南京、盐城2018届高三一模数学试卷及答案

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试

数学试题

(总分160分，考试时间120分钟)

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题

卡上．参考公式：

柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答

题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A

B = ▲ ．

2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +?为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．

3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．

4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．

5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．

6．若抛物线2

2y px =的焦点与双曲线22

145

x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．时间(单位:分钟) 频率

组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a

0.020

0.010

0.005

第3题图 Read x If 0x > Then ln y x ← Else x y e ← End If Print y 第4题图

7．设函数1

x x

y e a e =+

-的值域为A ，若[0,)A ?+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．

9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，

则2017S 的值为 ▲ ．

11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x

-≤≤??

?-+??，若函数

()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1

x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ． 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的

顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”

处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ?的最大值为 ▲ ．

14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ?都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步

骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)

如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB AC ⊥.

16．(本小题满分14分)

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知5c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ?=?，求cos()4

B π

+的值．

第13题图 A

C A 1

B 1

C 1 M

第15题图

17．(本小题满分14分)

有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截

取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=?的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；

（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

18. (本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的下顶点为B ，点

,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线

段OP 的中点．当点N

运动到点处时，点Q

的坐标为．（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直

线BM 的方程．

第17题

-图甲 F

第17题-图乙

19．(本小题满分16分)

设数列{}n a 满足2

1121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.

（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；

（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ?-对任意的*

n N ∈都成立，求m 的最小值；

（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的

*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.

20．(本小题满分16分)

设函数()ln f x x =，()b

g x ax c x

-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数

12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；

（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于

11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．2

6．6 7．(,2]

-∞

8．3

9．

(0,]

10．4034 11．

[1,)

12．．24 14．100

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，

又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．

所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又

BN ?平面1A MC ，1A M ?平面1A MC ，所以BN ∥面

1A MC ． ……………6分

（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ?侧面11ABB A ，

所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．

又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．

则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，

CM AB ⊥，且CM ?底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ． (8)

分

又1AB ?侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ?平面1A MC ，且1A M

MC M =，

所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分

又1

AC ?平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． ……………14分 16．解：（1）因为52c =，则由正弦定理，得5

sin 2

C B =． ……………2分

又

2C B

=，

所

以

sin 2B B =

，即

4sin cos 5B B B =． ……………4分

又B 是ABC ?的内角，所以sin 0B >，故5

cos B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ?=?，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，

得222222

b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分

从而222

()35cos 25

c c c a c b B ac +-+-===， ……………12分

又0B π<<，所以2

4sin 1cos 5

B B =-=．

从

而

32422

cos()cos cos sin sin 444525210

B B B πππ+=-=?-?=-． ……………14分

17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，

在Rt OET ?中，因为1602EOT EOF ∠=

∠=?，所以2

OT =

，则2R

MT OM OT =-=

．从而2

BE MT ==，即22R BE ==. ……………2分

故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ?=-扇形

2114sin120323R R ππ=-?=……………4分

又所得柱体的高4EG =，

所以V S EG =?

=163

-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积

为163π-. …………………6分

（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积

OEF OEF S S S ?=-

扇形222114sin120(323

R R x π

π=-?=-.

又所得柱体的高62EG x =-，

所以V S EG =?

=328(3)3x x π

--+，其中03x <<. …………………

10分

令3

()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2

()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分

答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. (14)

分

18．解：（1）由N Q ，得直线NQ 的方程

为3

y x =

…………………2分令0x =，得点B 的坐标为(0,．

所以椭圆的方程为22

213

x y a +

=． …………………4分

将点N

的坐标

2213

+=，解得24a =．所以椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=． …………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM

的方程为y kx =

在y kx =-中，令0y =，

得P x =

，而点Q 是线段OP 的中点，所

以Q x =

所以直线BN

的斜率2BN BQ k k k ==

=． ………………10分

联立22143y kx x y ?=??+

=??，消去y

，得22

(34)0k x +-=

，解得M x =．用2k 代k

，得2

316N x k

=+． ..................12分又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． (14)

分

故23=0k >

，解得k =．所以直线BM

的方程为2

y x =-． ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．

由(0,B ，得直线BN 的方程

为1

y x =

-，令0y =，

得P x =

同理，得Q x =．

而

点

Q 是

线

段

的中点，所以

2P Q

x x =，

故

= …………………10分

又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>

解得2143y y =

+ …………………12分

将21212343x x y y ?=??

??=+??

代入到椭圆C

的方程中，得2211(41927x y ++=．又2

14(1)3y x =-

，所以2

14(1)319y -=

21120y +=，解

得1y =（舍）

或1y =．又10x >，所以点M 的坐标

为

(3M ．……………14分

故直线BM

的方程为y x = …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22

()()n n n a a d a d d λ=+-+，

化简得2

(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=?+，解得0λ=，

所以2

11n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以

12n n a -=. ……6分

欲存在[3,7]r ∈，使得1

n m n r -?-，即12n r n m --?对任意*n N ∈都成立，则172n n m --?，所以1

n n m --对任意*

n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222

n n n n n n n n b b +-----=-=，

所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．

所以n b 的最大值为981

128

b b ==，所以m 的最小值为1128. (10)

分

（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T ．

①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以

222

2121222

1221()

()

a a a a a a a a λλ?=+-??=+-??，

所以2

21()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．

所以2T =不合题意. ………………12分

②若3T =，取*

1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-??==-∈??-=?

（*），满足3n n a a +=恒成

立． ………………14分

由22

21321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2

117n n n a a a +-=+．

由2

21(3)7=?-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；

由2

(3)217-=?+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由2

1(3)27=-?+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．

所以，数列（*）适合题意．

所以T 的最小值为3. ………………16分

20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1

()f x x

，所以(1)1f '=，. 当

c =时，

()b g x ax x

，所

以2()b

g x a x

'=-，

所以

(1)g a b '=-. ………………2分

因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，

所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=??=?，即10a b a b -=??+=?，解得121

a b ?=???

?=-??. ………………4分

（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，

则题意可转化为方程3(0)a

ax c t t x

-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根

12,x x ． ………………6分

即关于x 的方程2

()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．

所以2121203()4(3)0

30a c t a a c t x x a a

x x a <

??=+-->?

?+?+=>?

?-=>?

，得203()4(3)0a c t a a c t <-??+>?，

所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分

因为03a <<，所

以2(3a +?=（当且仅当3

=时取等号），

又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3………………10分

（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，

所以11122

2ln ln b x x c x b x x c

x ?

=+-??

??=+-??

，两式相减，得211221

ln ln (1)x x b x x x x -=-

-. ………………12分

要证明122121x x x b x x x -<<-，即证21

1221212121

ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，

即证

212211

ln ln 11

x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. ………………14分

令21x t x =，则1t >，此时即证1

1ln 1t t t

-<<-．令1()ln 1t t t ?=+-，所以22111

()0t t t t t

?-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ?单调递

增．

又(1)0?=，所以1()ln 10t t t

?=+->，即1

1ln t t

-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10t

m t t t

-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调

递减，

又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．

综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分

附加题答案

21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，

因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，

又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，

所以ADE AFE ???，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分

E D

F O · 第21(A)图

（B ）解：设()00,P x y 是圆22

1x y +=上任意一点，则22001x y +=，

设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ??

????=?????

???????

，即002x x y y =??=?，解得0012x x y y

=???=?， ………………5分

代入22

001x y +=，得2214

x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分

（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，

由cos()13π

ρθ+

=，得(cos cos

sin sin )133

ππ

ρθθ-=，

得直线的直角坐标方程为20x --=． ………………5分

曲线r ρ=，即圆222

x y r +=，

所以圆心到直线的距离为1d ==．

因为直线

cos()13

ρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即

1r =. ……………10分

（D

）解：由柯西不等式，得2

22[)][1(

](133

x x ++≥??，即2

224(3)()3

x y x y +≥+．而

2231

x y +=，

所

以

24()3

x y +≤

，所

以

x y ≤+≤ ………………5分

由1x x y ?=?????+=?，

得x y ?=????=??

，所以当且仅

当x y ==时

，max ()x y +=

所以当x y +取最大值时x

的值为2x =. ………………10分

22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直

线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．

则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ?=，

||25AP =，||6BM =．

则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ?<>=

==．故直线AP 与BM 所成角的余弦值为

. ………5分（2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．

设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，

则00

n AB n BM ??=???=??，得2020x y x y z -+=??--+=?，令2x =，得4y =，3z =．

得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．

又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ?=，||29n =，||1OB =．

则cos ,||||29

n OB n OB n OB ?<>=

==.

故平面ABM 与平面PAC ………………10分

23．解：（1）由条件，()0112112r r n n

n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++???++???+ ①，

在①中令1n =，得()01

1111f C C ==． ………………1分

在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． (2)

分

在

①

中

令

3n =，得

()011223

333333332330

f C C C C C C =++=，得

()310f =． ………………3分

（2）猜想()f n =21n

n C -（或()f n =1

21n n C --）． ………………5分

欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n n

n n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++???++???+成立．

方法一：当1n =时，等式显然成立，

当2n 时，因为1

1!!(1)!=

=!()!(1)!()!(1)!()!

r n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --?-=?=-----（），

故1111

1()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．

故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++???++???+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n

C C C C C C C C C ---------=++???++???+． C

第22题图

而11r n r n n C C --+=，故即证0111111

211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++???++???+ ②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边n

x 的系数为21n n C -．

而

右

边

1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n

n n n n n n n C C x C x C x

C C x C x C x ------=+++

+++++，

所以n

x 的系数为0111111

1111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++???++???+．

由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.

综上，()21

n n f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为

1r n r

n n

C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为011

111n n n n n n n

n n C C C C C C -----+++．

另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n

n C -．故

01111

21111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分

方法三：由二项式定理，得0122

(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得1

121

(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=++++

+ ④．

③×④，

得210122

121

(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++

⑤．

左边n x 的系数为21n

n nC -．

右边n

x 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++???++???+

1021112r r n n n n n n n n n n

C C C C rC C nC C --=++???++???+0112112r r n n

n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++???++???+．

由⑤恒成立，可得011211212n r r n n n n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++???++???+．故()21

n f n C -=成立. ………………10分