2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 直线、平面平行的判定及性质
模板建构：对于探索问题，书写步骤的格式有两种： 一种是： 第一步，探求出点的位置． 第二步，证明符合要求． 第三步，给出明确答案． 第四步，反思回顾．查看关键点．易错点和答题规范．
另一种是：从结论出发，“要使什么成立”，“只须使 什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法.
解析：A中n与α可能相交，B中n与α可能平行，D中m、 n可能相交，C中m即m、n所在平面与α的交线．
答案：C
3．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命 题为( )
A．若a∥β，α∥β，则a∥α B．若α∥β，a⊂α，则a∥β C．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b
证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共 面． (2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，
解析：A中a可能在α内，C中a、b可能异面，D中a、b可 能异面，B中α∥β，a⊂α，则a与β无公共点，∴a∥β.
答案：B
4．在四面体ABCD中，M、N分别为△ACD和△BCD的 重心，则四面体的四个面中与MN平行的是__________．
解析：∵M、N分别为△ACD与△BCD的重心， ∴MN∥AB.∴MN∥面ABC，MN∥面ABD.
(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥ 平面SAB.(8分)
取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近点A的三等分 点为F，连接CE，EF，BF， 2 2 则EF綊3AD，BC綊3AD，
∴BC綊EF.∴CE∥BF.
又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB， ∴CE∥平面SAB.
∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG， ∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG.
考点三
线面平行中的探索问题
[例3]
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面
ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使 DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请 说明理由．
ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠ 2 BAD＝90° ，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝3.
(1)求四棱锥S－ABCD的体积； (2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．
2 规范解答：(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝ 3 ，SA＝ 2，∴AD＝3.(3分) 由题意知四棱锥S－ABCD的底面为直角梯形， 且SA＝AB＝BC＝2， 1 1 VS－ABCD＝3×SA×2×(BC＋AD)×AB 1 1 10 ＝3×2×2×(2＋3)×2＝ 3 .(6分)
7 时和第三个平面□ 质 定 ____，那么它们的 理 8 □____平行
a∥b
1 答案： □ 外 α；a⊂β；α∩β＝b ∥β；b∥β ＝b
2 3 4 □ l⊄α；a⊂α；a∥l □ 交线 □ a∥ 5 6 □相交 □a⊂α；b⊂α；a∩b＝P；a
7 8 9 □ 相交 □ 交线 □ α∥β；α∩γ＝a；β∩γ
方法点睛 利用判定定理时关键是找平面内与已知直线 平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需 作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或 过已知直线作一平面找其交线.
变式训练1 如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是 矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.
§8.4
直线、平面平行的判定及性质
[高考调研 考纲解读 •以立体几何的定义、公理 和定理为出发点，认识和 理解空间中线面平行、面 面平行的判定定理与有关 性质.
明确考向] 考情分析 •线面平行、面面平行的判 定及性质是命题的热点． •着重考查线线、线面、面 面平行的转化及应用．题 型多为选择题与解答题.
答案：面ABC、面ABD
5．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重 合的平面，现给出六个命题： a∥c ⇒a∥b； ① b∥c ∥β； a∥γ ⇒a∥b； ② b∥γ α∥c ⇒α ③ β∥c
α∥γ ⇒α∥β； ④ β∥γ ∥a.
①
∵△A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，∴PE綊
1 2
A1B1. 1 同理QF綊2AB.
又A1B1綊AB，
∴PE綊QF.
∴四边形PEFQ是平行四边形． ∴PQ∥EF.
②
又PQ⊄平面BCC1B1，EF⊂平面BCC1B1， ∴PQ∥平面BCC1B1. 方法二，如图②，连接AB1，B1C. ∵△AB1C中，P、Q分别是AB1和AC的中点，∴PQ∥ B1C. 又PQ⊄平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1， ∴PQ∥平面BCC1B1.
证明：取PC的中点M，连接ME、MF，则FM∥CD且FM 1 ＝ CD. 2
1 又∵AE∥CD且AE＝2CD， ∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形．
∴AF∥ME，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE， ∴AF∥平面PCE.
考点二
平面与平面平行的判定与性质
[例2]
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分
法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结 论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件， 则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)， 则不存在．
变式训练3 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的 正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内有BE⊥PC于 6 E，且BE＝ 3 a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.
别为所在边的中点． 求证：平面MNP∥平面A1C1B.
证明：连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥ D1C. 又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理，MP∥C1B. 而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在 平面A1C1B内． ∴平面MNP∥平面A1C1B.
方法点睛
2 2
2 2 a －3a
2
在Rt△PBC中，BC2＝CE· CP， a2 ∴CP＝ ＝ 3a. 3 3a EG PE PC－CE 2 又∵CD＝PC＝ PC ，∴EG＝AF＝3a. ∴点F为AB的一个三等分点.
答题模板构建(五) 立体几何中的探索性问题 [试题] (2012· 太原模拟，12分)如图，在四棱锥S－
证明面面平行的方法有：①面面平行的定
义；②面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③利用垂直 于同一条直线的两个平面平行；④两个平面同时平行于第三 个平面，那么这两个平面平行；⑤利用“线线平行”、“线 面平行”、“面面平行”的相互转化．
变式训练2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F， G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
2.平面与平面平行 (1)判定定理： 文字语言 如果一个平面内有两条 判 5 □____的直线都平行 6 □ 图形语言 符号语言
定 于另一个平面，那么这 定 两个平面平行(简记为 理 “线面平行⇒面面平 行”) ⇒α∥β
(2)两平面平行的性质定理： 文字语言 性 如果两平行平面同 9 □ 图形语言 符号语言 ⇒
a∥c ⇒α∥a； ⑤ α∥c
a∥γ ⇒α ⑥ α∥γ
其中所有正确命题的序号是__________．
解析：①三线平行公理； ②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行 或异面； ③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行； ④面面平行传递性； ⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平 面可平行或直线在平面内；
名师微博 ●三种转化 平行关系的转化 平面与平面平行的判定与性质和直线与平面平行的判定 与性质一样，体现了转化与化归的思想．三种平行关系如 图．
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助 平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线 线平行，注意作平面时要有确定平面的依据．
●两个防范 (1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否 则，会出现错误． (2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直 线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行.
⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平 面可平行也可能直线在平面内，故①④正确．
答案：①④
考点一
直线与平面平行的判定与性质
[例1]
如图所示，已知P、Q是正方体ABCD－A1B1C1D1的
面A1B1BA和面ABCD的中心． 证明：PQ∥平面BCC1B1.
证明：方法一，如图①，取B1B中点E，BC中点F，连接 PE、QF、EF，
解析：存在点E，且E为AB的中点． 下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF, B1C1 DF∥
∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1. ∵B1C1与AB1是相交直线， ∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE⊂平面DEF， ∴DE∥平面AB1C1.
方法点睛
解决探索性问题一般要采用执果索因的方
基础自测 1.已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中 ( ) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为 符合条件的直线．
答案：D
2．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是 ( ) A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交 C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
2014高考数学(理)一轮复习总教案：10.4 直线、平面平行的判定及其性质
10。
4直线、平面平行的判定及其性质典例精析题型一面面平行的判定【例1】如图,B为△ACD所在平面外一点，M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心。
（1）求证：平面MNG∥平面ACD;（2）若△ACD是边长为2的正三角形，判断△MNG的形状并求△MGN的面积.【解析】（1）证明：连接BM、BN、BG并延长分别交AC、AD、CD于E、F、H三点.因为M为△ABC的重心，N为△BAD的重心,所以BMME＝错误!＝2.所以MN∥EF，同理MG∥HE。
因为MN⊄平面ACD，MG⊄平面ACD，所以MN∥平面ACD，MG∥平面ACD，因为MN∩MG＝M，所以平面MNG∥平面ACD。
(2）由（1)知,平面MNG∥平面ACD,错误!＝错误!＝2,所以错误!＝错误!＝错误!，因为EH＝错误!AD，EF＝错误!CD,所以错误!＝错误!＝错误!,所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!,又△ACD为正三角形。
所以△MNG为等边三角形，且边长为错误!×2＝错误!,面积S＝错误!×错误!＝错误!。
【点拨】由三角形重心的性质得到等比线段，由此推出线线平行，应用面面平行的判定定理得出面面平行.【变式训练1】如图,ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点,且它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，AE∶EB＝____________.【解析】错误!.设AE＝a，EB＝b，由EF∥AC，得EF＝错误!，同理EH＝错误!。
EF＝EH,所以错误!＝错误!⇒错误!＝错误!。
题型二线面平行的判定【例2】两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M ∈AC，N∈FB且AM＝FN。
求证:MN∥平面BCE。
【证明】方法一：如图一，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连接PQ，则MP∥AB，NQ∥AB.所以MP∥NQ，又AM＝NF，AC＝BF，所以MC＝NB.又∠MCP＝∠NBQ＝45°，所以Rt△MCP≌Rt△NBQ，所以MP＝NQ.故四边形MPQN为平行四边形。
高考数学一轮复习 直线、平面平行的性质定理课件
若平面 内有无数条直线与 平行,则 与 可能相交,不一定平行,所以由不能推
出.故选A.
2.如图,在三棱锥S − ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF//平面ABC,
则( B )
A.EF与BC相交
B.EF//BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
[解析] 因为平面 ∩ 平面 = ,//平面,所以//.
AF = 5,则EG
20
=___.
9
[解析] 因为// , ∩ 平面 = , ⊂ 平面,所以//,
即//,所以
=
=
,则
+
=
×
+
=
×
+
=
.
规律方法
在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,常常将线面平行转化为该线与过该线的
的中点,在线段B1 C1 上是否存在点F,使得平面A1 AF//平面ECC1 ？若存
在,请加以证明;若不存在,请说明理由.
解 存在,当F为线段B1 C1 的中点时,平面A1 AF//平面ECC1 .
理由如下:如图,连接A1 F,AF,
在长方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中,AA1 //CC1 ,AD//B1 C1 .
②
证明 ∵ G为BC的中点,E为PC的中点,∴ GE//BP.
∵ GE ⊄ 平面PAB,BP ⊂ 平面PAB,
∴ GE//平面PAB.
由F为PD的中点,得EF//DC.
∵ AB//DC,∴ EF//AB.
∵ EF ⊄ 平面PAB,AB ⊂ 平面PAB,
∴ EF//平面PAB. ∵ EF ∩ GE = E,
高考数学一轮复习直线平面平行的判定及其性质课件
4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1 与平面AEC的位置关系为________.
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1 的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面 ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案 平行
第4节 直线、平面平行的判定及其性质
考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行 的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形 的平行关系的简单命题.
知识梳理 1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 S△BCM＝12×4× 5＝2 5.所以四面体
N－BCM
的体积
VN－BCM＝13×S△BCM×P2A＝4
3
5 .
角度 2 直线与平面平行性质定理的应用 【例 2－2】 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均
2.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的
()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，
不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
∴BC 綉 AE，
∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点， 又∵F是PC的中点，∴FO∥AP， 又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.
2014届高考第一轮总复习：直线与平面平行的判定课件
4．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边， 且等于第三边长的 一半． 5．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底边，且等 于两底边和的 一半． 6 ．经过直线外一点有 且只有一 行； 条直线与已知直线平
经过直线外一点有 无数 个平面与已知直线平行； 经过平面外一点有 无数 条直线与已知平面平行； 经过平面下一点 且只有一 平面与已知平面平行； 经过两条异面直线中的一条有 且只有一 个平面与另一 条直线平行．
[例 2]
如下图所示，两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF
所在平面相交于 AB，M∈AC，N∈FB，且 AM＝FN.求证：MN
∥平面 BCE.
[分析]
解答本题可先在面 BCE 中找一条线与 MN 平行，
再判定出 MN∥面 BCE.
[证明]
方法一：作 MP∥AB 交 BC 于 P，NQ∥AB 交 BE
[分析]
欲证 MN∥平面 PBC，根据判定定理，关键是在
PM BN 平面 PBC 内找到一条直线与 MN 平行， 而所给条件为MA＝ND， 比例式自然会和平行产生联想，但 PA 与 BD 为异面直线，无 法直接利用此条件，于是想怎样做才能化异为共，使问题得到 解决，很自然的一个想法就是直线 PB 与两异面直线均相交， 且 PB⊂平面 PBC 内，只要在 PB 上取点 E，符合上述比例关 PE PM 系，产生平行线即可解决，于是在 PB 上取 E，使 ＝ ，则 EB MA ME∥AB∥CD，只须再过 N 作 NF∥CD，∴ME∥NF.
思路方法技巧
直线与平面平行的判定定理
学法指导 1.应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利 用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利 用平行线分线段成比例定理．
(文理通用)高三数学一轮复习7.4直线平面平行的判定及其性质课件
【规范解答】(1)选D.由正方体的几何特征,可得AE⊥C1G, 但AE与平面BCC1B1不垂直, 故AE⊥CG不成立; 由于EG∥AC,故A,E,G,C四点共面, 所以AE与CG是异面直线错误; 在四边形AEC1F中,AE=EC1=C1F=AF,但AF与AE不垂直, 故四边形AEC1F是正方形错误; 而AE∥C1F,由线面平行的判定定理,可得AE∥平面BC1F.
【规律方法】有关平行关系判断的技巧 (1)熟悉线面关系的各个定理,无论是单项选择还是含选择项的 填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排 除,再逐步判断其余选项. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形.
【变式训练】已知两条直线a,b,两个平面α,β,则下列结论中 正确的是( ) A.若a⊂β,且α∥β,则a∥α B.若b⊂α,a∥b,则a∥α C.若a∥β,α∥β,则a∥α D.若b∥α,a∥b,则a∥α
【通关锦囊】
【特别提醒】证明线面平行时,要注意说明已知直线不在平面内.
【关注题型】
【通关题组】
1.(2014·宁波模拟)已知直线m,n和平面α,则m∥n的一个必要
不充分条件是( )
A.m∥α,n∥α
B.m⊥α,n⊥α
C.m∥α,n⊂α
D.m,n与α成等角
【解析】选D.对于A,m∥α,n∥α为m∥n的既不充分也不必要条 件;对于B,m⊥α,n⊥α为m∥n的充分不必要条件;对于C, m∥α,n⊂α为m∥n的既不充分也不必要条件;对于D,m,n与α成 等角为m∥n的必要不充分条件,故选D.
【解析】选A.A.因为α∥β,又a⊂β,所以a∥α,故A正确; B.因为b⊂α,a∥b,若a⊂α,则a不可能与α平行,故B错误; C.因为a∥β,α∥β,若a⊂α,则结论不成立,故C错误; D.因为b∥α,a∥b,若a⊂α,则结论不成立,故D错误.
高考数学一轮复习第六章第四讲直线、平面平行的判定与性质课件
【名师点睛】平行关系中的重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则 α∥γ.
(4)垂直于同一平面的两个平面不一定平行，平行于同一直线 的两个平面不一定平行.
∴GH∥B1C1. 又 B1C1∥BC，∴GH∥BC. ∵GH 平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴GH∥平面 ABC.
(2)∵在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点， ∴EF∥BC，A1G BE，
∴四边形 BGA1E 是平行四边形，∴A1E∥BG. ∵A1E 平面 BCHG，BG⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG.同理 EF∥平面 BCHG. 又 A1E∩EF＝E， ∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
(1)求证：EF∥平面β； (2)若 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC＝4， BD＝6，且 AC，BD 所成的角为 60°，求 EF 的 长.
图 6-4-9
(1)证明：①当 AB，CD 在同一平面内时，由平面α∥平面β， 平面α∩平面 ABDC＝AC，平面β∩平面 ABDC＝BD，知 AC∥BD.
图 6-4-1
(1)证明：如图 6-4-2，记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE.
图 6-4-2 因为 O，M 分别为 AC，EF 的中点，四边形 ACEF 是矩形， 所以四边形 AOEM 是平行四边形，所以 AM∥OE.
又因为 OE⊂平面 BDE，AM 平面 BDE，
所以 AM∥平面 BDE.
2.如图 6-4-7，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边 形，M 是 AD 的中点.过点 M 且平行于平面 PCD 的平面交棱 PB于 点 E.求PEEB的值.
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《直线、平面平行的判定与性质》理 新人教B版
[第40讲 直线、平面平行的判定与性质](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是( ) A ．a 平行于α内的所有直线 B ．α内有无数条直线与a 平行C ．直线a 上的点到平面α的距离相等D ．α内存在无数条直线与a 垂直2．[2013·银川一模] 设α，β是两个平面，l ，m 是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是( )A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥βB ．l ⊂α，m ⊂β，且m ∥αC ．l ∥α，m ∥β，且l ∥mD ．l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m 3．[2013·兰州二模] a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α； ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a . 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．② D ．①③④4．[2013·济南二模] 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β能力提升5．[2013·合肥二模] α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是( )A ．α和β都垂直于平面γB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．l ，m 是平面α内的直线，且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，m ∥β，l ∥β6．[2013·贵阳二模] 设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A ，B 分别在α，β内运动时，那么所有的动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A ，B 在两条相交直线上移动时才共面C ．当且仅当A ，B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D ．不论A ，B 如何移动都共面7．[2013·重庆二模] 已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β 表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2 ＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2 8．[2013·沈阳三模] 如图K40－1，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC ∥平面A ′DE ；③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值．A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③K40－1K40－29．如图K40－2，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台10．[2013·武汉三模] 如图K40－3所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CDK40－3K40－411．[2013·广州三模] 如图K40－4所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.12．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α. 13．[2013·天津二模] 如图K40－5所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 为的中点，则与平面PAD 的位置关系是________．14．(10分)[2013·佛山质检] 如图K40－6，三棱锥P －ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，PB ＝BC ＝CA ＝4，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且AF ＝2FP .(1)求证：BE ⊥平面PAC ；(2)求证：CM ∥平面BEF .15．(13分)如图K40－7，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．(1)求证：GH ∥平面CDE ；(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F－ABCD的体积．难点突破16．(12分)[2013·银川二模] 如图K40－8所示，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝2，NB＝1，MB与ND交于P点，点Q在AB上，且BQ＝2 3 .(1)求证：QP∥平面AMD；(2)求七面体ABCDMN的体积．课时作业(四十)【基础热身】1．A [解析] A 错误，a 与α内的直线平行或异面．2．D [解析] 条件A 中，增加l 与m 相交才能判断出α∥β，A 错．由条件B ，C 都有可能得到α与β相交，排除B 和C.选D.3．C [解析] ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．4．A [解析] 选项A 中，如图①，n ∥m ，m ⊥α⇒n ⊥α一定成立，A 正确；选项B 中，如图②，α∥β，m ⊂α，n ⊂β，m 与n 互为异面直线，∴B 不正确；选项C 中，如图③，m ⊥α，m ⊥n ，n ⊂α，∴C 不正确；选项D 中，如图④，m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，但α与β相交，∴D 不正确．【能力提升】5．D [解析] 利用面面平行的判定方法及平行间的转化可知D 正确．6．D [解析] 不论A ，B 如何移动，点C 均在与α，β距离相等的平面内，故选D. 7．D [解析] 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.8．C [解析] ①中由已知可得平面A ′FG ⊥平面ABC ，∴点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC ∥DE ，∴BC ∥平面A ′DE ；③当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′－FED 的体积达到最大．9．D [解析] ∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥B 1C 1，∴B 1C 1∥平面EFGH ，∴B 1C 1∥FG ，∴Ω是棱柱，故选D.10.223a [解析] 如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ，∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC .又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a .11．M ∈线段FH [解析] 连接HNF ∥平面B 1BDD 1知当M 点满足在线段FH 上时，有MN ∥面B 1BDD 1.12．l ⊄α [解析] 线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为l ⊄α.13．平行 [解析] 取PD 的中点F ，连接EF ，AF .在△PCD 中，EF 綊12CD ，又∵AB ∥CD ，且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .14．证明：(1)∵PB ⊥底面ABC ，且AC ⊂底面ABC ，∴AC ⊥PB ， 由∠BCA ＝90°，可得AC ⊥CB ，又∵PB ∩CB ＝B ，∴AC ⊥平面PBC ， ∵BE ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BE ，∵PB ＝BC ，E 为PC 中点，∴BE ⊥PC ， ∵PC ∩AC ＝C ，∴BE ⊥平面PAC.(2)取AF 的中点G ，连接CG ，GM ∵E 为PC 中点，FA ＝2FP ，∴EF ∥CG .∵CG ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，∴CG ∥平面BEF . 同理可证：GM ∥平面BEF .又CG ∩GM ＝G ，∴平面CMG ∥平面BEF . ∵CM ⊂平面CMG ，∴CM ∥平面BEF .15．解：(1)证法一：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥BC . 又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴GH ∥CD . ∵GH ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴GH ∥平面CDE . 证法二：连接EA ，∵四边形ADEF 是正方形， ∴G 是AE 的中点， ∴在△EAB 中，GH ∥AB . 又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD .∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH ∥平面CDE .(2)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，且FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面ABCD .∵AD ＝BC ＝6，∴FA ＝AD ＝6.又∵CD ＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2，∴BD ⊥CD . ∵S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝82，∴V F －ABCD ＝13S ▱ABCD ·FA ＝13×82×6＝16 2.【难点突破】16．解：(1)证明：∵MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ， ∴MD ∥NB ，∴BP PM ＝NB MD ＝12.又QB QA ＝232－23＝12，∴QB QA ＝BPPM.∴在△MAB 中，QP ∥AM .又QP ⊄平面AMD ，AM ⊂平面AMD ，∴QP ∥平面AMD .(2)连接BD ，AC 并交于点O ，则AC ⊥BD . ∵MD ⊥平面ABCD ，∴MD ⊥AC . 又BD ∩MD ＝D ，∴AC ⊥平面MNBD . ∴AO 为四棱锥A －MNBD 的高．又S 四边形MNBD ＝12×(1＋2)×22＝32，∴V A －MNBD ＝13×32×2＝2.又V C －MNBD ＝V A －MNBD ＝2，∴V 七面体ABCDMN ＝2V A －MNBD ＝4.。
2014届高考数学一轮复习学案直线、平面平行的判定及性质
第四节直线、平面平行的判定及性质[知识能否忆起]一、直线与平面平行1．判定定理2．性质定理二、平面与平面平行1．判定定理2．两平面平行的性质定理[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选A对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交且不垂直D．l∥α或l⊂α解析：选D由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α时也成立．4．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．解析：由α∥β可知，a，b的位置关系是平行或异面．答案：平行或异面5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析：如图．连接AC ，BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案：平行1.平行问题的转化关系：线∥线判定 判定性质线∥面――→判定性质面∥面性质 2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．典题导入[例1] (2011·福建高考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．[自主解答] 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC .又因为点E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12AC .又因为在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2 2.所以EF ＝ 2.[答案]2本例条件变为“E 是AD 中点，F ，G ，H ，N 分别是AA 1，A 1D 1，DD 1与D 1C 1的中点，若M 在四边形EFGH 及其内部运动”，则M 满足什么条件时，有MN ∥平面A 1C 1CA .解：如图，∵GN∥平面AA1C1C，EG∥平面AA1C1C，又GN∩EG＝G，∴平面EGN∥平面AA1C1C.∴当M在线段EG上运动时，恒有MN∥平面AA1C1C.由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．以题试法1．(1)(2012·浙江高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选C由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．(2)(2012·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2解析：选D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.典题导入[例2](2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[自主解答] (1)证明：法一：连接AB ′、AC ′，因为点M ，N分别是A ′B 和B ′C ′的中点，所以点M 为AB ′的中点． 又因为点N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′， AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′. 法二：取A ′B ′的中点P .连接MP .而点M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′.所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′.又MP ∩PN ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)法一：连接BN ，由题意得A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16.法二：V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16.由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．以题试法2．(2012·淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BD ，BB 1的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1CD ；(2)求证：EF⊥AD1.解：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D，在平面BB1D内，E，F分别为BD，BB1的中点，∴EF∥B1D.又∵B1D⊂平面A1B1CD.EF⊄平面A1B1CD，∴EF∥平面A1B1CD.(2)∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1.又A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1B1D.∴AD1⊥B1D.又由(1)知，EF∥B1D，∴EF⊥AD1.典题导入B1C1D1是棱长为3的正方体，点E[例3]如图，已知ABCD－A在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.[自主解答](1)在正方形AA1B1B中，∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，∴BG綊A1E.∴四边形A1GBE是平行四边形．∴A1G∥BE.又C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形．∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綊D1F.∴D1F綊EB.故E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF . ∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG . ∴HG ∥FB .∵GH ⊄面FBED 1，FB ⊂面FBED 1，∴GH ∥面BED 1F . 由(1)知A 1G ∥BE ，A 1G ⊄面FBED 1，BE ⊂面FBED 1， ∴A 1G ∥面BED 1F . 且HG ∩A 1G ＝G ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .由题悟法常用的判断面面平行的方法 (1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)； (3)利用线面垂直的性质(l ⊥α，l ⊥β⇒α∥β)．以题试法3．(2012·北京东城二模)如图，矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB ∥NC ，MN ⊥MB .(1)求证：平面AMB ∥平面DNC ； (2)若MC ⊥CB ，求证：BC ⊥AC .证明：(1)因为MB ∥NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ， 所以MB ∥平面DNC .又因为四边形AMND 为矩形，所以MA ∥DN . 又MA ⊄平面DNC ，DN ⊂平面DNC . 所以MA ∥平面DNC .又MA ∩MB ＝M ，且MA ，MB ⊂平面AMB ， 所以平面AMB ∥平面DNC . (2)因为四边形AMND 是矩形， 所以AM ⊥MN .因为平面AMND ⊥平面MBCN ，且平面AMND ∩平面MBCN ＝MN ，所以AM⊥平面MBCN.因为BC⊂平面MBCN，所以AM⊥BC.因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC.因为AC⊂平面AMC，所以BC⊥AC.1．(2013·浙江模拟)已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是() A．若n∥α，则α∥βB．若α⊥β，则m∥nC．若m⊥n，则α∥βD．若α∥β，则m⊥n解析：选D由m⊥α，α∥β，n⊂β⇒m⊥n.2．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则α∥β，b∥α，故排除C.3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：选D由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．4．(2012·浙江模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C 由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.5.(2012·开封模拟)如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B 由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，∴EF ∥面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，∴HG 綊12BD ，∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH 是梯形．6．(2012·山西四校联考)在空间内，设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( )A ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，则l ⊥γB ．l ∥α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥mC ．α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥m ，则l ∥nD ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β解析：选D 对于A ，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B ，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C ，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D ，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 不正确．7．设a ，b 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题： ①若a ∥α，a ∥β，则α∥β；②若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . 上述命题中，所有真命题的序号是________．解析：①错误．因为α与β可能相交；③错误．因为直线a 与b 还可能异面、相交． 答案：②④8．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A .C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8则BD 的长为________．解析：如图1，∵AC ∩BD ＝P ，∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD .∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD . ∴P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD. ∴BD ＝245.如图2，同理可证AB ∥CD .∴P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88. ∴BD ＝24.综上所述，BD ＝245或24.答案：245或249．(2012·浙江模拟)下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)解析：对于①，注意到该正方体的经过直线AB 的侧面与平面MNP 平行，因此直线AB 平行于平面MNP ；对于②，注意到直线AB 和过点A 的一个与平面MNP 平行的平面相交，因此直线AB 与平面MNP 相交；对于③，注意到直线AB 与MP 平行，且直线AB 位于平面MNP 外，因此直线AB 与平面MNP 平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP 相交．综上所述，能得出直线AB 平行于平面MNP 的图形的序号是①③.答案：①③10．(2013·西安模拟)如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE ∥DF ，∠DEF ＝90°.(1)求证：BE ∥平面ADF ；(2)若矩形ABCD 的一边AB ＝3，EF ＝23，则另一边BC 的长为何值时，三棱锥F －BDE 的体积为3？解：(1)证明：过点E 作CD 的平行线交DF 于点M ，连接AM . 因为CE ∥DF ，所以四边形CEMD 是平行四边形．可得EM ＝CD 且EM ∥CD ，于是四边形BEMA 也是平行四边形，所以有BE ∥AM .而AM ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ，所以BE ∥平面ADF .(2)由EF ＝23，EM ＝AB ＝3，得FM ＝3且∠MFE ＝30°.由∠DEF ＝90°可得FD ＝4，从而得DE ＝2.因为BC ⊥CD ，BC ⊥FD ，所以BC ⊥平面CDFE .所以，V F －BDE ＝V B －DEF ＝13S △DEF ×BC . 因为S △DEF ＝12DE ×EF ＝23，V F －BDE ＝3， 所以BC ＝32. 综上当BC ＝32时，三棱锥F －BDE 的体积为 3. 11.如图，在直四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F为AB 的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF 綊CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ∥CF .又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1.∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1，DD 1⊂平面ADD 1A 1，∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1，CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ，∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.12．(2013·潍坊二模)如图，点C 是以AB 为直径的圆上一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝12BC ＝2，AC ＝CD ＝3. (1)证明：EO ∥平面ACD ；(2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE ；(3)求三棱锥E －ABD 的体积．解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，连接OM ，ME .在△ABC 中，O 为AB 的中点，M 为BC 的中点，∴OM ∥AC .在直角梯形BCDE 中，DE ∥BC ，且DE ＝12BC ＝CM ， ∴四边形MCDE 为平行四边形．∴EM ∥DC .∴平面EMO ∥平面ACD ，又∵EO ⊂平面EMO ，∴EO ∥平面ACD .(2)证明：∵C 在以AB 为直径的圆上，∴AC ⊥BC .又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC ＝BC .∴AC ⊥平面BCDE .又∵AC ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCDE .(3)由(2)知AC ⊥平面BCDE .又∵S △BDE ＝12×DE ×CD ＝12×2×3＝3， ∴V E －ABD ＝V A －BDE ＝13×S △BDE ×AC ＝13×3×3＝3.1．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内与过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且经过B 点时，可使a ∥平面α，但这时在平面β内过B 点的所有直线中，不存在与a 平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a 平行的直线．2．(2012·南宁二模)如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC ，平面ABD3．(2012·北京东城区模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．(1)求该多面体的体积与表面积；(2)求证：GN ⊥AC ；(3)当FG ＝GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF 中，AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC ＝a ，所以该多面体的体积为12a 3. 表面积为12a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2.(2)连接DB ，FN ，由四边形ABCD 为正方形，且N 为AC 的中点知B ，N ，D 三点共线，且AC ⊥DN .又∵FD ⊥AD ，FD ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，∴FD ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴FD ⊥AC .又DN ∩FD ＝D ，∴AC ⊥平面FDN .又GN ⊂平面FDN ，∴GN ⊥AC .(3)点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH .∵G 是DF 的中点，∴GH 綊12CD . 又M 是AB 的中点，∴AM 綊12CD . ∴GH ∥AM 且GH ＝AM .∴四边形GHMA 是平行四边形．∴GA ∥MH .∵MH ⊂平面FMC ，GA ⊄平面FMC ，∴GA ∥平面FMC ，即当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .1．已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nB ．l ⊥β，α⊥β⇒l ∥αC ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．α∥β，l ⊥α⇒l ⊥β解析：选D 对于选项A ，m ，n 平行或异面；对于选项B ，可能出现l ⊂α这种情形；对于选项C ，可能出现n ⊂α这种情形．2.如图，三棱柱ABC －A1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?解：法一：如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ，∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，∴OM ⊥底面ABC .又∵EC ＝2FB ，∴OM 綊FB 綊12EC . ∴四边形OMBF 为矩形．∴BM ∥OF .又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF .故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ，∴PQ ∥AE .∵EC ＝2FB ，∴PE 綊BF ，PB ∥EF ，∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF .又PQ ∩PB ＝P ，∴平面PBQ ∥平面AEF ，又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．3．(2012·蚌埠二中质检)如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的角平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连接AB ，设点F 是AB 的中点．(1)求证：DE ⊥平面BCD ；(2)若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B －DEG 的体积．解：(1)证明：∵AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝60°.∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴∠BCD ＝∠ACD ＝30°.∴CD ＝2 3.∵CE ＝4，∠DCE ＝30°，∴DE ＝2.则CD 2＋DE 2＝EC 2.∴∠CDE ＝90°，DE ⊥DC .又∵平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE ⊂平面ACD ，∴DE ⊥平面BCD .(2)∵EF ∥平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BDG ＝BG ，∴EF ∥BG . ∵点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点，∴AE ＝EG ＝CG ＝2.如图，作BH ⊥CD 于H .∵平面BCD ⊥平面ACD ，∴BH ⊥平面ACD .由条件得BH ＝32，S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC ·CD ·sin 30°＝3， ∴三棱锥B －DEG 的体积V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32.。