2019-2020年高考数学预测卷一 含答案

2019-2020年高考数学预测卷一 含答案

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m =

1

2

．

2. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB BC ==，，则棱锥

O ABCD -的体积为

3．设函数)102)(3

6sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数

()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +?= 32 ． 4．已知函数22,0,

(),0

x x x f x ax bx x ?+≤=?+>?为奇函数，则a b += 0 ．

5. 已知函数()2sin()(0)f x x ω?ω=+>，若()0,()232

f f ππ

==, 则实数ω的最小值为 3 ．

6. 若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于9

8

的

概率为 2

3 ．

7. 已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1c m P A P B P C ==

=，则球的表面积为

32

π

2cm ． 8. 已知点G 、H 分别为ABC ?的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），

若46AC AB ==，，则HG BC ?的值为20

3

- ．

9. 正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为

4

π

的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于

______cm 3.

10. 若方程[][]22

221,1,5,2,4x y a b a b

+=∈∈表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆，则

z a b =+的最小值为 4 ．

11. 如已知函数22 () n n f n n n ??=?-??为奇数

为偶数

，且()(1)n a f n f n =++，则1232014a a a a +++?+=

2014 .

12. 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正

向的夹角为60°,为

2

p ． 13. 已知函数()sin f x ax x =+的图像在某两点处的切线相互垂直，则a 的值为 0 . 14. 已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12

-，b 与c 的夹角的正

切为13

-，2=b ，则?a c 的值为 45 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 设函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为

2

π

，函数()2

y f x π

=+为偶函数．

（1）求()f x 的解析式；

（2）若α为锐角，3

(

)2125

f α

π

+

=

，求sin 2α的值．

解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22T

π

ω∴==，

()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2

x π

=对称，

sin()1π?∴+=或sin()1π?+=-，0?π<<，2

π

?∴=

，

()sin(2)cos22

f x x x π

∴=+=；

（2）3()2125f απ+=，3

cos()65

πα∴+=，

α为锐角，4

sin()65

πα∴+=

24

sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，

27

cos2()2cos ()16625

ππαα∴+=+-=-，

2417sin 2sin[2()]()6325225ππαα∴=+-=?--=．

16. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点． （1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；

（2）若//PC 平面DGE ，求PG

GA 的值．

（1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，

E 是AB 的中点，060DAB ∠=，

2113

12cos60424

DE ∴=+-?=，

222

DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，

平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =， DE ABCD ?，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ?平面, ∴平面GDE ⊥平面PCD ；

（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，

则//PC 平面DGE ，,PC PAC ?平面平面PCA 平面GDE GH =，

//PC GH ∴，2PG CH DC

GA HA AB

∴===.

17. 如图，在半径为30 cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD （点A ，B 在直径上，点C ，D 在半圆周上），并将其卷成一个以AD

P B

C

D E G

为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）． （1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？ （2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？ 解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，

法一

易得BC =(0 30)x ∈，

， 所以矩形ABCD 的面积为

()2S x =

= 22900x x +-≤

900=（2

cm ）

（当且仅当22900x x

=-，x =cm ）时等

号成立）

此时BC =cm ；

法二 设COB θ∠=，()

0 θπ∈2

，；

则30sin BC θ=，30cos OB θ=， 所以矩形ABCD 的面积为

()230sin 30cos 900sin 2S θθθθ=??=，

当sin 21θ=，即θπ=4

时，max ()900S θ=（2cm ），

此时BC =cm ； （2）设圆柱的底面半径为r ，体积为V ，

由2AB r =π得，r =，

所以()231900V r x x x =π=-π

，其中(0 30)x ∈，

， 由()2190030V x '=-=π

得x =，

此时，()31900V x x =-在(0，上单调递增，在()

上单调递减，

故当x =cm 3cm ，

答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC 为cm 为时，圆柱体罐子的侧面积最大． （2）当截取的矩形铁皮的一边BC 为cm 为时，圆柱体罐子的体积最大．

18. 在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>过点(1，其左右焦

点分别为1F ，2F ．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ．

①求证：OP OM ?为定值；

②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问直线MQ 是否过定点，并说明

理由．

解：（1

）易得223121 a b c a ?

?+=???=??

，且222

c a b =-，解得224 2 a b ?=??=??，，

所以椭圆E 的方程为22

142

x y +=；

（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，，

①易得直线MA 的方程为：00y y

y x =+，

代入椭圆22

142

x y +=得，()

2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()

201

20288

y x y --=+，从而0

12088y y y =+， 所以()()2

2200000222

20000

284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----??

?=?=+= ?++++??，，，

②直线MQ 过定点(0 0)O ，

，理由如下： 依题意，0202

00

2

0882

2828

PB

y y k y y y +==----+（）， 由MQ PB ⊥得，0

2MQ y k =

， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02y

y x =，

所以直线MQ 过定点(0 0)O ，

． 19．已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈.

（1）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围；

（2）若()f x 依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值，且22a c b +=，求()f x 的零点； （3）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，试求正整数m 的最大值.

（1）①23232()(3123)(63)(393)x x f x x x e x x x t x x x t e '=-++-++=--++

∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个不同的根， --------2分 令32()393g x x x x t =--++，则2()3693(1)(3)g x x x x x '=--=+-， 从而函数()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，在(1,3)-上递减.

∵()g x 有3个零点，∴(1)0

(3)0g g ->??

，∴824t -<<. -----------------4分

（2）,,a b c 是()f x 的三个极值点

∴3232393()()()()()x x x t x a x b x c x a b c x ab bc ac x abc --++=---=-+++++-----6分

∴23

932a b c ab ac bc t abc

a c b

++=??++=-??+=-??+=?，∴1b =或32-（舍∵(1,3)b ∈-）

∴111a b c ?=-?=??

=+?， 所以，()f x

的零点分别为1-1

，1+ -------------------10分 （3）不等式()f x x ≤，等价于32(63)x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-. 转化为存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立. 即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立.

即不等式2063x e x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. ----------------12分 设2()63x x e x x ?-=-+-，则()26x x e x ?-'=--+. 设()()26x r x x e x ?-'==--+，则()2x r x e -'=-.

因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 所以()r x 在区间[1,]m 上是减函数. 又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，()3330r -=-<， 故存在()02,3x ∈，使得00()()0r x x ?'==.

当01x x ≤<时，有()0x ?'>，当0x x >时，有()0x ?'<. 从而()y x ?=在区间0[1,]x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减. 又1(1)40e ?-=+>，2(2)50e ?-=+>，3(3)60e ?-=+>，

4(4)50e ?-=+>，5(5)20e ?-=+>，6(6)30e ?-=-<.

所以，当15x ≤≤时，恒有()0x ?>；当6x ≥时，恒有()0x ?<. 故使命题成立的正整数m 的最大值为5. -----------------16分

20．若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．

（1）若???+-=.9414为偶数时

，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和

19T ；

（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．

①求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；

②设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得数列{}n S 有连续的

两项都等于50?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）数列?

??+-=.9414为偶数时，当为奇数时；

，当n n n n c n

n 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，

n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=，

∴准等差数列{}n c 的公差为8，

19(375)10(1781)9

83122

T +?+?=

+=； （2）①n a a n n 21=++ （*

∈N n ）（i ）

)1(221+=+++n a a n n （ii ）

（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*

∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列． 当n 为偶数时，a n n a a n -=???

?

??-+-=2122， 当n 为奇数时，

解法一：12121-+=???

?

??-++=a n n a a n ；

解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；

解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．

??

?--+=∴为偶数）

　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1

②解：当n 为偶数时，()221

2212222221222n n n n a n n n a S n =???? ??-+?-+???? ??-+?=；

当n 为奇数时，()22

12121212221212121????

??---+

-?-+???? ??-++++?=n n n a n n n a S n

21212-+=

a n ． 当k 为偶数时，50212

==k S k ，得10=k ．

由题意，有105021

92129=?=-+?=a a S ；

或10502

111212

11-=?=-+?=a a S ．

所以，10±=a ．