第六章 抽样与抽样分布
概率论与数理统计 第六章 样本及抽样分布
x0 o.w.
n 1
n5
n 15
15
（2）t-分布（学生分布）
设 X ~ N ( 0 ,1), Y ~ 2 ( n ) 且X、Y为独立随 机变量，则称随机变量
t
X Y /n
X
1 n 2 ( X 12 ...... X n )
为自由度为n的t-分布。记为： t ~ t ( n ) 。
3
§1 随机样本
总体: 研究对象在某项数量指标的全体. 记为X。通常称总体X。 个体: 总体X中的每一个元素（实数）xi。 根据总体所含的个体数分为： 有限总体和无限总体。
4
总体与取样
X1
X
X2 X3 Xn
取样模型
X
X2 X1
X3
X4
X5
河流污染取样
5
总体、样本、统计量
总体 样本 统计量
X1 X2
2 ( n ) 分布:
具有可加性
2 X X 12 ...... X n , X i ~ N (0,1)
3. 4.
t ( n ) 分布:
X ~ N (0,1), Y ~ 2 ( n )
t(n) X Y /n
F ( n1 , n 2 ) 分布: U ~ 2 ( n1 ), V ~ 2 ( n 2 )
F (n1 , n2 )
19
分位点及性质:
定义: Pr[ X z ]
z
(1)标准正态分布分位点
(x)
( x)dx 1 ( x)dx
z
z1
( x)
Pr[ X z ]
抽样与抽样分布
抽样与抽样分布在统计学中，抽样是一种常用的数据收集方法，通过从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。
抽样的目的是通过样本来推断总体的特征和性质。
在进行抽样时，我们需要了解抽样的方法和抽样分布的概念。
一、抽样方法1. 无偏抽样无偏抽样是指所有样本有相同被选中的机会。
这样可以确保样本的代表性，从而减小样本估计值和总体真值之间的误差。
常见的无偏抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
2. 有偏抽样有偏抽样是指样本的选择并不具有相等的机会。
这样可能导致样本的代表性不足，从而产生较大的估计误差。
有时，有偏抽样也可以用于特定的研究目的，但需要明确地说明和分析偏差带来的影响。
二、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量在各个可能样本上的取值分布。
统计量可以是样本均值、样本方差等。
抽样分布的性质对于进行统计推断和假设检验非常重要。
2. 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布在中心极限定理的条件下近似服从正态分布。
中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布都会接近正态分布。
3. 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布在满足一些条件的情况下也近似服从正态分布。
这些条件包括样本容量足够大、总体比例接近0.5以及样本与总体之间的独立性等。
4. 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布不服从正态分布。
通常情况下，样本方差的抽样分布呈右偏态，即偏度大于0。
为了得到样本方差的抽样分布，可以使用抽样分布的近似分布，如卡方分布。
三、应用案例抽样与抽样分布的方法和理论在实际统计学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：1. 调查研究在进行调查研究时，我们经常需要从总体中选择一部分样本进行问卷调查或面访。
通过利用抽样与抽样分布的方法，我们可以将样本的调查结果推广到总体中，从而得到总体的特征和性质。
2. 假设检验假设检验是统计学中常用的推断方法之一。
通过比较样本统计量与假设的总体参数值，我们可以判断假设的合理性。
6教育统计学第六章
n
（3）总体非正态分布条件下平均数的显著性检验
① 当 n≥30 时，尽管总体分布非正态，对于平均数的显 著性检验仍可用Z 检验。
Z
X
0（σ
已知）或
Z
X 0（ σ 未知）
S
n
n
② 当 n＜30 时，若总体分布非正态，对于平均数的显著 性检验不符合近似 Z 检验的条件，严格讲此时也不符合t 检验 的条件。
计算其置信区间：
X t SX （其X 中 t SX
2
2
）
SX
S n
小样本的情况
例如，从某小学二年级随机抽取12名学生，其阅读能 力得分为28、32、36、22、34、30、33、25、31、33、 29、26.试估计该校二年级阅读能力总体平均数95%和 99%的置信区间。
X 29.917 , S 4.100 , X 3.926
三、样本平均数与总体平均数离差统计量的形态
从正态总体中随机抽取样本容量为n的一切可 能样本平均数以总体平均数为中心呈正态分布。
当总体标准差已知时：
Z
X
X
X
n
当总体标准差未知时：
N (0,1)
总体标准差 的无偏估计量为
S (X X )2 n 1
S S X
X 2 ( X )2 / n
抽样分布是统计推断的理论依据。实际中只能抽取一个 随机样本根据一定的概率来推断总体的参数。即使是抽取一 切可能样本，计算出的某种统计量与总体相应参数的真值， 大多也是不相同的，这是由于抽样误差的缘故。抽样误差用 抽样分布的标准差来表示。因此，某种统计量在抽样分布上 的标准差称为该种统计量的标准误。
标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近， 样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠 度越大，所以标准误是统计推断可靠性的指标。
统计学第6章统计量及其抽样分布
整理ppt
16
2. T统计量
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～ (μ,σ2 )
n
的一个样本，
X
1 n
n i 1
Xi
(Xi X )2 s 2 i1
n 1
则 T(X) ~t(n1)
S/ n
称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。
整理ppt
17
F分布
定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服 从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：
整理ppt
8
中心极限定理
设从均值为，方差为2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时， 样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、 方差为σ2/n的正态分布。
当样本容量足够大时
(n≥30)，样本均值的抽样
分布逐渐趋于正态分布
整理ppt
9
标准误差
标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异
1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本 均值的离散程度
因此，估计这100名患者治愈成功的比 例在85%至95%的概率为90.5%
整理ppt
22
6.5 两个样本平均值之差的分布
设
X
1
是独立地抽自总体
X1 ~N(1,12)
的一个容量
为n1的样本的均值。 X 2 是独立地抽自总体
X2 ~N(2,22)的一个容量为n2的样本的均值，则有
E (X 1X 2)E (X 1) E (X 2)12
2. 样本均值的标准误差小于总体标准差
3. 计算公式为
x
n
整理ppt
10
【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总 体中随机抽取容量为n=49的样本。要求：
第六章抽样案例
不再把这个单位重新放回总体，这个总体单位
26
不再继续参加下2次021/抽4/13选。
二、抽样的作用
基本作用：是人们从部分认识整体的关键环节. “你不必吃完整头牛，才知道肉是老的。” 必要性：研究人员难以做到任何研究都进行全面
调查，而抽样误差可以控制到很小，因而抽样调 查成为最常用的研究方法之一。
2.制定抽样框
制定抽样框 依据已经明确界定的总体范围，收集总体中全 部抽样单位的名单，并对名单进行统一编号，从 而建立抽样框。 当抽样是分几个阶段、在几个不同的抽样层次 上进行时，要建立不同的抽样框。
﹠准确的抽样框原则：
1、完整性 2、不重复性
例如： 在城市居民户的抽样中，会经常出现一户有多处住房的
参数值／总体值
——是关于总体中某一变量的综合描述，或者说 是总体中所有元素的某种特征的综合数量表现。 例如：全国妇女平均受教育年限
参数值只有通过总体的每一个元素都进行调查 或测量才到。
统计值／样本值
——是关于调查样本中的某一变量的综合描述。
是从样本中计算出来的 是作为总体值的估计值 例如：从一个样本中得到的妇女平均受教育年限。
普遍调查的特点
工作量大，费时、费力、费钱。 资料准确，适用了解总体的基本情况。 需要高度集中的组织和高度统一的安排。 调查项目不能多，只能了解某一方面必不可
少的基本情况。
二、抽样调查
抽样调查就是从所研究的总体中，按照一定的 方式选取一部分个体进行调查，并将从这部分 个体中所得到的调查结果推广到总体中去。
但是，当总体所含个体数目太多时，采用这种抽样 方式不仅费时多，工作繁杂且费用太高。
此外，这种抽样方法，在构成总体的个体差异不大 时，用之比较有效，而在总体异质性较高时，误差 较大。
统计学 第 6 章 抽样与参数估计
第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k,r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值，样本比例，样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布，也不是样本分布，是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。
社会研究方法 第6章
整群抽样
不同子群
子群抽取
整群抽样
优点：简便易行，节省费用 扩大抽样应用范围
缺点： 样本分布不广， 代表性相对较差
适用对象： 总体的不同子群之间差别不大， 而每个子群内部差异较大
五、多段抽样
按抽样元素的隶属、层级关系把抽样过程分为 几个阶段进行：先从总体中随机抽取几个大群， 然后再从这几个大群内随机抽取几个小群，这 样一级级抽下去直到抽到最基本的元素为止。
第六章 抽样
第一节 抽样的意义与作用 第二节 概率抽样的原理与程序 第三节 概率抽样方法 第四节 户内抽样与PPS抽样 第五节 非概率抽样方法 第六节 样本规模与抽样误差
第一节 抽样意义与作用
一、抽样的概念
（1）总体（population）：构成它的所有元素的 集合，用“ N ”表示。
（2）元素（element):构成总体的最基本单位。
出总体内在结构的变量作为分层变量。 c：以那些已有明显层次区分的变量作为分层变量 （2）分层的比例 a：按比例分层抽样 b：不按比例分层抽样
按比例分层抽样
分层
学生
1200
女生1000 （5/6）
男生200 （1/6）
抽 样(120人）
100人 5/6
样 本 20人 1/6 120
按各种类型或层次中单位数目同总体单位数目间 的比例来抽取子样本的方法。可以确保得到一个 与总体结构完全一样的样本。
样本规模的计算
简单随机抽样中样本规模的计算 置信水平对应的临界值
➢
推论总体均值
：
n
t2
e2
பைடு நூலகம்
2
总体的标准差 允许的抽样误差
推论总体成数：
t 2 p(1 p)
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
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卡方分布性质： ⅰ 卡方分布的值始终为正。
ⅱ 卡方分布的形状取决于n的大小，通常为 不对称的右偏分布，随着自由度的增大趋 向对称。 ⅲ 卡方对应的面积值是指从某一卡方（2） 到正无穷所对应的面积。
（3）卡方分布函数及反函数 ⅰ卡方分布函数【CHIDIST】 它的格式为CHIDIST（2，df）， 2是 值，df是指自由度。
2
n
ⅲ 如果总体不是正态分布，当n为小样本时 （n≤30），样本均值的分布不是正太分布， 这时就不能按正态分布来推断总体均值。 样本均值的抽样分布与总体分布的关系可 用下图来描述。
样本分布与总体分布关系图
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本
小样本
大样本
小样本
样本均值分布 为正态分布
样本均值分布 样本均值分布 为正态分布 为非正态分布
从总体中采取重复抽样方法抽取容量为n=2 的随机样本，写出样本均值x-bar的抽样分布。 第六章 抽样与抽样分布.ppt （2）抽样均值抽样分布的形成过程可以概括 如下：
总体N
容量为n的 所有样本
X-bar的抽样分布
计算出每一 个样本的均值 µ
（3）X-bar抽样分布形式
x-bar的抽样分布与原总体的分布和样本容量 有关。 结论： ⅰ 如果原有总体是正态分布，则无论样本容 量的大小，样本均值的抽样分布都服从正态 分布。 ⅱ 如果原有总体分布是非正态分布，则要看 样本的大小，随着样本容量的增大（n≥30） 不论原有总体是否是正态分布，样本均值的 抽样分布都趋于正态分布，该正态分布的均 值为µ，标准差为
两方差比的分布服从自 位于分子的方差是二者 的方差。
别为 n1 - 1和n2 - 1的F分布，其中
（二）F分布图
（三）F函数及反函数 1、【 FDIST 】函数 其格式为 FDIST（x，df1，df2），其中 x是随机变量F的取值，df1，df2分别为分子 和分母的自由度。 2、 【FINV】函数 其格式为FINV（ａ，df1，df2），其中 ａ是欲查的某一特定值F右侧但尾概率，df1， df2分别为分子和分母的自由度。
（二）两个样本比例之差的抽样分布特征
E( p
1
p )
2 1
2
, 其含义 差。
是两样本比例之差抽布 的平均值等于两抽样之
2 p1-p2
1
（ 1 - 1） 2 （ 1 - 2）
n
1
n
2
其含义是两样本比例抽 分布的方差 .
样
2 p1-p2
1
（ 1 - 1） 2 （ 1 - 2）
样本方差的抽样分布 7 6 5
概率密度
4 3 2 1 0 0.00 0.50 样本方差 2.00 4.50
（2）样本抽样分布的性质（卡方分布）
2
(n 1) s
2
2
i 1
( xi x) 2
n
2
, 服从自由度
为n - 1的卡方分布。
当n=20时，卡方分布分布基本成对称分布
指卡方
ⅱ 卡方分布的反函数【CHIINV】 它的格式为CHIDIINV（ａ，df），ａ是 指从某一卡方值到正无穷大的概率， df是指自由 度。
样本统计量的抽样分布
样本统计量
样本均值
样本比例
样本方差
正态总体或 非正态总体 大样本
非正态总体 （小样本）
大样本
正态分布
非正态分布
正态分布
卡方（2） 分布
（4）样本均值的抽样分布特征 设总体共有N个元素，其均值为μ，方差为 从中抽取容量为n的样本，样本均值的数学期望 （样本均值的均值）为 μ，样本均值的方差为总 体方差的1/n。 样本均值的均值 =μ
2
n
样本的方差值 = n
2
或 s（在总体标准差未知时，以样本方差代替总体方差） n
2
1.0 1.5 ... 3.5 4.5 40 样本均值的均值 2.5 16 16 样本均值的方差
二、三种不同性质的分布 （一）总体分布：总体中各元素的观测值所 形成的相对频数分布，称为总体分布。 （population distribution）。 （二）样本分布：从总体中抽取容量为n的样 本，有这n个观测值形成的相对频数分布， 称为样本分布（sample distribution）。 （三）某个样本统计量的抽样分布：从理论 上说就是在重复选取容量为n的样本时，由 该统计量的所有可能值形成的相对频数分 布。
1、重复抽样 重复抽样：从总体中抽取一个元素后，把这 个元素放回到总体中，再抽取第二个元素，直 至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为重 复抽样（sampling with replacement)。
2、不重复抽样 不重复抽样：一个元素被抽中后不再放回总体， 然后再从所剩的元素中抽取第二个元素，直至 抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为不重 复抽样（sampling without replacement)。
（1）定义：样本比例的抽样分布是指在重复选取容 量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成 的相对频数分布，称为样本比例的抽样分布。 （2）结论 ⅰ结论：当样本容量很大时，样本比例p的抽样分布 可用正态分布近似。 ⅱ 结论：对于一个具体的样本比例p，若np≥5和n （1-p）≥5，就可以认为样本容量足够大。
一、两样本均值之差的抽样分布 （一）两样本均值之差的抽样分布定义：从两个总 体中分别独立地抽取容量为n1和n2的样本，在重 复选取n1和n2的样本时，由两个样本均数之差的 所有可能取值形成的相对频数分布，称为两样本 均值之差的抽样分布。
E ( ) 1 2，其含义 x1 x 2 是两样本均数之差的平均 数等于两总体均数之差。
p的抽样分布均值 π π（ 1 -π ） p（ 1 - p） p的抽样方差值 或 n n （总体率未知时以样本率代替总体率）
3、样本方差的抽样分布
要用样本方差s 去估计总体方差 也必须知
2 2
道样本方差的抽样分布。
（1）定义：在重复选取容量为n的样本时，由样本 方差的所有可能取值形成的相对频数分布，称为 样本方差的抽样分布。
第六章 抽样与抽样分布
第一节 抽样与抽样分布的相关知识 一、简单随机抽样样本 （一）简单随机抽样样本定义 定义6.1.1：从含有N个元素中，抽取n个 元 素作为样本，使得总体中的每一个容量为n 的样本都有相同的机会被抽中这样抽出来 的样本称为简单随机抽样样本。 （二）简单随机抽样样本类型 它有两种类型：重复抽样与不重复抽样
(x )
i 1
16
16
10 1.25 0.625 16 2 n
2
2、样本比例的抽样分布 比例问题适用于研究分类变量。就一个具有 N个元素的总体而言，具有某种属性的元素 个数为N0，具有另一种属性的元素个数为 N1，将具有某种属性的元素个数与总体全 部元素个数之比称为总体比例，用π表示， 则有π=N0／N，而具有另一种属性的元素 个数与总体全部单位数之比为 N1／N=1-π。相应地，样本比例用p表示， 同样有p=n0／n，n1／n=1-p。
2
_
x1 x 2 n1 n2 是两样本均数之差的为
2 1
2 2
，其含义
两样本抽样方差之和。
12
n
2 2
1
n
2
12
n
2 2
1
n
2
μ1-μ2
二、两样本比例之差的抽样分布
（一）两样本比例之差的抽样分布定义：从 两个服从二项分布的总体中，分别独立地 抽取n1和n2的样本，在重复选取容量为n1和 n2的样本时，由两个样本比例之差的所有 可能取值形成的相对频数分布，称为两样 本比例之差的抽样分布。 注：所谓二项分布是指在总体中只存在两种 随机变量的分布。如要么是正品，要么是 次品；要么是正面，要么是反面；要么是 进球，要么是不进球，等等。
可分为样本均数的抽样分布；样本率的抽样 分布；样本标准差的抽样分布。 1、样本均数的抽样分布 定义：在重复选取容量为n的样本时，由样本 均值的所有可能取值形成的相对频数分布， 称为样本均数的抽样分布。 （1）x-bar抽样分布的形成过程 例6.1.1：设一个总体有4个元素，即总体元 素的个数N=4,4个元素的取值分别为：x1=1， x2=2，x3=3，x4=4。
第二节 两个总体参数推断时样本统 计量的抽样分布
在实际问题中，有时研究的是两个总体，即总体1 和总体2，所关心的总体参数主要是两个总体均数 之差μ1—μ2，两个总体比例之差π1—π2，两个总 体的方差比 。相应地，用于推断这些参数的 统计量分别是两个样本均值之差 ，两个样 本比例之差p1—p2，两个样本方差之比 。因此， 此时需要分别研究两个总体参数推断时样本统计 量的抽样分布。包括两个样本均值之差的抽样分 布、比例之差的抽样分布、方差比的抽样分布。
n1n2源自π1-π2三、两样本方差比的抽样分布
（一）两样本方差比的抽样分布定义：从两个正态 总体中分别独立地抽取容量为n1和n2的样本，在 重复抽取容量为n1和n2的样本时，有两个样本比 的所有可能取值形成的相对频数分布，称为两样 本方差比的抽样分布，或称为F分布。
s s
2
1 2 2
F ( n1 - 1，n2 - 1), 其含义是 由度分 中较大