦定理得()sin 2sin cos sin cos 0C B A A C -+=，又因为()()sin cos sin cos sin sin πsin C A A C A C B B +=+=-=，则有()sin 12cos 0B A -=，因0πB <<，sin 0B >，则1cos 2A =，且0πA <<，故π3A =．由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，代入得，2216b c bc +-=，因8+=b c ，则有()2316b c bc +-=，即得16bc =，故ABC V的面积11sin 1622S bc A ==⨯=【小问2详解】由正弦定理，sin sin b c B C =可得sin sin c C b B=，且2π3C B =-，代入化简得：2πsin sin 13sin sin 2B cC b B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭====+．因C 为钝角，故由π022ππ32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，可得π06B <<，则0tan B <<32>，即2c b >，故c b取值范围是()2,+∞16. 已知函数()()()ln 1f x x x a x a =+-∈R ．（1）当0a =时，关于x 的方程()f x m =在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（1）111,ln 222⎛⎤--- ⎥⎝⎦（2）()min e ,1e ,112,1ea a a f x a a a -⎧⎪<-⎪=--≤≤⎨⎪-⎪>⎩【解析】【分析】（1）先利用导数分析函数()f x 的单调性，进而结合题意求解即可；的（2）先对函数求导，然后分1a >，11a -≤≤，1a <-三种情况讨论函数()f x 单调性，进而求解最小值.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x x =-，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则()ln 11ln f x x x =+-='，令f ′(x )>0，得13x <≤；令f ′(x )<0，得112x ≤<，所以函数()f x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,3上单调递增，且111ln 2222f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11f =-，()33ln 33f =-，11ln 203ln 3322--<<-，要使关于x 的方程()f x m =在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不相等的实数根，则111ln 222m -<≤--，即实数m 的取值范围为111,ln 222⎛⎤---⎥⎝⎦.【小问2详解】由()()ln 1f x x x a x =+-，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()ln f x x a ='+，由()0f x '=得e a x -=．①当1ee a-<，即1a >时，f ′(x )>0，()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则()min 12e ea f x f -⎛⎫==⎪⎝⎭；②当1e e e a -≤≤，即11a -≤≤时，在1,e e a x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，()f x 为减函数，在e ,e ax -⎡⎤∈⎣⎦时，f ′(x )≥0，()f x 为增函数，则()()min eeaaf x f --==-；③当e e a ->，即1a <-时，f ′(x )<0，()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，的则()()min e e f x f a ==．综上所述，()mine ,1e ,112,1ea a a f x a a a -⎧⎪<-⎪=--≤≤⎨⎪-⎪>⎩．17. 已知ABC V 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,ABC V的周长为2+,且sin sin A B C +=.（1）求边c 的长;（2）若ABC V 的面积为23sin C ,求角C 的度数.【答案】（1）2； （2）60o .【解析】【分析】(1)根据正弦定理可将sin sin A B C +=化简为a b +=,再根据ABC V 的周长即可求得c ;(2)根据三角形面积公式可得43ab =,根据(1)中的结论可得a b +=,再根据余弦定理即可求得角C .【小问1详解】由题意得:sin sin A B C +=，在ABC V 中,将正弦定理代入可得a b +=，又2a b c ++=,2c +=+，所以2c =；【小问2详解】由(1)知2c =,a b +=,所以a b +=，因为1sin 2in 2s 3ABC S ab C C △==，所以43ab =,又有a b +=，所以22222()21cos 222a b c a b ab c C ab ab +-+--===，因为()0,180C ∈，所以60C = .18. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，4595,a S a ==.对任意正整数n ，数列{}n b 满足1212,,n n n n n n a a a b b b ++++成等比数列，1415,216b b =-=，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求满足3132n T >的n 的最小值.【答案】（1）23n a n =-，232n nn b -= （2）10【解析】【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出首项和公差，得到{}n a 的通项公式，由条件得到n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，设公比为q ，求出14142,16a ab b ==，从而得到公比，2n n na b ∴=，求出{}n b 的通项公式；（2）错位相减法求和，得到2112n n n T +=-，得到不等式，令212nnn c +=，作差得到10n n c c +-<，{}n c 是递减，利用10911,3232c c <>，得到答案.【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，则1115435,582a d a d a d ⨯+=+=+，11,2a d ∴=-=，()1123n a a n d n ∴=+-=-.1212,,n n n n n n a a a b b b ++++成等比数列，n n a b ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等比数列，设公比为q ，1415,216b b =-= ，14142,16a ab b ∴==，31682q ∴==，解得2q =，的2n nna b ∴=，2322n n n n a n b -∴==；【小问2详解】23113232222n n n T --=++++ ，234111132322222n n n T +--∴=++++ ，两式相减得23111222231222222n n n n T +--⎛⎫-=++++- ⎪⎝⎭ 2313222223222222nn n +-⎛⎫=-+++++- ⎪⎝⎭ 111132312121222212n n n n n ++--+=-+-=--，2112n n n T +∴=-.由3132n T >得211232nn +<，令212n n n c +=，则()111122123120222n n n n n n n nc c ++++++--=-=<，1n n c c +∴<，{}n c ∴是递减的，1091010992132119161,22322232c c =<==>= ，∴满足3132n T >的n 的最小值为10.19. 已知函数2()ln (21)f x a x a x x =-++-.（1）若12a =，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程.（2）讨论()f x 的单调性.（3）求证：若0a >，()f x 有且仅有一个零点【答案】（1）230x y +-=； （2）答案见解析； （3）证明见解析..【解析】【分析】（1）把12a =代入，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）根据给定条件，按0a ≤，102a <<，12a =，12a >分类，利用导数求出单调区间.（3）利用（2）的结论，结合零点存在性定理推理证明即可.【小问1详解】当12a =时，21()ln 22f x x x x =-+-，求导得1()222f x x x'=--+，则1(1)2'=-f ，而(1)1f =，所以函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线方程为11(1)2y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数2()ln (21)f x a x a x x =-++-的定义域为(0,)+∞，求导得(21)()()(21)2a x x a f x a x x x--'=-++-=-，①当0a ≤时，由()0f x '>，得1(0,2x ∈，由()0f x '<，得1(,)2x ∈+∞，则函数()f x 在1(0,2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减；②当102a <<时，由()0f x '>，得1(,2x a ∈，由()0f x '<，得1(0,)(,)2x a ∈+∞ ，则函数()f x 在1(,)2a 上单调递增，在(0,)a ，1(,)2+∞上单调递减；③当12a =时，()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；④当12a >时，由()0f x '>，得1(,)2x a ∈，由()0f x '<，得1(0,(,)2x a ∈+∞ ，则函数()f x 在1(,)2a 上单调递增，在1(0,)2，(,)a +∞上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为1(0,2，递减区间为1(,)2+∞；当102a <<时，函数()f x 的递增区间为1(,)2a ，递减区间为(0,)a ，1(,)2+∞；当12a =时，函数()f x 的递减区间为(0,)+∞；当12a >时，函数()f x 的递增区间为1(,)2a ，递减区间为1(0,2，(,)a +∞.【小问3详解】①当12a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)10f =>，21(e)2e e 02f =-+-<，因此存在唯一0(1,e)x ∈使0()0f x =，则()f x 有且仅有一个零点；②当102a <<时，函数()f x 在x a =处取得极小值()(ln 1)f a a a a =-++，令()ln 1g x x x =-++，求导得1()1g x x'=-+，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 在(0,1)上单调递减，()g x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)20g x g ≥=>，即()0f a >，1(()02f f a >>，当x →+∞时，2ln ,(21)a x a x x -→-∞+-→-∞，则()f x →-∞，因此存在唯一11(,)2x ∈+∞使1()0f x =，则()f x 有且仅有一个零点；③当12a >时，函数()f x 在12x =处取得极小值11()(ln21)024f a =++>，1()(02f a f >>，同理存在唯一2(,)x a ∈+∞使2()0f x =，则()f x 有且仅有一个零点，所以()f x 有且仅有一个零点.。
2025届梅河口市第五中学高三5月学段考试数学试题
2025届梅河口市第五中学高三5月学段考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥2．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2B ．－4C ．3D ．－33．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．434．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4()f x x x=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元7．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．要得到函数32sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 232y x x =的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 9．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<10．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ）A ．18-B ．63-C ．18D ．6311．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724-B ．524-C ．524D ．72412．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省梅河口五中2022届高三上学期开学考试数学(理)试题 Word版含答案
梅河口市第五中学2021-2022学年新高三摸底测试数 学 试 题（ 理 科 ）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，考试时间为120分钟，满分150分。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数,则复数z=（ ）A. -1B. 1C.D.2. 曲线x y cos =在6π=x 处的切线的斜率为（ ）A.23 B. –23C. 21D. –21该推理（ ）A. 推理形式错误B. 大前提错误C. 小前提错误D.非以上错误4.设听从二项分布B （n ，p ）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n 、p 的值为（ ）A ．n =4，p =0.6B ．.n =6，p =0.4C ．n =8，p =0.3D ．n =24，p =0.15．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，“反设”正确的是（ ）。
A. 假设三内角都不大于60度； B. 假设三内角都大于60度； C. 假设三内角至多有一个大于60度； D. 假设三内角至多有两个大于60度。
6.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，假如B 必需站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A ． 24种 B. 60种 C. 90种 D. 120种 7.已知随机变量ξ听从正态分布N （2，2σ）,P(ξ≤4)=0.84,则P （ξ＜0）等于（ ） A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.848.下表为某班5位同学身高x (单位： cm)与体重y (单位kg)的数据,身高170171166178160体重 75 80 70 85 65若两个量间的回归直线方程为 1.16y x a =+,则a 的值为 ( )A ． -121.04B ． 123.2C ． 21D ． -45.12 9.用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增加的式子是（ ） A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 10. 十二生肖，又叫属相，是中国与十二地支相配以人诞生年份的十二种动物，包括鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。
梅河口市第五中学2020届高三数学第五次模拟考试试题文含解析
15。已知函数 ，则使不等式 成立的x的取值范围为___________________。
【答案】
【解析】
【分析】
对自变 进行分类讨论,解两个不等式，再取并集，即可得答案;
【详解】 ，由 得,
当 时,由 ，得 ；
当 时， ,此时无解。
综上所述，不等式 的解集为 。
故答案为： .
【点睛】本题考查利用分类讨论解不等式,考运算求解能力，求解时注意交集与并集的运用.
所以
故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用,两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.
7。为了求得椭圆 的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入 共n个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有 个。若矩形的面积是2,则可以估计椭圆的面积为( ）
A。 B. C. D。
故选：B。
【点睛】本题考查统计图之饼图的读取与理解，并对所反应的数据进行分析和判断,属于基础题。
4。已知向量 ， ， ，若 ,则实数 （ ）
吉林省通化市梅河口市第五中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题含答案
梅河口市第五中学2022～2023学年度上学期第三次月考高三数学试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答1．已知集合{}0A x =∈>，{}240B x x x =∈->R ，则（）A ．{}0,1,2,3,4B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,32．在复平面内，复数|2i |2i-+对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设命题():0ln 2ln 3p x <-≤，命题()():30q x m x m ---≤，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（）A ．[)2,3B ．(]2,3C ．[]2,3D ．()2,34.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，其中有如下记载：将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.现有如图所示的直径长为2的胶泥球胚，某数学兴趣小组的同学需在此胶泥球胚中切割出底面为正方形，且垂直于底面的侧棱与底面正方形边长相等的阳马模型的几何体（实物体），若要使该阳马体积最大，则应削去的胶泥的体积大约为（π3≈）（）A ．2.8B ．3.2C ．3.5D ．4.85.若直线1:480l ax y ++=与直线2:3(1)60l x a y ++-=平行，则a 的值为（）A ．3B ．4-C ．3或4-D ．3-或46.直线:310l ax y a --+=被圆22:(1)(2)25C x y ++-=截得的弦长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．7.已知过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左焦点F 且与长轴垂直的弦长为()2,1P 且斜率为-1的直线与C 相交于,A B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为（）A ．6B ．3+C ．3D ．38.已知7,ln62a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c<<D ．c a b<<二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9．下列命题中真命题有（）A ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角B ．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()111,3N n n a a S n *+==∈，则111342n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩C ．若定义域为R 的函数()f x 是奇函数，函数(1)f x -为偶函数，则(2)0f =D ．若230OA OB OC ++=，分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则:1:6AOC ABC S S =△△10．下列说法中正确的是（）A ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B ．若随机变量()2~3,N ξσ，且(6)0.84<=P ξ，则(36)0.34<<=P ξ.C ．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件{A =第一次抽到的是白球}，事件{B =第二次抽到的是白球}，则1(|)3P B A =D ．已知变量x 、y 线性相关，由样本数据算得线性回归方程是 0.4y x a=+，且由样本数据算得4x =， 3.7y =，则 2.1a=11．给出的下列选项中，正确的是（）A ．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5π[π-,π+],Z1212k k k ∈B ．将函数sin 7y x =的图象向右平移π3个单位，将得到πsin(73y x =-的图象C ．函数1sin sin 22y x x =+在[]0,2π上有3个零点D．函数y =最小正周期为π12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（）A ．12,PF m a PF m a=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请仔细审题，认真做答13．“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动.某校积极开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为()1,2,,6i i = ，则棋子就按顺时针方向前进i 个格子、一直循环下去，现在已知小明同学抛掷3次骰子后棋子恰好又回到起点①处，则其不同的走法数为_________.(用数字作答)19（12分）．已知三棱柱111ABC A B C -，侧面11AAC C 是边长为2的菱形，13CAA π∠=，侧面四边形11ABB A 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，点D 是棱11A B的中点．(1)在棱AC 上是否存在一点E ，使得AD ∥平面11B C E ，并说明理由；(2)当三棱锥11B A DC -11AC D 与平面1CC D 夹角的余弦值．20（12分）．随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨．为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券．为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的35，没使用过政府消费券的人数占样本总数的310．使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45岁及以下9045岁以上总计200(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？(2)现从45岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取8人做进一步访谈，然后再从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记使用过政府消费券的人数为X ，求随机变量X 的概率分布列与期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d-=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.150.100.050.0250k 2.0722.7063.8415.024全科免费下载公众号《高中僧课堂》21（12分）.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆222()x y b a +-=相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点)0,3(M 作两条互相垂直的直线21,l l ，与椭圆C 分别交于A,B,C,D 四点，如图，求四边形ACBD 的面积的取值范围.22（12分）．已知函数2()2(1)e x f x a x x =--（其中,e a ∈R 为自然对数的底数）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，2(1)ln 3f x x x x +>---，求a 的取值范围．高三数学参考答案1．B{}0,1,2,3A =，{}{}24004R B x x x x x =-≤=≤≤ð．所以(){}0,1,2,3A B ⋂=R ð.故选：B ．2．D因为()()()()()222152i 52i |2i |5255i 2i2i2i 2i 2i 555+----=====-++++-，所以复数|2i |2i -+在复平面内对应的点为255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第四象限；故选：D 3．C由()0ln 2ln 3x <-≤得：123x <-≤，解得：35x <≤，即(]:3,5p x ∈；由()()30x m x m ---≤得：3m x m ≤≤+，即[]:,3q x m m ∈+；q 是p 的必要不充分条件，(]3,5∴[],3m m +，335m m ≤⎧∴⎨+≥⎩，解得：23m ≤≤，即实数m 的取值范围为[]2,3.故选：C.4.C如图正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1D ABCD -即为阳马.设正方体边长为a ，体积为1V ，显然1111133D ABCD ABCD V S DD V -=⋅=，所以，当该正方体体积最大时，该阳马体积最大.在球的内部，任意构造一个正方体，显然球的内接正方体体积最大，应有正方体的对角线1BD 等于球的直径，即12BD =.又1BD 3a =，所以32a =，则233a =，则331238339V a ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，所以11183327D ABCD V V -==.又球的体积为344ππ33V R ==，所以，应削去的胶泥的体积为1483π327D ABCD V V --=-48 1.733 3.5327⨯≈⨯-≈.故选：C.5.A直线1l ：481ax y ++=与直线2l ：()3160x a y ++-=平行，所以()143a a +=⨯，解得：3a =或4-，①当3a =时，1l ：3480x y ++=，2l ：3460x y +-=，12l l ∥，符合题意；②当4a =-时，1l ：4480x y -++=，2l ：3360x y --=，均为20x y --=，此时1l ，2l 重合，舍去，故3a =，故选：A 6.B直线:310l ax y a --+=，即()310a x y --+=，直线l 过定点()3,1P ，圆C 的圆心为()1,2C -，=5r ，当PC l ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短.因为22(31)(12)17PC =++-=，所以弦长的最小值为2251742-=.故选：B 7.D由题可得(),0F c -，其中0c >，且222c a b =-.又由椭圆对称性可知，在F 正上方且位于椭圆上的点到F 距离为322，即此点坐标为322,c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.将其代入椭圆方程有：222224222223232223212c b b a b ba a⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=⇒=⇒= ⎪⎪⎝⎭，又0a b >>，可知2322b a =；设()()1122,,A x y B x y ，，因过点()2,1P 且斜率为-1的直线与C 相交于,A B 两点，且P 恰好是AB 的中点，则2121212121211241222，，y y x x y y x x y y x x -++=-=⇒+==⇒+=-.又A ，B 两点在椭圆上，则22221122222211x y x y a b a b+=+=，.两式相减得：222222222222211212121222222222210x y x y y y x x y y b a b a b b a x x a ⎛⎫---+-+=⇒=-==- ⎪ ⎪-⎝⎭又()222121212221212121142y y y y y y x x x x x x -+-=⋅=⨯-=-+--，得2212b a =.又2322b a =，则22232b a a b a ==，又2212b a =，且0b >，则3b =.故椭圆方程为：221189x y +=，()3,0F -.设()00,M x y ，其中03232,x ⎡⎤∈-⎣⎦.则22220000191892x y x y +=⇒=-.()()()222222000013396186222x x MF xyxx x =++=++-=++=+.因03232,x ⎡⎤∈-⎣⎦，有()()0022266326323222MF x x =+=+≤⨯+=+，当且仅当032x =，即M 为椭圆右顶点时取等号.则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为323+.故选：D 8.．D21ln e ln 6ln e 2=<<= ，12c ∴<<；72a c ∴=>；又2ee 2b =>> ，b c ∴>.令()2e 32xf x x =+，()()22222233e e 2e 2223322x x x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于2322y x x =-+中，()2324202∆=--⨯=-<，所以23202y x x =-+>，故()0f x ¢>在R x ∈上恒成立，得()f x 在R x ∈单调递增.故()()21f f >，即2ee 17522>>，即得证：27e 2>，故得b a >.综上所述得b a c >>.故选：D 9.CD对于A ，若0a b ⋅< ，则π,,π2a b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故A 错误；对于B ，因为()13N n n a S n *+=∈，所以当2n ≥时有13n n a S -=，两式相减可得()132,N n n n a a a n n +*-=≥∈，即()142N ,n n a a n n +*=≥∈，当1n =时，211333a S a ===，所以211342n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，故B 错误；对于C ，因为函数(1)f x -为偶函数，所以()(1)1f x f x -=--，所以()()20f f -=，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()(2)200f f f =--=-=，故C 正确；对于D ，如图，设线段,AC BC 的中点分别为,E F ，连接EF ，因为230OA OB OC ++=，所以()20OA OC OB OC +++= ，所以420OE OF += ，即2OF OE =- ，即点O 是线段EF 靠近点E 的三等分点，所以1136AOC AFC ABC S S S == ，故D正确；故选：CD 10．BD解：对于A ，共有10个数，1080%8⨯=，所以数据的第80百分位数为17和20的平均数，即为18.5，故错误；对于B ，因为随机变量()2~3,N ξσ，且(6)0.84<=P ξ，所以(0)(6)0.16P P ξξ≤=≥=，所以(06)10.160.160.68P ξ<<=--=，所以11(36)(06)0.680.3422P P ξξ<<=<<=⨯=，故正确；对于C ，由题意可知1216C 1()C 3P A ==,所以1115C 11()3C 15P AB =⨯=，(|)()1()5P AB P P A B A ==，故错误；对于D 故选：BD.11.BC解：对于A ，因为ππsin 2sin(2)33y x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤-≤+∈，可得：5π11πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈，即函数的单调递增区间为5π11π[π,π],Z 1212k k k ++∈，故错误；对于B ，将函数sin 7y x =的图象向右平移π3个单位，将得到π7πππsin 7()sin(7)sin[2π(7)]sin(7)3333y x x x x =-=-=-+-=-的图象，故正确；对于C ，1sin sin 2sin sin cos sin (1cos )2y x x x x x x x =+=+=+，令0y =，则有sin 0x =或cos 1x =-，又因为[]0,2πx ∈，所以解得0x =或2πx =或πx =，所以函数在[]0,2π上有3个零点，故正确；对于D ，221cos 21cos 21(12sin )12cos 1|sin ||cos |2222x x x x y x x -+--+-=+=+=+，令()|sin ||cos |f x x x =+，则有πππ()|sin()||cos()||cos ||sin |()222f x x x x x f x +=+++=+=，由此可得函数的最小正周期不是π，故错误.故选：BC.12．ACD依题意，121222PF PF aPF PF m⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+-++--+-===+--，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c +=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确；22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ-+-----====--+-++，22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ--=-==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n b θθ--=++，解得22tan()2nbθ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2n b θ=，D 不正确.故选：ACD 13.27根据题意可知抛掷3次骰子后恰好回到起点①处需要8步或16步，所以3次投掷骰子的点数之和为8或16，则3次投掷的点数可以为1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6；当点数为1，1，6；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6时，有13515⨯=C 种情况；当点数为1，2，5；1，3，4时，有332A 12⨯=种情况；综上可得不同的走法数为12+15=27.故答案为：27.14.15解：因为圆22:4O x y +=与圆22:330C x y x y +-+-=相交于,A B两点，所以直线AB 的方程为：()()22223340x y x y x y -+-+--+=，即310x y --=，圆心(0,0)O 到弦AB 的距离0011213+-==+d ，所以222215AB d =-=，故答案为：15.15.22如图所示，∵221012c b e a a==+=，则2252c a =，2232b a =，由双曲线的对称性知：OA OB =，1OF OF =，又∵AF BF ⊥，∴四边形1AFBF 为矩形，设||0AF m =>，则由双曲线的定义知：1||2AF a m =+，在1Rt F AF △中，22211||||||F F AF AF =+，即：2224(2)c a m m =++，整理得：22230m am a +-=，即：()(3)0m a m a -+=，∵0m >，∴m a =，∴1||3AF a=设||0QF n =>，则由双曲线的定义知：1||2QF a n =+，在1Rt F AQ △中，22211||||||F Q AQ AF =+，即：222(2)(3)()a n a a n +=++，解得：3n a =，即：||3QF a =，又∵1||||3BF AF a ==，∴在Rt BFQ △中，22||||||32BQ BF FQ a =+=∴||32||232QF a BQ a ==故答案为：22.16.1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭由题，()e ln ln 0x g x a x a =-+≥在()0,∞+上恒成立，即ln ln e ln e ln x a x x a x +++≥+在()0,∞+上恒成立，设()e x f x x =+，则(ln )(ln )f x a f x +≥，因为()f x 为增函数，所以ln ln x a x +≥，即ln ln a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，设()ln h x x x =-，()0,x ∈+∞，因为()1xh x x'-=，所以()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(1)1h x h ≤=-，所以ln 1a ≥-，即1ea ≥.故答案为：1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.17.(1)π3A =(2)3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦（1）选①2cos cos c b Ba A -=，所以2sin sin cos sin cos C B B A A-=，所以2sin cos sin cos sin cos C A B A A B -=，整理得2sin cos sin cos sin cos sin()sin C A B A A B A B C =+=+=.因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =.因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3A =.选②因为2cos 2a C c b +=，所以()2sin cos sin 2sin 2sin A C C B A C +==+，所以2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C A C A C +=+，整理得sin 2cos sin C A C =.因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =，因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3A =.选③因为1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=，所以sin sin cos sin sin cos 3sin cos A A C C A A B A +=，所以sin (sin cos sin cos )3sin cos A A C C A B A +=，整理得sin sin 3sin cos A B B A =.因为sin 0B ≠，所以sin 3cos A A =.因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 3A =，π3A =.（2）因为π3A =，所以()13cos cos cos cos cos sin sin 226πB C B B A B B B ⎛⎫+=-+=+=+ ⎪⎝⎭.因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2π0,32πC B ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3sin ,162B ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故3cos cos ,12B C ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦.18.1．(1)2n n a =，3n b n=(2)()13326n n H n +=-⨯+（1）当1n =时，211222a S ==-=；当2n ≥时，11(21)(21)2n n nn n n a S S +-=-=---=，当1n =时也符合，所以2n n a =.由题意2222226b a =+=+=，32439b =++=，设等差数列{}n b 的公差为d ，则323d b b =-=，123b b d =-=，故1(1)3n b b n d n =+-=.综上2n n a =，3n b n=（2）由（1）知：32nn n a b n =⋅，∵11223311n n n n nH a b a b a b a b a b --=+++++ ∴()123132629231232n nn H n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ①()2341232629231232n n n H n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②∴-①②得：123113(22222)32n n n n H n -+-=⨯+++++-⨯ 即：()()1111112233232232332612n n n n n n H n n n +++++--=⨯-⨯=⨯--⨯=-⨯--，∴()13326n n H n +=-⨯+.19.(1)存在，理由见解析(2)34（1）解：存在，当E 为AC 的中点时，AD ∥平面11B C E ，理由如下：如图所示：取11B C 的中点F ，连接EF ，DF ，∵DF 是111A B C △的中位线，∴111111//,22DF AC DF AC =，又111111//,22AE AC AE AC =，∴//,DF AE DF AE =，∴四边形DFEA 是平行四边形，∴AD ∥EF ，又AD ⊄面11B C E ，EF ⊂面11B C E ，∴AD ∥平面11B C E ．（2）∵四边形11ABB A 是矩形，∴111A B AA ⊥，11AB A B ∥，又∵平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，∴11A B ⊥面11A ACC ，∵111111*********3326B A DC A A DCD A AC AA C V V V S A B A B ---===⋅⨯==△，∴116A B =，∵侧面11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒，∴1A AC △是正三角形，∵E 是AC 的中点，∴1A E AC ⊥，以1A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,0,0A ，()10,2,0C ，()0,0,3D ，(3,1,0)C ，则()10,2,3C D =-，()13,1,0C C =- ，设平面1C DC 的一个法向量为(),,m x y z =，由1100m C D m C C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得23030y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则3y =，233z =，∴21,3,33m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又平面11AC D 的一个法向量()1,0,0n =r，∴3cos ,4m n = ，∴平面11AC D 与平面1CC D 的夹角的余弦值是34.20（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为32001205⨯=人，没使用过政府消费券的人数为32006010⨯=人，完成表格如下：使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45岁及以下903012045岁以上503080总计14060200由列联表可知()2220090305030 3.5711406080120K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为3.571＞2.706，所以有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关.（2）由题意可知，从45岁及以下的市民中采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民6人∵X 是使用过政府消费券的人数，∴X ＝1，2，3，()126238C C 31C 28P X ===，()216238C C C 15128P X ===，()3638C 53C 14P X ===，故随机变量X 的概率分布列为：X123P3281528514其期望为3155639123282814284⨯+⨯+⨯==.21.(1)2214x y +=(2)32,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以222b b c a =+=，即2a b =，又因为直线3460x y ++=与圆222()x y b a +-=相切，所以224634b a +=+结合2a b =解得2,1a b ==，所以椭圆22:14x C y +=.（2）(i)若1l 垂直于x 轴，则2l 与x 轴重合，由22143x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得12y =±，所以1AB =，又因为124,22ACBD CD a S AB CD ==∴==同理2l 垂直于x 轴，则1l 与x 轴重合时1,4,2ACBD CD AB S ==∴=.(ii)若12,l l 都不与x 轴平行或垂直，设直线()()11122:3(0),,,,l x my m A x y B x y =+≠，22143x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()2242310m y my ++-=1l 与椭圆C 相交于,A B 两点，()2Δ1610,m m ∴=+>∴∈R 则12212223414m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，()221212122222234444144m y y y y y y m m m m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝+-=+-=⎭=+()221224114m AB m y y m +∴=+-=+12l l ⊥∴ 当0m ≠时，直线21:3l x y m=-+，将()22414m AB m +=+的m 替换为1m-可得()224114mCD m +=+，()()()22422281192124174414ACBDm m S AB CD m m m m +⎛⎫∴=⋅==- ⎪++++⎝⎭229214417m m ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪++⎝⎭，因为2222444248m m m m +≥⋅=，所以2293221425417m m ⎛⎫⎪-≥ ⎪ ⎪++⎝⎭，当且仅当2244=m m ，即1m =±时“=”成立，32225ACBD S ∴≤<综上32225ACBD S ∴≤≤所以四边形ACBD 的面积的取值范围为32,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.(1)答案见解析(2)41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭由2()2(1)e x f x a x x =--可得()()2e 1xf x x a '=-，当0a 时，e 10x a -<，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，从而()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞；当0a >时，由()0f x '=得，10x =，21lnx a=，①若1ln 0a=，即1a =时，()0f x '恒成立，故()f x 在R 上单调递增：②若1ln 0a <，即1a >时，由()0f x '>可得，1ln x a<或0x >．令()0f x '<可得1ln0x a<<，此时()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调递减区间为1ln ,0a ⎛⎫⎪⎝⎭；③若1ln0a >，即01a <<时，由()0f x '>可得，0x <或1ln x a>，令()0f x '<可得10lnx a<<，此时()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，当0a 时，()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞；当1a =时，()f x 在R 上单调递增；当1a >时，()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调递减区间为1ln ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a <<时，()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）不等式2(1)ln 3f x x x x +>---，可得12e ln 20x ax x x +--+>对0x >恒成立，即ln 22e e x x x a x +->对任意的0x >恒成立，令ln 2()(0)e xx x g x x x +-=>，则22211e (1)e (ln 2)(1)(3ln )()e e xx x xx x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-++- ⎪+--⎝⎭'==，令()3ln h x x x =--，则1()10h x x'=--<，则()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)20h =>，故()0h x =在(0,)+∞上有唯一的实根，不妨设该实根为0x ，故当()00,x x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，故()000max 00ln 2()e x x x g x g x x +-==，又因为003ln 0x x --=，所以00ln 3x x +=，00ln 3e e x x -=，030e e x x =，所以()000030ln 21e ex x x g x x +-==，由题意知312e e a >，解得412e a >，故a 的取值范围为41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．另解：（2）由不等式2(1)ln 3f x x x x +>---，可得12e ln 20x ax x x +--+>对0x >恒成立，即ln 22e e x x x a x +->，()ln e 22e ex x x a x ->对任意的0x >恒成立，令e 0x t x =>，ln 2()(0)t g t t t-=>，则23ln ()t g t t '-=，故当()30,e t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当()3e ,t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减，故()3max 31()e e g t g ==，由题意知312e e a >，解得412e a >，故a 的取值范围为41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查导数的应用，单调性的判定主要利用导数的符号来判定，注意分类讨论的不重不漏，参数范围的求解一般利用分离参数法来进行，借助导数求解新函数的最值.。
梅河口市第五中学2020届高三数学第五次模拟考试试题理含解析
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目的三视图作出几何体的直观图,然后计算即可求解。
【详解】由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；
则该组合体的体积为V=V柱+V锥=π 32 6 π 32 3=63π。
故选：C
【点睛】本题考查几何体的三视图,属于简单题.
【答案】 。
【解析】
【分析】
利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【详解】因为 ， ， ，又 ，
所以 ，化为 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力，属于基础题.
15. 若 ，则 _____。
11. 在矩形ABCD中， , ，沿矩形对角线BD将 折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论:①在四面体ABCD中，当 时， ；②四面体ABCD的体积的最大值为 ;③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为 ；④四面体ABCD的外接球的体积为定值。其中所有正确结论的编号为( )
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 ， ，则 ( ）
A。（﹣∞,2）B.（﹣1，0]C.（﹣1,2）D.(﹣1,0）
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据对数与二次不等式的运算求解集合 ，进而求得 即可。
【点睛】本题主要考查了指数、对数值的大小比较,熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键，属于基础题.
吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试卷(解析版)
高三数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（）{}{}202,0A x xB x x x =≤≤=->A.或 B.或{1x x ≤x >2}{0x x <}12x <<C.D.{}12x x ≤<{}12x x <≤【答案】A 【解析】【分析】由题可知图中的阴影部分表示，再根据交集，并集和补集的定义即可得解.()A B A B ð【详解】由题可知图中的阴影部分表示，()A B A B ð或，{}{201B x x x x x =->=>}0x <则，{}R,12A B A B x x ⋃=⋂=<≤所以或. ()A B A B ⋃⋂=ð{1x x ≤x >2}故选：A. 2.函数的部分图象大致为（）()24cos 12xf x x x =+A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.【详解】由题可知，的定义域为， ()f x {}0xx ≠∣又因为， 224cos()4cos ()()11()22x x f x f x x x x x --===-+⋅-+所以，为偶函数． ()f x 当时，，当时，，当时，.π02x <<()0f x >π3π22x <<()0f x <3π5π22x <<()0f x >故选：C ．3. 椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形()222210+=>>x y a b a b1F 2F 12F F 的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.124-1【答案】D 【解析】【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A ，B ，易得，，12AF AB BF c ===1290F AF ∠=︒由此建立a ，c 的齐次式，进而可得结果.【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A ，B ， 易得，，12AF AB BF c ===1290F AF ∠=︒∴，∴，2AF=)1212AF AF c a +==∴， 1c e a===-故选：D.4. 已知的一段图象如图所示，则（ ）()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><A. ()324f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 的图象的一个对称中心为 ()f x ,08π⎛⎫⎪⎭C. 的单调递增区间是 ()f x 5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. 函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 ()f x 58π【答案】C 【解析】【分析】首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断A ，再根据正弦函数的性质一一判断即可； 【详解】解：由图可知，，所以，解得，所以1A =32882T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2T ππω==2ω=，又函数过点，即，所以()()sin 2f x x ϕ=+3,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭13388sin 2f ππϕ⎡⎤⎛⎫=⨯+= ⎛⎫-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，解得，因为，所以，所以2,2328k k Z πϕππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝-+∈⎭52,4k k Z πϕπ=+∈ϕπ<34πϕ=-，故A 错误； ()3sin 24f x x π⎛=-⎫⎪⎝⎭因为，所以函数关于对称，故B 错误； 23sin 88412sin f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= =⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-=-⎭8x π=令，解得，故函数的单调递增区间3222,242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈为，故C 正确； 5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦将函数的图象向左平移个单位得为偶函数，()f x 58π5sin 2cos 248i 23s n 2y x x x πππ⎤⎛⎡⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎫=+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦故D 错误； 故选：C5. 用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（ ）A.B.C.D.π4π【答案】A 【解析】【分析】通过圆锥侧面展开图的两种情况①侧面展开图最大为半径为2的半圆，②侧面展开图最大为半径为的四分之一圆，计算比较即可.【详解】根据题意有两种方式可以得到这样的几何体，方式一：如图①，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为2的半圆，因此一个圆锥的底面半径为1，母线长为2所以两个圆锥体积的最大值为． 112π13V =⨯⨯=方式二：如图②，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为的四分之一圆，，母线长为，所以两个圆锥体积的最大值为． 2212ππ3V =⨯⨯=，12V V =>=故选：A ． 6. 若，则的大小关系为（ ） 112025sin ,cos ,tan 202520252025a b c ===︒,,a b c A. B.C.D.a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>【答案】D 【解析】【分析】结合结论若，则，证明，由此可得，再证明，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin tan ααα<<1>aba b >1a c <=由此可得结论. 【详解】若，则，且， π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin tan ααα<<112025sin 0,cos 020252025a b =>=>所以， 1sin11202520252025tan 20251120252025cos2025a b ==>⨯=所以， a b >因为，， 112025sin 2025120252025<⨯=tan 2025tan 451︒=︒=所以， c a >所以， c a b >>故选：D ．7. 元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（ ）A.B.C.D.12357161116【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到摘取的次数为次，结合独立重复实验的概率计算公式，即可求解. 2,3,4【详解】根据题意，直至某一串灯笼被摘完为止，可得摘取的次数为次， 2,3,4结合独立重复实验的概率计算公式，可得：当两次摘完时，可得概率为；21124⎛⎫= ⎪⎝⎭当三次摘完时，可得概率为；31211C 24⎛⎫= ⎪⎝⎭当四次摘完时，可得概率为，则. 41313C 216⎛⎫= ⎪⎝⎭11311441616P =++=故选：D.8. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字()2,3,11n n = n r 的概率记为，则下列结论正确的是（ ）()2,3,10n n = n p①，②，③，④． 934r =1n n r r +>52489p =910p p >A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④【答案】A 【解析】【分析】根据题意分析，不难得到，按照规律写出各项，即可判断①，231,2,r r ==()113n n n r r r n +-=+≥②正确；对于③，结合树状图，考虑对立事件所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得，同法求出即可判断.910p p ,【详解】由题意可知，231,2,r r ==()113n n n r r r n +-=+≥则，， 456783,5,8,13,21r r r r r =====99101134,34,55,89r r r r ====则①正确；显然，故②正确；1n n r r +>因为，经过数字5的路线共有条.1189r =51365⨯=理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条， 利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有条. 51365⨯=则，故③正确； 58965248989p -==同理可得即有，故④错误.91089342218955134,,89898989p p -⨯-⨯====910p p <故选:A ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数，则（ ） ()π2024sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A. 的图象关于直线对称 ()f x π6x =B. 的图象关于点对称 ()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭C. 在区间上单调递减 ()f x ππ,66⎛⎫-⎪⎝⎭D. 在区间的值域为 ()f x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]2024,2024-【答案】ABD 【解析】【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为， ()π2024sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭选项A ：，所以的图象关于直线对称，A ππππ2024sin 22024sin 20246662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π6x =说法正确； 选项B ：，所以的图象关于点对称，B 说5π5ππ2024sin 22024sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭法正确；选项C ：当时，，因为在单调递增，所以在区间ππ66x -<<πππ2662x -<+<sin y x =ππ,62⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 上单调递增，C 说法错误； ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭选项D ：当时，，因为在的值域为， ππ32x -≤≤ππ7π2266x -≤+≤sin y x =π7π,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,1-所以在区间的值域为，D 说法正确； ()f x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]2024,2024-故选：ABD10. 已知点为抛物线的焦点，为上不重合的两个动点，为坐标()()0,0,M m m F ≠2:4C y x =,N Q C O 原点，若直线（直线斜率存在且不为0）与仅有唯一交点，则（ ） MN MN C N A. 的准线方程为C 1x =-B. 若线段与的交点恰好为中点，则MF C MF m =±C. 直线与直线垂直 MN MFD. 若，则3QF =OQ =【答案】ABC 【解析】【分析】根据抛物线准线的定义即可判断A ；求出线段的中点坐标，代入抛物线方程，即可判断B ；MF 设直线的方程为，联立方程，根据，结合直线的斜率公式即可判断C ；根MN ()0y kx m m =+≠0∆=据焦半径公式即可判断D.【详解】对于A ，由抛物线抛物线，得的准线方程为，故A 正确；2:4C y x =C 1x =-对于B ，，则线段的中点坐标为，则，解得B 正确；F (1,0)MF 1,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭224m=m =±对于C ，设直线的方程为，MN ()0y kx m m =+≠联立，消得，则，所以，24y kx m y x=+⎧⎨=⎩x 204k y y m -+=Δ10km =-=1km =则，所以直线与直线垂直，故C 正确； 1MF MN k k m k ⋅=-⋅=-MN MF 对于D ，设，则，所以， ()00,Q x y 013QF x =+=02x =所以，所以，故D 错误.208y =OQ ==故选：ABC.11. 如图所示的曲线被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（ΓO 为坐标原点）动点到点的距离满足：，则（ ） P ()()121,0,1,0F F -2121214PF PF F F =A.|OP |B. 若是曲线上一点，且在第一象限，则()00,x y 00y >C. 与有1个交点 Γtan y x =D. 面积的最大值是 1OPF 14【答案】ACD 【解析】【分析】根据对称性可知运动到轴上时，此时最大，即可求解A ，根据特殊位置法即可求解B ，P x |OP |利用与的交点，即可结合，求解C ，利用判别式可得，即可求解D. y x =Γπ0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan x x >12y ≤【详解】由双纽线的对称性可知：当运动到轴上时，此时最大，不妨设此时在轴的正半轴P x |OP |P x 上，设此时， OP t =由，得，解得，故A 正确， 21212114PF PF F F ==()()111t t +-=t =|OP |设，令，解得，而此时P (x,y )1=1x =1=22y =-，不满足，故B 错误，222x =y >与，解得，1=y x =1=0x =故直线与曲线只有一个交点，而，，由A 易知双纽线中， y x =Γπ0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan x x >x ⎡∈⎣根据对称性，只需研究上与的交点情况，显然只有原点这1个交点，C 正确， x ⎡∈⎣Γtan y x =对于D 可得， 1=()422242220x y x y y +-++=令，则，该方程有实数根，故，2x t =()22242220t y t y y +-++=()()2224Δ22420y y y =--+≥解得，故， 214y ≤12y ≤，故D 正确， 11111112224OPF P P P S OF y y y ==⨯=≤ 故选：ACD与的交点，结合，1=y x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可判断与的交点，由二次型方程的根，利用判别式tan x x >Γtan y x =()22242220t y t y y +-++=可求解最大的纵坐标.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，若，22(0)y px p =>F F A B 3AF =，则___________．2BF =p =【答案】## 1252.4【解析】【分析】设，，根据抛物的定义表示出，，再根据三角形相似得到，即A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)1x 2x 21121294y x y x ==可求出.p 【详解】设，，抛物线的焦点为，准线为，A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)22(0)y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭2px =-因为，，根据抛物线的定义可得，，3AF =2BF =132p x =-222px =-过点作轴于点，过点作轴于点， A 1AA x ⊥1A B 1BB x ⊥1B 则，所以， 11AFA BFB ∽1132AA AF BB BF==所以，即，解得．211121222924y px x y px x ===439222p p ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭125=p 故答案为：． 12513. 若曲线在点处的切线与曲线相切，则________． ln y x x =+()1,12(2)1(0)y ax a x a =+++≠a =【答案】 8【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与，消元，根据2(2)1(0)y ax a x a =+++≠计算可得.0∆=【详解】由，所以，则， ln y x x =+1y x x'=+1|2x y ='=所以曲线在点处的切线为，即； ln y x x =+()1,1()121y x -=-21y x =-又与曲线相切，21y x =-2(2)1(0)y ax a x a =+++≠由，可得， 2(2)121y ax a x y x ⎧=+++⎨=-⎩()2200ax ax a ++=≠则，解得或（舍去）， 280a a ∆=-=8a =0a =故答案为：814. 某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目23标的概率为．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互12独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________． 【答案】 6481【解析】【分析】利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案. 【详解】则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为. 32453455552121264C C C 3333381P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭故答案为：. 6481四、解答题： 本题共 5 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知，且．ABC V a =cos sin 2tan b Cb C B-=（1）求角A 的大小；（2）求面积的最大值． ABC V 【答案】（1） π3A =（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用两角和的余弦公式及诱导公式变形可得答案； （2）先利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，进而可得面积的最大值. bc 【小问1详解】，cos cos sin sin b B C b C a B ⎫-==⎪⎭，sin cos cos )sin B C B C A -=，，)sin B C A A +==tan A =，； 0πA << π3A ∴=【小问2详解】由余弦定理可得：， 2222cos a b c bc A =+-即，2212b c bc +-=则，，当且仅当时，等号成立．22122b c bc bc +=+≥12bc ∴≤b c =，11sin 1222S bc A ∴=≤⨯=面积的最大值为ABC ∴ 16. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋2. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若2b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）123()n n a n N -+⋅=⋅∈（2）1(21)3344n n n T +-⋅=+【解析】【分析】（1）由的关系可得，求出，再由的关系，得到，进而根据等比定义,n n a S 1131n n S S ++=+n S ,n n a S n a 求得{a n }的通项公式；（2），由错位相减法可求得{b n }的前n 项和T n ．3nn b n =⋅【小问1详解】,()111122,131,31n n n n n n n S S S S S S S ++++-=++=+=+为首项是3，公比为3的等比数列，，{}1n S +31n n S =-当时，，2n ≥()111313123---=-=---=⋅nn n n n n a S S 当时，，符合上式，1n =112a S ==()123n n a n -+∴=⋅∈N 【小问2详解】2323,3, n n n n n b na n b n ==⋅∴=⋅ ， 231231323333n n n T b b b b n =++++=⋅+⋅+⋅++⋅ ，234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ， 231233333n n n T n +-=++++-⋅ .1(21)3344n n n T +-⋅=+17. 在中，角的对边分别为的面积为，已知. ABC V ,,A B C ,,,a b c ABC S 24cos cos tan Sa B ab A B=+（1）求角；B （2）若的周长为，求的最大值. 3,b ABC =△l Sl【答案】（1）π3（2【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解； (2)由余弦定理及三角形的面积公式得，再由基本不等式进行求解即可. ()3S a c l =+-【小问1详解】 因为， 24cos cos tan Sa B ab A B=+所以， 214si n cos 2cos cos si n ac B Ba B ab AB⨯=+即，2cos cos cos c B a B b A =+由正弦定理，得， ()2sin cos sin cos sin cos sin C B A B B A A B =+=+因为，A B C π+=-所以，2sin cos sin C B C =因为，所以，所以， ()0,C π∈sin 0C ≠1cos 2B =又，所以.()0,B π∈3B π=【小问2详解】由余弦定理，得，即， 2222cos b a c ac B =+-229a c ac =+-所以，即， ()293a c ac =+-()2193ac a c ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦因为，， 1sin 2S ac B ==3l a c =++所以，S l ==所以， ()3S a c l =+-又（当且仅当时取等号），()24a c ac +≤a c =所以（当且仅当时取等号），()2293a c ac =+-≥3a c ==所以（当且仅当时取等号）， 6a c +≤3a c ==所以（当且仅当时取等号），()()363S a c l =+-≤⨯-=3a c==即S l 18. 正四棱柱中，点分别在上，且四点共1111OABC O A B C -OB =,,P Q R 111,,AA BB CC ,,,O P Q R 面.（1）若，记平面与底面的交线为，证明：； OP OR =OPQR l AC ∥l （2）已知，若，求四边形面积的最大值. ,AOP COR ∠α∠β==π4αβ+=OPQR 【答案】（1）证明见解析（2） 2【解析】【分析】（1）连接，利用已知可得四边形是平行四边形，进而可得平面，,AC PR APRC //PR OABC 由线面平行的性质可得；//AC l （2）以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得四边形O 1,,OA OC OO 是平行四边形，进而可得，结合已知计算可求四边形面积的OPQR ·sin OPRQS OP OR POR =∠OPQR 最大值. 【小问1详解】 连接，,AC PR 由正四棱柱，可得，，，又因为1111OABC O A B C -111////OO A C A C AO OC =90PAO RCO ∠=∠=︒，所以由勾股定理可得，OP OR =AP CR =又，所以，所以四边形是平行四边形， 11//AA CC RC AP APRC 所以，又平面，平面，//PR AC AC ⊂OABC PR ⊄OABC 所以平面，又平面平面，平面平面， //PR OABC //OPQR OABC OPQR ⋂OABC l =所以，所以；//PR l //AC l 【小问2详解】以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， O 1,,OA OC OO因为，又底面是正方形，所以，OB =OABC 1OA OC ==又，所以，,AOP COR ∠α∠β==tan ,tan AP CR αβ==所以，(1,0,tan ),(0,1,tan ),(0,0,0)P R O αβ所以，(1,0,tan ),(0,1,tan )OP OR αβ==所以，(1,0,tan )(0,1,tan )1001tan tan tan tan OP OR αβαβαβ==⨯+⨯+=||||OP OR ==== 由正四棱柱，可得平在面， 1111OABC O A B C -11//OCC O 11ABB A 又四点共面，过有唯一平面，,,,O P Q R ,,,O P Q R OPQR 又平面平面，平面平面， OPQR ⋂11O OR OCC =OPQR ⋂11A PQ ABB =所以，同理可得，所以四边形是平行四边形，//OR PQ //OP QR OPQR 又，所以，π4αβ+=π1tan tan tan()41tan βαββ-=-=+所以，又， tan tan 1tan tan αβαβ+=-tan 0,tan 0αβ≥≥所以，解得，1tan tan αβ≤-0tan tan 1αβ≤≤-所以|||sin |||||OPRQ OP OR POR OP OR S ∠========，==≤所以四边形.OPQR 19. 在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一p 个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最12p 终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由2p 21122p p =+1p =一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两p 12个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得p 2(1)p -到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系211(1)2p p ⎡⎤=--⎣⎦0p =的点处，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个()()*,0P n n ∈Np*1p *-单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉()0,0n p (),0P n 入陷阱的概率．（1）若这个人开始时位于点处，且． ()1,0P 13p *=（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率； （ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率； ()1101p p <<（ⅲ）已知，若，求； ()*111233n n n p p p n -+=+∈N 01p =n p （2）已知是关于的连续函数．1p p *（ⅰ）分别写出当和时，的值（直接写出即可，不必说明理由）； 0p *=1p *=1p （ⅱ）求关于的表达式．1p p *【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）1072431212nn p ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）（ⅰ）当时，；当时，；（ⅱ） *0p =10p =*1p =11p =***1*1,01211,12p p p p p ⎧≤<⎪⎪-=⎨⎪≤≤⎪⎩【解析】【分析】（1）应用全概率公式分互斥事件计算概率，再根据递推公式构造数列，计算得出等比数列结合累加法得出通项公式；（2）针对定义域分段求解函数表达式. 【小问1详解】（ⅰ）设事件：“这个人在第1步掉入陷阱”，事件：“这个人在第3步掉入陷阱”，事件：“这个人在A B C 第5步掉入陷阱”，则他在5步内掉入陷阱的概率．()()()231211211072333333243p p A p B p C ⎛⎫⎛⎫=++=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ⅱ）他从开始，最终掉入陷阱的概率为，则这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱， (1,0)1p 若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由先到达处， (2,0)(1,0)而这个概率和他从开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以， (1,0)2111233p p =+由此可得（舍去）或． 11p =112p =（ⅲ）由（ⅱ）可知，， 112p =方法一：由，得，111233n n n p p p -+=+()1112n n n n p p p p +--=-所以是以为首项，为公比的等比数列，{}1n n p p --1012p p -=-12则．11111222n nn n p p --⎛⎫⎛⎫-=-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则 1022111,21,21,2n n n p p p p p p -⎧-=-⎪⎪⎪⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎩累加得，所以． 011122111212n nn p p ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-=- ⎪⎝⎭-12n n p ⎛⎫= ⎪⎝⎭方法二：由，得，即111233n n n p p p -+=+111101111,02222n n n n n n p p p p p p p p +-+-=--=-=， 112n n p p +=所以是以为首项，为公比的等比数列，所以．{}n p 112p =1212nn p ⎛⎫= ⎪⎝⎭【小问2详解】（ⅰ）由题意得，当时，；当时，．*0p =10p =*1p =11p =（ⅱ）这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱，若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由先到达处， (2,0)(1,0)而这个概率和他从开始，最终掉入陷阱的概率相同，(1,0)所以，即，得或． ()**2111p p p p =+-()()**11110p p p p ⎡⎤---=⎣⎦()**1*11p p p p=≠-11p =因为是关于的连续函数，所以当时，， 1p *p *10,2p ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭*1*1p p p =-当时，．*1,12p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11p =所以 ***1*1,0,1211, 1.2p p p p p ⎧≤<⎪⎪-=⎨⎪≤≤⎪⎩【点睛】关键点点睛：根据递推公式构造数列，计算得出等比数列，结合累加法得出通项公式.。