离散事件动态系统马尔科夫链
马尔可夫链模型讲解
马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
概率论中的马尔可夫链
马尔可夫链是概率论中的一个重要内容，它是一种统计模型，也是一种离散时间的随机过程。
马尔可夫链具有许多重要的特性和应用，包括在自然语言处理、金融市场、排队论和信号处理等方面。
马尔可夫链的最大特点是具有马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这个性质使得马尔可夫链在实际应用中具有广泛的适用性。
我们可以把马尔可夫链看作是一个随机漫步过程，其中的每个状态都有一定的概率转移到其他状态。
这种随机漫步的特性，使得马尔可夫链可以用来描述许多随机现象，如天气预报、股票市场和电力系统等。
马尔可夫链由状态空间和状态转移矩阵所组成。
状态空间包括了所有可能的状态，每个状态之间存在一定的概率转移关系。
状态转移矩阵描述了在某一个状态下转移到其他状态的概率。
通常情况下，状态转移概率是固定的，但也可以是随机的，这取决于具体的问题。
马尔可夫链的状态转移概率具有马尔可夫性质，即与时间无关。
通过迭代状态转移矩阵，我们可以得到马尔可夫链的平稳分布。
平稳分布是指当时间趋于无穷大时，马尔可夫链在各个状态上停留的概率。
平稳分布在许多问题中都具有重要的意义，例如在排队论中可以用来计算系统的稳定性和响应时间等指标。
马尔可夫链的平稳分布可以通过状态转移矩阵的特征向量求解得到。
除了平稳分布，马尔可夫链还有其他重要的性质和应用。
例如，我们可以使用马尔可夫链来进行模拟和预测。
通过观察和记录马尔可夫链的状态转移过程，我们可以了解到系统的行为规律，从而对未来的状态进行预测。
这在金融市场和天气预报等领域具有重要的应用价值。
此外，马尔可夫链还可以用来解决一些优化问题，如最优路径求解和资源分配等。
在实际应用中，马尔可夫链的建模和求解是一个复杂而困难的问题。
因为马尔可夫链的状态空间可能非常庞大，状态转移矩阵的维度也会非常大。
此外，状态转移概率的估计也可能存在误差。
针对这些问题，研究者们提出了许多有效的方法和算法，如马尔可夫链的蒙特卡洛模拟和马尔可夫链的马尔科夫蒙特卡洛方法等。
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种特殊的随机过程，广泛应用于统计学、机器学习、经济学、计算机科学等多个领域。
为了深入理解马尔可夫链的概念，我们先从基本定义开始，再逐步探讨其性质、分类、应用及实例分析。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种具有“无记忆”特性的随机过程，即在给定当前状态的前提下，未来状态与过去状态无关。
换句话说，系统的未来发展只依赖于当前的状态，而不依赖于以前的状态。
这一特性通常被称为“马尔可夫性”，是马尔可夫链最大的特点。
在形式上，我们可以定义一个离散时间的马尔可夫链为一个由状态集合 ( S ) 组成的序列，其中 ( S ) 可能是有限的也可能是无限的。
设 ( X_n ) 为在时间 ( n ) 时刻该过程所处的状态，若满足条件：[ P(X_{n+1} = j | X_n = i, X_{n-1} = k, , X_0 = m) =P(X_{n+1} = j | X_n = i) ]其中，( P ) 是条件概率，这就表明该过程符合马尔可夫性质。
二、马尔可夫链的基本组成要素状态空间：状态空间是指系统所有可能的状态集合，通常用集合 ( S ) 表示。
例如，一个简单天气模型可以将状态空间定义为 ( S = {晴天, 雨天} )。
转移概率：马尔可夫链中的转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率。
对于有限状态空间，转移概率通常用转移矩阵表示，其元素 ( P_{ij} ) 表示从状态 ( i ) 转移到状态 ( j ) 的概率。
初始分布：初始分布描述了系统在时间 ( t=0 ) 时，各个状态出现的概率。
通常用一个向量表示，如 ( _0(i) ) 代表在初始时刻处于状态 ( i ) 的概率。
三、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有许多重要的性质，其中最为关键的是遍历性和极限性。
遍历性：如果一个马尔可夫链在长期运行后，将以一种稳定的方式达到各个状态，并且这个稳态与初始选择无关，那么我们称它为遍历。
换句话说，一个遍历性的马尔可夫链在达到平稳分布后，各个状态出现的概率将保持不变。
马尔可夫链
P (x n 1 k | x 0 i )P (x n j | x n 1 k ) rij (n 1)Pkj
k 1 k 1 m
m
n 步转移概率矩阵： rij (n ) 看成一个二维矩阵第 i 行第 j 列的元素。 讨论 n 时： 例 1 中，每一个 rij (n ) 都收敛于一个极限值，不依赖于初始状态 i。
Wj Wk pkj
k 1 m
1 Wk
k 1
m
3、另外有
Wj 0 ，对于所有的非常返状态 j Wj 0 ，对于所有的常返状态 j
1 Wm ] [0 0 1] ，可用 MATLAB 解决。 pm1 pmm 1 1
P(x 0 i0 , x1 i1, , x n in ) P(x 0 i0 )Pi i Pi i Pi
01 12 n 1 n
i
图形上，一个状态序列能表示为在转移概率图中的一个转移弧线序列。在给定初始状态下， 该路径的概率等于每个弧线上转移概率的乘积。 n 步转移概率 定义： rij (n ) P (x n i | x 0 i ) 计算在当前状态条件下，未来某个时期状态的概率分布。 当前状态 i，n 个时间段后的状态将是 j 的计算公式：C-K 方程
1 0 0 0 0.3 0.4 0.3 0 0 0.3 0.4 0.3 0 0 1 0
转移概率图
例 3：一个教授抽取测试卷子。卷子的难度分成 3 种：困难、中等和容易。如果本次抽到的 困难的卷子，则下次分别有 0.5 的概率抽中中等和容易的卷子。如果本次抽到的是中等的卷 子，则下次仍旧 0.5 的概率为中等难度，另外有 0.25 的概率抽中困难或容易的卷子。如果本 次抽到的是容易的卷子， 则下次仍旧 0.5 的概率为容易难度， 另外有 0.25 的概率抽中困难或 中等的卷子。 转移概率矩阵
离散时间马氏链 -回复
离散时间马氏链-回复离散时间马尔可夫链（Discrete-Time Markov Chain）是一种随机过程，它的状态在离散的时间步长内发生变化。
这种变化是由一个概率转移矩阵来描述的，该矩阵表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
本文将逐步介绍离散时间马尔可夫链的基本概念、性质以及其在实际中的应用。
一、基本概念1. 马尔可夫链：马尔可夫链是一种特殊的随机过程，它满足无后效性，即当前状态只与前一状态有关，而与其他历史状态无关。
2. 状态空间：马尔可夫链的状态空间是所有可能状态的集合。
3. 转移概率：在马尔可夫链中，从一个状态转移到另一个状态的概率称为转移概率。
4. 初始分布：马尔可夫链的初始状态分布通常用一个向量来表示，这个向量的每个元素对应于状态空间中的一个状态，其值表示开始时处于该状态的概率。
5. 转移矩阵：马尔可夫链的转移矩阵是一个方阵，其中的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、性质1. 无后效性：马尔可夫链最重要的特性就是无后效性，也称为马尔可夫性质。
这意味着系统未来的状态只与当前状态有关，而不依赖于过去的任何状态。
2. 平稳分布：如果一个马尔可夫链在经过足够长时间后，无论初始状态如何，其状态分布都会收敛到一个固定的分布，那么这个分布就称为平稳分布。
3. 回顾性和展望性：回顾性是指系统的当前状态可以完全由过去的状态决定；展望性则是指系统的未来状态只与当前状态有关。
三、应用1. 信息检索：在信息检索中，马尔可夫链可以用来预测用户下一个可能的查询词，从而提高搜索结果的相关性。
2. 自然语言处理：马尔可夫链模型被广泛应用于自然语言处理任务，如词性标注、命名实体识别等。
3. 生物信息学：马尔可夫链模型在生物信息学中有多种应用，如蛋白质序列分析、基因结构预测等。
4. 经济学和金融学：马尔可夫链模型也被用于经济学和金融学领域，如股票价格预测、经济周期分析等。
四、总结离散时间马尔可夫链是一种重要的随机过程模型，其无后效性的特性使得它在许多领域都有广泛的应用。
马尔可夫链的基本原理和使用方法
马尔可夫链是一个非常有趣的数学概念，它在许多领域都有着重要的应用，包括自然语言处理、金融建模、生物信息学等。
本文将介绍马尔可夫链的基本原理和使用方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
马尔可夫链最早由俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫在20世纪初提出，它是一种描述离散时间随机过程的数学工具。
在马尔可夫链中，当前状态的未来发展只依赖于当前状态，而不依赖过去的状态。
换句话说，马尔可夫链具有“无记忆”的性质，每一步的转移只与当前状态有关。
马尔可夫链由状态空间、初始概率分布和状态转移概率矩阵组成。
状态空间指的是系统可能处于的所有状态的集合，初始概率分布指的是系统在初始时刻各个状态的概率分布，状态转移概率矩阵则描述了系统从一个状态转移到另一个状态的概率。
通过这些元素，我们就可以描述一个离散时间的随机过程，并进行相应的分析和计算。
在实际应用中，马尔可夫链经常用来建模一些具有随机性的现象。
举一个简单的例子，假设我们想要模拟一个赌博游戏，玩家可以选择抛硬币正面朝上或者反面朝上。
我们可以用一个2个状态的马尔可夫链来描述这个游戏，其中状态1表示硬币正面朝上，状态2表示硬币反面朝上。
我们可以通过状态转移概率矩阵来描述硬币抛掷的规律，然后利用马尔可夫链的性质来计算玩家在游戏中的各种概率。
除了简单的模拟之外，马尔可夫链还可以用来解决一些实际问题。
例如，我们可以利用马尔可夫链来建立语言模型，从而实现自然语言处理中的词语预测和生成。
在这种应用中，状态空间对应于词语的集合，状态转移概率矩阵则描述了词语之间的转移规律。
通过对大量文本数据的训练和学习，我们可以得到一个基于马尔可夫链的语言模型，从而实现对文本的自动处理和生成。
另外，马尔可夫链还可以用来进行金融建模。
在金融市场中，许多价格的变化具有随机性，这就为马尔可夫链的应用提供了机会。
我们可以利用马尔可夫链来建立股票价格的模型，从而进行风险管理、投资决策等方面的分析。
马尔可夫链的基本原理和使用方法(八)
马尔可夫链是概率论中的一个重要概念，它可以描述随机过程中状态的转移规律。
马尔可夫链的基本原理和使用方法对于理解随机过程、模拟系统行为以及解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍马尔可夫链的基本原理、定义以及使用方法。
一、马尔可夫链的基本原理马尔可夫链是一个离散时间随机过程，它具有马尔可夫性质，即未来的状态只依赖于当前的状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫链可以用一个状态空间S和一个状态转移概率矩阵P来描述。
其中，状态空间S包含了所有可能的状态，而状态转移概率矩阵P描述了从一个状态到另一个状态的转移概率。
马尔可夫链的基本原理可以用数学公式表示为P(Xn+1=i|X0=x0, X1=x1, ..., Xn=xi) = P(Xn+1=i|Xn=xi)。
这个公式表示了在已知当前状态的情况下，下一个状态的转移概率只与当前状态有关，而与之前的状态无关。
这就是马尔可夫链的马尔可夫性质。
二、马尔可夫链的定义马尔可夫链可以用一个状态空间S和一个状态转移概率矩阵P来定义。
状态空间S包含了所有可能的状态，而状态转移概率矩阵P描述了从一个状态到另一个状态的转移概率。
状态转移概率矩阵P的定义如下：P(i, j) = P(Xn+1=j|Xn=i)其中，P(i, j)表示从状态i到状态j的转移概率。
状态转移概率矩阵P的每一行之和为1，因为在每个时刻，马尔可夫链必须转移到某一个状态。
三、马尔可夫链的使用方法马尔可夫链可以用来模拟随机过程的行为，预测未来的状态以及解决实际问题。
下面将介绍马尔可夫链的使用方法。
1. 模拟系统行为马尔可夫链可以用来模拟系统的行为。
假设有一个系统，它的状态在不同的时间点之间转移。
可以用马尔可夫链来描述系统的状态转移规律，然后利用状态转移概率矩阵P来模拟系统的行为。
通过模拟系统的行为，可以更好地理解系统的运行规律。
2. 预测未来的状态马尔可夫链可以用来预测未来的状态。
假设已知当前的状态，可以利用状态转移概率矩阵P来计算下一个时刻各个状态的转移概率，从而预测未来的状态。
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概率分布－离散变量
随机变量取值可能是离散的，如{1,4.5,18,1969}，也可能是 连续的，如区间[0 10]。先考虑离散变量
P(E)=P( A1)+…+ P(An) 复杂事件（complex）：未必由互斥事件构成，如掷骰
子，出现质数（2，3，5）或偶数（2，4，6）的事件 P(A∪B)=P( A)+ P(B)-P(A∩B)
AB
乘积法则（multiplication law）
独立事件（independent）：两个事件中，一个事件的出现 不依赖于另外一个。反之为相关事件（dependent）。扔 硬币，第一次为heads的事件A与第二次为tails的事件B相互 独立。定义事件E表示第一次为heads且第二次为tails的事 件，则
Monte-Carlo方法、TD学习、Q学习和SARSA学习等。 6. 神经元/逼近动态规划（neuro-dynamic programming） 7. 多Agent学习探讨 8. 实例分析
第一章
离散事件动态系统基本概念、分类 和研究方法
基本概念
随着高新技术的迅猛发展，现实世界中涌现了大量 的复杂人造系统（如计算机网络、通信网络、柔性 制造系统、CIMS、交通管理系统、军事指挥系统 等）。这些系统的共同特征是：系统的演化过程不 能由通常的物理定律来描述，而是服从一些由人为 规定的复杂规则，并由一系列相互作用的离散事件 所决定。
优化理论和应用研究：
Markov控制（决策）过程方法及优化问题已成为当 前DEDS领域的一个令人注目的热点，也是本课程的 主要介绍对象。
拓展：SMDP、POMDP、HMM、HDS
第二章 随机离散事件动态系统的基本仿真技术
随机变量
随机变量：粗略的说就是能取不同数值 的量
非随机的（确定性的数值，永不改变） ：太 阳系中的太阳个数
P(E)＝P(A ∩ B)=P( A) .P(B)
互斥的就无所谓相关不相关；非互斥的，则有可能独立， 则P(A ∩ B)=P( A) .P(B)。
既不互斥又不独立，则P(A ∩ B)=P( A) .P(B|A)= P( B) .P(A|B)， 其中，P(B|A)和P(A|B)为条件概率。（若A、 B独立，则？）
随机的：一个人一天接到的电话个数，每天 都不一样
概率
实验（experiment）：考试，掷骰子，打球比赛，扔硬 币
一次实验对应一个输出X，考虑实验的输出是随机
变量，可取多个值。 （pass，fail），（1，2，3，4，5，6），（win，
lose），（heads，tails） 事件：掷骰子，点数为2，或者为偶数 事件的概率：事件发生的机会（chance）或可能性
（likelihood），m次实验中，事件A发生n次，则概率 为 P(A)=lim m→∞(n/m) ∈[0,1]
加数法则（addition law）
互斥事件（mutually exclusive） 复合事件（compound）：由互斥事件构成，如多次掷
骰子中，出现偶数的事件由分别出现2，4或6的互斥事 件构成。若复合事件E由A1，…,An构成，则
例1 柔性制造系统
待加工工件缓冲器
自行小车
待加工工件缓冲器
Sn1 工作台
1
已加工工件缓冲器
Sn2
工作台 M
已加工工件缓冲器
智能仓库
例2 机器人自动装配线（robotic assembly line）
例3 开排队网络
q11
q10
01
服务站 1
缓冲器
q12
q31
q30
02
服务站
2 01 缓冲器
q21
例如经典力学下的质点运动方程等可以描述为 系统
微分方程：x&(t) ft)
差分方程：x(k 1) f (x(k), u(k)) Ax(k) Bu(k)
DEDS基本概念:
由一些相互作用的离散事件构成，并且由它们触发而引起 状态转移（演化）的一类动态系统,它所含的事件的发生在 时间和空间上都是离散的。
大家好
大家好
课程基本情况
课程性质：非学位课 学时数/学分：32/2 周学时：4 （后面有调整） 授课形式：(a) 主讲面授； (c) 文献报告和自由讨论 应用领域：网络系统分析、移动机器人、智能交通、生
产自动化和供应链管理、Agent系统、网络控制优化、 机器学习、排队网络、系统可靠性分析，以及其它有关 决策优化、控制和智能学习等。 前期课程内容：高等数学、概率论、线性代数 考核方式：考查（含课程总结、文献汇报）
课程内容
1. 离散事件动态系统基本概念、分类、研究方法 2. 随机离散事件动态系统的基本仿真技术 3. Markov决策过程（含Markov链，半Markov决策过程）
基本知识 4. 动态规划（dynamic programming）和仿真优化：主要
介绍Bellman最优方程，策略迭代和数值迭代。 5. 强化学习（reinforcement learning）技术：主要介绍
统计层次模型（随机性） 主要有Markov过程，半Markov过程或广义半Markov过 程，各种类型的排队网络等（可时序化、采用仿真方法）
DEDS统计性能层次的研究情况
从九十年代开始，统计性能层次的研究已成为DEDS研究 领域的一个重要方面，主要包括以下两个研究方向：
建模
系统的性能分析：
主要是灵敏度分析
q13
q23
q32
服务站
3 缓冲器
q22
q20
03
q33
通信系统中的接入控制
基本分类和研究方法
DEDS的三个层次模型：
逻辑层次模型（确定性） 主要有形式语言，有限自动机，Markov链，Petri网等 (不可时序化）：模型不可赋时，只考虑表征系统行为 的符号的顺序关系
代数层次模型（确定性） 主要有极大极小代数，有限递归过程等（可时序化）
这样的一类人造系统常被描述为离散事件动态系统 （Discrete event dynamic system，DEDS）。
事件：使DEDS状态发生变动的一个行动或事情。
DEDS与一般动态系统的差别：
通常的连续变量动态系统(CVDS)，其动态特性满足一定 的物理定律，可用微分方程或差分方程来描述。 线性