离散系统1解析
离散系统及其应用
离散系统的特点
01
离散系统的状态变量通常只能取整数值或有限个离 散值。
02
离散系统的动态行为通常由差分方程或离散状态方 程描述。
03
离散系统的输出通常也是离散的，并且与输入和状 态变量有关。
离散系统的分类
根据状态变量的类型，离散系统可以分为整数离 散系统和有理数离散系统。
根据动态行为的描述方式，离散系统可以分为离 散状态方程系统和差分方程系统。
根据应用领域，离散系统可以分为数字控制系统、 计算机控制系统、数字信号处理系统等。
02
离散系统的数学模型
差分方程
01
02
03
差分方程是描述离散系 统动态行为的重要工具 ，它通过将时间离散化 ，将连续系统的微分方
程转化为差分方程。
差分方程的一般形式为： (y(t+1) = f(t, y(t)))，其 中(y(t))表示系统在时刻(t) 的状态，(f(t, y(t)))表示根 据当前时刻的状态和时间 确定下一时刻状态的规则。
离散系统优化
1
离散系统优化是指在满足一定约束条件下，寻找 最优解的过程，以实现系统性能的优化。
2
离散系统优化通常采用数学建模、启发式算法、 遗传算法等方法，对系统的结构、参数、资源配 置等进行优化。
3
离散系统优化可以提高系统的效率、降低能耗、 减少成本等，广泛应用于生产制造、物流配送、 城市规划等领域。
在数据处理系统中的应用
数据压缩
离散系统理论在数据压缩中用于设计和分析 各种压缩算法，如离散余弦变换、哈夫曼编 码等。
数据挖掘
离散系统理论用于描述数据挖掘中的离群点检测、 聚类分析等算法的数学模型和性能分析。
图像处理
离散系统的基本概念课件
第二节 信号的采样与保持
恒值外推原理：把采样时刻kT的采样值 e(kT)保持到下一 个采样时刻(k+1)T。
eh (t ) = e(kT)， kT≤ t ≤(k + 1)T
零阶保持器的输入输出特性
e*(t)
eh(t)
e*(t) 零阶 eh(t)
保持器
0
k (k+1) t
0
k (k+1) t
第二节 信号的采样与保持
实现采样的装置称为采样器，或称采样开关。
2、信号复现
在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过 程称为信号复现过程。相当于D/A转换过程。
实现复现过程的装置称为保持器。
最简单的保持器是零阶保持器。
第一节 离散系统的基本概念
三、数字控制系统
系系统统中中的如A果/D用转计换算器机相来当代于替一脉个冲采控样制开 关器，，D实/A现转对换偏器差相信当号于的一处个理保，持就器构。成了数 字控制系统，也称为计算机控制系统。
连续频谱⏐E ( jω )⏐形状一致，幅值上变化了1/T倍。
其余频谱（n=±1, ± 2, ···）是采样频谱的补分量。
第二节 信号的采样与保持
⏐E∗( jω )⏐
0
采样信号的频谱（ωs< 2ωh） 可见，当ωs< 2ωh时，采样信号发生频率混叠，致
使输出信号发生畸变。 此时，不能通过滤波器恢复原来的连续信号。
⏐E( jω )⏐
-ωh 0 ωh
连续信号频谱
第二节 信号的采样与保持
⏐E∗( jω )⏐
2
1 1/T
2
-2ωs
-ωs -ωh 0ωh ωs
2ωs
-ωs/2 ωs/2
第七章离散系统分析
( s 3) z s3 z ( s 1 ) ( s 2 ) sT sT ( s 1)(s 2) z e s 1 ( s 1)(s 2) z e s 2
2z z T ze z e 2T z z (e T 2e 2T ) 2 z ( e T e 2T ) z e 3 T
理想单位脉冲序列
T (t )
n
(t nT )
(7 1)
在数学上, (t) 表示的是宽度为零， 幅值为无穷大的单 位脉冲。 实际上的脉冲函数是脉宽很小的矩形函数，叫 脉冲函数如图7-4（c）所示。
采样开关的输出信号：
e * (t ) e(t ) (t nT ) e(nT ) (t nT )
整理后得
1 e Ts 2 G h ( s ) T (1 Ts)( ) Ts
(7 19)
将s=jω带入式(7-19),可得一阶保持器的频率特性为
T sin 2 G h ( j ) T 1 T 2 2 T 2
(arcctgT T ) (7 20)
*
T
连续信号的频谱为 E( j ) 采样信号的频谱为 E* ( j)
E ( j )
*
1 T
-ωmax0 ωmax
-3ωs
-2ωs
-ωs -ωmax 0 ωmax ωs
E * ( j )
1 T
2ωs
3ωs
-ωs
-ωmax0 ωmax
ωs
1 E ( s-) -2ω E ( s jn ) -ωs-ωm 0 ωm ωss 2ωs 3ωs 3ωs T s n
自动控制原理离散系统知识点总结
自动控制原理离散系统知识点总结自动控制原理中的离散系统是指在时间域和数值范围上都是离散的系统。
在离散系统中，信号是以离散时间点的形式传递和处理的。
本文将对自动控制原理离散系统的知识点进行总结，包括离散系统的概念、离散信号与离散系统的数学表示、离散系统的稳定性分析与设计等。
一、离散系统的概念与特点离散系统是指系统输入、输出和状态在时间上都是以离散的方式存在的系统。
与连续系统相比，离散系统具有以下特点：1. 离散时间：离散系统的输入、输出和状态是在离散时间点上采样得到的，而不是连续的时间信号。
2. 离散数值：离散系统的输入、输出和状态都是以离散数值的形式存在的，而不是连续的模拟数值。
二、离散信号与离散系统的数学表示离散信号是指在离散时间点上采样得到的信号。
离散系统可以通过离散信号的输入与输出之间的关系进行描述。
常见的离散系统数学表示方法有差分方程和离散时间传递函数。
1. 差分方程表示：差分方程是通过离散时间点上的输入信号和输出信号之间的关系来描述离散系统的。
差分方程可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
2. 离散时间传递函数表示：离散时间传递函数描述了离散系统输入与输出之间的关系，类似于连续时间传递函数。
离散时间传递函数可以通过Z变换得到。
三、离散系统的稳定性分析与设计离散系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内收敛到有限范围内，而不是无限增长或震荡。
离散系统的稳定性分析与设计是自动控制原理中的重要内容。
1. 稳定性分析：离散系统的稳定性可以通过判断系统的极点位置来进行分析。
若系统的所有极点都位于单位圆内，则系统是稳定的；若存在至少一个极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。
2. 稳定性设计：若离散系统不稳定，可以通过调整系统的参数或设计控制器来实现稳定性。
常见的稳定性设计方法包括PID控制器调整、根轨迹设计等。
四、离散系统的性能指标与优化离散系统的性能指标与优化是指通过调整控制器参数或控制策略，使离散系统的性能得到优化。
离散系统分析方法
离散系统分析方法一、采样定理镜像作用,采样频率max 2ωω>s 二、①开环脉冲传递函数()()()()()()()()368.01264.0368.01111111111121210--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-Z ⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-Z =----z z z K T e z z z z z Tz z K s s s z K s s K se z G T Ts闭环()()()()z G z G z R z Y ry 001+==φ，特征方程 ()()()0368.0264.0368.1368.00120=++-+=+K z K z z G 即。
②判断稳定性：用双线性变换11-+=ωωz ，将其代入特征方程中，再用劳斯判据。
如果K 给定，则直接解特征方程，若|z|<1则稳定，若|z|>1则不稳定。
③()()[]s G z G Z =0，对参考输入有：()()()()()()()()()()()()()()><-=Φ=⋅==-=⋅=⋅=-=+=⋅==→-→-→→定理此时必须且唯有用终值有干扰时，时，当时，当时，当z E z e z z N z E K T c e ct t r z G zK K T b e t b t r z G z K K a e t a t r z G K z ssn en ass z a vss z v pss z p 1lim ,21,1lim ,1lim 11,lim 122021101101④求()()()()()[]()()[]z R z z Y t y z R z z Y ry ry φφ11*,--Z =Z =⋅=时，可以用两种方法： a ）部分分式法；b ）长除方法⑤z 变换公式：()()()()()()()()()()()()()()()()323222111211111111-+===-===-=+==-===--z z z z T z X ss X t t x z Tzz X s s X t t x e z zz X a s s X e t x z z X ss X t t x atat 如：()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅-Z =-3210s s Ks e s G Ts()()......133********⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+Z ⋅-=--K z s s sK z σ 非线性系统分析方法注：1为sinwt ；2为基波和高次谐波经过G （s ）后剩下的基波。
哈尔滨工程大学 自动控制原理 第4章 离散系统分析PPT课件
图4-3 S平面与Z平面的映射关系
6
第4章 离散系统分析
二、离散系统稳定的充分必要条件
1．※ 稳定性定义（P349）：若离散系统在有界输入 序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系
统是稳定的。
2． 离散系统稳定的充分必要条件
1） ※ 时域中离散系统稳定的充要条件（P350） 当且仅当差分方程
9
第4章 离散系统分析
闭环特征方程为：
D(z)1HG(z)1(z10 (1 1) (ze 1e) z1)0 z24.952z0.3680
特征根为：
z1 0 .0 7 6 ,z2 4 .8 7 6
z2 1 ∴该离散系统不稳定。
10
第4章 离散系统分析
三、离散（※）
第4章 离散系统分析
第4章 离散系统分析
4.1 离散系统的稳定性与稳态误差（※） 4.2 离散系统的动态性能分析（简介）
1
第4章 离散系统分析
4.1 离散系统的稳定性与稳态误差
一、S域到Z域的映射
S域到Z域的映射关系为： z esT
S域中的任意点用直角坐标表示为：sj 映射到Z域则为： z e ( j)T e Tej T
利用特征方程系数，按P353表7-4方法构造(2n-3)行， (n+1)列朱利阵列。
第4章 离散系统分析
具体步骤：
① 求离散系统在Z域的特征方程： D(z)=0
② 进行w变换（z
w w
1），得w域的特征方程：D(w)=0
1
③ 对w域的特征方程，应用劳思判据判断系统稳定性。 例3（ ※ P352例7-28） ：设闭环离散系统如图4-6所示， 其中T = 0.1s，求系统稳定时K的界值。
第一章 离散时间信号与系统1
根据定义
n y ( n ) 1 ( 1 ) k , n 1 2 2 k 1 y ( n) 0, n 1
14
我们计算几个值，画出图形。显然，
n 2 n 1 n0 n 1 n2
y(2) 0
1 3 2 2 3 1 7 y(1) y(0) x(1) 2 4 4 7 1 15 y(2) y(1) x(2) 4 8 8
j 0 n
0 ：复正弦的数字域频率 用欧拉公式将复指数序列展开： n n n x(n) e (cos0 n j sin 0 n) e cos0 n j e sin 0 n
用极坐标表示 其中 x(n)
x(n) x (n)
n
e
j arg[ x ( n )]
f2 (t )
0 1 1 0
, t 1 , 1 t 1 , 1 t 3 , t 3
定义域是连续的（-∞，∞），但是函数值只取-1，0，1三个离 散的值。（在间断点-1，1，3处一般不定义其函数值） f 以上两例中，1 (t ) 我们也称为模拟信号。
8
2 n , n 1 1 1 1 1 z (n) x(n) y(n) 2 ( 2 ) 2 3 , n 1 2 1 1 n 2 ( 2 ) n 1, n 0
图 1· 9 在求序列的和的时候要注意：相同序列 (n) 的序列值相加。
9
4．积（相乘） 两序列的积指相同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘： z (n) x(n) y(n) 0.5, n 1 1.5, n 0 例1.1.4已知序列 x(n) = 1, n 1 求 y(n) x(n) 2 x(n) x(n 2) 0.5, n 2 0, n为其它值
离散系统分析
enT t a0 a1t apt p
当取多项式中的阶次p=0时称为零阶保持器，两 个采样时刻之间保持采样值不变
e nT t a0
a0 e(nT ) e(nT t) e(nT ) 0 t T
使采样信号变成阶梯信号
以 ght 表示零阶保持器，在幅值为１的理想脉冲 t
单位阶跃
e(t) 1(t) 理想脉冲序列
T (t) (t nT ) n0
Z[1(t)] z z 1
Z[T
(t)]
z
z 1
为何相同？
1
0.8
在每个采样点
0.6
处的值相同
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2. 部分分式法
【例4】 求下面传递函数的Z变换 E(s) a s(s a)
是二进制编码的数字信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出都是连续信号，所以
需要应用模/数转换器和数/模转换器。
（2）A/D转换器、D/A转换器 1） A/D转换 A/D转换包括两个过程：一是采样过程，二是量化过程。 2）D/A转换 D/A转换也经历两个过程：一是解码过程，二是复现过程。
A/D转换 采样：每隔T秒对连续信号e(t)进行一次采样，得到离散信号e (t ); 量化：将离散信号量化后变成数字信号 e (t )。 D/A转换 解码：离散数字信号转换为离散模拟信号； 复现：经过保持器将离散模拟信号复现为连续模拟信号。
1
1.5 理想单位脉冲序列，其中 (t nT )是出现在时刻t nT时、
e* t e0 t eT t T e 2T t 2T 强度为1的单位脉冲。
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离散事件 discrete event
▪ 离散事件是导致DEDS状态变化、跃变和触发新 离散事件的唯一因素，也即离散事件是驱动系统 状态演化的基本因素
▪ 其发生时刻是异步的和非约定的，即发生时刻由
系统的演化过程所决定。
▪ 混杂系统，或混合动态系统，hybrid dynamic system, HDS, 是在离散事件系统DEDS研究领域中出现的正在形 成和发展的一个新增长点。HDS的提出，具有很强的工 程背景，本质上是现代计算机等数字技术渗透到连续制造 和连续处理系统的产物。对于HDS，至今的定义仍不完 善，直观的说，HDS可理解为同时包含有相互作用的离 散事件过程和连续变量过程的一类动态系统，离散事件过 程需要采用逻辑类型的模型来建模并服从于离散事件系统 的演化机制，连续变量过程需要采用微分或差分方程形式 的模型来建模并服从于连续变量系统的运动规律，而两者 的交互作用按照具体问题有着多种的类型和复杂的机理。 以下，先简要介绍混杂系统的一般性概念，在今后的课程 中，将具体介绍HDS的一些具体建模手段和分析控制方 法。
离散事件系统 与混杂系统介绍
1、离散事件动态系统
连续变量动态系统
在传统的系统与控制领域中，主要研究对象是 一类本质上属于物理世界范畴的连续变量动态系 统，简称CVDS。其动态过程服从于物理学定理， 如电学、力学、热学等，或者服从广义物理学定 理，如经济学、生态学、社会学等。其数学模型 可以表示为传统意义下的微分方程或差分方程。
DEDS模型
运筹学
系统与控制理论
建模和分析方法
▪ 排队论和网络方法 ▪ 摄动分析方法
▪ 有限自动机和形式语言方法 ▪ Petri net方法
▪ 极大极小代数方法 ▪ 有限递归过程方法 ▪ 仿真方法等 ▪ 其中，有限自动机模型和petri net模型将在以后
的课程中介绍。
一个DEDS例子
▪ 柔性制造系统，FMS是最典型的DEDS的应用例 子
▪ DEDS的状态变化是异步的和并发的。即状态变 化在时间轴上是异步排列的。此外，多个事件同 时发生，这个就是并发性。
▪ DEDS存在不确定性。 ▪ DEDS通常不能由传统的微分方程或差分方程来
描述，而需要一些特定的建模和分析工具。
DEDS模型与运筹学、系统与控制理论、人工 智能的关系
人工智能和 自然语言基础
▪ 在这类人造系统中，对系统行为进程起决定作用 的是一批离散事件，而不是连续变量，所遵循的 是一些复杂的人为规则，而不是物理学定理。
▪ 正是基于对这类人造系统行为和性能研究的需要， 推动着离散事件系统理论的形成和发展。
▪ DEDS的称谓，首先是由哈佛大学Y. C. Ho教授 在1980年前后引入的。
▪ 通常，FMS的组成可 用下图示例：
缓存1
加工中心1 ... 缓存n
加工中心n
自动物料传送系统
自动中心； ▪ 2物料自动传送系统； ▪ 3计算机控制单元； ▪ 4分布于各个加工中心前的缓冲区。
▪ FMS是个典型的DEDS系统，在FMS中，各个加工中心对 各类工件的加工活动成为系统的状态，由工件和加工中心 组成系统的资源，资源的投入或者释放组成系统的离散事 件。表征系统加工活动的状态的跃变，由待加工工件的到 达和机床的完成加工等事件所驱动。显然，状态演化过程 中，状态跃变时刻将呈现出异步性，而系统演化则由离散 事件的相互作用所决定。
▪ 柔性制造系统是综合计算机数控技术、机器人技 术和计算机硬软件技术的一类先进加工系统。 FMS能够按照所要求的工件品种混合比来同时加 工多种不同工件，能适应小批量多品种加工任务， 对加工过程中的频繁切换具有高度灵活性。在被 称谓21世纪自动化工厂模式的计算机集成制造系 统CIMS中，FMS是不可缺少的单元。
▪ 对DEDS的研究即是确定事件交互影响所导致的
系统状态的演化过程，常见的控制即是禁止不期 望事件的发生或使事件按照期望的顺序发生。
CVDS与DEDS的比较
▪ DEDS的状态只能在离散时间点上发生跃变，在 DEDS中，状态演变是由事件驱动的，即仅仅在 事件发生的瞬时，状态才能发生跃变，其它时刻 保持不变。这是一种固有的不连续属性，与 CVDS中时间离散化有着本质的区别。
▪ 基于FMS的DEDS模型，可用来确定对待加工工件的排序， 分析加工过程的加工节奏，避免出现FMS的阻塞现象， 优化配置各个缓冲区的容量，以及优化系统的生产率等。
▪ 对于FMS的详细建模，不同的建模方法得到不同的表述 形式，在今后的课程中，将给出petri nets和自动机模型 下的建模。
2、混杂系统
▪ 目前，DEDS是国际学术界的一个研究热门，有 专门的学术期刊，如DEDS theory & app，IEEE 期刊和会议中也有专门的session。大约有200多 位国际著名的学着活跃于这一领域。
特点
▪ 严格的说，目前对于DEDS还没有统一的 定义。
▪ 一般来说，DEDS是由离散事件驱动，并 由离散事件按照一定运行规则相互作用， 来导致状态演化的一类动态系统。
混杂系统概述
▪ 一、混杂系统研究的发展和现状 ▪ 二、混杂系统的定义、特点和分类 ▪ 三、混杂系统的建模 ▪ 四、混杂系统稳定性研究概况 ▪ 五、混杂系统综合研究概况
一、混杂系统研究的发展和现状
▪ 发展历史： 混杂系统理论的最早文献可以追溯到Witsenhausen于1966年IEEE
对于这类系统的建模、分析、控制和优化的 研究，已经相对成熟。
离散事件动态系统
▪ 与CVDS有着重要区别的是，离散事件系统 （Discrete Event Dynamical Systems, DEDE， 有时也简称离散事件系统，DES）其本质上是一 类人造系统。
▪ 对DEDS的研究起始于1980年前后，在那个时期， 随着信息处理技术、计算机技术和机器人技术等 的完善和广泛应用，其典型例子如柔性生产线或 装配线、大规模计算机和通信网络、空中或机场 交通管理系统、军事指挥C3I系统等。