离散系统的动态性能分析
离散系统时域分析
z = eTs = eT e jT
写成极坐标形式为
z = z e j = eT e jT s的实部只影响z的模，s的虚部只影响z的相角。
s平面与z平面的映射关系为
s平面
映射
z平面
０ 右半平面 =０ 虚轴 ０ 左半平面
z １ 单位园外
z =１ 单位园周
cr
pr k
cr
pr k
cr cr e jr , cr cr e jr
cr
pr k
cr
1
pr
k 1
cr
e jr
pr ek jkr
cr e jr
p ek jkr r
c p e e k j(kr r )
j(kr r )
r
r
r(t)
+-
100 c(t) s(s+10)
解：由已知的G(s)可求出开环脉冲传递函数
10z(1 e10T ) G(z) (z 1)( z e10T )
闭环特征方程为
z2 + 3.5z + 0.5 = 0
z1 = 0.15 z2 = 3.73
因为 z2 1，所以该系统是不稳定的。
8.6 离散系统的时域分析
对于离散系统的z变换理论，如前所述，它仅限于采样值的分
析。对于离散系统的性能分析的讨论也只限于在采样点的值。然
而，当采样周期T 选择较大时，采样间隔中隐藏着振荡，可能反
映不出来，这造成实际连续信号和采样值变化规律不一致，会得
出一些不准确的分析结果。因此，必须注意采样周期T是否小于系
z 1 w 或 z w1
《离散系统的稳定性》课件
离散系统稳定性控制的方法
极点配置法
通过选择适当的系统参数， 使得系统的极点位于复平面 的某一区域，从而实现系统 的稳定性。
反馈控制
利用负反馈原理，通过将系 统输出信号的一部分或全部 反馈到输入端，对系统进行 调节，使其达到稳定状态。
状态反馈控制
根据系统当前状态变量反馈 信息，计算出控制输入信号 ，使得系统状态变量能够跟 踪设定的参考轨迹。
离散系统的应用领域
• 离散系统广泛应用于工程、科学 、经济和社会等领域。例如，数 字信号处理、控制系统、计算机 仿真、经济模型等领域中经常涉 及到离散系统的分析和设计。
02 离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离 散时刻发生变化，如数字电路、控制 系统等。
05 离散系统稳定性的未来研 究方向
离散系统稳定性的深入研究
深入研究离散系统的稳定性理论，包括离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性分析方法等，以提 高对离散系统稳定性的认识和理解。
深入研究离散系统的动态行为，包括离散系统的响应特性、离散系统的控制性能等，以揭示离散系统 稳定性的内在机制。
离散系统稳定性与其他领域的交叉研究
离散系统的稳定性分析方法
直接法
直接法是通过分析系统状态方程的解的性质，判断系统是否稳定。例如，通过 求解状态方程的解，观察其收敛性或发散性，判断系统的稳定性。
频域分析法
频域分析法是通过将离散系统转化为频域表示形式，分析系统的频率响应特性 ，判断系统的稳定性。例如，通过绘制系统的频率响应曲线，观察其穿越频率 和阻尼比等参数，判断系统的稳定性。
鲁棒控制
针对具有不确定性的离散系 统，设计一种控制策略，使 得系统在各种不确定性条件 下都能保持稳定。
离散事件动态系统建模与仿真技术研究
离散事件动态系统建模与仿真技术研究离散事件动态系统（Discrete Event Dynamic System，DEDS）是一种用来描述离散事件的数学模型，其在集成电路设计、制造业、物流管理、网络通信等领域中得到了广泛应用。
离散事件动态系统建模和仿真技术是研究这一领域的关键问题之一。
I. 离散事件动态系统简介离散事件动态系统是一种将时间分为离散事件的模型，该模型针对每个事件进行计算，以决定模型的下一个状态。
每个事件的时间戳都是不同的，一次模拟可以包含大量的事件，事件之间可能会有多种关系，这是离散事件模拟的特点。
常见的离散事件动态系统包括排队系统、自动控制系统、网络系统、供应链系统、交通系统等，可以应用于机器人系统、智能交通、虚拟现实等领域。
II. 离散事件动态系统建模离散事件动态系统的建模是指将动态的系统描述成一个离散事件模型的过程，常用的建模框架包括Petri网、DEVS和CTPN等。
Petri网是描述离散事件模型的一种图形化建模语言，其由Petri网元素和变迁组成。
当一个Petri网达到一个使变迁操作成为可能的状态时，变迁将被激活。
Petri网允许对分布式系统进行实时分析和检验，并允许通过变形分析系统行为的改变。
DEVS是离散事件系统建模技术的一种形式化表达，其通过定义系统组件之间的输入输出以及它们之间的转移逻辑来描述系统行为。
DEVS模型一般包含四个部分，输入信号、状态、事件响应函数和状态转移函数。
CTPN是一种图形化建模语言，它通过两个主要元素，控制流程和时间约束，来建模系统的动态行为。
控制流程用于表示系统中的活动和控制流，时间约束表示活动之间的时间上限和下限。
III. 离散事件动态系统仿真离散事件动态系统仿真技术是为了模拟离散事件系统的行为，以便分析和预测其性能。
通常，离散事件动态系统仿真需要从实际系统的模型出发，将系统的模型转换成计算机程序，利用程序模拟实际系统不同的状态和事件，并通过这些状态和事件来推断系统的行为。
动态分析计算公式
动态分析计算公式动态分析计算公式是一种用于估计或预测系统行为的方法。
它通过建立数学模型，使用不同的变量和参数，来描述系统在不同条件下的响应和动态行为。
这些模型可以用于分析和优化各种系统和过程，如控制系统、物理系统和经济系统等。
在动态分析计算公式中，通常使用微分方程或差分方程来描述系统的行为。
这些方程可以通过实验数据或系统特性来确定参数和变量的数学关系。
根据问题的具体情况，可以采用不同的建模技术和数学工具，如线性系统分析、非线性系统分析、离散事件系统分析等。
以下是一些常用的动态分析计算公式：1.一阶线性系统的动态响应公式：通常使用微分方程来描述一阶线性系统的动态响应，其一般形式为：dy/dt + a*y = b*u其中，y表示系统的输出，u表示系统的输入，a和b是系统的参数，t表示时间。
2.二阶线性系统的动态响应公式：二阶线性系统的动态响应可以由二阶微分方程来描述，其一般形式为：d^2y/dt^2 + a1*dy/dt + a0*y = b*u其中，y表示系统的输出，u表示系统的输入，a0、a1和b是系统的参数，t表示时间。
3.离散事件系统的状态转移公式：对于离散事件系统，其状态转移可以由差分方程来描述，其一般形式为：x(k+1)=f(x(k),u(k))其中，x(k)表示系统在第k个时刻的状态，u(k)表示系统在第k个时刻的输入，f是系统的状态转移函数。
4.控制系统的传递函数：控制系统的传递函数是描述系统输入与输出之间关系的重要工具，其一般形式为：G(s)=Y(s)/U(s)其中，G(s)是系统的传递函数，Y(s)和U(s)分别是系统的输出和输入的拉普拉斯变换。
5.系统的频域响应公式：系统的频域响应可以通过系统的传递函数和输入信号的频谱进行计算，其一般形式为：Y(w) = G(jw) * U(w)其中，Y(w)和U(w)分别是系统的输出和输入的频谱，G(jw)是系统的传递函数的频域表达式。
以上仅仅是动态分析计算公式的一些常见例子，实际应用中还会根据具体问题和系统特性进行调整和扩展。
4离散系统的稳态误差
大误差。工程经验值如下
控制过程 流量 压力 液面 温度 成分
采样周期T/s 1 5 5 20 20
若为随动系统，则采 样角频率可取为
s 10c
或
T
1 40
ts
自动控制原理
5.信号保持/复现
信号保持/复现： 零阶保持器把前一采样时刻的采样值保持到下一个采样时 刻。即e(nT+Δt)=e(nT), 0<= Δt<T.
=常数
例
求 X(s) a
s(s a)
的Z变换。
E(s)的极点
11
z
z
X (s) s s a X (z) z e0T z eaT
z
z
= z 1 z eaT
自动控制原理
例 求 e(t) sint 的Z变换。
11
1
E(s)
s2
2
( 2j s
j
s
)
j
E(z)
1z 2 j ( z e jT
z z e jT
)
自动控制原理
3、z变换性质
1、线性定 理
Z[ae1*(t) be2*(t)] aE1(z) bE2 (z)
2、实数位移定理
k 1
超前定理 Z[e(t kT )] zk[E(z) e(nT )zn ] n0
滞后定理 Z[e(t kT )] zk E(z) 求Z[ea(tT ) ]
自动控制原理
第七章 线性离散系统的分析与校正
7-1 离散系统的基本概念 7-2 信号的采样与保持 7-3 z变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差 7-6 离散系统的动态性能分析 7-7 离散系统的数字校正
《自动控制原理》第七章 离散控制系统
式中， ( z ) 称为离散信号e* (t ) 的z变换，记为 E( z) Z[e* (t )] E
7.3.2 z变换的方法
常用的求取离散函数的z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法。
1.级数求和法
根据z变换的定义，将连续信号 e(t ) 按周期 T 进行采样，级数展开可得
教学难点
离散时间函数的数学表达式及采样定理， 线性常系数差分方程与脉冲传递函数，采 样控制系统的时域分析，采样控制系统的 频域分析。
概述：
近年来，随着脉冲技术、数字式元器件、数字计算机，特别是微处理器
的迅速发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器，比如微型数字 计算机在控制系统中得到了广泛的应用。离散系统理论的发展是非常迅 速的。 因此，深入研究离散系统理论，掌握分析与综合数字控制系统的基 础理论与基本方法，从控制工程特别是从计算机控制工程角度来看，是 迫切需要的。
图7-3 信号复现过程
7.1.2 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的 被控对象的闭环控制系统。 其原理方框图如图7-4所示。
图7-4 数字控制系统方框图
过程分析：A/D转换器将连续信号转换成数字序列，经数字控制器处理后生 成离散控制信号，再通过D/A转换器转换成连续控制信号作用于 被控对象。
第7章 离散控制系统
教学重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握 线性连续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换的方法、Z变换的性质和Z反变换； 了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环 系统脉冲传递函数的计算方法； 与线性连续系统相对应，掌握线性离散系统的时 域和频域分析方法和原则。
离散系统的稳定性条件和瞬态响应课件
非线性离散系统的稳定性条件
局部稳定性
对于非线性离散系统，局部稳定性是其重要的稳定性条件。 这意味着在系统的小扰动下，其状态轨迹应能逐渐恢复到原 始状态。
全局稳定性
全局稳定性是指无论系统受到多大的扰动，其状态轨迹都能 逐渐恢复到原始状态。对于非线性离散系统，全局稳定性的 条件通常更为严格。
稳定性条件的分析和计算方法
控制器优化
在满足稳定性条件的前提下，通 过优化控制算法，提高控制器的
性能和效率。
仿真实验
通过仿真实验，验证基于稳定性 条件和瞬态响应的综合控制方案
的有效性和优越性。
06
总结与展望
研究成果与贡献
建立了离散系统稳定性判据，证明了系统稳定的充分必要条件，为离散系统稳定性 分析提供了新的理论依据。
针对离散系统的瞬态响应问题，提出了新的优化算法，有效提高了系统的瞬态性能 ，为离散系统优化设计提供了新的思路。
稳定性的性质
稳定性具有等价性、传递性和不变性三个基本性质。
稳定性在离散系统中的重要性
01
02
03
保证系统正常运行
在离散系统中，稳定性是 保证系统正常运行的基础 ，只有稳定的系统才能避 免出现故障或崩溃。
优化系统性能
稳定性是优化系统性能的 前提，只有稳定的系统才 能发挥出其最佳性能。
保障安全
稳定性也是保障系统安全 的重要因素，不稳定的系 统容易遭受攻击或崩溃。
基于模型的方法
一种常用的协同优化方法是基于模型的方法。该方法通过 建立离散系统的数学模型，并采用优化算法来同时满足稳 定性和瞬态响应的约束条件。
实验设计法
另一种协同优化方法是实验设计法。该方法通过实验来探 索离散系统在不同参数下的稳定性和瞬态响应性能，并据 此选择合适的参数以实现协同优化。
§7.5离散系统的稳定性与稳态误差)
z T
图参见P348
§7.5.2 离散系统稳定的充要条件是 z i 1
—— F(z)的全部极点均位于z平面的单位圆内
m
证明：
Φ(z)M(z) D(z)
(zi) n
i1 n
(zj) j1
Cjz
zj
K(z)
j1
n
k
c(k) Cjjk 0
j1
j 1
— 必要性
c*(t)k 0jn 1Cjjk(tkT )
静态加速度误差系数 Kalz i1m (z1)2GH (z)
r(t) t
Tz z (z 1 ) T1 e 2 ( T ) lz 1 i(z m 1 )(z 1 )2z 2 0 .8 z 0 .2 0 .4 2
r(t)t2 2
T 2 z(z 1 ) z(z 1 ) e 3 ( T ) lz i1( m z 1 )2 (z 1 )3z2 0 .8 z 0 .2
2. 静态误差系数法 —— r(t) 作用时e(∞)的计算规律
( 适用于系统稳定, r(t)作用,对误差采样的线性离散系统 )
设 G(H z)ZG (s)H (s)(z 11)vG0H (z)
lz im 1GH 0(z)K
Fe(z)E R((zz))1G1H (z)
e ( ) lz i1(m z 1 )F e(z)R (z)
x1jy
(x1)2y2
ujv
[w] 虚轴
x2 y2 1 u0(x1)2y2 0
x2y2 1 [z] 单位圆
z平面单位圆
内 外
的点
x2
y
2
1 1
u 0
对应w平面
u
0
例１ 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。
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e e0 e e0 e e0
整理得
e KM 0 0, Te e Ke 0, Te e KM 0 0, Te
e e0 e e0 e e0
e A0 Te
e A 0 de de Te 0利用二阶线性系统的相轨迹Fra bibliotek析一类非线性系统
x x 0 x 例 系统方程为 ，分析系统的自由响应。
解
I 奇点 II
x x0 x x x x 0
xe 1 0 xe 2 0
x0 I x 0 II
特征 I 方程 II
8-3
相平面法
• 相平面法由法国数学家庞加莱于1885年首先 提出； • 图解法（相轨迹），直观、准确； • 适用于常见非线性特性和一阶、二阶线性环 节组成的非线性系统。
1、相平面的基本概念
x f ( x, x)
相平面：
） 由系统变量及其导数（如 c , c 构成的用以描述系统状态的平面。
相轨迹：
取 R2
A e 1 aT
0 x
f ( x, x ) 0 x
。
奇点的类型： 1）焦点 稳定焦点— 一对具有负实部的共轭复根 不稳定焦点— 一对具有正实部的共轭复根 2）节点 稳定节点— 两个负实根 不稳定节点— 两个正实根 3）鞍点 一正一负实根
（2）奇线（极限环）
三种类型： 1）稳定的极限环 2）不稳定的极限环 3）半稳定的极限环
稳定的节点
③
1
④ 0
s1,2 j n
⑤
1 0
⑥
1
小
极点分布 奇点
中心点
结
极点分布 奇点
鞍 点
相迹图
相迹图
稳定的 焦点
不稳定 的焦点
稳定的 节点
不稳定 的节点
4、奇点和奇线
（1）奇点
令
f ( x, x ) x
0 f ( x, x ) dx 0 dx x
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。
2、相轨迹绘制的等倾线法
x f ( x, x)
f ( x, x ) dx dx dt x dx dx dt
例
2 c 2 n c n c 0
推导ａ？
相轨迹的性质
x f ( x, x)
顺时针运动
•斜率０／０，未定式，说明可有无穷多条相轨迹以不同斜 率进入、离开或包围该点； •奇点处，系统不再运动，处于平衡状态—平衡点； •奇点只能处于横轴上； •普通点：包括ｃ／０，０／ｃ，ｃ１／ｃ２型，斜率确定， 说明通过该点的相轨迹只有一条，且除奇点外，不同初始条 件的相轨迹不会相交； •平衡线：在一条线上满足
对于线性定常系统，原点是惟一的平衡点。
3、线性系统的相轨迹 （1）一阶系统
c0 Tc
1 c c T
(2)二阶系统
2 2 n c n c c0
①
0 1
取 ＝0.5, n 1, 则系统微分方程为：
ccc 0
稳定的 焦点
1 ② ＞
2 c 2 n c n c 0
s2 s 1 0 s2 s 1 0
s1, 2 0.5 j 0.866 稳定焦点 极点 0.62 s 鞍点 1, 2 1.62
开关线
5、非线性系统的相平面分析
Te e KM 0 Tr r Te e KM 0e / e0 Tr r Te e KM 0 Tr r
设系统方程为：
运动方向
0 — 向右移动 上半平面 x
0 — 向左移动 下半平面 x
，以 0) 90°穿越 x轴 通过横轴时 ( x
相轨迹上斜率不确定的点 奇点 (平衡点) ：
0 x dx dx dt f ( x, x ) 0 0 dx dx dt x 0 x