代数式求值的十种常用方法

代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型.它除了按常规直接代入求值外，还要根据其形式多样，思路多变的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，本文结合近几年各地市的中考试题，介绍十种常用的求值方法，以供参考。

一、利用非负数的性质

若已知条件是几个非负数的和的形式，则可利用"若几个非负数的和为零，则每个非负数都应为零”来确泄字母的值，再代入求值。目前，经常出现的非负数有lai，a2,需等。

例1若TTW和I8b-3I互为相反数，贝IJ丄「-27= ___________ o

' ab丿

____ 1 q 解：由题意知，VT石+I8b-3I=O，则l-3a=0 且8b-3 = 0,解得a = b =—

3 8 因为ab = lx- = l> 所以（丄「-27 = 8—27 = 37,故填37。

3 8 8 lab丿

练习：（2010年深圳市）若（a_2）2 + lb + 3l=0,则（a + b）2007的值是（）

A.O

B. 1

C.-l

D. 2007

提不：a = 2? b = —3，选Co

二.化简代入法

化简代入法是指先把所求的代数式进行化简，然后再代入求值，这是代数式求值中最常见、最基本的方法。

例2 先化简，再求值：(a2b —2ab2 -b')^-b —(a + bXa —b)* 其1= b

=—1 °

2 解：原式=a? -2ab-b2 -(a2 -b2)=a2 -2ab-b2 -a2 + b2 =-2ab。

11 a = — > b =—1 时 >

练习：（2009年河北省）已知a = 3，b = —2,求卩+丄］?一-——的值。la b丿+2ab

+ b-

提示：原式=丄。

a + b

当a = 3，b = -2时，原式=1。

三、整体代入法

当单个字母的值不能或不用求岀时，可把已知条件作为一个整体，代入到待求的代数式

中去求值的一种方法。通过整体代入，实现降次、归零、约分的目的，以便快速求得其值。

例3（2010年已知丄+丄=4，则a-%b + b = _______________ o

a b2a + 2

b - 7ab

解：由卜卜4,即a + b = 4ab。

所以原式叮+賈;二(a + b)-3ab

2(a + b)-7ab

4ab 一 3ab ab = ------------ = ---- =]O 8ab-7ab ab 故填1。

练习：代数式3X 2-4X +6的值为9,则X 2--X + 6的值为

3 A.7

B. 18

C. 12

提示：x 2--x = b 选仏

四、赋值求值法

赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法。这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围。

例4请将式子竺二1x （1 +丄j 化简后，再从0, 1, 2三个数中选择一个你喜欢且使 x-1 I x

+ 1 丿

原式有意义的X 的值代入求值。

解：原式=二1）（注1 +丄］

x-1 lx+1 X+1丿

=（X + 1） =X + 2 a

x + 1

依题意，只要XH I 就行，当x=0时，原式x + 2 = 2或当x=2时，原式x + 2=4° 练习：先将式子（i+丄L12;1化简，然后请你自选一个理想的x 值求岀原式的值。

I X 丿 X- 提示：原式=亠。只要XH0和XH-1的任意实数均可求得其值。

X-1

五、倒数法

倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法。

A. 1

B.-l

C. __1

解：由

——取倒数得，

2y 2+3y + 7

空土= 即2y 2+3y = lo

2 所以 4屮 +6y-l = 2（2y 2 +3y ）-l =2xl-l=l*

则可得 --------- 故选A 。

4厂 +6y _]

练习：已知x_丄=4,贝IJ _____ 匚—的值是 __________ o

x" -5x~ +1

is — x 4 -5x 2 +1 1 匕 “ i f 小—+古 1 挂刀I ----- ； -- = x~ + — -5= x -3 = 13 > 绘一。

x 2 x 2 X 丿

D.9

2y 2+3y + 7

的值为丄，则

—— 4

4y ?+6y-l

的值为

六.参数法

若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母。

例6如果2 = 2, b

则『一 ab + b‘的值臬

a 2 +

b 2

A. 4

B. 1

C. 2

D ?2

解：由-=2得, a = 2b o

所以原式』7b + b2=(2b)-(2b)b + b 「

a' +,

(2br+b z

3b 2 3

5b 2 5

故选c 。

练习：若

则a "b

的值是

b 3

A. 1

B. 1

C. 1

D. i 3

提不：设n = 4k ，b = 3k ，选 A *

七、配方法

若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果。

例 7 己知 a? +b 2 +2a-4b + 5=0? 求 2a 2 +4b-3 的值。解：由a 2 +b 2 +2a-4b + 5 = 0*

得(a 2 +2a + l)+(b 2 -4b + 4)=0 ? 即(a +1)2+(b-2)2 =0 ? 由非负数的性质得 a+ 1=0, b-2 = 0,解得 a = -l ，b = 2。所以原式= 2a? +4b-3 = 2x(-l)2 + 4x2-3 = 7 o

练习：*「a + 2b + 3c = 12，^a 2 +b 2 +c 2 =ab + bc + ca * 则a + b ，+c'= -------------------- c 提不：a = b=c = 2‘ 境 14° 八. 平方法

在直接求值比较困难时，有时也可先求岀其平方值，再求平方值的平方根(即以退为进的策略)，但要注意最后结果的符号。

例8已知x + y = 7且xy=12?则当xvy 时,

又因为xvy,所以丄一丄＞0,

x y

所以

9 J / \ y-x

I w

解：因为x + y = 7,xy =12,

(x - y)2 (x + y)，-4xy _亍-4xl2_ 1 xV _ 123-"144 丄一丄的值等于 _____

x y

所以丄-丄=丄，故填丄。

x y 12 2

练习：已知x +丄=3,则x 一丄的值是__________ 。

X X

提不：lx—丄l=J x +丄)_4 =石，填土頁。

九、特殊值法

有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行讣算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单。

例9 若(72 -x)3 =a0 4-a!X + a2x2 +a3x3，则(a° +a2)2 -(a】+a3)2的值为 -------------- 。

解：由(>/2 -x)3 =a0 +ajX + a2x2 +a3x3知，右令x=l，则a0 +a| +a2 +a3 = (Z ；若令x=-l?则a。_a〔+a? _玄3 =(75 + 1『，

所以(a

0 +a2)2 ~(a i +a3)2 =(a0 +a2 +a, +a3X a o +a2 ~a i -a3)=(v2-iy(v2+iy

故填lc

练习：已知实数a, b满足a-b = l，那么J—+ 的值为

a2 +1 b2 +1

1 - 4 D. 2

B. 1

C. 1

可令a = b b = l(緘b. c的取值不惟一)，选C°

十、利用根与系数的关系

如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得英和、积式，再整体代入求值。

例10 (2007年徳阳市)阅读材料：设一元二次方程ax2+bx + c = 0的两根为\，x2, 则两根与方程

系数之间有如下关系：X]+x2=--?X1-x2=-。根据该材料填空：已知X]，

°是方程X?+6X +3= 0的两实数根，则^ + ―的值为.

?X| X,

解：由根与系数的关系得，

X] + X? =~6，x)x2 =3 所以—

时+爲

X] X2 XjX2

=(X』七)二2 过=巳)二= 10。故填10。

练Al： (2009年云南省)已知X1>x?是一元二次方程x—x_2 = o的两个根，则丄+丄

?X. X〉的值是

A. 1

B.丄

D. -1

2 2

提示：丄+丄=冬二11 = 一丄，选6

X] x2 X]X2 2

事实上，以上拄些方法从不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题，解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题。