2016年上海市高考数学试卷文科
2016年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为．2．（4分）（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则z的虚部等于．3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．4．（4分）（2016•上海）某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是（米）．5．（4分）（2016•上海）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=．6．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=．7．（4分）（2016•上海）若x，y满足，则x﹣2y的最大值为．8．（4分）（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．9．（4分）（2016•上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．10．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．11．（4分）（2016•上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为．12．（4分）（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．13．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是．14．（4分）（2016•上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件16．（5分）（2016•上海）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1 B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C117．（5分）（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．418．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、简答题：本大题共5题，满分74分19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．22．（16分）（2016•上海）对于无穷数列{a n}与{b n}，记A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=b n，n∈N*}，若同时满足条件：①{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n﹣1，b n=4n﹣2，判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列，求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列，{a n}为等差数列且a16=36，求{a n}与{b n}的通项公式．23．（18分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2016年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，∴﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4．∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．2．（4分）（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则z的虚部等于﹣3．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z===﹣3i+2，则z的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=．故答案为：．【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．4．（4分）（2016•上海）某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是 1.76（米）．【分析】将数据从小到大进行重新排列，根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69，1.72，1.76，1.78，1.80．则位于中间的数为1.76，即中位数为1.76，故答案为：1.76【点评】本题主要考查中位数的求解，根据中位数的定义，将数据从小到大进行排列是解决本题的关键．5．（4分）（2016•上海）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=±3．【分析】利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得a 的值．【解答】解：由于函数f（x）=4sinx+acosx=sin（x+θ），其中，cosθ=，sinθ=，故f（x）的最大值为=5，∴a=±3，故答案为：±3．【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．6．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）（x＞1）．【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，可得9=1+a3，解得a=2．可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f ﹣1（x）．【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）．故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（4分）（2016•上海）若x，y满足，则x﹣2y的最大值为﹣2．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：画出可行域（如图），设z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（0，1）时，z最大，且最大值为z max=0﹣2×1=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．8．（4分）（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．9．（4分）（2016•上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112．【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，∴2n=256，解得n=8，∴（﹣）8中，T r+1==，∴当=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2=112．故答案为：112．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．10．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，可得sinC===，可得该三角形的外接圆半径为==．故答案为：．【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．11．（4分）（2016•上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为．【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．【解答】解：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为，乙同学的选法种数为，则两同学的选法种数为种．两同学相同的选法种数为．由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为．故答案为：．【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题．12．（4分）（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是[﹣1，]．【分析】设出=（x，y），得到•=x+，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到•=sinθ+cosθ=sin（θ+），从而求出•的范围即可．【解答】解：设=（x，y），则=（x，），由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），∴•=x+，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），θ∈[0，π]，故•的范围是[﹣，1，]，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道基础题．13．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是（2，+∞）．【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a，b的关系，再使用基本不等式得出答案．【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y﹣1=0与直线x+by﹣1=0平行，∴﹣a=﹣，且．即a=且b≠1．∵a＞0，b＞0．∴a+b=b+＞2．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题．14．（4分）（2016•上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【分析】对任意n∈N*，S n∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2016•上海）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1 B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．【点评】考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状．17．（5分）（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．18．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【分析】①举反例说明命题不成立；②根据定义得f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h （x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），由此得出：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．【解答】解：对于①，举反例说明：f（x）=2x，g（x）=﹣x，h（x）=3x；f（x）+g（x）=x，f（x）+h（x）=5x，g（x）+h（x）=2x都是定义域R上的增函数，但g （x）=﹣x不是增函数，所以①是假命题；对于②，∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），所以②是真命题．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题目．三、简答题：本大题共5题，满分74分19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．【分析】（1）直接利用圆柱的体积公式，侧面积公式求解即可．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，即可求解所求角的大小．【解答】解：（1）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，圆柱的体积为：π•12•1=π．侧面积为：2π•1=2π．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，OB，则OB∥O1B，∴∠AOB=，异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB，大小为：﹣=．【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可．（2）设M（x0，y0），则y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可．【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=，得y=2，（0≤x≤1），（2）设M（x0，y0），则y0=1，∴x0==，∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×（+1）=2×=，设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=﹣××1+=，S1﹣S3==，S4﹣S1=﹣=＜，∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l 过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．【分析】（1）由题意求出A点纵坐标，由△F1AB是等边三角形，可得tan∠AF1F2=tan=，从而求得b值，则双曲线的渐近线方程可求；（2）写出直线l的方程y﹣0=k（x﹣2），即y=kx﹣2k，与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得k值．【解答】解：（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，把x=c=代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2，由tan∠AF1F2=tan==，求得b2=2，b=，故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±x，即双曲线的渐近线方程为y=±x．（2）设b=，则双曲线为x2﹣=1，F2（2，0），若l的斜率存在，设l的斜率为k，则l的方程为y﹣0=k（x﹣2），即y=kx﹣2k，联立，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，由直线与双曲线有两个交点，则3﹣k2≠0，即k．△=36（1+k2）＞0．x1+x2=，x1•x2=．∵|AB|=•|x1﹣x2|=•=•=4，化简可得，5k4+42k2﹣27=0，解得k2=，求得k=．∴l的斜率为．【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了双曲线的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．22．（16分）（2016•上海）对于无穷数列{a n}与{b n}，记A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=b n，n∈N*}，若同时满足条件：①{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n﹣1，b n=4n﹣2，判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列，求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列，{a n}为等差数列且a16=36，求{a n}与{b n}的通项公式．【分析】（1）{a n}与{b n}不是无穷互补数列．由4∉A，4∉B，4∉A∪B=N*，即可判断；（2）由a n=2n，可得a4=16，a5=32，再由新定义可得b16=16+4=20，运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；（3）运用等差数列的通项公式，结合首项大于等于1，可得d=1或2，讨论d=1，2求得通项公式，结合新定义，即可得到所求数列的通项公式．【解答】解：（1）{a n}与{b n}不是无穷互补数列．理由：由a n=2n﹣1，b n=4n﹣2，可得4∉A，4∉B，即有4∉A∪B=N*，即有{a n}与{b n}不是无穷互补数列；（2）由a n=2n，可得a4=16，a5=32，由{a n}与{b n}是无穷互补数列，可得b16=16+4=20，即有数列{b n}的前16项的和为（1+2+3+…+20）﹣（2+4+8+16）=×20﹣30=180；（3）设{a n}为公差为d（d为正整数）的等差数列且a16=36，则a1+15d=36，由a1=36﹣15d≥1，可得d=1或2，若d=1，则a1=21，a n=n+20，b n=n（1≤n≤20），与{a n}与{b n}是无穷互补数列矛盾，舍去；若d=2，则a1=6，a n=2n+4，b n=．综上可得，a n=2n+4，b n=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题．23．（18分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1，因此2，解出并且验证即可得出．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，（+a）x2=1，化为：ax2+x ﹣1=0，对a分类讨论解出即可得出．（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意可得﹣≤1，因此≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1，∴2，化为：，解得0＜x＜1，经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，∴（+a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，若a=0，化为x﹣1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．综上可得：a=0或﹣．（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，∴﹣≤1，∴≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，g′（t）===≤＜0，∴g（t）在t∈[，1]上单调递减，∴t=时，g（t）取得最大值，=．∴．∴a的取值范围是．【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；沂蒙松；qiss；maths；caoqz；w3239003；双曲线；sxs123；1619495736；zhczcb；wkl197822；742048（排名不分先后）菁优网2016年8月16日。
2016年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2016年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x∈R,则不等式|x－3|＜1的解集为.2.(4分)设z＝,其中i为虚数单位,则z的虚部等于.3.(4分)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0,l2：2x＋y＋1＝0,则l1,l2的距离.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是(米).5.(4分)若函数f(x)＝4sinx＋acosx的最大值为5,则常数a＝.6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C117.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.418.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.21.(14分)双曲线x 2－＝1(b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点. (1)若l 的倾斜角为,△F 1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝,若l 的斜率存在,且|AB|＝4,求l 的斜率.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.2016年上海市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x ∈R,则不等式|x －3|＜1的解集为 (2,4) .【分析】由含绝对值的性质得－1＜x －3＜1,由此能求出不等式|x －3|＜1的解集. 【解答】解：∵x ∈R,不等式|x －3|＜1, ∴－1＜x －3＜1, 解得2＜x ＜4.∴不等式|x －3|＜1的解集为(2,4). 故答案为：(2,4). 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,是基础题,解题时要认真审题,注意含绝对值不等式的性质的合理运用.2.(4分)设z ＝,其中i 为虚数单位,则z 的虚部等于 －3 . 【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：z ＝＝＝－3i ＋2,则z 的虚部为－3. 故答案为：－3.【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(4分)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离 .【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可.【解答】解：平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离：＝.故答案为：.【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用,考查计算能力.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是 1.76 (米).【分析】将数据从小到大进行重新排列,根据中位数的定义进行求解即可.【解答】解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69,1.72,1.76,1.78,1.80. 则位于中间的数为1.76,即中位数为1.76, 故答案为：1.76【点评】本题主要考查中位数的求解,根据中位数的定义,将数据从小到大进行排列是解决本题的关键.5.(4分)若函数f(x)＝4sinx ＋acosx 的最大值为5,则常数a ＝ ±3 . 【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的最大值为5,求得a 的值.【解答】解：由于函数f(x)＝4sinx＋acosx＝sin(x＋θ),其中,cosθ＝,sinθ＝,故f(x)的最大值为＝5,∴a＝±3,故答案为：±3.【点评】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的值域,属于基础题.(x－1)(x 6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝log2＞1) .【分析】由于点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,可得9＝1＋a3,解得a＝2.可得f(x)＝1(y－1),(y＞1).把x与y互换即可得出f(x)的反函数f－1(x). ＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2【解答】解：∵点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,∴9＝1＋a3,解得a＝2.(y－1),(y＞1).∴f(x)＝1＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2把x与y互换可得：f(x)的反函数f－1(x)＝log(x－1).2(x－1),(x＞1).故答案为：log2【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为－2 .【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.【解答】解：画出可行域(如图),设z＝x－2y⇒y＝x－z,由图可知,当直线l经过点A(0,1)时,z最大,且最大值为z＝0－2×1＝－2.max故答案为：－2.【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为或.【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式,然后求解即可.【解答】解：方程3sinx＝1＋cos2x,可得3sinx＝2－2sin2x,即2sin2x＋3sinx－2＝0.可得sinx＝－2,(舍去)sinx＝,x∈[0,2π]解得x＝或.故答案为：或.【点评】本题考查三角方程的解法,恒等变换的应用,考查计算能力.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于112 . 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n＝256,求得 n＝8.在展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项.【解答】解：∵在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,∴2n＝256,解得n＝8,＝＝,∴(－)8中,Tr＋1∴当＝0,即r＝2时,常数项为T＝(－2)2＝112.3故答案为：112.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.【分析】可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,运用余弦定理可得cosC,由同角的平方关系可得sinC,再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为,代入计算即可得到所求值. 【解答】解：可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,由余弦定理可得,cosC＝＝＝－,可得sinC＝＝＝,可得该三角形的外接圆半径为＝＝.故答案为：.【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法,注意运用正弦定理和余弦定理,考查运算能力,属于基础题.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数,再求出选法相同的选法种数,利用古典概型概率计算公式得答案.【解答】解：甲同学从四种水果中选两种,选法种数为,乙同学的选法种数为,则两同学的选法种数为种.两同学相同的选法种数为.由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.故答案为：.【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用,考查了组合及组合数公式,是基础题. 12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是[－1,] .【分析】设出＝(x,y),得到•＝x＋,令x＝cosθ,根据三角函数的性质得到•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),从而求出•的范围即可.【解答】解：设＝(x,y),则＝(x,),由A(1,0),B(0,－1),得：＝(1,1),∴•＝x＋,令x＝cosθ,θ∈[0,π],则•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),θ∈[0,π],故•的范围是[－,1,],故答案为：[－1,].【点评】本题考查了向量的运算性质,考查三角函数问题,是一道基础题.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是(2,＋∞) .【分析】根据方程组无解可知两直线平行,利用斜率得出a,b的关系,再使用基本不等式得出答案.【解答】解：∵关于x,y的方程组无解,∴直线ax＋y－1＝0与直线x＋by－1＝0平行,∴－a＝－,且.即a＝且b≠1.∵a＞0,b＞0.∴a＋b＝b＋＞2.故答案为：(2,＋∞).【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系,基本不等式的应用,属于基础题.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为 4 .【分析】对任意n∈N*,Sn∈{2,3},列举出n＝1,2,3,4的情况,归纳可得n＞4后都为0或1或－1,则k的最大个数为4.【解答】解：对任意n∈N*,Sn∈{2,3},可得当n＝1时,a1＝S1＝2或3；若n＝2,由S2∈{2,3},可得数列的前两项为2,0；或2,1；或3,0；或3,－1；若n＝3,由S3∈{2,3},可得数列的前三项为2,0,0；或2,0,1；或2,1,0；或2,1,－1；或3,0,0；或3,0,－1；或3,1,0；或3,1,－1；若n＝4,由S3∈{2,3},可得数列的前四项为2,0,0,0；或2,0,0,1；或2,0,1,0；或2,0,1,－1；或2,1,0,0；或2,1,0,－1；或2,1,－1,0；或2,1,－1,1；或3,0,0,0；或3,0,0,－1；或3,0,－1,0；或3,0,－1,1；或3,－1,0,0；或3,－1,0,1；或3,－1,1,0；或3,－1,1,－1；…即有n＞4后一项都为0或1或－1,则k的最大个数为4,不同的四个数均为2,0,1,－1,或3,0,1,－1.故答案为：4.【点评】本题考查数列与集合的关系,考查分类讨论思想方法,注意运用归纳思想,属于中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜－1,即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件,故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A,B,C的直线都和直线EF异面,而由图形即可看出直线B1C1和直线相交,从而便可得出正确选项.【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线；B 1C1和EF在同一平面内,且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交,即选项D正确.故选：D.【点评】考查异面直线的概念及判断,平行直线和相交直线的概念及判断,并熟悉正方体的图形形状.17.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同.【解答】解：∵对于任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则函数的周期相同,若a＝3,此时sin(3x－)＝sin(3x＋b),此时b＝－＋2π＝,若a＝－3,则方程等价为sin(3x－)＝sin(－3x＋b)＝－sin(3x－b)＝sin(3x－b＋π), 则－＝－b＋π,则b＝,综上满足条件的有序实数组(a,b)为(3,),(－3,),共有2组,故选：B.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的性质,结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键.18.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题【分析】①举反例说明命题不成立；②根据定义得f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),由此得出：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),f(x)＝f(x＋T),即可判断出真假.【解答】解：对于①,举反例说明：f(x)＝2x,g(x)＝－x,h(x)＝3x；f(x)＋g(x)＝x,f(x)＋h(x)＝5x,g(x)＋h(x)＝2x都是定义域R上的增函数,但g(x)＝－x不是增函数,所以①是假命题；对于②,根据周期函数的定义,f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),前两式作差可得：g(x)－h(x)＝g(x＋T)－h(x＋T),结合第三式可得：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),同理可得：f(x)＝f(x＋T),所以②是真命题.故选：D.【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题目.三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.【分析】(1)直接利用圆柱的体积公式,侧面积公式求解即可.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,即可求解所求角的大小.【解答】解：(1)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,圆柱的体积为：π•12•1＝π.侧面积为：2π•1＝2π.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,OB,则OB∥O1B,∴∠AOB＝,异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB,大小为：－＝.【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法,考查两直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.【分析】(1)设分界线上任意一点为(x,y),根据条件建立方程关系进行求解即可.(2)设M(x0,y),则y＝1,分别求出对应矩形面积,五边形FOMGH的面积,进行比较即可.【解答】解：(1)设分界线上任意一点为(x,y),由题意得|x＋1|＝,得y＝2,(0≤x≤1),(2)设M(x0,y),则y＝1,∴x＝＝,∴设所表述的矩形面积为S3,则S3＝2×(＋1)＝2×＝,设五边形EMOGH的面积为S4,则S4＝S3－S△OMP＋S△MGN＝－××1＋＝,S 1－S3＝＝,S4－S1＝－＝＜,∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积.【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题,考查学生的运算能力,综合性较强,难度较大.21.(14分)双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝,若l的斜率存在,且|AB|＝4,求l的斜率.【分析】(1)由题意求出A点纵坐标,由△F1AB是等边三角形,可得tan∠AF1F2＝tan＝,从而求得b值,则双曲线的渐近线方程可求；(2)写出直线l的方程y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,与双曲线方程联立,利用弦长公式列式求得k值.【解答】解：(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,把x＝c＝代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2,由tan∠AF1F2＝tan＝＝,求得b2＝2,b＝,故双曲线的渐近线方程为y＝±bx＝±x,即双曲线的渐近线方程为y＝±x.(2)设b＝,则双曲线为 x2－＝1,F2(2,0),若l的斜率存在,设l的斜率为k,则l的方程为y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,联立,可得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0,由直线与双曲线有两个交点,则3－k2≠0,即k.△＝36(1＋k2)＞0.x 1＋x2＝,x1•x2＝.∵|AB|＝•|x1－x2|＝•＝•＝4,化简可得,5k4＋42k2－27＝0,解得k2＝, 求得k＝.∴l 的斜率为.【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查了双曲线的简单性质,考查弦长公式的应用,体现了“设而不求”的解题思想方法,是中档题.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 【分析】(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列.由4∉A,4∉B,4∉A ∪B ＝N *,即可判断；(2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,再由新定义可得b 16＝16＋4＝20,运用等差数列的求和公式,计算即可得到所求和；(3)运用等差数列的通项公式,结合首项大于等于1,可得d ＝1或2,讨论d ＝1,2求得通项公式,结合新定义,即可得到所求数列的通项公式. 【解答】解：(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列. 理由：由a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,可得4∉A,4∉B,即有4∉A ∪B ＝N *,即有{a n }与{b n }不是无穷互补数列； (2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,由{a n }与{b n }是无穷互补数列,可得b 16＝16＋4＝20, 即有数列{b n }的前16项的和为(1＋2＋3＋…＋20)－(2＋4＋8＋16)＝×20－30＝180；(3)设{a n }为公差为d(d 为正整数)的等差数列且a 16＝36,则a 1＋15d ＝36, 由a 1＝36－15d ≥1,可得d ＝1或2,若d ＝1,则a 1＝21,a n ＝n ＋20,b n ＝n(1≤n ≤20), 与{a n }与{b n }是无穷互补数列矛盾,舍去； 若d ＝2,则a 1＝6,a n ＝2n ＋4,b n ＝.综上可得,a n ＝2n ＋4,b n ＝.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查运算和推理能力,属于中档题.23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.【分析】(1)当a ＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,因此2,解出并且验证即可得出.(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,对a分类讨论解出即可得出.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,由题意可得－≤1,因此≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],利用导数研究函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)当a＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,∴2,化为：,解得0＜x＜1,经过验证满足条件,因此不等式的解集为：(0,1).(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,∴(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,若a＝0,化为x－1＝0,解得x＝1,经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.若a≠0,令△＝1＋4a＝0,解得a＝,解得x＝2.经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.综上可得：a＝0或－.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,∴－≤1,∴≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],g′(t)＝＝＝≤＜0,∴g(t)在t∈[,1]上单调递减,∴t＝时,g(t)取得最大值,＝.∴.∴a的取值范围是.【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.。
2016年高考文科数学上海卷-答案
以12()log (1)f x x -=-.【提示】先将点(3,9)代入函数)(1xf x a =+求出a 值，再将x 与y 互换转化成反函数.【考点】反函数的概念，反函数的求解 7.【答案】2-【解析】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令2z x y =-，当直线1122y x z =-经过点(0,1)P 时，z 取得最大值2-.【提示】根据约束条件，画出相应的封闭区域,通过平移找到最优解. 【考点】线性规划 8.【答案】π5π,66【解析】化简3sin 1cos2x x =+得：23sin 22sin x x =-，所以22sin 3sin 20x x +-=，解得1sin 2x =或sin 2x =-（舍去），又[0,2π]x ∈，所以π5π66x =或. 【提示】先通过化简得到角的某种三角函数值，再结合角的范围求解. 【考点】三角方程 9.【答案】112【解析】由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为2n ，即2256n =，所以8n =，又二项展开式的通项为()8483331882(2)rr rr r r r T C x C x x --+⎛⎫ ⎪⎝⎭=-=-，令84033r -=，所以2r =，所以3112T =，即常数项为112. 【提示】先根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，再综合运用二项展开式的系数的性质求解. 【考点】二项式定理 10.【答案】733【解析】由已知可设357a b c ===，，，∴2221cos =22a b c C ab +-=-，∴3sin 2C =，∴732sin 3c R C ==. OxyP。
2016年高考上海数学试卷文史类
2016年高考上海数学试卷（文史类）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设，则不等式的解集为_______.2．设，其中为虚数单位，则的虚部等于______.3．已知平行直线，，则与的距离是_____.4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）.5．若函数的最大值为5，则常数______.6．已知点（3,9）在函数的图像上，则的反函数=______.7．若满足则的最大值为_______.8．方程在区间上的解为_____.9．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____. 10．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____.11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.12.如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线上一个动点，则的取值范围是.13.设a>0,b>0. 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是.14.无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和.若对任意的，则k的最大值为.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.设,则“a>1”是“a2>1”的（）(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）(A)直线AA1 (B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C117.设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)418.设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为的三个函数.对于命题：①若f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是增函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x) 均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）(A)①和②均为真命题(B) ①和②均为假命题(C)①为真命题，②为假命题(D)①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判别哪一个更接近于S1面积的“经验值”.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.（1）若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{}与{}，记A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：①{}，{}均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列.（1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和；（3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}得通项公式.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知R，函数=.（1）当时，解不等式>1；（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；（3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.A16.D17.B18.D19.解：（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径．圆柱的体积，圆柱的侧面积．（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为与所成的角．由长为，可知，由长为，可知，，所以异面直线与所成的角的大小为．20.解：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．（2）依题意，点的坐标为．所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．21.解：（1）设．由题意，，，，因为是等边三角形，所以，即，解得．故双曲线的渐近线方程为．（2）由已知，．设，，直线．由，得．因为与双曲线交于两点，所以，且．由，，得，故，解得，故的斜率为．22.解：（1）因为，，所以，从而与不是无穷互补数列．（2）因为，所以．数列的前项的和为．（3）设的公差为，，则．由，得或．若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；若，则，，．综上，，．23.解：（1）由，得，解得．（2）有且仅有一解，等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解．当时，，符合题意；当时，，．综上，或．（3）当时，，，所以在上单调递减．函数在区间上的最大值与最小值分别为，．即，对任意成立．因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．。
2016年高考试题(上海卷)——数学(文)(含答案)-推荐下载
4．某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的 中位数是______（米）.
5．若函数 f (x) 4 sin x a cos x 的最大值为 5，则常数 a ______.
与
C
在平面
AA1O1O
20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
有一块正方形菜地 EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走.
的同侧.
于是，菜地分为两个区域 S1 和 S2，其中 S1 中的蔬菜运到河边较近，S2 中的蔬菜运到 F 点 较近，而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等.现建立平面直角坐 标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为（1，0），如图
对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.
1．设 x R ，则不等式 x 3 1的解集为_______. 2．设 z 3 2i ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部等于______.
6．已知点（3,9）在函数 f (x) 1 ax 的图像上，则 f (x) 的反函数 f 1(x) =______.
7．若
x,
y
满足
x 0,
y
y x 1,
0,
2016上海文数
2016年高考上海数学试卷（文史类）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.2．设32i iz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______. 3．已知平行直线1210l x y +-=：，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_____. 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）.5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______.6．已知点（3,9）在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=______.7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.8．方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____.9．在2)n x的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____.10．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____.11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P是曲线y =OP BA ×uu u r uu r 的取值范围是 .13.设a>0,b>0. 若关于x,y的方程组1,1ax yx byì+=ïïíï+=ïî无解，则a b+的取值范围是.14.无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和.若对任意的*nÎN，{23}nSÎ，则k的最大值为.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.设aÎR,则“a>1”是“a2>1”的（）(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）(A)直线AA1 (B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C117.设aÎR，[0,2π]bÎ.若对任意实数x都有πsin(3)=sin()3x ax b-+，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)418.设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数.对于命题：①若f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是增函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x) 均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）(A)①和②均为真命题(B) ①和②均为假命题(C)①为真命题，②为假命题(D)①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为56π，11A B长为3π，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为83.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判别哪一个更接近于S1面积的“经验值”.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点. （1）若l 的倾斜角为2π ，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b = 若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =n a ，*N n ∈}，B ={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B =，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若n a =2n 且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和； （3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x +.（1）当 1a =时，解不等式()f x >1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值； （3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.。
2016年上海高考数学(文科)精彩试题及问题详解
2016年高考数学试卷（文史类）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写、号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 2．设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______. 3．已知平行直线1210l x y +-=：，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_____. 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）.5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 6．已知点（3,9）在函数()1xf x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()fx -=______.7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.8．方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____.9．在2)n x的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____. 10．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____.11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x 上一个动点，则OP BA 的取值围是 .13.设a >0,b >0. 若关于x ,y 的方程组1,1ax yx by无解，则a b 的取值围是 .14.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*nN ，{23}nS ，则k 的最大值为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.设aR ,则“a >1”是“a 2>1”的（ ）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件16.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）(A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 117.设a R ，[0,2π]b .若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3xax b ，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)418.设f (x )、g (x )、h(x )是定义域为R 的三个函数.对于命题：①若f (x )+g (x )、f (x )+ h (x )、g (x )+ h (x )均是增函数，则f (x )、g (x )、h(x )均是增函数；②若f (x )+g (x )、f (x )+ h (x )、g (x )+ h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )、g (x )、h(x ) 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）(A)①和②均为真命题 (B) ①和②均为假命题 (C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为56π，11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图 （1）求菜地的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于S 1面积的“经验值”.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B两点.（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3,b 若l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*N n ∈}，B ={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B =，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+. （1）当 1a =时，解不等式()f x >1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值围.参考答案1. )4,2(2. 3-3.552 4. 76.1 5. 3±6. )1(log 2-x7. 2-8.65,6ππ9. 112 10. 337 11.1612.⎡-⎣13.()2,+∞ 14.4 15.A 16.D 17.B 18.D19.解：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =． 圆柱的体积22V 11r l πππ==⨯⨯=， 圆柱的侧面积22112S rl πππ==⨯⨯=．（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ， 所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角．由11A B 长为3π，可知1113π∠AOB =∠A O B =， 由C A 长为56π，可知5C 6π∠AO =，C C 2π∠OB =∠AO -∠AOB =，所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π．20.解：（1）因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以 EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 的部分，其方程为24y x =（02y <<）． （2）依题意，点M 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭． 所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114． 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-=，而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为11814312-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 21.解：（1）设(),x y A A A ．由题意，()2F ,0c ，21c b +，()22241y b c b A =-=，因为1F ∆AB 是等边三角形，所以23c A =， 即()24413b b +=，解得22b =． 故双曲线的渐近线方程为2y x =． （2）由已知，()2F 2,0．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()()2212223613k x x k +-=-， 故()21226143k x k +AB ==-==-，解得235k =，故l 的斜率为5±．22.解：（1）因为4∉A ，4∉B ，所以4∉A B ，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列． （2）因为416a =，所以1616420b =+=．数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++()512020221802+⨯--=． （3）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=． 由136151a d =-≥，得1d =或2．若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；若2d =，则16a =，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．综上，24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．23.解：（1）由21log 11x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得112x +>，解得()0,1x ∈． （2）()2221log log 0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭有且仅有一解， 等价于211a x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解． 当0a =时，1x =，符合题意；当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-． 综上，0a =或14-． （3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(上海卷,含解析)
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海卷，含解析）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.【答案】)4,2(【解析】试题分析：421311|3|<<⇔<-<-⇔<-x x x ，故不等式1|3|<-x 的解集为)4,2(.考点：绝对值不等式的基本解法.2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________【答案】-3【解析】试题分析：32i23,Imz=-3.iz i +==-考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d ===考点：主要考查两平行线间距离公式.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：主要考查了中位数的概念.5、若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______.【答案】3±【解析】试题分析：)sin(16)(2ϕ++=x a x f ，其中4tan a=ϕ，故函数)(x f 的最大值为216a +，由已知，5162=+a ，解得3±=a .考点：三角函数sin()y A x ωϕ=+ 的图象和性质.6、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数【答案】2log (x 1)-考点：反函数的概念以及指对数式的转化.7、若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【解析】试题分析：由不等式组画出可行域，如图，令y x z 2-=，当直线z x y 2121-=经过点)1,0(P 时，z 取得最大值，且为2-..x 在区间[]π2,0上的解为___________ 【解析】试题分析：化简3sinx 1cos 2x =+得：23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[0，2π]上的解为566ππA .考点：二倍角公式及三角函数求值.9、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________【答案】112【解析】试题分析：由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为n2，由题意得n 2256=，所以n 8=，考点：中二项式的通项为84r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C xx --+=-=-，求常数项则令84r 033-=，所以r 2=，所以3T 112=.考点：二项式定理.10、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为22235712352+-=-⨯⨯，所以此角的正弦值为2R =,所以R =考点：正弦、余弦定理.11、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】16【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组，有24C 6=种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16.考点：.古典概型12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线y =OP BA ×u u u r u u r的取值范围是 .【答案】[-【解析】试题分析：由题意，设(cos ,sin )P αα,[0,π]α∈，则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA = , 所以cos sin [4OP BA αααπ⋅=+=+∈-.考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13.设a >0,b >0. 若关于x ,y 的方程组1,1ax y x by ì+=ïïíï+=ïî无解，则a b +的取值范围是 .【答案】(2,)+∞考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.14.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ÎN ，{23}n S Î，则k 的最大值为 .【答案】4【解析】试题分析：当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1，-1,0,0，……满足条件，所以max 4k =.考点：数列的项与和.2、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A.考点：充要条件16.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）(A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1(D)直线B 1C 1【答案】D【解析】试题分析：只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 中直线与EF 都是异面直线，故选D ．考点：异面直线17.设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】B【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,)3πa b =，又4sin(3)sin[(3sin(3333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πa b =-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．考点：三角函数18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题【答案】D 【解析】试题分析：因为[()g(x)][()(x)][g()(x)]()2f x f x h x h f x +++-+=必为周期为π的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定.选D.函数性质考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（74分）19. （本题满分12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为56π， 11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.【答案】（1；（2）4π．圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π．考点：1.几何体的体积；2.空间的角.20.（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
2016年上海市高考数学试卷(文科)学生版
2016 年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共 14 题，每题 4 分，共 56 分） .1．（4 分）（2016?上海）设 x ∈R ，则不等式 | x ﹣ 3| ＜1 的解集为．2．（ 4 分）（2016?上海）设 z= ，此中 i 为虚数单位，则 z 的虚部等于．3．（4 分）（ 2016?上海）已知平行直线 l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则 l 1，l 2的距离．4．（4 分）（2016?上海）某次体检， 5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78， 1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是（米）．5（．4 分）（2016?上海）若函数（f x ）=4sinx+acosx 的最大值为 5，则常数 a= ．．（ 分）（ 上海）已知点（ 3 ， ）在函数 x的图象上，则 f （ x ）6 4 2016? 9 f （x ）=1+a的反函数 f ﹣ 1．（x ）=．（ 分）（ 2016? 上海）若 x ， y 知足 ，则 x ﹣2y 的最大值为．7 48．（4 分）（2016?上海）方程 3sinx=1+cos2x 在区间 [ 0，2π] 上的解为 ．9．（4 分）（ 2016?上海）在（ ﹣ ）n 的二项式中，全部的二项式系数之和为256，则常数项等于．10．（ 4 分）（ 2016?上海）已知△ ABC 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．11．（ 4 分）（2016?上海）某食堂规定，每份午饭能够在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果同样的概率为．12．（ 4 分）（2016?上海）如图，已知点 O （ 0， 0），A （1，0），B （0，﹣ 1），P是曲线 y=上一个动点，则?的取值范围是．13．（4 分）（2016?上海）设 a ＞0，b ＞ 0．若对于 x ，y 的方程组 无解，则 a+b 的取值范围是．14．（4 分）（ 2016?上海）无量数列 { a n } 由 k 个不一样的数构成， S n为{ a n} 的前 n 项和，若对随意n∈N*，S n∈{ 2， 3} ，则k 的最大值为．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，不然一脸得零分） .215．（ 5 分）（2016?上海）设 a∈ R，则“a＞1”是“a＞1”的（）A．充足非必需条件B．必需非充足条件C．充要条件D．既非充足也非必需条件16．（5 分）（ 2016?上海）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， E、F 分别为 BC、BB1的中点，则以下直线中与直线EF订交的是（）A．直线 AA1B．直线 A1B1C．直线 A1D1D．直线 B1C1 17．（ 5 分）（2016?上海）设 a∈R，b∈[ 0， 2π），若对随意实数x 都有 sin（3x ﹣）=sin（ax+b），则知足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．4 18．（ 5 分）（2016?上海）设 f（ x）、g（x）、 h（ x）是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f（ x）+g（x）、 f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则 f（ x）、g（x）、 h（ x）均是增函数；②若f（x）+g（ x）、f（x）+h（x）、g （x）+h（ x）均是以 T 为周期的函数，则 f（x）、g（ x）、h（x）均是以 T 为周期的函数，以下判断正确的选项是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、简答题：本大题共 5 题，满分 74 分19．（ 12 分）（ 2016?上海）将边长为 1 的正方形 AA1O1 O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，此中B1与 C在平面AA1O1O 的同侧．（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线 O1B1与 OC所成的角的大小．20．（ 14 分）（ 2016?上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河畔运走．于是，菜地分别为两个地区S1和 S2，此中 S1中的蔬菜运到河畔较近，S2中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内S1和 S2的分界线 C 上的点到河畔与到 F 点的距离相等，现成立平面直角坐标系，此中原点 O 为 EF的中点，点 F 的坐标为（ 1， 0），如图（1）求菜地内的分界限 C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量预计出 S1面积是 S2面积的两倍，由此获得 S1面积的经验值为．设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更靠近于S1面积的“经验值”．．（14分）（上海）双曲线x2﹣（＞）的左、右焦点分别为、F2，212016?=1 b0F1直线 l 过 F2且与双曲线交于 A、B 两点．（ 1）若 l 的倾斜角为，△ F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（ 2）设 b=，若l的斜率存在，且| AB| =4，求l的斜率．22．（ 16 分）（2016?上海）对于无量数列 { a n} 与 { b n} ，记 A={ x| x=a n，n∈N* } ，B={ x| x=b n，n∈N* } ，若同时知足条件：①{ a n} ，{ b n} 均单一递加；② A∩ B=?且 A∪ B=N*，则称 { a n} 与{ b n} 是无量互补数列．（1）若 a n =2n﹣1，b n=4n﹣2，判断 { a n} 与 { b n } 能否为无量互补数列，并说明原因；（2）若 a n=2n且 { a n} 与{ b n} 是无量互补数列，求数目 { b n} 的前 16 项的和；（3）若 { a n} 与 { b n} 是无量互补数列， { a n} 为等差数列且 a16=36，求 { a n} 与{ b n } 的通项公式．23．（ 18 分）（ 2016?上海）已知 a∈ R，函数 f（x）=log2（ +a）．（ 1）当 a=1 时，解不等式 f（x）＞ 1；（ 2）若对于 x 的方程 f（ x） +log2（ x2）=0 的解集中恰有一个元素，求 a 的值；（3）设 a＞0，若对随意 t∈[ ，1] ，函数 f（x）在区间 [ t ，t +1] 上的最大值与最小值的差不超出 1，求 a 的取值范围．。
[上海卷]2016年上海卷文科数学(全解析)
下,三个函数必为周期为T 的函数,所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数,因此①不一定.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(本小题满分 14 分)
将边长为1的正方形 AA1O1O (及其内部)绕的 OO1 旋转一周形成圆柱,
如图,
» AC
66
2
为 p 或 5p . 66
9.
在
æ ç
3
è
x-
2 x
n
ö ÷ ø
的二项式中,所有项的二项式系数之和为
256
,则常数项等于_______.
( ) ( ) 【解析】112 ；由题意得 2n = 256 ,所以 n = 8 ,故Tr+1 = C8r
3
x
8-r
æ çè
-
2 x
r
ö ÷ ø
=
-2
r
C8r
的中位数是1.75 与1.77 的平均数,显然为1.76 .
5. 若函数 f ( x) = 4 sin x + a cos x 的最大值为 5 ,则常数 a = ______.
【解析】 ±3 ；依题意可得 16 + a2 = 5 ,解得 a = ±3 .
6. 已知点 (3, 9) 在函数 f ( x) = 1+ ax 的图像上,则 f ( x) 的反函数 f -1 ( x) = ___________.
【解析】 (2, 4) ；由题意得 -1 < x - 3 < 1 ,解得 2 < x < 4 .
2. 设 z = 3 + 2i ,其中 i 为虚数单位,则 Im z = _______. i
2016年高考文科数学上海卷及答案解析
EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于 S 面积的“经验值” .
21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2
小题满分 8 分.
双曲线 x2
y2 b2
1(b＞0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2 ，直线 l 过 F2 且与
双曲线交于 A， B 两点 .
（Ⅰ）若 l 的倾斜角为 ， △ F1 AB是等边三角形，求双曲线的渐近
数学试卷 第 10 页（共 18 页）
开式中的指定项，再综合运用二项展开式的系数的性质求解 .
【考点】二项式定理
10.【答案】 7 3
3
【 解 析 】 由 已 知 可 设 a 3， b
sin C 3 ，∴ R
c
7 3.
2
2sin C 3
5， c
7， ∴ cosC= a2 b2 c2
2ab
1 ，∴
2
【提示】先利用三角公式化简三角恒等式，再利用正弦定理实现边
.
二、选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答
案，考生应在答题纸的相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，
选对得 5 分，否则一律得零分 .
15. 设 a R ,则“ a 1 ”是“ a 2 1”的
()
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
则常数项等于 _______.
10. 已知 △ABC 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径
等于 _______.
11. 某食堂规定， 每份午餐可以在四种水果中任选两种， 则甲、乙两
同学各自所选的两种水果相同的概率为 _______.