电动力学考研习题-5

电动力学考研习题-5

一平面线偏振电磁波，由真空正入射到一无限大的理想导体表面，求导体表面外的电磁场和导体单位面积上所受的力．

解 导体表面外的电磁场为入射波场与反射波场的叠加。

设入射电磁波沿z 轴方向传播，电场沿x 铀方向，如下图所示，入射波电磁场为

(

)()

00i kz t i i x i kz t i i y E E e e H E e e ωω--⎧=⎪

⎨=⎪⎩

因为平面波有

=，1

H k E μω

=

⨯

，i r k k k c ω====

理想导体表面反射波是沿负z 沿方向传播，

r i z k k ke =-=-

则

(

)()

00i kz t r r x i kz t r r y E E e e H E e e ωω--⎧=⎪

⎨=⎪⎩

导体面外的场为入射波场与反射波场的叠加，因为理想导体面内的场为0，所以z=0面的边值关系

000i r E E +=即00r i E E =-

导体面外的总场为

()002sin sin ikz ikz i t i r r x i t

r x

E E E E e e e e i E kz t e

e ωωω---=+=-=

()0Re 2sin sin 0r x

E E kz t e z ω=<

类似的，导体面外的总磁场

(

)00

2cos ikz ikz i t i r i x

i t r x H H H e e e e i E kz t e e ωωω--=+=+=

Re 2cos r x H E kz te ω= 上式就是所求的导体表面外的电磁场．结果表明，入射波、反射波叠加后的电磁场在空间、时间上都有2π的相位差，而且在0z =面的两侧H 的切向不连续。导体面两侧磁场切向不连续，这意味着理想导体面上有面电流，根据0z =的边值关系。

()12n H H α=⨯-

可以得到面电流α。式中n 为导体面外法线方向单位矢量，z n e =- ，1H 为导体面内的磁场，而且从10H =，2H 为导体面外侧的磁场。

200cos 2cos i y i x H E te E te εωαω=→= 导体面受的力实际上就是面电流受到磁场的洛伦兹力

0f B H

αμα=⨯=⨯

带入上式得

22002cos i z f E te εω=

时间平均后2

00i z f E e ε=

导体表面受的力f 是压力，实际上就是电磁波对导体表面的辐射压强．

关于导体表面受力(压强)也可以从麦克斯韦应力张量T 得到．电磁场对单位导体表面的

压强

2200220011221122n n n f T n EE E I HH H I n

EE E n HH H n εμεμ⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=⋅=-+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫

=-+- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

因为0n n E H ==，所以

22002cos i z f E te εω=

还可以用电磁场的动量进行汁算．因为电磁波具有动量，当它投射到导体表面时，由

于入射与反射间动量的变化，会对导体面施加辐射压强．电磁波的动量密度

22g S E H c ==⨯

单位时间流入导体表面单位面积的动量为

()

2

02

2

200

11

1i i i i i i z

g E H c E k E c k E E e c c μωμω

μ⎡⎤=⨯=⨯⨯⎢⎥⎣⎦

=

=

出为入射波在理想导体表面完全反射，反射波动量流为(-gc)，入射与反射间总动量变化

为2gc 班，因此导体表面(z ＝0)的辐射压强

22002cos i z f E te εω=

试证明，透入导体表面的电磁波能量等于在导体内传播时消耗的焦耳热。

证 对于良导体，不管电磁波射向表面的入射角如何，透入导体表面的电磁波为

()()()

01

i kz t z d d d d E E e e H k i n E ωττωμ--⎧=⎪

⎨=+⨯⎪⎩

透入导体表面单位面积的平均能流()0z ≡，有上式得

()

()

**0201Re 2

11

Re ()22A d d d d d P S n

E H n k i E n E n k

E τωμωμ=<>⋅=

⨯⋅⎡⎤=-⨯⨯⋅⎢⎥⎣⎦

= 电磁波在导体内单位面积上，沿z 轴方向传播时消耗的平均焦耳热

()20

*02

2002

01Re 21214l c c d d z c d c d P j E dz E dz

E E dz E

e dz E τσσσστ

∞∞

∞

∞

-=⋅==⋅==

⎰⎰⎰⎰

对于良导体k τ==

02l d d k P E P μω

=

=

结果表明，透入导体表面的电磁波能量等于它在其中传播时消耗的焦耳这正是由于焦耳热损耗，透入的电磁波的振幅随传播距离e 指数衰减。

频率为10

310Hz ⨯

的电磁波，在0.7a cm =,0.7b cm =的矩形波导中可能传播那些波形？

解：已知波源频率为10

310f Hz =⨯，根据矩形波导截至频率公式，有

()

2c c f c ωπ===

将a 和b 的数值代入，计算结果如下：

100,1: 2.510c m n f Hz f ===⨯< 101,0: 2.110c m n f Hz f ===⨯< 101,1:

3.310c m n f Hz f ===⨯>

因为TM 的最低波形（模式）为11TM ，现在()11c f f >，所以TM 型波都不可能传播，()10c f 与()01c f 都小于f ，所以可能传播01TE 和10TE 型波。

写出矩形波导中10TE 型波及其管壁电流分布，并说明其特点。 解：10TE 形的电场可以求得