数学分析16多元函数的极限与连续总练习题

第十六章 多元函数的极限与连续

总练习题

1、设E ⊂R 2是有界闭集，d(E)为E 的直径. 证明：存在P 1,P 2∈E ， 使得ρ(P 1,P 2)=d(E).

证：由d(E)=E

Q ,P sup ∈ρ(P ,Q)知，对εn =n 1, ∃ P n ,Q n ∈E ，使d(E)<ρ(P n ,Q n )+n

1.

{P n },{Q n }均为有界闭集E 中的点列，从而有收敛子列{Pn k },{Qn k }， 记Pn k →P 1, Qn k →P 2，k →∞. ∵ρ(Pn k ,Qn k )≤d(E)<ρ(Pn k ,Qn k )+k

n 1

， 令k →∞得ρ(P 1,P 2)≤d(E)≤ρ(P 1,P 2)，即d(E)=ρ(P 1,P 2). 又∵E 为闭集，∴P 1,P 2∈E ，得证!

2、设f(x,y)=

x y 1

,r=22y x +,k>1，D 1={(x,y)|k

x ≤y ≤kx}, D 2={(x,y)|x>0,y>0}. 分别讨论i=1,2时极限i

D )y ,x (r lim ∈+∞

→f(x,y)是否存在，为什么？

解：1

D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)存在；2

D )y ,x (r lim ∈+∞

→f(x,y)不存在. 理由如下：

(1)当(x,y)∈D 1时，k

k 12

+|x|≤r=22y x +≤2k 1+|x|，

∴由r →+∞可得x →∞，又|f(x,y)|=|x y 1|≤2x

k

→0, x →∞， ∴1

D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)=1

D )y ,x (x lim ∈∞

→f(x,y)=0存在. (2)对y=x k

, 当x>0时，y>0，∴(x,x

k )∈D 2，且 当x →∞时，r=22y x +=22x k x +

→+∞，但f(x,y)=x y 1=k

1，

即极限2

D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)与k 的取值有关，∴2

D )y ,x (r lim ∈+∞

→f(x,y)不存在.

3、设0

y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, 0

x

x lim →ψ(x)= ψ(x 0)=0, 且在(x 0,y 0)附近有 |f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x). 证明

)

y ,x ()y ,x (00lim

→f(x,y)=A.

证：∵0

y y lim →φ(y)=φ(y 0)=A, ∴∀ε>0，∃δ1>0，使得当|y-y 0|<δ1时，就有 |φ(y)-A|<2

ε

；∵0

x x lim →ψ(x)=ψ(x 0)=0, ∴对上述ε>0，∃δ2>0，

使当|x-x 0|<δ2时，就有|ψ(x)|<2

ε

；又在(x 0,y 0)附近有|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)， ∴∃δ=min{δ1,δ2}，使|y-y 0|<δ, |x-x 0|<δ时，|f(x,y)-φ(y)|≤ψ(x)<2

ε， 从而有|f(x,y)- A|≤|f(x,y)-φ(y)|+|φ(y)-A|<2ε+2

ε=ε. ∴)

y ,x ()y ,x (00lim

→f(x,y)=A.

4、设f 在R 2上连续，α是任一实数，E={(x,y)|f(x,y)>α,(x,y)∈R 2}; F={(x,y)|f(x,y)≥α,(x,y)∈R 2}，证明E 是开集，F 是闭集.

证：(1)对任一点(x 0,y 0)∈E ，f(x 0,y 0)-α>0. ∵f 在R 2上连续，由保号性知， 存在P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)，使当(x,y)∈U(P 0)时，f(x,y)-α>0，即 (x,y)∈E, 从而U(P 0)⊂E, ∴E 为开集.

(2)设P 0(x 0,y 0)是F 的任一聚点，则存在F 的互异点列{P n }，使 P n →P 0, n →∞，由f(P n )=f(x n ,y n )≥α, n=1,2,…，且f(x,y)在P 0连续知， f(P 0)=∞

→n lim f(P n )≥α，即P 0∈F ，∴F 为闭集.

5、设f 在有界开集E 上一致连续；证明： (1)可将f 连续延拓到E 的边界；(2)f 在E 上有界. 证：记∂E 为E 的边界，Ē=E ∪∂E ，

若P ∈∂E ，则对任一n ，U(P;n 1)∩E ≠Ø. 任取P n ∈U(P;n

1)∩E ，则 P n →P , n →∞，且P n ∈E(n=1,2,…). 由f 在E 上一致连续可知， ∀ε>0, ∃δ>0，当A,B ∈E 且ρ(A,B)< δ时，|f(A)-f(B)|< ε. 于是

对上述的δ>0，存在N, 当m,n>N 时，ρ(P m ,P n )<δ，从而|f(P m )-f(P n )|<ε. ∴{f(P n )}收敛，即∞

→n lim f(P n )存在.

若P n ,Q n ∈E (n=1,2,…)且∞

→n lim P n )=∞

→n lim Q n =P ，则存在N,使当n>N 时，

ρ(P n ,P)<2δ

且ρ(Q n ,P)<2

δ，从而当n>N 时，ρ(P n ,Q n )≤ρ(P n ,P)+ρ(Q n ,P)<δ， ∴|f(P n )-f(Q n )|<ε，∴∞

→n lim f(P n )=∞

→n lim f(Q n ).

∴对每个P ∈∂E ，存在唯一的实数∞

→n lim f(P n )与之对应. 定义：

F(P)=⎩

⎨⎧∈→∈∂∈∞→E P )P (f P)P ，

E E(P P )P (f lim n n n n ，，则

F 为定义在Ē上的函数. 显然F 是f 到∂E 的一个延拓.

(1)设P 0∈Ē，则P 0∈E 或P 0∈∂E. 当P 0∈E 时，由E 为开集知， 存在U(P 0)⊂E ，于是当P ∈U(P 0)时，F(P)=f(P). ∵f 在P 0连续， 从而0

P P lim →F(P)=0

P P lim →f(P)=f(P 0)=F(P 0)，∴F 在P 0连续.

当P 0∈∂E 时，F(P 0)=∞

→n lim f(P n )，其中{P n }为E 中趋于P 0的点列，

对E 中任一趋于P 0的点列{Q n }，有0

P P lim →F(Q n )=0

P P lim →f(Q n )=0

P P lim →f(P n )=F(P 0)，

由归结原则知存在0

P P lim →F(P)=F(P 0). ∴F 在P 0连续. ∴F 在Ē上连续.

(2)∵Ē是有界闭集，且F 在Ē上连续，从而F 在Ē上有界， ∴F 在E 上有界，又在E 上有F=f ，∴f 在E 上有界.

6、设u=φ(x,y)与v=ψ(x,y)在xy 平面中的点集E 上一致连续； φ与ψ把点集E 映射为uv 平面中的点集D ，f(u,v)在D 上一致连续,