数学建模综合评价方法
建模参考资料 综合评价方法一、关于评价指标所谓指标就是用来评价系统的参量．例如，在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标．一般说来，任何—个指标都反映和刻画事物的—个侧面．从指标值的特征看，指标可以分为定性指标和定量指标．定性指标是用定性的语言作为指标描述值，定量指标是用具体数据作为指标值．例如，旅游景区质量等级有5A 、4A 、3A 、2A 和1A 之分，则旅游景区质量等级是定性指标；而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标．从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类： (1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标； (2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标；(3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标； (4) 区间型指标是指标值取在某个区间内为最好的指标．例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标．再如建筑工程招标中，投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化范围一般是(10%,5%)-+×标的价，超过此范围的都将被淘汰，因此投标报价为区间型指标．投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标．在实际中，不论按什么方式对指标进行分类，不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换1 评价指标的处理方法一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便．为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包括对指标的一致化处理和无量纲化处理．1．指标的一致化处理所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一．一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点．如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好；而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好；对于室内温度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大，也不期望取值太小，而是居中为好．若指标体系中存在不同类型的指标，必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理．例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标．一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标．但是，在不同的指标权重确定方法和评价模型中，指标一致化处理也有差异．(1) 极小型指标化为极大型指标对极小型指标j x ，将其转化为极大型指标时，只需对指标j x 取倒数：1j jx x '=， 或做平移变换：j j j x M x '=-，其中1 max{}j ij i nM x ≤≤=，即n 个评价对象第j 项指标值ij x 最大者．(2) 居中型指标化为极大型指标对居中型指标j x ，令1 max{}j ij i nM x ≤≤=，1 min{}j ij i nm x ≤≤=，取2(),;2 2(),.2j j j j j j j j j j j j j j jj j x m M m m x M m x M x M m x M M m -+⎧≤≤⎪-⎪'=⎨-+⎪≤≤⎪-⎩就可以将j x 转化为极大型指标．(3) 区间型指标化为极大型指标对区间型指标j x ，j x 是取值介于区间[,]j j a b 内时为最好，指标值离该区间越远就越差．令1 max{}j ij i nM x ≤≤=，1 min{}j ij i nm x ≤≤=， max{,},j j j j j c a m M b =--取1,;1, ; 1,.j jj j j j j j j j jj j j a x x a c x a x b x bx b c -⎧-<⎪⎪⎪'=≤≤⎨⎪-⎪->⎪⎩就可以将区间型指标j x 转化为极大型指标．类似地，通过适当的数学变换，也可以将极大型指标、居中型指标转化为极小型指标．2．指标的无量纲化处理所谓无量纲化，也称为指标的规范化，是通过数学变换来消除原始指标的单位及其数值数量级影响的过程．因此，就有指标的实际值和评价值之分．—般地，将指标无量纲化处理以后的值称为指标评价值．无量纲化过程就是将指标实际值转化为指标评价值的过程．对于n 个评价对象12,,,n S S S ，每个评价对象有m 个指标，其观测值分别为(1,2,,;1,2,,)ij x i n j m == ．(1) 标准样本变换法 令* (1,1).ij jij jx x x i n j m s -=≤≤≤≤其中样本均值11n j ij i x x n ==∑，样本均方差j s =*ij x 称为标准观测值． 特点：样本均值为0，方差为1；区间不确定，处理后各指标的最大值、最小值不相同；对于指标值恒定(0j s =)的情况不适用；对于要求指标评价值*0ij x >的评价方法(如熵值法、几何加权平均法等)不适用．(2) 线性比例变换法 对于极大型指标，令*11 (max 0, 1, 1).max ij ij ij i niji n x x x i n j m x ≤≤≤≤=≠≤≤≤≤对极小型指标，令*1min (1,1).iji nijijx x i n j m x ≤≤=≤≤≤≤或*111 (max 0, 1, 1).max ij ijij i niji nx x x i n j m x ≤≤≤≤=-≠≤≤≤≤该方法的优点是这些变换方式是线性的，且变化前后的属性值成比例．但对任一指标来说，变换后的*1ij x =和*0ij x =不一定同时出现．特点：当0ij x ≥时，*[0,1]ij x ∈；计算简便，并保留了相对排序关系． (3) 向量归一化法 对于极大型指标，令*,1).ij x x i n j m =≤≤≤≤对于极小型指标，令*1 (1,1).ij x x i n j m =≤≤≤≤优点：当0ij x ≥时，*[0,1]ijx ∈，即*21()1nij i x ==∑．该方法使*01ij x ≤≤，且变换前后正逆方向不变；缺点是它是非线性变换，变换后各指标的最大值和最小值不相同．(4) 极差变换法对于极大型指标，令*111min (1, 1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=≤≤≤≤-对于极小型指标，令*111max (1, 1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i m j n x x ≤≤≤≤≤≤-=≤≤≤≤-其优点为经过极差变换后，均有*01ij x ≤≤，且最优指标值*1ij x =，最劣指标值*0ij x =．该方法的缺点是变换前后的各指标值不成比例，对于指标值恒定(0j s =)的情况不适用．(5) 功效系数法 令*111min (1,1).max min ij iji nijij iji ni nx x x c d i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=+⨯≤≤≤≤-其中,c d 均为确定的常数．c 表示“平移量”，表示指标实际基础值，d 表示“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数，则*[,]ij x c c d ∈+．通常取60,40c d ==，即*111min 6040 (1,1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=+⨯≤≤≤≤-则*ij x 实际基础值为60，最大值为100，即*[60,100]ij x ∈．特点：该方法可以看成更普遍意义下的一种极值处理法，取值范围确定，最小值为c ，最大值为c d +．3．定性指标的定量化在综合评价工作中，有些评价指标是定性指标，即只给出定性地描述，例如：质量很好、性能一般、可靠性高、态度恶劣等．对于这些指标，在进行综合评价时，必须先通过适当的方式进行赋值，使其量化．一般来说，对于指标最优值可赋值10.0，对于指标最劣值可赋值为0.0．对极大型和极小型定性指标常按以下方式赋值．(1) 极大型定性指标量化方法对于极大型定性指标而言，如果指标能够分为很低、低、一般、高和很高等五个等级，则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0，对应关系如图2所示．介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值．图2 极大型定性指标量化方法(2) 极小型定性指标量化方法对于极小型定性指标而言，如果指标能够分为很高、高、一般、低和很低等五个等级，则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0，对应关系如图3所示．介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值．二、关于模糊综合评价方法在客观世界中，存在着许多不确定性现象，这种不确定性有两大类：一类是随机性现象，即事物对象是明确的，由于人们对事物的因果律掌握不够，使得相应结果具有不可预知性，例如晴天、下雨、下雪，这是明确的，但出现规律不确定；另一类是模糊性现象，即某些事物或概念的边界不清楚，使得事物的差异之间存在着中间过渡过程或过渡结果，例如年轻与年老、高与矮、美与丑等，这种不确定性现象不是人们的认识达不到客观实际所造成的，而是事物的一种内在结构的不确定属性，称为模糊性现象．模糊数学就是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的一个数学分支．而模糊综合评价就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，进行综合评价的一种方法．．1隶属度函数的确定方法隶属度的思想是模糊数学的基本思想，确定符合实际的隶属函数是应用模糊数学方法建立数学模型的关键，然而这是至今尚未完全解决的问题．下面介绍几种常用的确定隶属函数的方法．⑴ 模糊统计法模糊统计法是利用概率统计思想确定隶属度函数的一种客观方法，是在模糊统计的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的．下面以确定青年人的隶属函数为例来介绍其主要过程．① 以年龄为论域X ，在论域X 中取一固定样本点027x =．② 设*A 为论域X 上随机变动的普通集合，A 是青年人在X 上以*A 为弹性边界的模糊集，对*A 的变动具有制约作用．其中 0x A ∈，或 0x A ∉，使得0x 对A 的隶属关系具有不确定性．然后进行模糊统计试验，若n 次试验中覆盖0x 的次数为n m ，则称nm n为0x 对于A 的隶属频率．由于当试验次数n 不断增大时，隶属频率趋于某一确定的常数，该常数就是0x 属于A 的隶属度，即 0()lim .n An m x nμ→∞=比如在论域X 中取027x =，选择若干合适人选，请他们写出各自认为青年人最适宜最恰当的年龄区间(从多少岁到多少岁)，即将模糊概念明确化．若n 次试验中覆盖27岁的年龄区间的次数为m ，则称mn为27岁对于青年人的隶属频率，表4是抽样调查统计的结果．由于27岁对于青年人的隶属频率稳定在0．78附近，因此可得到027x =属于模糊集A 的隶属度 (27)0.78Aμ=．③ 在论域X 中适当的取若干个样本点12,,,n x x x ，分别确定出其隶属度 ()(1,2,,)i A x i n μ= ，建立适当坐标系，描点连线即可得到模糊集 A 的隶属函数曲线． 将论域X 分组，每组以中值为代表分别计算各组隶属频率，连续地描出图形使得到青年人的隶属函数曲线，见表5与图5所示．确定模糊集合隶属函数的模糊统计方法，重视实际资料中包含的信息，采用了统计分析手段，是一种应用确定性分析揭示不确定性规律的有效方法．特别是对一些隶属规律不清楚的模糊集合，也能较好地确定其隶属函数．⑵ 三分法三分法也是利用概率统计中思想以随机区间为工具来处理模糊性的的一种客观方法．例如建立矮个子1A ，中等个子2A ，高个子 3A 三个模糊概念的隶属函数．设3{}P =矮个子,中等个子,高个子， 论域X 为身高的集合，取(0,3)X =(单位：m)．每次模糊试验确定X 的一次划分，每次划分确定一对数(,)ξη，其中ξ为矮个子与中等个子的分界点，η为中等个子与高个子的分界点，从而将模糊试验转化为如下随机试验：即将(,)ξη看作二维随机变量，进行抽样调查，求得ξ、η的概率分布()P x ξ、()P x η后，再分别导出 1A 、 2A 和 3A 的隶属函数 1()A x μ、 2()A x μ和 3()Ax μ，相应的示意图如图6所示． 1()(),A x x P t dt ξμ+∞=⎰ 3()(),A xx P t dt ημ+∞=⎰ 213()1()().A A A x x x μμμ=--图5 年轻人的隶属函数曲线通常ξ和η分别服从正态分布211(,)N a σ和222(,)N a σ，则1A 、 2A 和 3A 的隶属函数分别为111()1,Ax a x μσ⎛⎫-=-Φ ⎪⎝⎭ 322()1,A x a x μσ⎛⎫-=-Φ ⎪⎝⎭ 22121().A x a x a x μσσ⎛⎫⎛⎫--=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中22().t xx dt -Φ=⎰⑶ 模糊分布法根据实际情况，首先选定某些带参数的函数，来表示某种类型模糊概念的隶属函数（论域为实数域），然后再通过实验确定参数．在客观事物中，最常见的是以实数集作论域的情形．若模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数便称为模糊分布．下面给出几种常用的模糊分布，在以后确定隶属函数时，就可以根据问题的性质，选择适当(即符合实际情况)模糊分布，根据测量数据求出分布中所含的参数，从而就可以确定出隶属函数了．为了选择适当的模糊分布，首先应根据实际描述的对象给出选择的大致方向． 偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为1, ;()(),.Ax a x f x x a μ≤⎧=⎨>⎩ 偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为0, ;()(),.Ax a x f x x a μ<⎧=⎨≥⎩中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和“、“中年”等处于中间状态的模糊现象，其隶属面数可以通过中间型模糊分布表示．① 矩形(或半矩形)分布图6 由概率分布确定模糊集隶属函数此类分布是用于确切概念．矩形(或半矩形)分布相应的示意图如图7所示．图7矩形(或半矩形)分布示意图② 梯形(或半梯形)分布梯形(或半梯形)分布的示意图如图8所示．③ 抛物形分布抛物形分布的示意图如图9所示．(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型图8梯形(或半梯形)分布示意图④ 正态分布正态分布的示意图如图10所示．柯西形分布的示意图如图11所示．(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型图9 抛物形分布示意图(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型 图10 正态分布示意图(a) 偏小型 (b)偏大型 (c)中间型 图11 柯西分布示意图k>．Γ型分布的示意图如图12所示．其中0(a) 偏小型(b)偏大型(c)中间型图12 Γ型分布示意图- 11 -。
数学建模综合评价与决策方法
数学建模综合评价与决策方法数学建模综合评价与决策方法是指在数学建模的过程中，采用合适的评价方法对建模结果进行评估，并基于评估结果做出决策。
这是一个重要的环节，能够帮助我们判断建模的合理性、有效性，为决策提供科学依据。
本文将介绍几种常用的数学建模综合评价与决策方法。
一、灰色关联度分析灰色关联度分析是一种综合评价方法，适用于多指标、多层次的决策问题。
其基本思想是通过灰色关联度指标来衡量不同因素与目标之间的关联程度，从而评估各个因素对目标的贡献程度。
具体步骤如下：（1）确定评价因素和目标；（2）进行数据归一化，将各个指标转化为单位化的变量；二、层次分析法（AHP）层次分析法是一种量化分析方法，用于处理多准则决策问题。
该方法将决策问题层次化，通过构建判断矩阵对各层次的因素进行定量分析，从而得出最终的决策结果。
具体步骤如下：（1）确定层次结构，将决策问题层次分解为上、下级层次；（2）构建判断矩阵，通过专家评分或经验判断，构造各层次因素之间的重要性判断矩阵；（3）计算权重，通过特征向量法计算各个因素的权重；（4）一致性检验，通过判断矩阵的一致性指标和一致性比例判断判断矩阵的可靠性；（5）计算综合权重，通过将各个层次的权重相乘得到综合权重；（6）进行评价和排序，根据综合权重对各个决策方案进行评价和排序，从而得到最终的决策结果。
三、模糊综合评判法模糊综合评判法是一种适用于部分信息不确定的评价方法。
该方法通过建立模糊综合评判模型，将不确定的信息转化为模糊数，并通过模糊数的运算进行综合评价。
具体步骤如下：（1）确定评价指标和权重；（2）进行数据模糊化，将具体数值转化为模糊数；（3）构建模糊关系矩阵，将模糊数代入模糊关系矩阵中；（4）进行模糊数的运算，通过模糊数的运算得到各个因素的评价结果；（5）进行评价和排序，根据评价结果对各个决策方案进行评价和排序。
综合评价与决策方法是数学建模的重要环节，可以帮助我们对建模结果进行客观、科学的评估，并基于评估结果做出决策。
数学建模综合评价方法(定)
所谓指标就是用来评价系统旳参量. 例如, 在校学生规模、教学质量、师资构造、科研水平等, 就可以作为评价高等院校综合水平旳重要指标. 一般说来, 任何—个指标都反映和刻画事物旳—个侧面.从指标值旳特性看, 指标可以分为定性指标和定量指标. 定性指标是用定性旳语言作为指标描述值, 定量指标是用品体数据作为指标值. 例如, 旅游景区质量等级有、、、和之分, 则旅游景区质量等级是定性指标；而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标.从指标值旳变化对评价目旳旳影响来看, 可以将指标分为如下四类：(1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好旳指标；(2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好旳指标；(3)居中型指标是指标值既不是越大越好, 也不是越小越好, 而是适中为最佳旳指标；(4) 区间型指标是指标值取在某个区间内为最佳旳指标.例如, 在评价公司旳经济效益时, 利润作为指标, 其值越大, 经济效益就越好, 这就是效益型指标；而管理费用作为指标, 其值越小, 经济效益就越好, 因此管理费用是成本型指标. 再如建筑工程招标中, 投标报价既不能太高又不能太低, 其值旳变化范畴一般是×标旳价, 超过此范畴旳都将被裁减, 因此投标报价为区间型指标. 投标工期既不能太长又不能太短, 就是居中型指标.在实际中, 不管按什么方式对指标进行分类, 不同类型旳指标可以通过相应旳数学措施进行互相转换8.2.4 评价指标旳预解决措施一般状况下, 在综合评价指标中, 各指标值也许属于不同类型、不同单位或不同数量级, 从而使得各指标之间存在着不可公度性, 给综合评价带来了诸多不便. 为了尽量地反映实际状况, 消除由于各项指标间旳这些差别带来旳影响, 避免浮现不合理旳评价成果, 就需要对评价指标进行一定旳预解决, 涉及对指标旳一致化解决和无量纲化解决.1. 指标旳一致化解决所谓一致化解决就是将评价指标旳类型进行统一．一般来说, 在评价指标体系中, 也许会同步存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标, 它们都具有不同旳特点．如产量、利润、成绩等极大型指标是但愿取值越大越好；而成本、费用、缺陷等极小型指标则是但愿取值越小越好；对于室内温度、空气湿度等居中型指标是既不盼望取值太大, 也不盼望取值太小, 而是居中为好．若指标体系中存在不同类型旳指标, 必须在综合评价之前将评价指标旳类型做一致化解决．例如, 将各类指标都转化为极大型指标, 或极小型指标．一般旳做法是将非极大型指标转化为极大型指标．但是, 在不同旳指标权重拟定措施和评价模型中, 指标一致化解决也有差别．(1) 极小型指标化为极大型指标对极小型指标, 将其转化为极大型指标时, 只需对指标取倒数:1j jx x '=， 或做平移变换: j j j x M x '=-，其中 , 即n 个评价对象第j 项指标值 最大者. (2) 居中型指标化为极大型指标对居中型指标 , 令 , , 取2(),;2 2(),.2j j j j j j j jj j j j j j j j j x m M m m x M m x M x M m x M M m -+⎧≤≤⎪-⎪'=⎨-+⎪≤≤⎪-⎩就可以将 转化为极大型指标.(3) 区间型指标化为极大型指标对区间型指标 , 是取值介于区间 内时为最佳, 指标值离该区间越远就越差. 令 , ,取1,;1, ; 1,.j jj j jj j j j j jj j j a x x a c x a x b x bx b c -⎧-<⎪⎪⎪'=≤≤⎨⎪-⎪->⎪⎩就可以将区间型指标 转化为极大型指标.类似地, 通过合适旳数学变换, 也可以将极大型指标、居中型指标转化为极小型指标．2. 指标旳无量纲化解决所谓无量纲化, 也称为指标旳规范化, 是通过数学变换来消除原始指标旳单位及其数值数量级影响旳过程. 因此, 就有指标旳实际值和评价值之分. —般地, 将指标无量纲化解决后来旳值称为指标评价值. 无量纲化过程就是将指标实际值转化为指标评价值旳过程.对于 个评价对象 , 每个评价对象有 个指标, 其观测值分别为(1,2,,;1,2,,)ij x i n j m ==．(1) 原则样本变换法 令* (1,1).ij jij jx x x i n j m s -=≤≤≤≤其中样本均值 , 样本均方差 , 称为原则观测值.特点：样本均值为 , 方差为 ；区间不拟定, 解决后各指标旳最大值、最小值不相似；对于指标值恒定( )旳状况不合用；对于规定指标评价值 旳评价措施(如熵值法、几何加权平均法等)不合用．(2) 线性比例变换法对于极大型指标, 令*11 (max 0, 1, 1).max ij ij ij i niji n x x x i n j m x ≤≤≤≤=≠≤≤≤≤对极小型指标, 令*1min (1,1).iji nijijx x i n j m x ≤≤=≤≤≤≤或*111 (max 0, 1, 1).max ij ij ij i niji nx x x i n j m x ≤≤≤≤=-≠≤≤≤≤该措施旳长处是这些变换方式是线性旳, 且变化前后旳属性值成比例. 但对任一指标来说, 变换后旳 和 不一定同步浮现.特点：当 时, ；计算简便, 并保存了相对排序关系． (3) 向量归一化法对于极大型指标, 令* (1,1).ij x x i n j m =≤≤≤≤对于极小型指标, 令*1,1).ij x x i n j m =≤≤≤≤长处: 当 时, , 即 . 该措施使 , 且变换前后正逆方向不变；缺陷是它是非线性变换, 变换后各指标旳最大值和最小值不相似.(4) 极差变换法对于极大型指标, 令*111min (1, 1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=≤≤≤≤-对于极小型指标, 令*111max (1, 1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i m j n x x ≤≤≤≤≤≤-=≤≤≤≤-其长处为通过极差变换后, 均有 , 且最优指标值 , 最劣指标值 . 该措施旳缺陷是变换前后旳各指标值不成比例, 对于指标值恒定( )旳状况不合用.(5) 功能系数法 令*111min (1,1).max min ij iji nijij iji ni nx x x c d i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=+⨯≤≤≤≤-其中 均为拟定旳常数. 表达“平移量”, 表达指标实际基础值, 表达“旋转量”, 即表达“放大”或“缩小”倍数, 则 .一般取 , 即*111min 6040 (1,1).max min ij iji nijij iji ni nx x x i n j m x x ≤≤≤≤≤≤-=+⨯≤≤≤≤-则 实际基础值为 , 最大值为 , 即 .特点: 该措施可以当作更普遍意义下旳一种极值解决法, 取值范畴拟定, 最小值为 , 最大值为 ．3. 定性指标旳定量化(1) 在综合评价工作中, 有些评价指标是定性指标, 即只给出定性地描述, 例如：质量较好、性能一般、可靠性高、态度恶劣等．对于这些指标, 在进行综合评价时, 必须先通过合适旳方式进行赋值, 使其量化．一般来说, 对于指标最优值可赋值 , 对于指标最劣值可赋值为 ．对极大型和极小型定性指标常按如下方式赋值． (2) 极大型定性指标量化措施对于极大型定性指标而言, 如果指标可以分为很低、低、一般、高和很高等五个等级, 则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0, 相应关系如图8-2所示. 介于两个等级之间旳可以取两个分值之间旳合适数值作为量化值.图８-2 极大型定性指标量化措施(2) 极小型定性指标量化措施对于极小型定性指标而言, 如果指标可以分为很高、高、一般、低和很低等五个等级, 则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0, 相应关系如图8-3所示. 介于两个等级之间旳可以取两个分值之间旳合适数值作为量化值.模糊综合评价措施在客观世界中, 存在着许多不拟定性现象, 这种不拟定性有两大类: 一类是随机性现象, 即事物对象是明确旳, 由于人们对事物旳因果律掌握不够, 使得相应成果具有不可预知性, 例如晴天、下雨、下雪, 这是明确旳, 但浮现规律不拟定；另一类是模糊性现象, 即某些事物或概念旳边界不清晰, 使得事物旳差别之间存在着中间过渡过程或过渡成果, 例如年轻与年老、高与矮、美与丑等, 这种不拟定性现象不是人们旳结识达不到客观实际所导致旳, 在构造旳不拟定属性, 称为糊性现象.模糊数学就是用数学措施研究和解决具有“模糊性”现象旳一种数学分支．而模糊综合评价就是以模糊数学为基础, 应用模糊关系合成旳原理, 将某些边界不清、不易定量旳因素定量化, 进行综合评价旳一种措施．. 从属度函数旳拟定措施从属度旳思想是模糊数学旳基本思想, 拟定符合实际旳从属函数是应用模糊数学措施建立数学模型旳核心, 然而这是至今尚未完全解决旳问题．下面简介几种常用旳拟定从属函数旳措施．⑴ 模糊记录法模糊记录法是运用概率记录思想拟定从属度函数旳一种客观措施, 是在模糊记录旳基础上根据从属度旳客观存在性来拟定旳. 下面以拟定青年人旳从属函数为例来简介其重要过程.① 以年龄为论域 , 在论域 中取一固定样本点 .② 设 为论域 上随机变动旳一般集合, 是青年人在 上觉得 弹性边界旳模糊集, 对 旳变动具有制约作用．其中 , 或 , 使得 对 旳从属关系具有不拟定性．然后进行模糊记录实验, 若 次实验中覆盖 旳次数为 , 则称 为 对于 旳从属频率．由于当实验次数 不断增大时, 从属频率趋于某一拟定旳常数, 该常数就是 属于 旳从属度, 即0()lim .n An mx nμ→∞=例如在论域 中取 , 选择若干合适人选, 请他们写出各自觉得青年人最合适最恰当旳年龄区间(从多少岁到多少岁), 即将模糊概念明确化. 若 次实验中覆盖27岁旳年龄区间旳次数为 , 则称 为27岁对于青年人旳从属频率, 表8-4是抽样调查记录旳成果. 由于27岁对于青年人旳从属频率稳定在0. 78附近, 因此可得到 属于模糊集 旳从属度 .③ 在论域 中合适旳取若干个样本点 , 分别拟定出其从属度 , 建立合适坐标系, 描点连线即可得到模糊集 旳从属函数曲线.将论域 分组, 每组以中值为代表分别计算各组从属频率, 持续地描出图形使得到青年人旳从属函数曲线, 见表8-5与图8-5所示.拟定模糊集合从属函数旳模糊记录措施, 注重实际资料中涉及旳信息, 采用了记录分析手段, 是一种应用拟定性分析揭示不拟定性规律旳有效措施．特别是对某些从属规律不清晰旳模糊集合, 也能较好地拟定其从属函数．22.5~23.5 129 1.00 34.5~35.5 260.202 23.5~24.5 129 1.00 35.5~36.5 1 0.008 24.5~25.5128 0.992⑵ 三分法三分法也是运用概率记录中思想以随机区间为工具来解决模糊性旳旳一种客观措施. 例如建立矮个子 , 中档个子 , 高个子 三个模糊概念旳从属函数. 设3{}P =矮个子,中等个子,高个子，论域 为身高旳集合, 取 (单位: m). 每次模糊实验拟定 旳一次划分, 每次划分拟定一对数 , 其中 为矮个子与中档个子旳分界点, 为中档个子与高个子旳分界点, 从而将模糊实验转化为如下随机实验: 即将 看作二维随机变量, 进行抽样调查, 求得 、旳概率分布 、 后, 再分别导出 、 和 旳从属函数 、 和 , 相应旳示意图如图8-6所示.1()(),A x x P t dt ξμ+∞=⎰ 3()(),A xx P t dt ημ+∞=⎰213()1()().A A A x x x μμμ=--一般 和 分别服从正态分布 和 , 则 、 和 旳从属函数分别为111()1,A x a x μσ⎛⎫-=-Φ⎪⎝⎭322()1,A x a x μσ⎛⎫-=-Φ ⎪⎝⎭ 22121().A x a x a x μσσ⎛⎫⎛⎫--=Φ-Φ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中221().2t xx e dt π--∞Φ=⎰⑶ 模糊分布法根据实际状况, 一方面选定某些带参数旳函数, 来表达某种类型模糊概念旳从属函数（论域为实数域）, 然后再通过实验拟定参数.在客观事物中, 最常见旳是以实数集作论域旳情形. 若模糊集定义在实数域 上, 则模糊集旳从属函数便称为模糊分布. 下面给出几种常用旳模糊分布, 在后来拟定从属函数时, 就可以根据问题旳性质, 选择合适(即符合实际状况)模糊分布, 根据测量数据求出分布中所含旳参数, 从而就可以拟定出从属函数了.为了选择合适旳模糊分布, 一方面应根据实际描述旳对象给出选择旳大体方向. 偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色旳“淡”等偏向小旳一方旳模糊现象, 其从属函数旳一般形式为图8-5 年轻人旳从属函数曲线 图8-6 由概率分布拟定模糊集从属函数1, ;()(),.A x a x f x x a μ≤⎧=⎨>⎩偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色旳“浓”等偏向大旳一方旳模糊现象, 其从属函数旳一般形式为0, ;()(),.A x a x f x x a μ<⎧=⎨≥⎩中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和“、“中年”等处在中间状态旳模糊现象, 其从属面数可以通过中间型模糊分布表达.① 矩形(或半矩形)分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型1,;()0,.A x a x x a μ≤⎧=⎨>⎩0,;()1,.A x a x x a μ<⎧=⎨≥⎩0,;()1,;0,.A x a x a x b x b μ<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩此类分布是用于确切概念. 矩形(或半矩形)分布相应旳示意图如图8-7所示.图8-7矩形(或半矩形)分布示意图② 梯形(或半梯形)分布(a)偏小型(b)偏大型 (c)中间型1, ; (),;0, .A x a b xx a x b b ax b μ<⎧⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪>⎩0, ;(),;1, .A x a x ax a x b b a x b μ<⎧⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪>⎩ 0, ,;,; ()1, ;,;A x a x d x a a x b b ax b x c d xc xd d cμ<≥⎧⎪-⎪≤<⎪-=⎨≤<⎪⎪-≤<⎪-⎩梯形(或半梯形)分布旳示意图如图8-8所示.③ 抛物形分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型 图8-8梯形(或半梯形)分布示意图1, ; (),;0, .k A x a b x x a x b b a x b μ<⎧⎪⎪-⎛⎫=≤≤⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎪>⎩ 0, ; (),;1, .k A x a x a x a x b b a x b μ<⎧⎪⎪-⎛⎫=≤≤⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎪>⎩ 0, ,;,; ()1, ;,;k A kx a x d x a a x b b a x b x c d x c x d d c μ<≥⎧⎪-⎛⎫⎪≤< ⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨≤<⎪⎪-⎛⎫⎪≤< ⎪-⎪⎝⎭⎩抛物形分布旳示意图如图8-9所示.④ 正态分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型21, ;(),.x a A x a x e x a σμ-⎛⎫- ⎪⎝⎭≤⎧⎪=⎨⎪>⎩20, ;()1,.x a A x a x e x a σμ-⎛⎫- ⎪⎝⎭<⎧⎪=⎨⎪-≥⎩ 2().x a A x eσμ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=正态分布旳示意图如图8-10所示.⑤ 柯西分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型1, ;()1,.1() (0,0)A x a x x a x a βμααβ≤⎧⎪=⎨>⎪+-⎩>> 0, ;()1,.1() (0,0)A x a x x a x a βμααβ-≤⎧⎪=⎨>⎪+-⎩>> 1(),1()(0,).A x x a βμααβ=+->为正偶数柯西形分布旳示意图如图8-11所示. (a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型 图8-9 抛物形分布示意图(a)偏小型 (b)偏大型 (c)中间型 图8-10 正态分布示意图 (a) 偏小型 (b)偏大型 (c)中间型图8-11 柯西分布示意图⑥Γ型分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型()1, ;(),.k x a A x a x ex a μ--≤⎧=⎨>⎩ ()0, ;()1,.k x a A x a x ex a μ--≤⎧=⎨->⎩()(),;()1, ;,.k x a A k b x e x a x a x b ex b μ----⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩其中 . 型分布旳示意图如图8-12所示.(a) 偏小型 (b)偏大型 (c)中间型图8-12 Γ型分布示意图。
数学建模综合评价与决策方法讲义
数学建模综合评价与决策方法讲义一、综合评价方法1. 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）-建立层次结构模型，将问题分解为若干层次的子目标。
-设定评价指标，确定各级指标的权重。
-进行判断矩阵的构建和归一化处理，计算各指标的相对重要性。
-计算得到各评价对象的综合得分。
2.评价函数法-建立指标体系，确定评价指标及其权重。
-设定评价函数，将指标的具体取值代入评价函数中计算得分。
-对各个评价对象进行综合评价，得到最终得分。
3.灰色关联分析法-将评价对象的指标数据进行标准化处理。
-计算各指标与评价对象的关联度，并对其进行等级排序。
-综合各指标的关联度得到评价对象的综合得分。
4.主成分分析法-将指标变量进行标准化处理。
-计算相关系数矩阵，并求取其特征值和特征向量。
-选择主成分，计算得到各指标的主成分系数。
-根据主成分系数计算各评价对象的得分。
二、决策方法1.线性规划-建立数学模型，确定决策变量和目标函数。
-设定约束条件，包括线性约束和非负约束等。
-进行优化求解，得到最优解。
2.整数规划-在线性规划的基础上，限制决策变量为整数。
-利用启发式算法（如分支定界法、遗传算法等）求解整数规划问题。
3.动态规划-将问题划分为若干个阶段，设计状态变量和状态转移方程。
-确定决策变量和目标函数。
-利用递归的方式，从最后一个阶段开始向前推导，得到最优解。
4.决策树-建立决策树模型，将问题划分为若干个决策节点和叶节点。
-根据数据集的属性值进行分割，选择最优的分割属性。
-递归地构建决策子树，对新样本进行分类。
5.模拟退火算法-建立数学模型，确定决策变量和目标函数。
-设定初始解和目标函数的初始值。
-迭代过程中，通过接受非优解的概率来避免陷入局部最优解，以找到全局最优解。
以上是数学建模中常用的综合评价和决策方法，在实际问题中可以根据具体情况选择合适的方法进行分析和求解。
数学建模的综合评价和决策方法能够帮助我们在不确定和复杂的问题中做出合理的决策，并找到最优解。
数学建模实用教程-第8章 综合评价方法
⑶ 确定正理想解S*(z1*, z2*,L , zm* )和负理想解S(z1, z2,L , zm ).
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8.4 常用的综合评价数学模型
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8.3 评价指标权重系数的确定方法
8.3.3 综合集成赋权法
1. 加法集成赋权法 设aj 和bj分别为由主观赋权法和客观赋权法对第 j项指
标所确定的权重系数，第 j项指标新的权重系数为
wj k1aj k2bj ( j 1,2,L ,m).
其中k1, k2 0为待定常数，且满足k1 k2 1或k12 k22 1．k1, k2 分别表示主观权重与客观权重的相对重要程度．
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8.2 评价指标体系的构建及其预处理方法
8.2.4 评价指标的预处理方法
1. 指标的一致化处理
(1) 极小型指标化为极大型指标
令
xj
1； xj
或
xj m1iaxn {xij} x j．
(2) 居中型指标化为极大型指标
mj
令 M j m1iaxn {xij}， m1iinn{xij}，取
xj
i1
( j 1,2,L
, m).
s j０
min{s
1 jm
j }.
③ 如果最小均方差 sj０ 0，则可删除与 s j０对应的指标
x
．考察完所有指标，即可得到最终的评价指标
j０
体
系
．
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8.2 评价指标体系的构建及其预处理方法
数学建模评价方法
数学建模评价方法依据评价目的，确定诸评价指标在对某事物评价中的相对重要性，或各指标的权重; 合理确定各单个指标的评价等级及其界限;依据评价目的，数据特征，选择适当的综合评价方法，并依据已掌握的历史资料，建立综合评价模型;2建模评价方法一现有的统计方法：主要为多元统计方法，如多元回归、逐步回归分析、判别分析、因子分析、时间序列分析。
模糊多元分析方法：由模糊数学发展而来，包括模糊聚类、模糊判别、模糊综合评价等方法。
简易方法：主要包括综合评分法、综合指数法、层次分析法、Topsis法、秩和比法等。
特点：①简单有用;②适用于各种资料;③存在一定的局限性。
确定多指标综合评价的等级数量界限，在对同类事物综合评价的应用施行中，对选用的评价模型进行视察，并不断修改补充，使之具有一定的科学性、有用性与先进性，然后推广应用。
3建模评价方法二建模方法"初等数学法。
主要用于一些静态、线性、确定性的模型。
例如，席位分配问题，同学成绩的比较，一些简单的传染病静态模型。
数据分析法。
从大量的观测数据中，利用统计方法建立数学模型，常见的有：回归分析法，时序分析法。
仿真和其他方法。
主要有计算机模拟(是一种统计估计方法，等效于抽样试验，可以离散系统模拟和连续系统模拟)，因子试验法(主要是在系统上做局部试验，依据试验结果进行不断分析修改，求得所必须模型结构)，人工现实法(基于对系统的了解和所要达到的目标，人为地组成一个系统)。
层次分析法。
主要用于有关经济计划和〔管理〕、能源决策和分配、行为科学、军事科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境等领域，以便进行决策、评价、分析、猜测等。
该方法关键的一步是建立层次结构模型。
4建模评价方法三基本方法为：在建模的假设的基础上，进一步分析建模假设的条款，首先区分那些是常量，哪些是变量，哪些已知、未知，然后查出各种量所处的位置、作用和它们之间的关系 ,选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻划实际问题的数学模型。
数学建模综合评价方法
建模参考资料综合评价方法一、对于评论指标所谓指标就是用来评论系统的参量．比如，在校学生规模、教课质量、师资构造、科研水同等，就能够作为评论高等院校综合水平的主要指标．一般说来，任何—个指标都反应和刻画事物的—个侧面．从指标值的特色看，指标能够分为定性指标和定量指标．定性指标是用定性的语言作为指标描绘值，定量指标是用详细数据作为指标值．比如，旅行景区质量等级有 5A 、 4A 、3A 、 2A 和 1A 之分，则旅行景区质量等级是定性指标；而景区年游客招待量、门票收入等就是定量指标．从指标值的变化对评论目的的影响来看，能够将指标分为以下四类：(1)极大型指标 ( 又称为效益型指标 ) 是指标值越大越好的指标；(2)极小型指标 ( 又称为成本型指标 ) 是指标值越小越好的指标；(3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标；(4)区间型指标是指标值取在某个区间内为最好的指标．比如，在评论公司的经济效益时，收益作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理花费作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理花费是成本型指标．再如建筑工程招标中，招标报价既不可以太高又不可以太低，其值的变化范围一般是( 10%, 5%) ×标的价，超出此范围的都将被裁减，所以招标报价为区间型指标．招标工期既不可以太长又不可以很短，就是居中型指标．在实质中，无论按什么方式对指标进行分类，不一样种类的指标能够经过相应的数学方法进行互相变换1评论指标的办理方法一般状况下，在综合评论指标中，各指标值可能属于不一样种类、不一样单位或不一样数目级，进而使得各指标之间存在着不行公度性，给综合评论带来了诸多不便．为了尽可能地反应实质状况，除去因为各项指标间的这些差异带来的影响，防止出现不合理的评论结果，就需要对评论指标进行必定的预办理，包含对指标的一致化办理和无量纲化办理．1．指标的一致化办理所谓一致化办理就是将评论指标的种类进行一致．一般来说，在评论指标系统中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都拥有不一样的特色．如产量、收益、成绩等极大型指标是希望取值越大越好；而成本、花费、缺点等极小型指标则是希望取值越小越好；对于室内温度、空气湿度等居中型指标是既不希望取值太大，也不希望取值太小，而是居中为好．若指标系统中存在不一样种类的指标，一定在综合评论之前将评论指标的种类做一致化办理．比如，将各种指标都转变为极大型指标，或极小型指标．一般的做法是将非极大型指标转变为极大型指标．可是，在不一样的指标权重确立方法和评论模型中，指标一致化办理也有差异．(1)极小型指标化为极大型指标对极小型指标x j，将其转变为极大型指标时，只要对指标x j取倒数：x j 1x j，或做平移变换：x j M j x j，此中M j max{ x ij } ，即1 i nn 个评论对象第j项指标值x ij最大者．(2)居中型指标化为极大型指标对居中型指标 x j，令M j max{ x ij } ， m j min{ x ij } ，取1 i n 1 i n就能够将 x j转变为极大型指标．(3)区间型指标化为极大型指标对区间型指标x j， x j是取值介于区间[a j , b j ] 内时为最好，指标值离该区间越远就越差．令M j max{ x ij } ，1 i n m j min{ x ij }1 i n，c j max{a j m j, M j b j }, 取就能够将区间型指标x j转变为极大型指标．近似地，经过适合的数学变换，也能够将极大型指标、居中型指标转变为极小型指标．2．指标的无量纲化办理所谓无量纲化，也称为指标的规范化，是经过数学变换来除去原始指标的单位及其数值数目级影响的过程．所以，就有指标的实质值和评论值之分．—般地，将指标无量纲化办理此后的值 称为指标评论值．无量纲化过程就是将指标实质值转变为指标评论值的过程．对于 n个评论对象 S 1, S 2 ,L , S n ，每个评论对象有 m 个指标，其观察值分别为x ij (i 1,2,L ,n; j1,2,L , m) ．(1) 标准样本变换法令1n1n2 *此中样本均值 x jx ij ，样本均方差 s j( x ijx j )，x ij 称为标准观察值．n i 1n i 1特色：样本均值为 0 ，方差为 1；区间不确立，办理后各指标的最大值、最小值不同样； 对于指标值恒定 ( s j 0 ) 的状况不合用； 对于要求指标评论值 x ij * 0 的评论方法 ( 如熵值法、几何加权均匀法等 ) 不合用．(2) 线性比率变换法对于极大型指标，令 对极小型指标，令 或该方法的长处是这些变换方式是线性的， 且变化前后的属性值成比率． 但对任一指标来说，变换后的 x ij *1 和 x ij * 0 不必定同时出现．特色：当 x ij 0 x *[0,1]；计算简易，并保存了相对排序关系．时， ij(3) 向量归一化法对于极大型指标，令对于极小型指标，令n长处：当 x ij0 时， x ij * [0,1] ，即(x ij * )2 1 ．该方法使 0 x ij *1，且变换i 1前后正逆方向不变；弊端是它是非线性变换，变换后各指标的最大值和最小值不同样．(4) 极差变换法对于极大型指标，令对于极小型指标，令其长处为经过极差变换后，均有 0 x ij * 1 ，且最优指标值 x ij * 1，最劣指标值 x *ij 0 ．该方法的弊端是变换前后的各指标值不行比率，对于指标值恒定( s j 0) 的状况不合用．(5) 功能系数法令此中 c, d 均为确立的常数． c 表示“平移量”，表示指标实质基础值， d 表示“旋转量”，即表示“放大”或“减小”倍数，则x ij*[ c, c d ] ．往常取 c 60,d 40 ，即则 x ij*实质基础值为 60 ，最大值为 100，即 x ij*[60,100] ．特色：该方法能够当作更广泛意义下的一种极值办理法，取值范围确立，最小值为 c ，最大值为c d ．3．定性指标的定量化在综合评论工作中，有些评论指标是定性指标，即只给出定性地描绘，比如：质量很好、性能一般、靠谱性高、态度恶低等．对于这些指标，在进行综合评论时，一定先经过适合的方式进行赋值，使其量化．一般来说，对于指标最优值可赋值10.0 ，对于指标最劣值可赋值为0.0 ．对极大型和极小型定性指标常按以下方式赋值．(1)极大型定性指标量化方法对于极大型定性指标而言，假如指标能够分为很低、低、一般、高和很高等五个等级，则能够分别取量化值为,,,和，对应关系如图 2 所示．介于两个等级之间的能够取两个分值之间的适合数值作为量化值．很低低一般高很高图 2 极大型定性指标量化方法(2)0极小型定性指标量化方法对于极小型定性指标而言，假如指标能够分为很高、高、一般、低和很低等五个等级，则能够分别取量化值为,,,和，对应关系如图 3 所示．介于两个等级之间的能够取两个分值之间的适合数值作为量化值．很高高一般低很低二、对于模糊综合评论方法在客观世界中，存在着很多不确立性现象，这类不确立性有两大类：一类是随机性现象，即事物对象是明确的， 因为人们对事物的因果律掌握不够，使得相应结果拥有不行预知性，比如晴日、下雨、下雪，这是明确的，但出现规律不确立；另一类是模糊性现象，即某些事物或观点的界限不清楚，使得事物的差异之间存在着中间过渡过程或过渡结果，比如年青与年迈、高与矮、美与丑等，这类不确立性现象不是人们的认识达不到客观实质所造成的，而是事物的一种内在构造的不确立属性，称为模糊 性现象．模糊数学就是用数学方法研究和办理拥有“模糊性”现象的一个数学分支．而模糊综合评论就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些界限不清、不易定量的要素定量化，进行综合评论的一种方法．． 1 隶属度函数确实定方法隶属度的思想是模糊数学的基本思想， 确立切合实质的隶属函数是应用模糊数学方法成立数学模型的重点，但是这是到现在还没有完整解决的问题．下边介绍几种常用确实定隶属函数的方法．⑴ 模糊统计法模糊统计法是 利用概率统计思想确立隶属度函数的一种客观方法， 是在模糊统计的基础上依据隶属度的客观存在性来确立的． 下边以确立青年人的隶属函数为例来介绍其主要过程．① 以年纪为论域 X ，在论域 X 中取一固定样本点 x 0 27 ．*°*② 设 A 为论域 X 上随机改动的一般会合，A 是青年人在 X 上以A 为弹性界限的模糊集，对 * 的改动拥有限制作用．此中x 0 ° °AA ，或 x 0 A ，使得 x 0对 °A 的隶属关系拥有不确立性． 而后进行模糊统计试验， 若 n 次试验中覆盖 x 0的次数为 m n ，则称 m n°n 为 x 0 对于 A 的隶属频次．因为当试验次数 n 不停增大时，隶属频次趋于某一确立的常数，该常数就是°x 0 属于 A 的隶属度，即比方在论域 X 中取 x 0 27 ，选择若干适合人选，请他们写出各自以为青 年人最适合最适合的年纪区间( 从多少岁到多少岁 ) ，马上模糊观点明确 化．若 n 次试验中覆盖 27 岁的年纪区间的次数为 m ，则称 m为 27 岁对于青n年人的隶属频次，表 4 是抽样检查统计的结果．因为 27 岁对于青年人的隶属频次稳固在0 ． 78 邻近，所以可获得x 0 27 属于模糊集°的隶属度AA．°(27) 0.78试验次数 n表 4 27 岁对青年人的隶属频次1020 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 129隶属次数 m 61423313947536268768595101隶属频次 mn③ 在论域 X 中适合的取若干个样本点x 1 , x 2 ,L , x n ，分别确立出其隶属度A i)(i 1,2,L , n)，成立适合坐标系，描点连线即可获得模糊集A 的隶属函数°(x°曲线．将论域 X 分组，每组以中值为代表分别计算各组隶属频次，连续地描出图形使获得青年人的隶属函数曲线，见表 5 与图 5 所示．确立模糊会合隶属函数的模糊统计方法，重视实质资猜中包含的信息，采纳了统计剖析手段，是一种应用确立性剖析揭露不确立性规律的有效方法．特别是对一些隶属规律不清楚的模糊会合， 也能较好地确立其隶属函数．表 5 分组计算隶属频次 ( 试验次数 129)分组 频数 隶属频次 分组 频数 隶属频次~ 2 ~ 103 ~ 27 ~ 101 ~ 51 ~ 99 ~ 67 ~ 80 ~ 124 ~ 77 ~ 125 ~ 27 ~ 129 ~ 27 ~ 129 ~ 26 ~ 129 ~ 26 ~ 129 ~ 26 ~129 ~1~128⑵ 三分法三分法也是利用概率统计中思想以随 机区间为工具来办理模糊性的的一种客观方法．比如成立矮个子 ° ° ，高 个1 2A ，中等个子 A°子 A 3 三个模糊观点的隶属函数．设P 3 {矮个子 , 中等个子 , 高个子 } ，论域 X 为身高的会合， 取 X (0,3) ( 单位： 图 5 年青人的隶属函数曲 线 m)．每 次模糊试验确立 X 的一次区分，每次划 分 确 定一对数 ( , ) ，此中 为矮个子与中等个子的分界点， 为中等个子与高个子的分界点， 进而将模糊试验转变为以下随机试验： 马上 ( , ) 看作二维随机变量，进行抽样检查，求得°、、 的概率散布 P ( x) 、 P (x) 后，再分别导出 A 1 ° 和 °的隶属函数 ± (x) 、 ±( x) 和 ± ( x) ，相应的表示图如图 6 所示．A 2A 3AA2 A13往常 和 分别听从正态散布 2 ) 和 N ( a 2 2° ° °的隶属N (a 1, 1 , 2)，则 A 1 、 A 2 和 A 3 函数分别为x1 t 2此中 ( x)e 2dt.2 图 6 由概率散布确立模糊集隶属函数⑶ 模糊散布法依据实质状况，第一选定某些带参数的函数，来表示某种种类模糊观点的隶属函数（论域为实数域），而后再经过实验确立参数．在客观事物中，最常有的是以实数集作论域的情况．若模糊集定义在实数域 R 上，则模糊集的隶属函数便称为模糊散布．下边给出几种常用的模糊散布，在此后确立隶属函数时，就能够依据问题的性质，选择适合 ( 即切合实质状况 ) 模糊散布，依据丈量数据求出散布中所含的参数，进而就能够确立出隶属函数了．为了选择适合的模糊散布，第一应依据实质描绘的对象给出选择的大概方向．偏小型模糊散布适合描绘像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等倾向小的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为偏大型模糊散布适合描绘像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等倾向大的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为中间型模糊散布适合描绘像“中”、“温暖“、“中年”等处于中间状态的模糊现象，其隶属面数能够经过中间型模糊散布表示．①矩形(或半矩形 )散布(a) 偏小型(b) 偏大型(c) 中间型此类散布是用于切实观点．矩形( 或半矩形 ) 散布相应的表示图如图7 所示．(a) 偏小型(b)偏大型(c)中间型图 7 矩形 ( 或半矩形 ) 散布表示图②梯形 ( 或半梯形 ) 散布(a) 偏小型(b) 偏大型(c) 中间型梯形 ( 或半梯形 ) 散布的表示图如图8 所示．③ 抛物形散布(a) 偏小型(b) 偏大型(c) 中间型(a) 偏小型(b)偏大型(c)中间型图 8 梯形 ( 或半梯形 ) 散布表示图抛物形散布的表示图如图9 所示．(a) 偏小型(b)偏大型(c)中间型图 9 抛物形散布表示图④ 正态散布(a) 偏小型(b) 偏大型(c) 中间型正态散布的表示图如图10 所示．⑤ 柯西散布(a) 偏小型(b) 偏大型(c) 中间型偏小型柯西形散布的表示图如图(a)型偏大型(b)11所示．(c)中间图 10 正态散布表示图⑥型散布(a) 偏小型(b) 偏大型(c) 中间型(a)偏小型(b)图 11偏大型柯西散布表示图(c)中间型此中k0 ．型散布的表示图如图12 所示．(a)偏小型(b)图 12偏大型型散布表示图(c)中间型。
数学建模--综合评价研究
可以解决相 关程度大的 评价对象
需要大量 的统计数 据,没有反 映客观发 展水平
证券组合投资 选择,地区发 展水平评价 主体结构的选 择,经济效益 综合评价
判别 分析
计算指标间距离, 判断所 归属的主体
6.系 统工 程方 法
评分 法 关联 矩阵 法 层次 分析 法
对评价对象划分等级、打 分,再进行处理 确定评价对象与权重,对 各替代方案有关评价项目 确定价值量 针对多层次结构的系统, 用相对量的比较,确定多 个判断矩阵,取其特征根 所对应的特征向量作为权 重,最后综合出总权重,并 且排序
不能解决 评价指标 间相关造 成的信息 重复问题, 隶属函数、 模糊相关 矩阵等的 确定方法
消费者偏好识 别、决策中的 专家系统、证 券投资分析、 银行项目贷款 对象识别等, 拥有广泛的应 用前景
的直觉确定为具体系数 模糊 (模糊综合评价矩阵) 积分 模糊 模式 识别 域上评价对象属性值的隶 扩展性,符合
综合评价
1
当前，常用的综合评价方法 大致可分为 9 大类，现归纳如下：
常用的综合评价方法比较与汇总 方法 类别 1.定 性评 价方 法 方法 名称 专家 会议 法 Delphi 法 2.技 术经 济分 析方 法 经济 分析 法 经济 分析 法 3.多 属性 决策 方法 多属 性和 多目 标决 策方 法 4.运 筹学 方法 (狭 义) 数据 包络 分析 模型 以相对效率为基础,按多 指标投入和多指标产出, 对同类型单位相对有效性 进行评价,是基于一组标 准来确定相对有效生产前 沿面 通过化多为少、分层序列、 对评价对象 直接求非劣解、重排次序 法来排序与评价 描述比较精 确,可以处理 多决策者、多 指标、动态的 对象 可以评价多 输入多输出 的大系统，并 可用“窗口” 技术找出单 元薄弱环节 加以改进 5.统 计分 析方 法 主成 分分 析 相关的经济变量间存在起 着支配作用的共同因素, 可以对原始变量相关矩阵 内部结构研究,找出影响 全面性, 可 比性,客观合 理性 只表明评 价单元的 相对发展 指标,无法 表示出实 际发展水 平 因子负荷 符号交替 使得函数 意义不明 对评价对象进 行分类 评价经济学中 生产函数的技 术、规模有效 性,产业的效 益评价、教育 部门的有效性 刚性的评 价,无法涉 及有模糊 因素的对 象 优化系统的评 价与决策 ,应 用领域广泛 征询专家,用信件背靠背 评价、汇总、收敛 通过价值分析、成本效益 分析、价值功能分析,采用 NPV、IRR、T 等指标 通过可行性分析、可靠性 评价等 方法的含义 明可比性强 建立模型 比较困难, 只适用评 价因素少 的对象 组织专家面对面交流,通 过讨论形成评价结果 操作简单,可 以利用专家 的知识,结论 易于使用 主观性比 较强,多人 评价时结 论难收敛 战略层次的决 策分析对象, 不能或难以量 化的大系统简 单的小系统 大中型投资与 建设项目,企 业设备更新与 新产品开发效 益等评价 方法描述 优点 缺点 适用对象
数学建模常用综合评价方法介绍
三、Topsis法
例4 某儿童医院1994～1998年7项指标的实际值，用 Topsis法比较该医院这5年的医疗质量
年份 1994 1995 出院 病床使 平均住 抢救成 治愈好 院内感 病死率 人数 用率 院日 功率 转率 染率 21584 76.7 7.3 1.01 78.3 97.5 2.0 24372 86.3 7.4 0.80 91.1 98.0 2.0
3. 合成方法
1、 加权算术平均法的主要特点
（1 ）对于数据的要求最宽松，用于合成的某一 指标数值可以为0、为负；
（ 2 ）各指标可以相互补偿（等量补偿），即此 升彼降，总的评价值不变； （3 ）突出了评价分数较大、权数较大者的作用， 适用于主因素突出性的评价；（对较大数值的 变动更为敏感）。
3. 合成方法
•
按确定权数的方法分为：
• 主观赋权法；
• 客观赋权法。
2. 权数的确定方法
• 主观赋权法
– 德尔菲法（专家法）——实际上各个专家可 以根据自己的理解选择不同的方法 – 相邻指标比较法；（先按重要性将全部评价 指标排序，再将相邻指标的重要性进行比较 – 层次分析法（ＡＨＰ）——互反式两两比较 构权法。
计算各年与最优、最劣向量的距离（以94年为例）
2 2 D ( 0 . 4833 0 . 4234 ) ( 0 . 5612 0 . 5612 ) 0 . 62 1
2 2 D ( 0 . 4142 0 . 4234 ) ( 0 . 3118 0 . 5612 ) 0 . 24 1
三、Topsis法
1. 设有n个评价对象、m个评价指标，原始数据可写 为矩阵X＝(Xij)n×m 2. 对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换
综合评价方法(参考)数学建模
第一章 综合评价概述
一、综合评价的目的 二、综合评价的一般步骤
一、综合评价的目的
＊
综合评价一般表现为以下几类问题： ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类，
但不同于复合分组（重叠分组）； ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或
在分类基础上对各小类按优劣排序）； ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一
• 指标的无量纲化就是把不同计量单位的 指标数值，改造成可以直接加总的同量 纲数值，。即通过数学变换，消除计量 单位对原数据的影响。
• 指标的无量纲化是综合评价的前提 • 多数场合下，同向化处理过程与无量纲
化过程是同时进行的。
＊
数据指标的无量纲化处理方法
(1)标准差法：
xij
xij x j sj
– 相邻指标比较法；（先按重要性将全部评价指标排 序，再将相邻指标的重要性进行比较
– 层次分析法（ＡＨＰ）——互反式两两比较构权法。 – 模糊综合评价——模糊评价法奠基于模糊数学。它
不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排 序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度 原则去评定对象的等级。
＊
2(x j Mj 2(M
Mj
mj mj j xj mj
) )
, ,
mj M
xj
j m 2
M j x
j j
mj 2
Mj
其中M j＝max(xij ),m j min(xij )
＊
•1.3 将区间型化为极大型
对某个区间型数据指标 x ，则
x
f (x) a ln x b , 3 x 5
其中, , a,b 为待定常数．
数学建模之综合评价模型
一，层次分析法以一道例题进行分析：小明同学想出去旅游，在查阅了网上的攻略后，他初步选择了苏杭，北戴河，桂林三个地方请你确定评价指标，形成评价体系为小明同学选择最佳的方案。
第一步：确定模型题中出现“确定评价指标，形成评价体系”这类词眼，确定这是一道层次分析题。
第二步：建立层次结构模型我们从三个问题入手：1.我们评价的目标是什么？答：为小明选择最佳的旅游景点。
2.我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？答：三种。
分别是去苏杭，去北戴河，去桂林。
3.评价的准则或者说指标是什么？答：景色，花费，居住，饮食，交通。
第三个的答案我们可以根据题目中的背景材料，常识，以及网上（知网，百度学术，虫部落-快搜）搜索到的参考资料进行结合，从中筛选合适的指标第三步：构建权重表格我们最终的目标就是要填满这个权重矩阵（同颜色的单元格和为1）重要性表（1）构建指标之间的判断矩阵：两个指标两个指标进行比较，根据重要性表填写两两比较的结果1.比较景色和花费的重要程度答：花费比景色略微重要（景色：花费 = 1：2）2.比较景色和居住的重要程度答：景色比居住要重要一点（景色：居住 = 4 ：1）…………总共需要比较次判断矩阵：上面的矩阵就是层次分析法中的正互反矩阵（我们需要知道正互反矩阵的特点）（1）aij表示：与 j 相比，i 的重要程度（例如：和居住相比，景色的重要程度是4）（2）当 i = j 时，两个指标相同，同等重要记为1（3）aij > 0 && aij x aji = 1（2）构建每个指标下，方案之间的判断矩阵1.比较苏杭的花费和北戴河的花费的多少程度答：北戴河的花销要比苏杭的花销要稍多（北戴河：苏杭 = 3 ：1）2.比较苏杭的花费和桂林的花费的多少程度答：桂林的花销要比苏杭的花销要贵的多得多（桂林：苏杭 = 8 ：1）3.比较北戴河的花花费和桂林的花费的多少程度答：桂林的花销要比北戴河要稍多（桂林：北戴河 = 3 ：1）……判断矩阵：第四步：对判断矩阵一致性检验（如果判断矩阵已经是一致矩阵，那么就没必要进行一致性检验）首先介绍一下一致矩阵：在判断矩阵的前提下，如果各行成比例且各列成比例，那么该矩阵就是一致矩阵第一步：计算判断矩阵的最大特征值及一致性指标ci第二步：根据n的大小，按照下表查找平均随机一致性指标ri，计算一致性比例cr 第三步：判断判断矩阵的一致性是否小于0.1结论：如果cr < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。