2019-2020年高考数学预测卷一 含答案

2019-2020年高考数学预测卷一 含答案一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m =12．2. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB BC ==，，则棱锥O ABCD -的体积为3．设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +⋅= 32 ． 4．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += 0 ．5. 已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若()0,()232f f ππ==, 则实数ω的最小值为 3 ．6. 若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 23 ．7. 已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1c m P A P B P C ===，则球的表面积为32π2cm ． 8. 已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅的值为203- ．9. 正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于______cm 3.10. 若方程[][]22221,1,5,2,4x y a b a b+=∈∈表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆，则z a b =+的最小值为 4 ．11. 如已知函数22 () n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，且()(1)n a f n f n =++，则1232014a a a a +++⋯+=2014 .12. 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为60°,为2p ． 13. 已知函数()sin f x ax x =+的图像在某两点处的切线相互垂直，则a 的值为 0 . 14. 已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 45 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，sin()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27cos2()2cos ()16625ππαα∴+=+-=-，2417sin 2sin[2()]()6325225ππαα∴=+-=⨯--=．16. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点． （1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．（1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，E 是AB 的中点，060DAB ∠=，211312cos60424DE ∴=+-⨯=，222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =， DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面, ∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH ∴，2PG CH DCGA HA AB∴===.17. 如图，在半径为30 cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD （点A ，B 在直径上，点C ，D 在半圆周上），并将其卷成一个以ADP BCD E G为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）． （1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？ （2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？ 解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，法一易得BC =(0 30)x ∈，， 所以矩形ABCD 的面积为()2S x == 22900x x +-≤900=（2cm ）（当且仅当22900x x=-，x =cm ）时等号成立）此时BC =cm ；法二 设COB θ∠=，()0 θπ∈2，；则30sin BC θ=，30cos OB θ=， 所以矩形ABCD 的面积为()230sin 30cos 900sin 2S θθθθ=⨯⨯=，当sin 21θ=，即θπ=4时，max ()900S θ=（2cm ），此时BC =cm ； （2）设圆柱的底面半径为r ，体积为V ，由2AB r =π得，r =，所以()231900V r x x x =π=-π，其中(0 30)x ∈，， 由()2190030V x '=-=π得x =，此时，()31900V x x =-在(0，上单调递增，在()上单调递减，故当x =cm 3cm ，答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC 为cm 为时，圆柱体罐子的侧面积最大． （2）当截取的矩形铁皮的一边BC 为cm 为时，圆柱体罐子的体积最大．18. 在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，其左右焦点分别为1F ，2F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．①求证：OP OM ⋅为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问直线MQ 是否过定点，并说明理由．解：（1）易得223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，，①易得直线MA 的方程为：00y yy x =+，代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，，②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下： 依题意，020200208822828PBy y k y y y +==----+（）， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． 19．已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈.（1）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围；（2）若()f x 依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值，且22a c b +=，求()f x 的零点； （3）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，试求正整数m 的最大值.（1）①23232()(3123)(63)(393)x x f x x x e x x x t x x x t e '=-++-++=--++∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个不同的根， --------2分 令32()393g x x x x t =--++，则2()3693(1)(3)g x x x x x '=--=+-， 从而函数()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，在(1,3)-上递减.∵()g x 有3个零点，∴(1)0(3)0g g ->⎧⎨<⎩，∴824t -<<. -----------------4分（2）,,a b c 是()f x 的三个极值点∴3232393()()()()()x x x t x a x b x c x a b c x ab bc ac x abc --++=---=-+++++-----6分∴23932a b c ab ac bc t abca c b++=⎧⎪++=-⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩，∴1b =或32-（舍∵(1,3)b ∈-）∴111a b c ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩， 所以，()f x的零点分别为1-1，1+ -------------------10分 （3）不等式()f x x ≤，等价于32(63)x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-. 转化为存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立. 即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立.即不等式2063x e x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. ----------------12分 设2()63x x e x x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ-'=--+. 设()()26x r x x e x ϕ-'==--+，则()2x r x e -'=-.因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 所以()r x 在区间[1,]m 上是减函数. 又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，()3330r -=-<， 故存在()02,3x ∈，使得00()()0r x x ϕ'==.当01x x ≤<时，有()0x ϕ'>，当0x x >时，有()0x ϕ'<. 从而()y x ϕ=在区间0[1,]x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减. 又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<.所以，当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<. 故使命题成立的正整数m 的最大值为5. -----------------16分20．若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得数列{}n S 有连续的两项都等于50?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=，∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列． 当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122， 当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数）　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ．所以，10±=a ．。