人教高一数学期末各章知识点总结

数学必修一知识系统汇总

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念 1. 集合的含义

2.

集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性如：世界上最高的山

(2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1） 列举法：{a,b,c ……}

2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R|

x-3>2} ,{x| x-3>2}

3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类：

(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2

=－5｝

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

注意：

B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分，

；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ?/B 或B ?/A

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x 2

-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ；

②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)

③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆

有n 个元素的集合，含有2n

个子集，2n-1

个真子集

运算类型

交 集

并 集

补 集

定 义

由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作

由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记

设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的

x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点

P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法A、描点法 B、图象变换法

常用变换方法有三种：平移变换伸缩变换对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）→B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）.函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1任取x1，x2∈D，且x1

○2作差f(x1)－f(x2)；

○3变形（通常是因式分解和配方）；

○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1)凑配法

2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x

n

=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N

*

．

◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n

。

当n 是奇数时，a a n

n =，当n 是偶数时，???<≥-==)

0()0(||a a a a a a n n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m ，

)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r

a ·s r r

a a

+=

),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(

),,0(R s r a ∈>；

（3）

s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．

（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数

)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，

其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；

（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；

二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果N a x

=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N

的对数，记

作：N x

a log =（a — 底数，N — 真数，N a

log — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；

○

2 x N N a a x

=?=log ； ○

3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ；

○

2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．

指数式与对数式的互化

b a ＝ N ?log a N ＝ b

（二）对数的运算性质 如果0>a

，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○

1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○

2 =N M

a log M a log －N a log ； ○

3 n

a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且

；）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）．

（三）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○

2 对数函数对底数的限制：，且．

（四）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如

αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α

为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0>α

时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴

正半轴．

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数

))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数

))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点函数?)(x f y =有零点．

3、函数零点的求法： ○

1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根；

○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的

图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数

)0(2≠++=a c bx ax y ．

（1）△＞０，方程02

=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与轴x 有两个交点，二次函

数有两个零点．

（2）△＝０，方程02

=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与轴x 有一个交点，二次函

数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程02

=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．

数学必修三知识系统汇总

第一章 算法初步

一、算法与程序框图

1.算法：算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。

2.算法与计算机：计算机解决任何问题都要依赖于算法。只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，

即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题。

3.算法的特征：①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的。

②确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果。

③可行性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一个都准确无误才能完成问题。

④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以由不同的算法。

⑤普遍性：一个算法应该适用于求某一类问题的解，而不是只用来解决一个具体的问题。

【注意：有限性、确定性和可行性是算法特征里最重要的特征，是检验一个算法的主要依据。】

4.程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。

5.程序框图的组成：程序框图由程序框及流程线组成；在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序。

6.基本程序框及其功能：

【注意：起、止框是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束。输入和输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置。算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内。一个算法步骤到另一个算

法步骤用流程线连接。如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码。】

7.程序框图的画法：

①画一个算法的程序框图，应先对问题进行算法分析，必要时可先用自然语言设计该问题的算法，弄清算法的流程，然后把算法步骤逐个转化为框图表示，最后用流程线依步骤顺序连接成程序框图。

②画程序框图的规则：⑴使用标准的框图符号；

⑵框图一般按从上到下、从左到右的方向画；

⑶除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；

⑷一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种公式多分支判断，有几种不同的结果。

⑸在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

8.算法的基本逻辑结构：①顺序结构：顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，其特点是步骤与步骤之间，框与框之间是按从上到下的顺序依次执行，不会引起程序步骤的“跳转”，它是任何一个算法都离不开的基本结构。

②条件结构：⑴概念：在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，这种先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为条件结构。这是一种依据指定条件选择执行不同指令的指控结构。

⑵结构形式

况，这就是循环结构，反复执行的步骤称为循环体。

⑵结构形式

Ⅰ.直到型循环的结构特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环。

Ⅱ.当型循环的结构特征：在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环。

第二章 统计

一、随机抽样

1.简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本()n N ≤，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

2.简单随机抽样的特点：①被抽取样本的总体个数较少；②从总体中逐个地抽取；③不放回抽取；④每一次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等（即等可能性）。从而保证了抽样方法的公平性。

3.两种简单随机抽样方法：①抽签法（抓阄法）；②随机数法

4.抽签法（抓阄法）步骤：一般地，抽签法就是把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本。 【上述步骤可简写为：①编号；②制签：大小相同，形状一样，质地均匀；③抽签：不透明容器，均匀搅拌；④依号取样。】

5.随机数法步骤：①编号；②随机确定开始数字；③从选定的数开始读数；④根据号码得到样本。

6.随机数法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。

7.系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。

8.系统抽样的特点：①适用于总体容量较大的情况；②由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也称作等距抽样。在进行大规模的抽样调查时，系统抽样比简单随机抽样要方便；③不放回抽样；④等可能抽样。 9.系统抽样步骤：一般地，假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可以按下列步骤进行系统抽样：

①先将总体的N 个个体编号；②确定分段间隔k ，对编号进行分段。当N

n

（n 是样本容量）是整数时，

取N k

n

=

；③在第一段用简单随机抽样确定一个个体编号()l l k ≤；④按照一定的规则抽取样本。通

常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号()l k +，再加k 得到第3个个体编号()2l k +，依次进行下

去，直到获取整个样本。

10.分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样。

11.分层抽样的特点：①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；②更充分的反映了总体的情况；③等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是n N

。

12.三种抽样方法的比较：

二、用样本估计总体

1.两种估计方式：①用样本的频率分布估计总体的分布；②用样本的数字特征估计总体的数字特征。

2.分析数据的两种基本方法：①作图【作图可以达到两个目的：⑴从数据中提取信息；⑵利用图形传递信息。】②画表格【画表格可以达到的目的是：通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式】。

3.频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距

，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面

积表示。各小长方形的面积的总和等于1【=?

=频率

小长方形的面积组距频率组距

】

。直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，是我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式。但直方图也丢失了一些信息，如原始数据不能在图中表示出来。

4.频率分布折线图：连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。随着样本容

量的增加，作图时所分的组数也增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精确地反映出总体在各个范围内取值的百分比。

5.茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好。它不但可以保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况，给数据的记录和表示都带来了方便。

6.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

7.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

8.平均数：如果有n 个数12,,,n x x x L

，那么12,,,n

x x x x n

=

L 叫做这n 个数的平均数。总体中所有

个体的平均数叫做总体平均数；样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。【任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，平均数可以反映出更多关于样本数据全体的信息。】

9.用频率分布直方图估计中位数和平均数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。

10.标准差：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的

一种平均距离，一般用s 表示。s =11.方差：从数学的角度考虑，有时用标准差的平方2

s ——方差代替标准差，作为测量样本数据分散程度

的工具。()()()()

22222

12111n n i i s x x x x x x x x n n =??=-+-++-=-???

?∑L

12.补充：①标准分：i x x N s -=【i x 是个人成绩；x 是整体平均分；s 是标准差。】

②在

(),x s x s -+、()2,2x s x s -+、()3,3x s x s -+中，(),x s x s -+为事件多发区；

()3,3x s x s -+为事故必发区。

三、变量间的相关关系

1.相关关系：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。

2.正相关与负相关：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系成为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系成为负相关。

3.回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。

4.回归直线方程：回归直线方程为

^

y bx a =+。其中：b 是回归方程的斜率；a 是截距。

(

)()()

1

12

2

2

1

1

n

n

i i i i

i i n

n

i

i

i i x x y y

x y nx y

b x x x

nx

a y bx

====---=

=

--=-∑∑∑∑

5.回归方法：由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归方法。

6.最小二乘法：通过求()()

()

22

2

1122n n Q y bx a y bx a y bx a =

--+--++--L 的最小值而得出

回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。 第三章 概率

一、随机事件的概率

1.必然事件：一般地，我们把在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件。

2.不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件。

3.确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件。

4.随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件。

5.事件：确定事件和随机事件统称为事件。一般用大写字母表示。

6.频数与频率：在相同条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次

数A n 为事件

A 出现的频数，称事件A 出现的比例

()A n n

f A n

=为事件A 出现的频率。【由于A 发生

的次数至少为0，至多为n ，因此频率总在0与1之间，即()01P

A ≤≤】

7.概率：一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率

m

n

，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这是就把这个常数叫做事件

A 的概率，记作()P A 。

注意：①频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率； ②频率本身是随机的，在试验前是不能确定的；

③概率是一个确定的常数，是客观存在的，与试验的次数无关。 二、概率的意义

1.概率的正确理解：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，具有偶然性，但当试验次数增大时，必然性的一面就表现出来了，这个必然性就是频率的稳定性。

2.游戏的公平性：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，当大量重复这一过程时，随机中又含有着规律，因此利用概率知识可以判断一些游戏规则是否公平、公正。

3.决策中的概率思想：知道时间的概率可以为人们作决策提供依据，概率是用来度量事件发生的可能性大小的量，小概率事件很少发生，而大概率事件则经常发生，利用概率思想进行决策时，极大似然估计法（简称极大似然法）【极大似然法：若面临从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法。】是重要的统计思想方法之一。

4.天气预报的概率：概率天气预报是用概率值表示预报某种天气现象出现可能性的大小，它所提供的不是某种天气现象的“有”或“无”，某种气象要素值的“大”或“小”，而是天气现象出现的可能性有多大。 三、概率的基本性质 1.事件的关系与运算： ⑴对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A （或称事

件

A 包含于事件

B ）

，记作()B A A B ??或。 ⑵如果事件1C 发生，那么事件1D 一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作11C D =。一般地，若B A A B ?

?且，那么称事件A 与事件B 相等，记作A B =。

⑶若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事

件），记作()A B A B +U 或。 ⑷若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事

件），记作()A B AB I 或。 ⑸若

A B I 为不可能事件()A B =?I ，那么称事件A 与事件B 互斥，其含义是：事件A 与事件B 在

任何一次试验中不会同时发生。

⑹若

A B I 为不可能事件，A B U 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。即A B A B =?=ΩI U 且。

2.概率的几个基本性质

⑴概率的取值范围：()01P A ≤≤.

⑵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.记作()()1,0P P Ω=?=

⑶当事件A 与事件B 互斥时，A B U 发生的频数等于A 发生的频数与B 发生的频数之和，从而A B U 的

频

率

()()()

n n n f A B f A f B =+U .由此得到概率的加法公式：

()()()A B P A B P A P B =+U 如果事件与事件互斥，则

⑷特例：若A 与B 为对立事件，则()()1P A P B =-.【注意：这里的B 常用A 表示】

⑸如果12,,...,n A A A 为互斥事件，那么()()()1212(...)...n n P A A A P A P A P A =+++U U U

⑹如果

A ，

B 不是互斥事件，则()()()()P A B P A P B P AB =+-U

四、古典概型

1.基本事件：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件成为基本事件。

2.基本事件的特点：Ⅰ任何两个基本事件是互斥的；Ⅱ任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

3.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型： ⑴试验中有可能出现的基本事件只有有限个 ⑵每个基本事件出现的可能性相等

⑶古典概型的概率公式【注意：求古典概型概率时应该准确确定两个量：①A 事件是什么，包含的基本事件有哪些；②所有可

能出现的基本事件总数是多少】 4.（整数值）随机数的产生

⑴随机数的定义：随机数就是在一定范围内随机产生的数，得到这个范围内的每一个数的机会均等。 ⑵产生随机数常用方法：常用试验、计算器（计算机）产生。

⑶随机数模拟方法：指的是用计算机或计算器模拟试验的方法，也称作蒙特卡罗方法。 五、几何概型

1.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

2.几何概型概率公式：在几何概型中，事件A

的概率的计算公式为：

3.几何概型与古典概型的异同

①不同点：古典概型的试验结果是有限的；几何概型的试验结果是无限的。 ②相同点：每一个实验结果发生是等可能的。

③在古典概型中高概率为0的事件为不可能事件，概率为1的事件为必然事件；在几何概型中概率为0的事件可以发生，概率为1的事件不一定发生。 六、第三章补充内容

1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事情有n 中不同的方法，而每一种方法中分别有12,,...,n m m m 种不同的办法，那么完成这个事件共有1

2...n m m m +++种不同的办法。

2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事情有n 个步骤，而每一步骤分别有12,,...,n m m m 种不同的办法，那么完成这件事情共有12...n m m m ???种不同的办法。

3.组合：从n 个不同元素中，任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合，这些组合的总数叫做从几个元素中取出

m

个元素的组合数，记为

m

n

C 。其中

()()()()()12...112 (1)

m n n n n n m C m m m -?-??-+=

-?-??。

【技巧：m

n C 中，m 表示分母中第一个因数为m ，乘以m 个数（依次递减）；m

n C 中，n 表示分子中第一个因数为n ，乘以m 个数（依次递减）】

4.排列：从n 个不同元素中取m 个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取m 个元素的排列。所有排列的总数，叫做从

n

个不同元素中取

m

个元素的排列数，记为

m n A

，其中

()()()12...1m n A n n n n m =-?-??-+

必修四 基本三角函数

Ⅰ

Ⅱ ◆ 终边落在x 轴上的角的集合：

{}z ∈=κκπαα, ? 终边落在

y 轴上的角的集合：

??????∈+=z κπκπαα,2? 终边落在坐标轴上的角的集合：?

?????∈=z κπ

καα,2

?

2 21 21 r r l S r

l αα=== 弧度

度

弧度弧度弧度

度 180180

11801 2360.ππ

π

π==

==??

倒数关系：1

11

cot tan ===α

αααααSec Cos Csc Sin 正六边形对角线上对应

的三角函数之积为1

平方关系：α

αααα

α222

2

22111tan Csc Cot Cos Sin

Sec =+=+=+

乘积关系：ααα

Cos Sin tan = ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

Ⅲ 诱导公式◆ 终边相同的角的三角函数值相等

()()()z

k , tan 2tan z k , 2z

k , 2∈=+∈=+∈=+απααπααπαk Cos k Cos Sin k Sin

? 轴对称关于与角角x αα-

()()()α

αααααtan tan -=-=--=-Cos Cos Sin Sin

? 轴对称关于与角角y ααπ

- ()()()α

απααπα

απ

tan tan -=--=-=-Cos Cos Sin Sin

? 关于原点对称与角角ααπ

+()()()α

απααπα

απ

tan tan =+-=+-=+Cos Cos Sin Sin

?对称关于与角角

x y =

-ααπ

2

ααπααπααπcot 2tan 22=??

?

??-=??? ??-=??? ??-Sin Cos Cos Sin ααπα

απααπcot 2tan 22-=??

?

??+-=??

? ??+=??

? ?+Sin Cos Cos Sin

Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量 ()如果有

,,,

≠

()

是共线向量

与与则使得一个实数,,,≠=λλ

.,λλ=使得那么又且只有一个实数

Ⅶ 线段的定比分点

点?OP

↓当1=λ时 ↓当1=λ时

Ⅷ 向量的一个定理的类似推广

向量共线定理： ()

≠=λ

↓推广

平面向量基本定理： ???

? ??+=不共线的向量为该平面内的两个其中212

211, , e e e e a λλ ↓推广

空间向量基本定理： ??

?

? ??

++=不共面的向量为该空间内的三个其中321332211,,

, e e e e e e a λλλ

Ⅸ一般地，设向量()()y x y x 如果且,,,,2211≠==∥01221=-y x y x 那么 反过来，如果y x y x 则,0122

1=-∥b .

Ⅹ 一般地，对于两个非零向量

, 有

θ

=?，其中θ为两向量的夹角。

2

2

2

2

2

1

2

1

2121y x y x y y x x Cos +

+

+=

=

θ

特别的， 2

===?

Ⅺ

()()0

, , 0 , , , 212121212211=+?⊥+=?≠==y y x x b a y y x x b a a y x b y x a 特别的则且如果

Ⅻ

O , 2121=+???++???n n OA OA A O A A A n 则的中心为边形若正